Kimc 14-16

1. ð THI KIMC 2014
(Senior 14 −−−− 16 tu i. Th i gian làm bài: 120 phút)
Bài 1(Canada). M t s x có 2 ch s b ng 2 l n s y có 2 ch s . T ng các ch s c a
x b ng m t ch s c a y và hi u các ch s c a x b ng ch s còn l i c a y. Tìm giá tr
l n nh t c a y?
Bài 2(Hà Lan). Tính hi u c a tích 1234567899 × 1234567894 × 1234567892
tr ñi tích 1234567891 × 1234567896 × 1234567898
Bài 3(Brunây).
Cho tam giác ABC, ∠CAB =18° và ∠BCA = 24°.
G i E là ñi m thu c CA sao cho ∠CEB = 60°
và F là ñi m thu c AB sao cho ∠AEF = 60°.
Tính s ño theo ñ c a ∠BFC?
Bài 4(Ghana). Cho các s th c x, y và z tho mãn x − 7y + 8z = 4 và 8x + 4y − z = 7.
Tìm giá tr l n nh t c a x2
− y2
+ z2
?
Bài 5(Bungari).
Cho tam giác ABC, ∠CAB = ∠BCA = 45°. G i L là trung ñi m BC và P là ñi m thu c
CA sao cho BP vuông góc v i AL. N u CP = 2 cm, tính ñ dài theo cm c a AB?
Bài 6(H ng Kông). N u x, y và z là 3 s nguyên dương liên ti p sao cho
y yx xz z
y z x x z y
+ + + + + là m t s nguyên, tính giá tr c a x + y + z ?
Bài 7(Thái Lan). Cho các s th c x và y sao cho x3
+ y3
=1957 và
(x + y)(x + 1)(y + 1) = 2014. Tính giá tr c a x + y ?

2. Bài 8(Hà Lan). Cho hình bình hành ABCD, ∠BAD = 60° . G i E là trung ñi m BC và F
là trung ñi m CD. ðo n th ng BD c t ño n th ng AE t i M và c t ño n th ng AF t i N.
N u AB = 15 cm và AD = 8 cm, tính ñ dài theo cm c a MN ?
Bài 9(Rumani). Có bao nhiêu cách x p 8 tr (bao g m c Anna, Bert and Cody) quanh
m t cái bàn tròn, n u Anna ph i ng i c nh Bert và Anna không ñư c ng i c nh Cody?
Các cách x p ñư c tính là như nhau n u chúng nh n ñư c t nhau b ng phép quay theo
chi u kim ñ ng h .
Bài 10(Bungari). Tìm s nguyên n l n nh t sao cho ( ) ( )
2
21 212 2 2 42n
n n
− − − = + ?
Bài 11(H ng Kông). Xét t t c các s nguyên dương không vư t quá 10000000000
trong ñó m i ch s ch có th là 0 ho c 2. H i t ng s ch s 0 là bao nhiêu?
Bài 12(Canada). A, B, C và D là 4 ñi m n m trên ñư ng tròn. Cho AD = BD = 50 3 cm,
AC = 106.8 cm và ∠CAD = 30°, tính ñ dài theo cm c a BC ?
Bài 13(Trung Qu c). Trên b ng ñen có vi t các s ngh ch ñ o c a 2014 s nguyên
dương ñ u tiên. M i lư t ñi ta ñư c xoá hai s và vi t thay b ng m t s khác, s này
b ng t ng c a t ng và tích c a hai s v a xoá. Cu i cùng trên b ng ch còn l i m t s .
Tính giá tr l n nh t c a s này?
Bài 14(Rumani). Cho tam giác ABC, ∠ABC = ∠ACB = 30°. G i O là ñi m sao cho
OA = OC = 1 cm và OB = 2 cm. Ngoài ra, ∠CAB = ∠CAO + ∠OAB . Tính ñ dài theo cm
c a BC?
Bài 15(Hàn Qu c). Trò chơi Tháp Daejeon g m 7 cái ñĩa có kích thư c khác nhau, x p
theo th t kích thư c tăng d n t trên xu ng dư i vào cái c t ñ u tiên trong s 3 cái
c t. C n chuy n toàn b tháp này sang cái c t th ba. M i nư c ñi ñư c chuy n cái ñĩa
trên cùng c a m t c t sang c t li n k , và không ñư c phép chuy n tr c ti p các ñĩa t
c t ñ u tiên sang c t th ba hay ngư c l i. Các ñĩa có kích thư c l n hơn không ñư c
x p lên trên các ñĩa có kích thư c nh hơn. H i c n ít nh t bao nhiêu nư c ñi?