Distribusi peluang diskrit

1. BAB II.
Distribusi Peluang
Diskrit

2. Materi Distribusi Peluang Diskrit
 Binomial
 Multinomial
 Poisson
 Geometrik

3.  DISTRIBUSI BINOMIAL
Bila sebuah eksperimen terdiri dari n
percobaan dengan probabilita p bagi
sukses dan q bagi gagal pada tiap-tiap
percobaan, maka fungsi frekuensi variabel
random X dapat dinyatakan:
  X
n
X
q
p
X
n
X
p 








 .
.

4. a. Bagus semua
b. Satu rusak
c. Dua bagus
d. Paling sedikit satu rusak
e. Paling banyak dua rusak
Contoh :
Dari barang yang dihasilkan oleh semacam
mesin ternyata 15% rusak. Diambil secara
acak dari produksi barang itu sebanyak 30
buah untuk diselidiki. Berapa peluangnya
dari barang yang yang diselidiki itu akan
terdapat:

5. Definisikan rusak adalah X
p (rusak) = 15%
q (bagus) = 85%
  X
N
X
q
p
X
N
X
p 








 .
.
Semua barang bagus, X=0
 
 
  0076
,
0
85
,
0
.
15
,
0
1
85
,
0
.
15
,
0
.
0
30
0
.
.
30
0
30
0




















 
X
p
q
p
X
N
X
p X
N
X

6. Sebuah barang rusak, X=1
 
 
  0404
,
0
85
,
0
.
15
,
0
30
85
,
0
.
15
,
0
.
1
30
1
.
.
29
1
29
1




















 
X
p
q
p
X
N
X
p X
N
X

7. Dua barang bagus, X=28
 
 
nol
praktis
X
p
q
p
X
N
X
p X
N
X



















 
2
28
85
,
0
.
15
,
0
.
28
30
28
.
.

8.  Paling sedikit satu rusak
p(0)+p(1)+p(2)+…+p(N) = 1
 Maka
p(X1) = 1 – p(0)
 p(X=0) = 0,0076
 p(X1) = 1 – 0,0076 =0,9924
Paling banyak dua rusak
p(X2) = p(0) + p(1) + p(2)
p(X=0) = 0,0076
p(X=1) = 0,0404

9.  Paling banyak dua rusak
p(X2) = p(0) + p(1) + p(2)
 p(X=0) = 0,0076
p(X=1) = 0,0404
  1034
,
0
85
,
0
.
15
,
0
.
2
30
2 28
2











X
p
p(X2) = 0,0076 + 0,0404 + 0,1034 = 0,1514

10.  Parameter Dist. Binomial
Rata-rata () = Np
Simpangan baku
q = 1 – p
Npq


Contoh :
Terdapat peluang sebesar 0,8 bahwa seseorang akan betah
bekerja di perusahaan A paling sedikit satu tahun. Bila
terdapat 5 orang pelamar berapa orang yang kita harapkan
akan betah bekerja di perusahaan A paling sedikit satu
tahun?
N = 5 p = 0,8
 = Np = (5).( 0,8) = 4 orang

11.  Distribusi Geometris
Bila sebuah populasi N memiliki sejumlah K unsur yang sama
dan N – K unsur lain yang sama, dan bila sejumlah n unsur
dipilih secara random tanpa pemulihan, maka probabilita unsur
yang dipilih akan terdapat sejumlah k unsur K menjadi



























n
N
k
n
K
N
k
K
k
p )
(

12. Contoh :
Sebuah peti terisi dengan 50 helai kain batik dan di antara
50 helai kain tersebut terdapat 5 helai kain yang rusak. Bila
kita secara random memilih 4 helai kain dari peti tersebut,
berapakah probabilita untuk memilih 0, 1, 2, 3, 4 helai kain
yang rusak?
N = 50 n = 4 K = 5 k = 0, 1, 2, 3, 4
Jawab :
N = 50 n = 4 K = 5 k = 0, 1, 2, 3, 4
64696
,
0
4
50
0
4
5
50
0
5
)
0
(
)
(























































p
n
N
k
n
K
N
k
K
k
p
p(0) = 0,64696
p(1) = 0,95504
p(2) = 0,99803
p(3) = 0,99998
p(4) = 1,00000

13. 8 bola merah dan 12 bola putih dimasukkan ke dalam
sebuah peti. Bila 5 bola dipilih secara random dari dalam peti
tersebut, berapakah peluang 3 dari bola tersebut adalah bola
merah?
23
,
0
5
20
3
5
8
20
3
8
)
3
(
)
(























































p
n
N
k
n
K
N
k
K
k
p

14.  Distribusi Multinomial
Jika peristiwa e1, e2, …, ek dapat terjadi dengan peluang p(e1),
p(e2), …, p(ek) maka peluang bahwa e1, e2, …, ek akan terjadi
masing-masing sebanyak x1, x2, …, xk kali diantara N adalah:
 
1
....
.
.
!
,..,
!
,
!
!
,..,
,
1
2
1
2
1
2
1
2
1



 

k
i
i
i
x
k
x
x
k
k
p
dan
N
X
p
p
p
x
x
x
n
x
x
x
p k

15. Contoh :
Sebuah kotak diisi dengan bola merah, bola putih dan bola
biru dengan perbandingan 3 : 2 : 5 (peristiwa
independen). Bila dari kotak tersebut diambil 8 buah bola
secara acak. Berapakah peluang dari 8 bola tersebut akan
ternyata terdiri dari 3 bola merah dan sisanya bola biru?
 
  04725
,
0
5
,
0
.
2
,
0
.
3
,
0
!
5
!
0
!
3
!
8
5
,
0
,
3
....
.
.
!
,..,
!
,
!
!
,..,
,
5
0
3
2
1
2
1
2
1
2
1



p
p
p
p
x
x
x
n
x
x
x
p k
x
k
x
x
k
k

16.  DISTRIBUSI POISSON
Distribusi ini digunakan bila datanya diskrit dengan N sangat
besar dan p sangat kecil, sehingga Np nilainya tetap.
 = Np
!
)
(
X
e
X
p
X




1. Merupakan pendekatan dist. Binomial
2. Baik untuk   5 dan p  0,1
3.  = 
4.  =  

17. Contoh :
Misalkan sebuah televisi diiklankan di surat kabar untuk
dijual. Surat kabar yang memuat iklan itu kita umpamakan
mempunyai 100.000 pembaca. Jika peluang seorang
pembaca akan membalas iklan itu 0,00002, maka:
a. Berapa orang diharapkan akan membalas iklan itu
b. Berapa peluangnya bahwa yang akan membalas iklan hanya
seorang
c. Berapa peluangnya tidak ada yang membalas
Jawab a
Diharapkan akan membalas iklan sama dengan rata-ratanya atau
 = Np = 100.000 x 0.00002 = 2 orang

18. Jawab b
Peluang yang membalas iklan seorang (X = 1)
2707
,
0
!
1
2
.
)
1
(
!
)
(
2






e
X
p
X
e
X
p
X


Jawab c
Peluang tidak ada yang membalas (X=0)
1353
,
0
!
0
2
.
)
0
(
!
)
(
0
2






e
X
p
X
e
X
p
X



19. Gambar Dist. Normal
-1,55 0 1,55
Luas antara 0 sampai dengan  1,55 lihat di tabel dist.
Normal Z = 1,55 luasnya adalah 0,4394
Sehingga luas total yang diarsir adalah 2(0,4394)=0,8788

20. Luas antara 0 sampai dengan 1,5 bisa lihat di tabel dist. Normal Z
= 1,55 luasnya adalah 0,4394
Sehingga luas yang diarsir adalah 0,5 – 0,4394 = 0,0606

21. Luas antara 0 sampai dengan - 1,55 bisa lihat di tabel dist.
Normal Z = - 1,55 luasnya adalah 0,4394
Sehingga luas yang diarsir adalah 0,5 – 0,4394 = 0,0606

22. Contoh :
Masa hidup semacam batu batere yang dihasilkan oleh suatu
perusahaan mendekati distribusi normal. Rata-rata masa
hidupnya 300 jam sedangkan simpangan bakunya 35 jam.
a. Tentukan persentase hasil batu batere yang masa hidupnya
antara 250 dan 350 jam.
b. Juga untuk masa hidup paling sedikit 325 jam
c. Tentukan suatu bilangan, sehingga batu batere dengan masa
hidup di atas bilangan itu tergolong pada 20% produksi
terbaik
Jawab :
Jika X = masa hidup batu batere, ditanya: p(250 < X < 350)
Untuk X1 = 250 jam :
43
,
1
35
300
250
1 



Z

23. Untuk X2 = 350 jam :
43
,
1
35
300
350
2 



Z
Luas antara 0 sampai dengan  1,43 lihat di tabel dist. Normal Z
= 1,43 luasnya adalah 0,4236
Sehingga luas total yang diarsir adalah 2(0,4236)=0,8472
Jadi kira-kira 84,72% dari produksi batu batere diharapkan akan
mempunyai masa hidup antara 250 dan 350 jam

24. b. Masa hidup batu batere paling sedikit 325, ditanya: p(X 325)
71
,
0
35
300
325



Z
Luas antara 0 sampai dengan 0,71bisa lihat di tabel dist. Normal
Z = 0,71 luasnya adalah 0,2611
Sehingga luas yang diarsir adalah 0,5 – 0,2611 = 0,2389
Jadi ada 23,89% dari produksi batu batere diharapkan
akan mempunyai masa hidup paling sedikit 325 jam

25.  Pendekatan Dist. Binomial oleh Normal
Bila N cukup besar dan p tidak sangat mendekati 0 atau 1
Atau lebih baik bila Np > 5
Data diskrit dan harus dikontinyukan
Npq
Np
X
Z


Sebuah mesin pembuat sekrup menghasilkan yang rusak
sebanyak 10%. Dari sebuah sampel berukuran 400 yang
diambil dari proses yang sedang berjalan, supaya ditentukan
peluang:

26. a. Yang rusak paling banyak 30 buah
b. Yang rusak antara 30 dan 50
c. 55 atau lebih rusak
Jawab :
p bisa untuk binomial tetapi N yang besar dapat digunakan
untuk normal
 = 0,1 x 400 = 40 buah
 = 400 x 0,1 x 0,9 = 6 buah
a. Rusak paling banyak 30, untuk diskrit 0  X  30. Dalam
kontinyu – 0,5  X  30,5

27. Luas daerah yang diarsir adalah 0,5 – 0,4429 = 0,0571.
Jadi peluang terdapat yang rusak paling banyak 30 buah
adalah 0,0571

28. b. Rusak antara 30 dan 50, untuk diskrit 30 < X < 50. Dalam
kontinyu 30,5  X  49,5
Peluang terdapat yang rusak antara 30 dan 50 adalah 2(0,4429) =
0,8858

29. c. 55 atau lebih rusak adalah p(X  55)
42
,
2
6
40
5
,
54



Z
Luas daerah yang diarsir adalah 0,5 – 0,4922 = 0,0078.
Jadi peluang terdapat yang rusak paling sedikit 55 akan rusak
adalah kurang dari satu persen