1. ‫התפלגות‬ ‫שערוך‬‫קונפיגורציות‬
‫תנועה‬ ‫תכנון‬ ‫עבור‬ ‫לאחיזה‬
‫אקדמי‬ ‫צוות‬:‫חוחאשוילי‬ ‫יוסי‬
‫אקדמי‬ ‫מנחה‬:‫ד‬"‫ברמן‬ ‫סיגל‬ ‫ר‬
‫פרויקטים‬ ‫כנס‬
‫ינואר‬2016
p-2015-106 ‫פרויקט‬ ‫מספר‬:
‫אוניברסיטת‬‫בן‬-‫בנגב‬ ‫גוריון‬
‫וניהול‬ ‫תעשייה‬ ‫להנדסת‬ ‫המחלקה‬

2. ‫מוטיבציה‬
•‫הבעיות‬ ‫אחת‬‫אחיזה‬ ‫עבר‬ ‫אל‬ ‫תנועה‬ ‫תכנון‬ ‫בעיית‬ ‫הינה‬ ‫ברובוטיקה‬
•‫קונפיגורציות‬ ‫שוערכו‬ ‫אחיזה‬ ‫לעבר‬ ‫תנועה‬ ‫בתכנון‬ ‫שעסק‬ ‫עבר‬ ‫בפרויקט‬
•‫הבעיה‬:‫מחזורית‬ ‫איננה‬ ‫גאוסיאנית‬ ‫והתפלגות‬ ‫מחזורית‬ ‫הינה‬ ‫אוריינטציה‬
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬
(‫ואוריינטציות‬ ‫מיקומים‬)‫האחיזה‬‫גאוסיאניות‬ ‫התפלגויות‬ ‫של‬ ‫קמור‬ ‫סכום‬ ‫בעזרת‬(‫נורמליות‬)
1

3. •‫בעזרת‬ ‫רובוטית‬ ‫זרוע‬ ‫עבור‬ ‫אחיזה‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫התפלגות‬ ‫שערוך‬ ‫שיפור‬‫בחינת‬3
‫מחזוריות‬ ‫התפלגויות‬(‫ציקליות‬)‫האוריינטציות‬ ‫התפלגות‬ ‫לתיאור‬:
Von-Mises Fisher Dimroth-Watson Girdle
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬
𝑓 𝑥|µ, 𝜅 = 𝐶 𝑝(𝜅)𝑒 𝜅µ 𝑇 𝑥
𝑓 𝑥|µ, 𝜅 = 𝐶 𝑝(𝜅)𝑒 𝜅 µ 𝑇 𝑥
2
𝑓 𝑥|µ1, µ2, 𝜅 = 𝐶 𝑝(𝜅)𝑒
𝜅[ µ1 𝑇 𝑥
2
+ µ2 𝑇 𝑥
2
‫הפרויקט‬ ‫מטרת‬
2

4. 𝑔 𝑥|𝛩 =
𝑖=1
𝑘
𝑝𝑖 𝑓𝑖 𝑥|𝜃𝑖
‫ההתפלגות‬ ‫של‬ ‫הפרמטרים‬ ‫בהינתן‬ ‫ההסתברות‬ ‫צפיפות‬ ‫פונקציית‬:
(Jean and et al., 2011)
‫ההסתברות‬ ‫צפיפות‬ ‫פונקציית‬
‫הכוללת‬
‫שייך‬ ‫להיות‬ ‫ההסתברויות‬ ‫סכום‬
‫ה‬ ‫לרכיב‬-i
‫התפלגות‬ ‫של‬ ‫הפרמטרים‬ ‫קבוצת‬
‫רכיב‬ ‫כל‬
𝑔 𝑥 =
𝑖=1
𝑘
)𝑝𝑖 𝑓𝑖(𝑥
𝑖=1
𝑘
𝑝𝑖 = 1 𝜃𝑖 ∈ 𝛩 , 𝑖 = 1, … . , 𝑘
Mixture Model
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬
‫לרכיב‬ ‫תצפית‬ ‫שייכות‬ ‫את‬ ‫שמציינים‬ ‫סמויים‬ ‫משתנים‬ ‫מוגדרים‬
3

5. (Radford and Geoffry, 2009)
EM - Expectation Maximization
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬
‫שייך‬ ‫להיות‬ ‫והסיכוי‬ ‫הפרמטרים‬ ‫ערכי‬ ‫את‬ ‫קבע‬‫ל‬‫שרירותי‬ ‫באופן‬ ‫רכיב‬
‫אינסוף‬ ‫מינוס‬ ‫שווה‬ ‫להיות‬ ‫השלמה‬ ‫נראות‬ ‫פונקציית‬ ‫ערך‬ ‫את‬ ‫קבע‬
‫שלב‬E:
‫תצפית‬ ‫של‬ ‫הסיכוי‬ ‫את‬ ‫חשב‬X‫מרכיב‬ ‫להגיע‬i‫ביותר‬ ‫העדכניים‬ ‫הפרמטרים‬ ‫בהינתן‬
‫שלב‬M:
‫משלב‬ ‫ההסתברויות‬ ‫בהינתן‬ ‫מקסימליים‬ ‫נראות‬ ‫אומדי‬ ‫חשב‬E‫האחרון‬
Likelihood(i)-Likelihood(i-1)
<= ξ
‫לא‬-‫התכנסות‬ ‫אין‬
‫כן‬-‫התכנסות‬ ‫יש‬
‫והמשקלים‬ ‫הפרמטרים‬ ‫את‬ ‫החזר‬
‫האחרונה‬ ‫בחזרה‬ ‫ששוערכו‬
4

6. N-‫התצפיות‬ ‫מספר‬
K-‫הרכיבים‬ ‫מספר‬
𝐳𝐢𝐤-‫שווה‬ ‫מציין‬ ‫משתנה‬1‫תצפית‬ ‫אם‬i‫ה‬ ‫לרכיב‬ ‫שייכת‬-k0‫אחרת‬
𝐩 𝐤-‫ה‬ ‫לרכיב‬ ‫שייכת‬ ‫להיות‬ ‫תצפית‬ ‫של‬ ‫הסיכוי‬-k
𝐟 𝐱 𝐢 𝛉 𝐤-‫ה‬ ‫הרכיב‬ ‫של‬ ‫הסתברות‬ ‫צפיפות‬ ‫פונקציית‬-k
𝛉 𝐤-‫ה‬ ‫הרכיב‬ ‫של‬ ‫הפרמטרים‬-k
𝐱 𝐢-‫ה‬ ‫התצפית‬-i
𝐯 𝐊-‫במודל‬ ‫הרכיבים‬ ‫מספר‬
𝑰𝑪𝑳 = −2 ∗ 𝑖=1
𝐍
𝑘=1
𝐾
𝑧𝑖𝑘 𝑙𝑜𝑔(𝑝 𝑘 𝑓(𝑥𝑖|𝜃 𝑘)) + 𝑣 𝐾 log 𝑵
(Celeux, 2015)
‫רב‬ ‫קיבוצים‬ ‫מספר‬ ‫על‬ ‫קנס‬ ‫שמתאר‬ ‫חלק‬
‫השלמה‬ ‫הנראות‬ ‫פונקציית‬ ‫את‬ ‫שמתאר‬ ‫חלק‬
‫מדד‬Integrated complete likelihood-ICL
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬ 5

7. 𝑞 =
cos( 𝜃 2)
𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛( 𝜃 2)
𝑛 𝑦 𝑠𝑖𝑛( 𝜃 2)
𝑛 𝑧 𝑠𝑖𝑛( 𝜃 2)
β
γ
(J.B Kuipers, 1999)
‫קווטרניון‬
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬
X
α
Y
Z
6

8. -‫טובות‬ ‫אחיזה‬ ‫אוריינטציות‬ ‫התפלגות‬ ‫לתאר‬ ‫שמתאימות‬ ‫קווטרניונים‬ ‫מבוססות‬ ‫התפלגויות‬ ‫קיימות‬:
Von-Mises Fisher:
Dimroth-Watson:
Girdle:
)Sra et al., 2007(
(De Granville & Fagg, 2008)
Radius= 1+f(q)
‫מחזוריות‬ ‫התפלגויות‬(‫ציקליות‬)
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬
𝑓 𝑞|µ, 𝜅 = 𝐶 𝑝(𝜅)𝑒 𝜅µ 𝑇 𝑞
𝑓 𝑞|µ, 𝜅 = 𝐶 𝑝(𝜅)𝑒 𝜅 µ 𝑇 𝑞
2
𝑓 𝑞|µ1, µ2, 𝜅 = 𝐶 𝑝(𝜅)𝑒
𝜅[ µ1 𝑇 𝑞
2
+ µ2 𝑇 𝑞
2
‫מחזוריות‬ ‫התפלגויות‬(‫ציקליות‬)
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬ 7

9. -‫פונקציית‬ ‫הגדרנו‬‫שמתפלגים‬ ‫מיקומים‬ ‫בעלות‬ ‫לאחיזות‬ ‫שמתאימה‬ ‫הסתברות‬ ‫צפיפות‬‫גאוסיאנית‬‫ואוריינטציות‬
‫שמפולגות‬‫התפלגות‬‫מחזורית‬)‫מהתפלגויות‬ ‫אחת‬‫הציקליות‬)
-‫צפיפות‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬ ‫קמור‬ ‫כסכום‬ ‫הטובות‬ ‫האחיזות‬ ‫של‬ ‫ההסתברות‬ ‫צפיפות‬ ‫פונקציית‬ ‫את‬ ‫הגדרנו‬‫הסתברות‬
‫מורכבות‬(Joint Distribution:)
Kµ,σ x = Nµt,σt
δ Θµr,σr
θ
𝑑 𝑥 =
𝑖=1
𝑛
wiKµi,σi
x
‫הטובות‬ ‫האחיזות‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫התפלגות‬ ‫הגדרת‬
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬ 8

10. -‫מר‬ ‫של‬ ‫קוד‬ ‫התאמת‬De Granville‫ד‬ ‫ושל‬"‫ר‬Andrew H. Fagg‫שלנו‬ ‫לפרויקט‬:
-‫אלגוריתם‬ ‫ומימוש‬ ‫התפלגויות‬ ‫ליצירת‬ ‫עצמים‬ ‫מונחת‬ ‫גישה‬EM‫ב‬-Matlab:
‫מחלקות‬ ‫יצירת‬‫ב‬Matlab-
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬
Mixture
Model
Joint
distribution
Gaussian
Dimroth-
Watson
Joint
distribution
Gaussian Girdle
F(x,y)F(x,y)
9

11. 𝑋 = Px, Py, Pz, q0, q1, q2, q3𝑋 = Px,Py,Pz,Rx,Ry,Rz
1.‫איסוף‬‫האוריינטציות‬ ‫של‬ ‫והמרה‬ ‫הנתונים‬‫לקווטרניונים‬
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬ 10

12. 2.2.‫כל‬ ‫עבור‬‫מדד‬ ‫לפי‬ ‫שנוצרו‬ ‫המודלים‬ ‫כל‬ ‫בין‬ ‫השוואה‬ ‫בעזרת‬ ‫ביותר‬ ‫הטוב‬ ‫המודל‬ ‫נמצא‬ ‫אובייקט‬ICL.
2.1.‫ה‬ ‫עבור‬ ‫פרמטרים‬ ‫שערוך‬ ‫ביצוע‬Mixture Model-‫באלגוריתם‬ ‫שימוש‬ ‫תוך‬EM‫ב‬ ‫שמומש‬-Matlab:
2.1.1.‫עבור‬ ‫שערוך‬ ‫ביצוע‬Mixture Model‫שמורכב‬‫מ‬-1-10‫רכיבים‬‫כשהאורינטציות‬‫אחד‬ ‫כל‬ ‫לפי‬ ‫מתפלגות‬
‫המחזוריות‬ ‫מההתפלגויות‬‫והגאוסיאנית‬‫מתפלגים‬ ‫והמיקומים‬‫גאוסיאנית‬‫עבור‬3‫אובייקטים‬:‫ספל‬,‫מחבת‬
‫סה‬ ‫וספרה‬"‫כ‬85‫אובייקט‬ ‫לכל‬ ‫מודלים‬.
2.‫בחירת‬‫המתאים‬ ‫המודל‬
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬ 11

13. -‫רכיב‬ ‫בעל‬ ‫מודל‬1‫מתפלגות‬ ‫האוריינטציות‬ ‫שבו‬:Von-Mises Fisher‫מתפלגים‬ ‫והמיקומים‬:Gaussian.
‫המיקומים‬ ‫פיזור‬ ‫תרשים‬‫אובייקט‬:‫ספרה‬ ‫אוריינטציות‬ ‫פיזור‬ ‫תרשים‬
‫תלת‬ ‫ייצוג‬-‫מימדי‬‫של‬
‫האוריינטציות‬ ‫התפלגות‬
‫הספרה‬ ‫עבור‬ ‫ביותר‬ ‫הטוב‬ ‫המודל‬
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬ 12

14. -‫מודל‬‫בעל‬7‫רכיבים‬‫שהאורינטציות‬‫של‬2‫רכיבים‬‫מתפלגות‬:Dimroth-Watson‫ו‬-5‫מתפלגים‬ ‫רכיבים‬Girdle
‫הרכיבים‬ ‫כלל‬ ‫של‬ ‫והמיקומים‬‫מתפלגים‬:Gaussian.
‫אובייקט‬:‫מחבת‬ ‫המיקומים‬ ‫פיזור‬ ‫תרשים‬ ‫אוריינטציות‬ ‫פיזור‬ ‫תרשים‬
‫עבור‬ ‫ביותר‬ ‫הטוב‬ ‫המודל‬‫המחבת‬
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬ 13

15. -‫מודל‬‫בעל‬3‫הרכיבים‬ ‫שהאוריינטציות‬ ‫רכיבים‬‫מתפלגות‬:Von-Mises Fisher‫הרכיבים‬ ‫כלל‬ ‫של‬ ‫והמיקומים‬
‫מתפלגים‬:Gaussian.
‫אובייקט‬:‫מחבת‬ ‫המיקומים‬ ‫פיזור‬ ‫תרשים‬ ‫אוריינטציות‬ ‫פיזור‬ ‫תרשים‬
‫עבור‬ ‫ביותר‬ ‫הטוב‬ ‫המודל‬‫הספל‬
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬ 14

16. -‫אלגוריתם‬ ‫של‬ ‫מימוש‬"‫דחייה‬ ‫קבלה‬"‫מ‬ ‫דגימה‬ ‫לצורך‬-Mixture Mode
𝑢1~𝑢𝑛𝑖𝑓𝑖𝑟𝑚(𝑥 𝑚𝑖𝑛, 𝑥 𝑚𝑎𝑥, 𝑦 𝑚𝑖𝑛, 𝑦 𝑚𝑎𝑥, 𝑧 𝑚𝑖𝑛, 𝑧 𝑚𝑎𝑥, 𝑞 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚)
𝑋 = Px,Py,Pz,q0,q1,q2,q3 = [𝑥,𝑞].
‫דגמנו‬𝑢2~𝑢(0,1)
‫קיבלנו‬‫ו‬ ‫במידה‬ ‫הדגימה‬ ‫את‬-(𝑢1 ∗ 𝑡 ≤ 𝑔(𝑋 = 𝑥,𝑞
𝑡 𝑥, 𝑞|𝛷 =
𝑖=1
𝐾
𝑤𝑖 𝑓𝑚𝑎𝑥 𝑝 𝑖
(𝑥|𝜃 𝑝 𝑖
) 𝑓𝑚𝑎𝑥 𝑜 𝑖
(𝑞|𝜃 𝑜 𝑖
)
𝑓𝑚𝑎𝑥 𝑝 𝑖
𝑥 𝜃 𝑝 𝑖
= 𝑓𝑝 𝑖
(𝑥 = µ𝑖|𝜃 𝑝 𝑖
)
𝑓𝑚𝑎𝑥 𝑜 𝑖
𝑞 𝜃 𝑜 𝑖
= 𝑓𝑜 𝑖
(𝑞 = µ𝑖|𝜃 𝑜 𝑖
)
1.
2.
3.
4.
‫דגימה‬ ‫אלגוריתם‬ ‫פיתוח‬
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬ 15

17. •‫אובייקט‬ ‫כל‬ ‫עבור‬‫קיבלנו‬‫התפלגות‬ ‫כוללת‬ ‫האחיזה‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫של‬ ‫ביותר‬ ‫הטובה‬ ‫שההתפלגות‬
‫עבור‬ ‫ציקלית‬‫אוריינטציה‬.
•‫שיפרנו‬‫התפלגות‬ ‫שערוך‬ ‫את‬‫הקונפיגורציות‬‫תנועה‬ ‫תכנון‬ ‫עבור‬.
‫ומסקנות‬ ‫סיכום‬
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬
•‫עתידי‬ ‫למחקר‬ ‫הצעות‬:
-‫אלגוריתם‬ ‫את‬ ‫שמממש‬ ‫הקיים‬ ‫בקוד‬ ‫הדגימה‬ ‫אלגוריתם‬ ‫של‬ ‫שילוב‬GR-RRT‫שערוך‬ ‫שיפור‬ ‫השפעת‬ ‫של‬ ‫ובדיקה‬
‫הקונפיגורציות‬.
16

18. •‫ד‬"‫ברמן‬ ‫סיגל‬ ‫ר‬
•‫ד‬"‫דני‬ ‫ר‬‫אייזיקוביץ‬'
•‫רשף‬ ‫רועי‬ ‫מר‬
•‫ד‬"‫ר‬Andrew H.Fagg
•‫מר‬Charles De Granville
‫תודות‬
17

19. ‫ההקשבה‬ ‫על‬ ‫רבה‬ ‫תודה‬
18

20. ‫נספחים‬
19

21. (Reshef et al., 2013)
GR-RRT- Grasp regions rapidly exploring random trees
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬ 20

22. ‫מוצא‬
‫יעד‬
‫תפסנית‬
(Reshef et al., 2013)
Grasp Region
‫שיפור‬ ‫לבצע‬ ‫נרצה‬:‫יעד‬ ‫נקודות‬ ‫דגימת‬ ‫בעת‬ ‫האוריינטציות‬ ‫למחזוריות‬ ‫להתייחס‬
‫הקדמה‬‫ספרותי‬ ‫רקע‬‫שיטה‬‫ניסוי‬‫תוצאות‬‫סיכום‬
GR-RRT- Grasp regions rapidly exploring random trees
‫דו‬ ‫דוגמא‬-‫מימדית‬‫מכשולים‬ ‫ללא‬
21