![Chapter7- Ideal Bose Systems 24
𝐶 𝑉
𝑁𝐾
=
1
𝑁𝐾
𝜕𝑈
𝜕𝑇 𝑁,𝑉
=
3
2
𝜕
𝜕𝑇
𝑃𝑉
𝑁𝐾 𝑣
𝑃 𝑇 =
𝐾𝑇
𝜆3
𝜁
5
2
𝐶 𝑉
𝑁𝐾
=
3
2
[
𝜕
𝜕𝑇
𝐾𝑇
𝜆3
𝜁
5
2
×
𝑉
𝑁𝐾
] 𝑣 =
3
2
𝑉
𝑁
𝜁
5
2
×
𝑑
𝑑𝑇
𝑇
𝜆3
=
3
2
𝑣𝜁
5
2
×
𝑑
𝑑𝑇
𝑇
5
2
2𝜋𝑚𝐾
3
2
ℎ3
=
3
2
𝑣𝜁
5
2
×
5
2
×
1
𝜆3 =
15
4
𝜁
5
2
𝑣
𝜆3](https://image.slidesharecdn.com/idialbosesystems-180921093401/85/Ideal-Bose-Systems-24-320.jpg)
Ideal Bose Systems
- 1. Sara Khorshidian 1395 Chapter7- IdealBose Systems 1
- 2. Chapter7- Ideal BoseSystems 2 The intermolecular interactions are negligible Particles are indistinguishable; We have quantum statistics effects.
- 3. Chapter7- Ideal BoseSystems 3 Actually it determines the degree of degeneracy in a given system. 0 ≪ 1 ∼ 1 “1/n” is the mean interparticle distance “𝜆” is the mean thermal wavelenght. Classical counterparts Quantum effects
- 4. Chapter7- Ideal BoseSystems 4 𝜀 𝐹(𝜀) = 𝐹 𝜀 𝑎 𝜀 𝑑𝜀
- 5. Most particles are in the excited states. 1/Nis negligible. 1/N 1/N Chapter7- Ideal Bose Systems 5
- 6. is negligible. Chapter7- IdealBose Systems 6
- 7. Chapter7- Ideal BoseSystems 7 N0 = z 1−z z = N0 1 + N0 − 1 𝑉 𝐿𝑛(1 − 𝑧) = 𝐿𝑛(1+𝑁0) 𝑉 𝐿𝑛(1 + 𝑁) 𝑁 ≪ 1
- 8. Chapter7- Ideal BoseSystems 8
- 9. 𝛤 𝑛 =𝑛 − 1 ! 𝛤 5 2 = 3 2 ! = 3 2 × 1 2 ! = 3 2 × 𝜋 2 𝛤 3 2 = 1 2 ! = 𝜋 2 Chapter7- Ideal Bose Systems 9 𝑎 𝑏 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑎 𝑏 𝑣𝑑𝑢 𝐼 = 0 ∞ Ln(1 − ze−x)𝑥 1 2 𝑑𝑥 𝐼 = 2 3 𝑥 3 2 𝐿𝑛 1 − 𝑧𝑒−𝑥 − 0 ∞ 2 3 𝑥 3 2 𝑧𝑒−𝑥 1 − 𝑧𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = − 2 3 0 ∞ 𝑥 3 2 𝑧−1 𝑒 𝑥 − 1 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑧𝑒−𝑥 1 − 𝑧𝑒−𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 2 3 𝑥 3 2 u dv
- 10. Chapter7- Ideal BoseSystems 10
- 11. Chapter7- Ideal BoseSystems 11
- 12. 12 𝑧 ≪ 1𝑔 𝑣 𝑧 = 𝑧 𝑁−𝑁0 𝑉 = 𝑁 𝑉 = 𝑧 𝜆3 N0 = z 1 − z P KT = 𝑧 𝜆3 𝑃𝑉 = 𝑁𝐾𝑇
- 13. Chapter7- Ideal BoseSystems 13 𝑁 𝑉 = 1 𝜆3 𝑔3 2 𝑧 𝑛𝜆3 = 𝑔3 2 𝑧 = 𝑙=1 ∞ 𝑧 𝑙 𝑙 3 2 𝑧 = 𝑘=1 ∞ 𝑏 𝑘(𝑛𝜆3) 𝑘 𝑧 = 𝑘=1 ∞ 𝑏 𝑘 𝑓 𝑘 = 𝑏1 𝑓 + 𝑏2 𝑓2 + 𝑏3 𝑓3 + ⋯ 𝑓 = 𝑙=1 ∞ 𝑧 𝑙 𝑙 3 2 = 𝑧 + 𝑧2 23 2 + 𝑧3 33 2 + ⋯ 𝑓 = 𝑏1 𝑓 + 𝑏2 𝑓2 + 𝑏3 𝑓3 + ⋯ + 1 23 2 𝑏1 𝑓 + 𝑏2 𝑓2 + 𝑏3 𝑓3 + ⋯ 𝑏1 𝑓 + 𝑏2 𝑓2 + 𝑏3 𝑓3 + ⋯ + 1 33 2 𝑏1 𝑓 + 𝑏2 𝑓2 + 𝑏3 𝑓3 + ⋯ 𝑏1 𝑓 + 𝑏2 𝑓2 + 𝑏3 𝑓3 + ⋯ 𝑏1 𝑓 + 𝑏2 𝑓2 + 𝑏3 𝑓3 + ⋯ + … nλ3=f
- 14. Chapter7- Ideal BoseSystems 14 𝑓 = 𝑏1 𝑓 + 𝑏2 + 1 23 2 𝑏1 2 𝑓2 + 𝑏3 + 1 23 2 2𝑏1 𝑏2 + 1 33 2 𝑏1 3 𝑓3 + ⋯ P KT = 1 𝜆3 𝑔5 2 𝑧 PV NKT = 1 𝑛𝜆3 𝑔5 2 𝑧 = 1 𝑓 (𝑧 + 𝑧2 25 2 + 𝑧3 35 2 + ⋯ ) PV NKT = 1 𝑓 𝑏1 𝑓 + 𝑏2 𝑓2 + 𝑏3 𝑓3 + ⋯ + 1 25 2 𝑏1 𝑓 + 𝑏2 𝑓2 + 𝑏3 𝑓3 + ⋯ 𝑏1 𝑓 + 𝑏2 𝑓2 + 𝑏3 𝑓3 + ⋯ + 1 35 2 𝑏1 𝑓 + 𝑏2 𝑓2 + 𝑏3 𝑓3 + ⋯ 𝑏1 𝑓 + 𝑏2 𝑓2 + 𝑏3 𝑓3 + ⋯ 𝑏1 𝑓 + 𝑏2 𝑓2 + 𝑏3 𝑓3 + ⋯ = 1 𝑓 𝑏1 𝑓 + 𝑏2 + 1 25 2 𝑏1 2 𝑓2 + 𝑏3 + 2 25 2 𝑏1 𝑏2 + 1 35 2 𝑏1 3 𝑓3 + ⋯ = 𝑎1 + 𝑎2 𝑓 + 𝑎3 𝑓2 + ⋯ = 𝑙=1 ∞ 𝑎𝑙 𝑓 𝑙−1 = 𝑙=1 ∞ 𝑎𝑙(𝑛𝜆3)𝑙−1= 𝑙=1 ∞ 𝑎𝑙( 𝜆3 𝑣 )𝑙−1
- 15. Chapter7- Ideal BoseSystems 15 𝜆 = ℎ 2𝜋𝑚𝑘𝑇
- 16. Chapter7- Ideal BoseSystems 16 𝑍 → 1
- 17. Chapter7- Ideal BoseSystems 17
- 18. Chapter7- Ideal BoseSystems 18
- 19. Chapter7- Ideal BoseSystems 19
- 20. Chapter7- Ideal BoseSystems 20 2𝜋𝑚𝑘𝑇 ℎ2 3/2 𝛼 𝜐 𝜆3
- 21. Chapter7- Ideal BoseSystems 21 𝑃 𝑇 = 𝐾𝑇 𝜆3 𝑔5 2 (1) 𝑃 𝑇𝐶 = ( 2𝜋𝑚𝐾 ℎ2 ) 3 2× 𝑇𝐶 3 2 × 𝐾𝑇𝐶 𝜁 5 2
- 22. Chapter7- Ideal BoseSystems 22
- 23. Chapter7- Ideal BoseSystems 23
- 24. Chapter7- Ideal BoseSystems 24 𝐶 𝑉 𝑁𝐾 = 1 𝑁𝐾 𝜕𝑈 𝜕𝑇 𝑁,𝑉 = 3 2 𝜕 𝜕𝑇 𝑃𝑉 𝑁𝐾 𝑣 𝑃 𝑇 = 𝐾𝑇 𝜆3 𝜁 5 2 𝐶 𝑉 𝑁𝐾 = 3 2 [ 𝜕 𝜕𝑇 𝐾𝑇 𝜆3 𝜁 5 2 × 𝑉 𝑁𝐾 ] 𝑣 = 3 2 𝑉 𝑁 𝜁 5 2 × 𝑑 𝑑𝑇 𝑇 𝜆3 = 3 2 𝑣𝜁 5 2 × 𝑑 𝑑𝑇 𝑇 5 2 2𝜋𝑚𝐾 3 2 ℎ3 = 3 2 𝑣𝜁 5 2 × 5 2 × 1 𝜆3 = 15 4 𝜁 5 2 𝑣 𝜆3
- 25. Chapter7- Ideal BoseSystems 25 𝐶 𝑉(𝑇) 𝑁𝐾 = 3 2 𝜕 𝜕𝑇 (𝑇 × 𝑔5 2(𝑧) 𝑔3 2(𝑧) ) 𝑣 = 3 2 𝑔5 2(𝑧) 𝑔3 2(𝑧) + 𝑇 × 𝜕 𝜕𝑇 𝑔5 2(𝑧) × 𝑔3 2 𝑧 − 𝑔5 2(𝑧) 𝜕 𝜕𝑇 𝑔3 2(𝑧) (𝑔3 2(𝑧))2 𝑣 𝐶 𝑉(𝑇) 𝑁𝐾 = 3 2 𝑔5 2(𝑧) 𝑔3 2(𝑧) + 𝑇 × ( 𝜕𝑔5 2(𝑧) 𝜕𝑧 × 𝜕𝑧 𝜕𝑇 ) × 𝑔3 2 𝑧 − 𝑔5 2(𝑧)( 𝜕𝑔3 2(𝑧) 𝜕𝑧 × 𝜕𝑧 𝜕𝑇 ) (𝑔3 2(𝑧))2 𝑣
- 26. Chapter7- Ideal BoseSystems 26 𝜕𝑧 𝜕𝑇 = 𝜕𝑧 𝜕𝑔3 2 𝑧 𝜕𝑔3 2 𝑧 𝜕𝑇 = 1 𝜕𝑧 𝜕𝑔3 2 𝑧 𝜕𝑔3 2 𝑧 𝜕𝑇 = 𝑧 𝑔1 2 𝑧 × − 3 2𝑇 𝑔3 2 𝑧 = 3 2 𝑔5 2(𝑧) 𝑔3 2(𝑧) + 3 2 − 3 2𝑇 𝑔3 2 𝑧 𝑔1 2 𝑧 − 𝑔5 2 𝑧 𝑔3 2 𝑧 = 3 2 𝑔5 2(𝑧) 𝑔3 2(𝑧) − 9 4 𝑔3 2 𝑧 𝑔1 2 𝑧 + 9 4 𝑔5 2 𝑧 𝑔3 2 𝑧 𝐶 𝑉(𝑇) 𝑁𝐾 = 3 2 𝑔5 2(𝑧) 𝑔3 2(𝑧) + 𝑇 × ( 𝜕𝑔5 2(𝑧) 𝜕𝑧 × 𝜕𝑧 𝜕𝑇 ) × 𝑔3 2 𝑧 − 𝑔5 2(𝑧)( 𝜕𝑔3 2(𝑧) 𝜕𝑧 × 𝜕𝑧 𝜕𝑇 ) (𝑔3 2(𝑧))2 𝑣
- 27. Chapter7- Ideal BoseSystems 27 𝑇 = 𝑇𝐶 , 𝑧 → 1 ⟹ 𝑔1 2 𝑧 ⟶ ∞ 𝑔 𝑣 𝑧 ≅ 𝑧
- 28. Chapter7- Ideal BoseSystems 28
- 29. Chapter7- Ideal BoseSystems 29 𝑃0 ∝ 𝑣𝑐 − 2 3 5 2
- 30. Chapter7- Ideal BoseSystems 30 𝜇 𝐾𝑇 = 𝐿𝑛𝑧𝑈 = 3 2 𝑃𝑉 𝑃 𝐾𝑇 = 1 𝜆3 𝜁 5 2
- 31. Chapter7- Ideal BoseSystems 31 𝑇 ≤ 𝑇𝐶 𝑆 𝑁𝐾 = 𝑈 + 𝑃𝑉 𝑁𝐾𝑇 − 𝐿𝑛𝑧 = 3 2 𝑃𝑉 + 𝑃𝑉 𝑁𝐾𝑇 − 𝐿𝑛1 = 5 2 𝑃𝑉 𝑁𝐾𝑇 = 5 2 𝑉 𝑁𝐾𝑇 × 𝐾𝑇 𝜆3 𝜁 5 2 = 5 2 𝑣 𝜆3 𝜁 5 2 𝑇 > 𝑇𝐶 𝑆 𝑁𝐾 = 5 2 𝑃𝑉 𝑁𝐾𝑇 − 𝐿𝑛𝑧 = 5 2 𝑔5 2 𝑧 𝑔3 2 𝑧 − 𝐿𝑛𝑧 𝑁0 ≅ 0
- 32. Chapter7- Ideal BoseSystems 32
- 33. Chapter7- Ideal BoseSystems 33
- 34. Chapter7- Ideal BoseSystems 34 𝑈 = 0 ∞ 𝑢 𝜔 𝑑𝜔
- 35. Chapter7- Ideal BoseSystems 35
- 36. Chapter7- Ideal BoseSystems 36
- 37. Chapter7- Ideal BoseSystems 37
- 38. Chapter7- Ideal BoseSystems 38
- 39. Chapter7- Ideal BoseSystems 39 Ln𝒬 V, T ≡ PV KT = − 8𝜋𝑉 h3 𝑐3 𝜀2 Ln(1 − e−βε )𝑑𝜀 8𝜋𝑉 h3 𝑐3 1 𝐾𝑇 0 ∞ 𝜀3 𝑑𝜀 𝑒 𝜀 𝐾𝑇 − 1 vdu
- 40. Chapter7- Ideal BoseSystems 40 𝑉𝑇3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⟹ 𝑉 4 3 𝑇4 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑃 ∝ 𝑇4 ⟹ 𝑃𝑇−4 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑃𝑉 4 3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
- 41. Chapter7- Ideal BoseSystems 41
- 42. Chapter7- Ideal BoseSystems 42 0 0
- 43. Chapter7- Ideal BoseSystems 43
- 44. Chapter7- Ideal BoseSystems 44
- 45. Chapter7- Ideal BoseSystems 45 ) 21 ( 2 )( 332 2 Tl cc v g
- 46. Chapter7- Ideal BoseSystems 46
- 47. Chapter7- Ideal BoseSystems 47
- 48. Chapter7- Ideal BoseSystems 48 4 3 2 4 1 ( 1) 1 x x x u x du x dx e dv dx v e e 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 0 00 4 3 0 3 0 0 3 0 3 0 0 3 4 ( ) 1 1 3 4 1 1 3 12 1 1 x x x x x x x x x x x x dx D x x e e x x dx x e e x x dx e x e
- 49. Chapter7- Ideal BoseSystems 49 𝑥 𝑒 𝑥 − 1 = 𝑛=0 ∞ 𝐵 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛! ⟹ 𝐵0 = 1 , 𝐵1 = −1 2 , 𝐵2 = 1 6 , … 0 ∞ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 − 1 = 𝑥 𝑛 1 𝑛 − 𝑥 2(𝑛 + 1) + 𝑘=1 ∞ 𝐵2𝑘 𝑥2𝑘 2𝑘 + 𝑛 2𝑘 ! ⇒ 𝐷 𝑥0 = −3 𝑛=0 ∞ 𝐵 𝑛 𝑥0 𝑛 𝑛! + 12 𝑥0 3 𝑥0 3 1 3 − 𝑥0 2 × 4 + 𝐵2 𝑥0 2 5 × 2 + 𝐵4 𝑥0 4 7 × 4! + ⋯ = −3 𝐵0 + 𝐵1 𝑥0 + 𝐵2 𝑥0 2 2 + ⋯ + 4 − 3 2 𝑥0 + 6 5 𝐵2 𝑥0 2 + 𝐵4 7 × 2 𝑥0 4 + ⋯ = −3𝐵0 + 4 + −3𝐵1 − 3 2 𝑥0 + − 3 2 𝐵2 + 6 5 𝐵2 𝑥0 2 + ⋯ = 1 + 0 − 1 20 𝑥0 2 + ⋯ = 1 − 1 20 𝑥0 2 + ⋯
- 50. Chapter7- Ideal BoseSystems 50
- 51. Chapter7- Ideal BoseSystems 51
- 52. Chapter7- Ideal BoseSystems 52
- 53. Thanks for yourattention Chapter7- Ideal Bose Systems 53
Editor's Notes
- #2 In a world where Einstein’s relativity is true, space has three dimensions, and there is quantum mechanics, all particles must be either fermions (named after Italian physicist Enrico Fermi) or bosons (named after Indian physicist Satyendra Nath Bose). This statement is a mathematical theorem, not an observation from data. But data over the past 100 years seems to bear it out; every known particle in the Standard Model is either a fermion or a boson. An example of a boson is a photon. Two or more bosons (if they are of the same particle type) are allowed to do the same exact thing. For example, a laser is a machine for making large numbers of photons do exactly the same thing, giving a very bright light with a very precise color heading in a very definite direction. All the photons in that beam are in lockstep. Something else you can do with boson particles is form a Bose-Einstein condensate, a phenomenon predicted by Einstein back in the 1920’s but only produced in a definitive way in the 1990’s, in Nobel-Prize winning experiments described in the link above. What these experiments do in making this condensate is cause large numbers of identical boson atoms to all sit as still as a quantum mechanical object possibly can. In principle you could make something similar to a laser out of any boson. This has been done for atoms too. And even more recently, a Bose-Einstein condensate has been made out of photons.
- #5 با در نظر گرفتن اینکه برای V بزرگ طیف حالت های تک ذره 𝜀 𝑝 سیستم تقریباً پیوسته است، جمع های طرف راست روابط بالا را باید با انتگرال جایگزین کرد.اما می دانیم اگر بخواهیم ∑ را به ∫ تبدیل کنیم باید در یک چگالی 𝑎(𝜀) ضرب شود که a(ε) تعداد حالت های مجاز در واحد گستره انرژی درهمسایگی مقدار انرژی مفروض 𝜀 است. چون a(ε) در ε=0، صفر است در تبدیل ∑به ∫ سهم تراز صفر را از دست داده ایم برای رفع این مشکل، قبل از تبدیل ∑به ∫ رابطه ∑ را بصورت زیر می نویسیم؛
- #13 1. طبق بسط روبرو برای z<<1 تابع g𝑣 (z) برای همه 𝑣ها مثل خود z رفتار می کند. 2. همان معادله گاز ایده آل کلاسیکی است، که با پیش بینی ما سازگار است. زیرا z<<1 یعنی دمای بالا یا حد کلاسیکی
- #14 اما اگر معادله حالت گاز را در حالتی کلی برای z های کوچک بخواهیم بدست بیاوریم باید z را بین دو رابطه (III) و (IV) حذف کنیم. برای این کار اول از رابطه (IV) بسطی برای z بر حسب توان های nλ3 بدست می آوریم . بعد این بسط را در رابطه (III) جیگذاری می کنیم تا معادله حالت گاز بدست آید.
- #15 ضریب های al را ضریب های ویریال سیستم می گویند، این ضرایب میزان انحراف از گاز کامل را به ما می دهند.
- #18 حال اگر تعداد واقعی ذرات از این حد بیشتر شوند آنگاه طبیعی است که حالت های برانگیخته به اندازه ایی که می توانند ذره نگه دارند، ذره دریافت می کنند، در حالی که بقیه ذرات به حالت پایه حل داده می شوند (که عملاً گنجایشش نامحدود است):
- #24 The transition line in the figure portrays equation (27). The actual .P,T/-curve follows this line from T D 0 up to T D Tc and thereafter departs, tending asymptotically to the classical limit. It may be pointed out that the region to the right of the transition line belongs to the normal phase alone, the line itself belongs to the mixed phase, while the region to the left is inaccessible to the system. منحنی P-T از T=0 تا T=TC از خط گذار پیروی می کند و از آن به بعد از آن جدا می شود و بطور مجانبی به حد کلاسیکی میل می کند. در T=TC یک نقطه عطف داریم، چون تغییر شیب داریم.