1. Chuyeân ñeà 15: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG
KHOÂNG GIAN
A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN:
PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
TOÏA ÑOÄ ÑIEÅM - TOÏA ÑOÄ VEÙC TÔ
z
I. Heä truïc toaï ñoä ÑEÀ-CAÙC trong khoâng gian
• x'Ox : truïc hoaønh x'
• y'Oy : truïc tung
• z'Oz : truïc cao y'
e3 y
• O : goác toaï ñoä O
e2
• e1 , e2 , e3 : veùc tô ñôn vò e1
x
z'
Quy öôùc : Khoâng gian maø trong ñoù coù choïn heä truïc toaï ñoä Ñeà-Caùc vuoâng goùc Oxyz ñöôïc goïi laø
khoâng gian Oxyz vaø kyù hieäu laø : kg(Oxyz)
II. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô:
1. Ñònh nghóa 1: Cho M ∈ kg(Oxyz) . Khi ñoù veùc tô OM ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo
z e , e , e bôûi heä thöùc coù daïng : OM = xe + ye + ye vôùi x,y,z ∈ .
1 2 3 1 2 3
M Boä soá (x;y;z) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M.
y Kyù hieäu: M(x;y;z)
( x: hoaønh ñoä cuûa ñieåm M; y: tung ñoä cuûa ñieåm M, z: cao ñoä cuûa ñieåm M )
O
x
ñ/n
M ( x; y; z) ⇔ OM = xe1 + ye2 + ze3
• YÙ nghóa hình hoïc:
z
R M2
M3 z M
O y y x = OP ; y= OQ ; z = OR
x Q
p M1
x
117

2. 2. Ñònh nghóa 2: Cho a ∈ kg(Oxyz) . Khi ñoù veùc tô a ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo
e1 , e2 , e3 bôûi heä thöùc coù daïng : a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 vôùi a1 ,a2 ∈ .
Boä soá (a1;a2;a3) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô a .
Kyù hieäu: a = (a1; a2 )
ñ/n
a=(a1;a2 ;a3 ) ⇔ a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3
II. Caùc coâng thöùc vaø ñònh lyù veà toaï ñoä ñieåm vaø toaï ñoä veùc tô :
Ñònh lyù 1: Neáu A( x A ; y A ; zA ) vaø B(x B ; yB ; zB ) thì
AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − zA )
Ñònh lyù 2: Neáu a = (a1; a2 ; a3 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) thì
⎧a1 = b1
⎪
* a = b ⇔ ⎨a2 = b2
⎪a = b
⎩ 3 3
* a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 )
* a − b = (a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 )
* k .a = (ka1; ka2 ; ka3 ) (k ∈ )
III. Söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô:
Nhaéc laïi
• Hai veùc tô cuøng phöông laø hai veùc tô naèm treân cuøng moät ñöôøng thaúng hoaëc naèm treân hai ñöôøng
thaúng song song .
• Ñònh lyù veà söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô:
Ñònh lyù 3 : Cho hai veùc tô a vaø b vôùi b ≠ 0
a cuøng phöông b ⇔ ∃!k ∈ sao cho a = k .b
Neáu a ≠ 0 thì soá k trong tröôøng hôïp naøy ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:
k > 0 khi a cuøng höôùng b
k < 0 khi a ngöôïc höôùng b
a
k =
b
Ñònh lyù 4 : A, B, C thaúng haøng ⇔ AB cuøng phöông AC
118

3. Ñònh lyù 5: Cho hai veùc tô a = (a1; a2 ; a3 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) ta coù :
⎧a1 = kb1
⎪
a cuøng phöông b ⇔ ⎨a2 = kb2 ⇔ a 1 : a2 : a3 = b1 : b2 : b3
⎪a = kb
⎩ 3 3
IV. Tích voâ höôùng cuûa hai veùc tô:
Nhaéc laïi:
a.b = a . b .cos(a, b)
2 2
a =a
a⊥b ⇔ a.b = 0
Ñònh lyù 6: Cho hai veùc tô a = (a1; a2 ; a2 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) ta coù :
a.b = a1b1 + a2 b2 + a3b3
Ñònh lyù 7: Cho hai veùc tô a = (a1; a2 ; a3 ) ta coù :
a = a12 + a22 + a32
Ñònh lyù 8: Neáu A( x A ; y A ) vaø B(x B ; yB ) thì
AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 + (zB − zA )2
Ñònh lyù 9: Cho hai veùc tô a = (a1; a2 ; a3 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) ta coù :
a⊥b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0
Ñònh lyù 10: Cho hai veùc tô a = (a1; a2 ; a3 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) ta coù :
a.b a1b1 + a2 b2 + a3b3
cos(a, b) = =
a.b a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32
V. Ñieåm chia ñoaïn thaúng theo tyû soá k:
Ñònh nghóa : Ñieåm M ñöôïc goïi laø chia ñoaïn AB theo tyû soá k ( k ≠ 1 ) neáu nhö :
MA = k.MB
• • •
A M B
119

6. 3. Veùc tô phaùp tuyeán ( VTPT) cuûa maët phaúng : n
α
ñn ⎧ n ≠ 0
⎪
n laø VTPT cuûa maët phaúng α ⇔ ⎨
⎪n coù giaù vuoâng goùc vôùi mpα
⎩
Chuù yù:
• Moät maët phaúng coù voâ soá VTPT, caùc veùc tô naøy cuøng phöông vôùi nhau.
• Moät maët phaúng hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát moät ñieåm thuoäc noù vaø moät caëp VTPT cuûa noù.
4. Caùch tìm toïa ñoä moät VTPT cuûa maët phaúng khi bieát caëp VTCP cuûa noù:
⎧a = (a1; a2 ; a3 )
⎪
Ñònh lyù: Giaû söû maët phaúng α coù caëp VTCP laø : ⎨ thì mp α coù moät VTPT laø :
⎪
⎩ b = (b1; b2 ; b3 )
⎛a a3 a3 a1 a1 a2 ⎞
n = ⎡ a; b ⎤ = ⎜ 2
⎣ ⎦ ; ; ⎟
⎝ b2 b3 b3 b1 b1 b2 ⎠
n = [a , b ]
a
b
α
BAØI TAÄP ÖÙNG DUÏNG:
Tìm moät VTPT cuûa maët phaúng α bieát α ñi qua ba ñieåm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1)
II. Phöông trình cuûa maët phaúng :
Ñònh lyù 1: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình maët phaúng α ñi qua ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù moät
VTPT n = ( A; B; C ) laø:
n = ( A; B ; C )
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
α M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )
n = ( A; B ; C )
z
Ñònh lyù 2: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình daïng : α
M0
y
Ax + By + Cz + D = 0 vôùi A2 + B2 + C 2 ≠ 0
laø phöông trình toång quaùt cuûa moät maët phaúng . x
122

7. Chuù yù :
• Neáu (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì (α ) coù moät VTPT laø n = ( A; B; C ) (Oyz )
• M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 ⇔ Ax 0 + By0 + Cz0 + D = 0 z
Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät:
1. Phöông trình caùc maët phaúng toïa ñoä: y
• (Oxy):z = 0 O
• (Oyz):x = 0 (Oxz )
x
• (Oxz):y = 0
2. Phöông trình maët phaúng theo ñoaïn chaén:
⎧ A(a; 0; 0) (Oxy )
⎪
• Phöông trình maët phaúng caét caùc truïc Ox, Oy, Oz taïi ⎨ B(0; b; 0) (a,b,c ≠ 0)
⎪C (0; 0; c)
⎩
x y z C
laø: + + =1
a b c
c
O b
a B
BAØI TAÄP AÙP DUÏNG:
A
Baøi 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Vieát phöông trình maët phaúng (ABC)
Baøi 2: Cho ñieåm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3)
Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d) ñi qua troïng taâm tam giaùc ABC vaø vuoâng goùc vôùi
maët phaúng chöùa tam giaùc.
III. Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng - Chuøm maët phaúng :
1. Moät soá quy öôùc vaø kyù hieäu:
⎧a1 = tb1
⎪a = tb
⎧(a1 , a2 ,..., an ) ⎪ 2
⎪
2
Hai boä n soá : ⎨ ñöôïc goïi laø tyû leä vôùi nhau neáu coù soá t ≠ 0 sao cho ⎨.
⎩(b1 , b2 ,..., bn ) ⎪.
⎪
⎪an = tbn
⎩
a1 a2 an
Kyù hieäu: a1 : a2 : ... : an = b1 : b2 : ... : bn hoaëc = = ... =
b1 b2 bn
2. Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng:
Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai maët phaúng α , β xaùc ñònh bôûi phöông trình :
(α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = 0 coù VTPT n1 = ( A1; B1; C1 )
( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 coù VTPT n2 = ( A2 ; B2 ; C2 )
n1
n2
n2
n1 n1
α n2
β
α
α
β
β 123