The document discusses geometric and analytical thinking. It defines an ellipse as the set of points where the sum of the distances to two fixed foci is constant. It describes the elements of an ellipse like foci, focal axis, vertices, major and minor axes. It provides the canonical equation of an ellipse with center at the origin and when the focal axis coincides with the y-axis. It then defines a hyperbola as points where the difference between distances to two foci is constant and describes hyperbola elements like foci, vertices, transverse axis, asymptotes. It gives the canonical equation of a hyperbola centered at the origin and with a general equation.

1. Pensamiento geométrico y
analítico
José Alejandro Palacio León
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA (UNAD)
ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACION

2. ELIPSE
Una elipse es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano cartesiano tales
que la suma de las distancias a dos puntos fijos 𝐹1y𝐹2 llamados focos, es
constante.

3. ELEMENTOS DE LA ELIPSE
En una elipse se identifican los siguientes elementos:
Focos: son los puntos fijos 𝐹1y𝐹2
Eje focal o eje principal: es la recta que pasa por los focos.
Centro: es el punto medio del segmento que une los focos.
Eje normal o eje secundario: es la recta perpendicular al eje focal que
pasa por el centro de la elipse.
Vértices: son los puntos 𝑉1 y 𝑉2 en que la elipse corta al eje focal.
Eje mayor: es el segmento que une los vértices.
Eje menor: es el segmento que une los puntos de corte de la elipse con
el eje normal.
Lado recto: es una cuerda perpendicular al eje focal en uno de los focos
y que une dos puntos de la elipse.

4. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN (0, 0)

5. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN (0, 0) Y EJE
FOCAL QUE COINCIDE CON EL EJE Y
Donde a, b son números reales positivos con a > b> 0 y 𝑎
2=𝑏2+𝑐2

6. LA HIPÉRBOLA
Una hipérbola es el lugar
geométrico de los puntos P(x, y)
del plano cartesiano tales que la
diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos llamados focos, es
constante.
Según la definición de hipérbola, si P es
uno de sus puntos y F1 y F2 son los
focos, entonces, se cumple que ld(f1,P) –
d (f2,P)l = 2ª, donde a es un numero real
positivo.

7. CONSTRUCCION DE LA
HIPERBOLA
Para la construcción de
la hipérbola se realiza
los siguientes pasos.

8. ELEMENTOS DE LA
HIPERBOLA
1 Focos: Son los puntos fijos F1 y F2.
2 Eje focal: recta que pasa por los
dos focos.
3 Vértices: puntos de la hipérbola que
están sobre el eje focal V1 y V2.
Eje
4 Transverso: segmento cuyos
extremos son los vértices de la
hipérbola.
5 Centro: punto medio C del eje
transverso.

9. 7 Eje normal: recta perpendicular al
eje focal que pasa por el centro de la
hipérbola.
8 eje conjugado: segmento
perpendicular al eje transverso que
pasa por el centro de la hipérbola; sus
puntos extremos son B1y B2.
9 asíntotas: son las dos rectas que
pasan por el centro de la hipérbola ,
las cuales se aproximan a las ramas
de la hipérbola sin tocarla y se
extienden indefinidamente.
10 lado recto: segmento
perpendicular al eje focal que pasa
por el punto de los focos y que une la
dos puntos de la hipérbole.

10. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA
HIPÉRBOLA
CON CENTRO EN (0, 0)
La ecuación de la hipérbola con centro en
el origen se
determina teniendo en cuenta dos casos:
cuando el eje
focal es el eje x y cuando el eje focal es el
eje y.

12. Ejemplo 1
Hallar la ecuación canónica
de la siguiente hipérbola, las
coordenadas de sus focos y
su excentricidad

13. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA
HIPÉRBOLA CON CENTRO EN
(H, K)

14. Ejemplo
Determinar la ecuación canónica de la
hipérbola que se muestra en la gráfica.

15. ECUACIÓN GENERAL DE
LA HIPÉRBOLA

16. Ejemplo
Dada la ecuación general de la hipérbola
−16𝑥2 + 20𝑦2 + 80𝑥 − 80𝑦 = 0, hallar su
ecuación canónica, su centro y focos