Hinh hoc khong gian

GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
1
Chương
1/
Cho DABC
2/
a)
b)
c)
d)
2 2 2
2
2 4
AB AC BC
AM
+
* = - .
2 2 2
2
2 4
BA BC AC
BN
+
* = - .
A
C
B
R
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
ABC)
b
c
a
A
B C
c b
a
p –
r –

1 1 1
. . .
2 2 2 ABC a b c S a h bh c h D = = =

1 1 1
sin sin sin
2 2 2 ABC S ab C bc A ac B D = = =
 , .
4 ABC ABC
abc
S S p r
R D D = =
 ( )( )( ),
2 ABC
a b c
S p p a p b p c p D
æ + + ö= - - - ç = ÷÷ ççè ø÷
A
B C
c b
a
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos cos
2
2 cos cos
2
2 cos cos
2
b c a
a b c bc A A
bc
a c b
b a c ac B B
ac
a b c
c a b ab C C
ab
+ -
* = + - Þ =
+ -
* = + - Þ =
+ -
* = + - Þ =
A
B C
H M
 ( ) 2 2 2 BC = AB + AC Pitago
 AH.BC = AB.AC
 2 2 AB = BH.BC, AC = CH.CB
 2
2 2 2
1 1 1
, AH HB.HC
AH AB AC
= + =

2
BC
AM =
A
B C
K N
M

2 2 2
2
2 4
CA CB AB
CK
+
* = - .
3/
4/
 2
vuông.
 u:
. 3
4
SD =

. 3
2
hD =

 2 .


S
1
2
= + x


2
2
/ /
AMN
ABC
AM AN MN
MN BC k
AB AC BC
S AM
k
S AB
D
D
* Þ = = =
æ ö
* = ç ÷÷ = çç ÷çè ø÷
A
B C
M N
A C
B
1
.
2 ABC S AB AC D Þ =
A
B
C
a
h
2 3
4
3
2
ABC
a
S
a
h
D
ìïï
= ïïï
Þ íïï
= ïïï
î
A B
D C
a
O
2
2
HV S a
AC BD a
ì = ïïï
Þ íï
= = ïï
î
A
B H C
D
( ).
2
AD BC AH
S
+
Þ =
A
B
D
C .
1
.
2 H T hoi Þ S = AC BD
2

1/ d // mp(a) (d Ë (a ))
 d // d ' d ' Ì (a)
 d Ì (b) (b ) // (a )
 d (a ) .
2/ mp(a) // mp(b )
 minh mp(a) mp (b ).
 mp(a) mp (b )
3/
 Hai mp(a),(b ) song song a,b
(a) Ç(b)= Sx // a // b .

( )
( )
//
//
( )
( )
a mp
b a
a mp
a
a b
b
ìïï
ï Þ Ç = íï
Ì ïï
î
.




4/ d ^ mp (a )
 d mp(a) .

( )
// '
'
d d
d mp a
ìïï
ï Þ íï
^ ïï
î
d ^ mp (a )

( )
( ) // ( )
d mp
mp mp
b
b a
ìï
^ ïï
Þ íïïï
î
d ^ mp (a )

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
P
P d P
d
a
b
a b
ìï
^ ïïï
ï ^ Þ ^ íïïï
Ç = ïï
î

5/ d ^ d '
 d ^ (a ) (a )É d ' .

 d d ' 0 90 .

6/ mp(a ) ^ mp(b )

( )
( )
( ) ( )
d
mp mp
d
a
a b
b
ìï
É ïï
Þ ^ íï
^ ïï
î

 0 90 .


// ¶ ·
//
'
( , ) ( ', ')
'
a a
a b a b
b b
f
ìïï
Þ = = íïïî
d mp (a )

( ) · ·
d, a (d,d ') f
é ù
ê ú= =
êë úû
d ' d lên mp(a) ).
mp (a ) mp (b )
 u ,
2
( ) · ( ) ¶
(a ); b = (a,b) = f

d (M,D)= MH
:

song song


 d mp (a )
d ' d .
 (a ),(b )
d d ' .

a
b
a '
b '


d
d '
 

a b
u
d M
d '
M
M
D H
M d
d '

S
A
B
C
O H
A
B C
D
S
O
H
1/ .
.
:


2/
a/ S.ABC
 ABC .
 S .
 SO .

· · ·
SAO = SBO = SCO .

·
SHO .

2 1 3
, ,
3 3 2
AB
AO = AH OH = AH AH = .

+
+
b/ S.ABCD .
 ABCD
 S .
 SO .

· · · ·
SAO = SBO = SCO = SDO .

·
SHO .
1/ :
S.ABC
SA ^ (ABC ) SA .
2/ :
S.ABCD (SAB )
(ABCD)
DSAB .
3/ :
S.ABCD
(SAB ) (SAD)
(ABCD) SA .
:
S.ABCD
ABCD

SO .

A
B
:
1
.
3
V = B h
B :
h :
: V = B.h
B :
h :
bên.
: V = a.b.c
Þ : 3 V = a
: . ' ' '
.
' ' '
. . S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC
=
5/
( ' ')
3
h
V = B + B + BB
B,B ',h
 .
+
+

C
D
S
O
A C
B
B’
’ ’
A
B
C
’
B’
’
a
b
c
a
a
a
S
’ B’
’
A B
C


 .
B
Tính th S.ABC .
( ) .
1
. . 1
3 S ABC ABC V S SA D =
SA = a (2)
ABC SD
?
TrongDABC B
0 0
0 0
sin 30 . sin 30
2
3
cos 30 . cos 30
2
BC a
BC AC
AC
AB a
AB AC
AC
ìï ìïï = ïï = = ïï ï ï Û ï í í
ïï ïï ï = ï = = îïï îïï
( )
2 1 1 3 3
. . . 3
2 2 2 2 8 ABC
a a a
S AB BC D Þ = = =
* Thay(2),(3) ( )
2 3
.
1 3 3
1 .
3 8 24 S ABC
a a
Þ V = ×a = (4)
ng cách t A nmp (SBC ).
( ) ( ) ( ) .
.
1 3.
, . , 5
3
S ABC
S ABC SBC
SBC
V
V d A SBC S d A SBC
S D
D
= é ù Þ é ù= êë úû êë úû
* DSBC ?
( )
BC AB
BC mp SAB BC SB SBC
BC SA
ìï
ï ^ Þ ^ Þ ^ Þ D íï
^ ïî
B .
2 2
2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3
. . . . .
2 2 2 2 2 SBC
a a
S BC BS AC AB SA AB a a D
æ ö æ ö
ç ÷÷ ç ÷÷ Þ = = - + = - çç ÷ + çç ÷ çç ÷÷ çç ÷÷ è ø è ø
. Cho hình chóp S.ABC i
· 0 B,BAC = 30 ,SA = AC = a và SA vuông
góc v imp (ABC ).Tính S.ABC và kho ng cách t A nmp (SBC ).
S
A C
B
300
a
 .
 .

( )
2 1 7 7
6
2 2 2 8
a a a
= × × = .
(4),(6) (5) ( )
3
2
3 8 21
, 3
24 7 7
a a
d A SBC
a
Þ é ù= × × = êë úû
.
B

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SAB SAD SA
ìï
^ ïïï
^ Þ ^ íïï
Ç = ïï
î
.
Þ SC lênmp(ABCD) AC .
( ) · · 0 SC, ABCD SCA 60
é ù
Þ ê ú= =
êë úû
.
 : ( ) .
1
. 1
3 S ABCD ACBD V = SA S .
 SA ?
TrongDSAC A :
· ·
tan . tan
SA
SCA SA AC SCA
AC
= Þ = ( ) 2 2 0 2 2 = AB + BC . tan 60 = a + (2a) . 3 = a 15 2 .
 ( ) 2 . .2 2 3 ABCD S = AB BC = a a = a .
 Thay(2),(3) ( )
3
2 1 2 15
1 15 2
3 3 ABCD
a
Þ V = ×a × a =
B
a/ CM: SI ^ mp(ABC)
 DoDSAB SI Þ SI
Þ SI ^ AB .
 ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
SAB ABC
AB SAB ABC SI mp ABC
AB SI SAB
ìï
^ ïïï
= Ç Þ ^ íïï
^ Ì ïï
î
b/ S.ABC
 K AC .
. Cho hình chópS.ABCD có áyABCD là hình ch nh t cóAB = a,BC = 2a . Haimp (SAB )và
mp (SAD) vuông góc v , c nhSC h p v i áy m t góc 0 60 . Tính th tích kh i
chópS.ABCD theoa .
S
A D
B C
600
. Hình chópS.ABC cóBC = 2a ABC là tam giác vuông t iC,SAB là tam giác vuông cân
t iS và n m trong m t ph ng vuông góc v i m i I m c nhAB .
a/ Ch ng minh r ng th ngSI ^ mp(ABC ).
b/ Bi tmp (SAC )h p v imp (ABC )m t góc 0 60 . Tính th tích kh i chópS.ABC .
S
A B
C
I
K
600
2a

Þ SK DSAC Þ SK ^ AC .
 TrongDABC C KI
KI //BC
KI AC
BC AC
ìïï
Þ Þ ^ íï
^ ïî
.
 ( ) ( ) · · 0
( ) ( ) { }
( ) ; 60
( )
mp ABC mp SAC AC
KI AC mp ABC mp SAC mp ABC SKI
SK AC mp SAC
ìï
^ = ïï
ï é ù Þ í ^ Ì Þ ê ú= =
ïï êë úû ^ Ì ïïî
.
 ( ) .
1
. 1
3 S ABC ABC V S SI D =
 SI ?
TrongDSKI I
· · ( ) 0 1
tan . tan . . tan 60 3 2
2
SI
SKI SI IK SKI BC a
IK
= Þ = = = .

ABC SD
?
( )2
2 2 2 1 1 1
. . . . . . 2
2 2 2 ABC S BC AC BC AB BC BC SI BC D = = - = -
( ) ( ) ( )
2 2
2 1
.2 . 2 3 2 2 2 3
2
= a a - a = a .
 (2),(3) ( )
3
2
.
1 2 6
1 .2 2. 3
3 3 S ABC
a
Þ V = a a =
B
S.ABCD
 G iO là tâm c a m hìSO ^ mp(ABCD)
nênSO ng cao c iM là trung
nCD .

· 0
( )
( ) 60
( ) ( )
CD SM SCD
CD OM ABCD SMO
CD SCD ABCD
ìï
^ Ì ïïï
^ Ì Þ = íïï
= Ç ïï
î
(góc gi a m t(SCD) và m
 T ( ) .
1
. 1
3 S ABCD ABCD V = S SO
 SO ?
TrongDSMO O
·
tan
SO
SMO
OM
=
· ( ) 0 . tan . tan 60 3 2
2
BC
Þ SO = OM SMO = = a .
 ( ) ( )
2
2 2 2 4 3 ABCD S = BC = a = a .
 (2),(3) ( )
3
2 1 4 3
1 .4 . 3
3 3 ABCD
a
Þ V = a a =
uS.ABCD có c 2a , góc gi a m t bên và m ng 0 60 . Tính th tích c a
hình chópS.ABCD .
S
A
B C
D
O
2a
M
600

.
B
 H,M, I
AB,AC,AM .
 ( ) . ' ' ' . . ' 1 ABC A B C ABC V B h S A H D = =
 DoDABC ( )
2 2 . 3 3
2
4 4 ABC
BC a
SD = = .
 A 'H ?
DoIH DAMB
BM
:
IH // MB
IH AC
MB AC
ìïï
Þ ^ íï
^ ïî
( )
'
' '
AC A H
AC A HI AC A I
AC IH
ìï
ï ^ Þ ^ Þ ^ íï
^ ïî
( ) ( ) · · 0
( ) ( ' ') { }
( ) ' ' ; ' 60
' ( ' ')
ABC ACC A AC
AC IH ABC ACC A ABC A IH
AC A I ACC A
ìï
Ç = ïï
ï é ù í ^ Ì Þ ê ú= =
ïï ëê ûú ^ Ì ïïî
.
Trong DA 'HI H ( ) o 0 ' 1 3
tan 45 ' . tan 45 3
2 4
A H a
A H IH IH MB
HI
= Þ = = = = .
 Thay(2),(3) ( )
2 3
. ' ' '
3 3 3
1 .
4 4 16 ABC A B C
a a a
Þ V = = .
B
 Do
BC AB
BC A B
BC AA
ìï
ï ^ í Þ ^ ¢
ï ^ ¢ ïî
.
 Và
·
( )
( ) '
( ) ( ' )
BC AB ABC
BC AB A BC ABA
BC ABC A BC
ìï
^ Ì ïïï
¢ ^ Ì Þ íïï
= Ç ïï
î
là góc gi a(ABC) và(ABC) .
 Ta có:
1 2. 2. 2 3
. 2 3
2
A BC
A BC
S a
S A B BC A B a
BC a
D ¢
D ¢
= ¢ Þ ¢ = = = .
·
·
0
0
. cos 2 3. cos 30 3
. sin 2 3. sin 30 3
AB A B ABA a a
AA A B ABA a a
= ¢ ¢= =
¢= ¢ ¢= =
. Cho hình tr ABC.A 'B 'C ' ABC u c nh b nga . Hình chi u vuông góc c a
A ' xu ngmp (ABC ) m c aAB . M t bên(AA 'C 'C )t o v t góc b ng 45o .
Tính th tích c a kh này.
’ B’
’
A B
C
M
I
H
a
ngABC.A 'B 'C ' ABC là tam giác vuông t iB,BC = a ,mp(A 'BC )
t o v t góc 0 30 và DA 'BC có di n tích b ng 2 a 3 . Tính th tích kh .
B
’ ’
B’
A C
30o
a

 V y:
3
. ' ' '
1 1 3 3
. . . . . .3 . . 3
2 2 2 ABC A B C ABC
a
V = B h = S AA¢= AB BC AA¢= a a a = .
B
 Ta có: ( )
AB AC
AB ACC A
AB AA
ìï
ï ^ í Þ ^ ¢ ¢
ï ^ ¢ ïî
AC ¢là hình chi u vuông
góc c a BC ¢ lên (ACC ¢A¢) .
T aBC ¢và (ACC ¢A¢) là
· 0 BC ¢A = 30 .
 Trong tam giác vuôngABC : 0 AB = AC. tan 60 = a 3 .
 Trong tam giác vuôngABC ' : 0 AC ¢= AB.cot 30 = a 3. 3 = 3a .
 Trong tam giác vuông ACC ' : 2 2 2 2 CC ' = AC ' - AC = (3a) - a = 2a 2 .
 V y, th là: 1 1 3
. . . ' . 3. .2 2 6
2 2
V = B h = AB AC CC = a a a = a .
B
.
 ( )
BC AB
BC SBA BC SB
BC SA
ìï
ï ^ Þ ^ Þ ^ íï
^ ïî
.
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) · · 0 ; 30
SBC ABC BC
BC SB SBC SBC ABC SBA
BC AB ABC
ìï
Ç = ïï
ïï é ù Þ í ^ Ì Þ ê ú= =
ï ê ú ë û ïï
^ Ì ïï
î
.
 MN // BC . DoBC ^ (SBA) nên MN ^ (SBA)
MN DSBC (1)
2 2
BC a
Þ MN = =
 ( ) . .
1
. . 2
3 S ABM M SAB SAB V V S MN D = = .

SAB SD
?
TrongDSAB A 0 0 3
tan 30 . tan 30
3
SA a
SA AB
AB
= Þ = = .
( )
2 1 1 3 3
. . . . 3
2 2 3 6 SAB
a a
S SA AB a D Þ = = =
. Cho ngABC.A 'B 'C ' ABC là tam giác vuông t i
· 0 A,AC = a,ACB = 60 .
ng chéoBC ' c a m t bên (BC 'C 'C ) t o v i m t ph ng mp(AA 'C 'C ) m t góc 0 30 . Tính th
tích c a kh theo a .
B’
A C
B’
A’ C’
a 600
30o
. ,B,D – 2011)
S.ABC ABC B,AB = a,SA ^ (ABC )
mp (SBC ) mp (ABC ) 0 30 M SC
S.ABM theo a .
B
A
S
M
C
30o
N

 (1);(3) ( )
2 3
. .
1 3 3
2 . .
3 6 2 36 S ABM M SAB
a a a
Þ V = V = =
.

3
.
1 1 1 3 3
. . . . .
3 3 2 3 18 S ABC ABC
a a
V S SA a a D = = =

3
. .
.
.
2 3
. . 2
2 36
S ABC S ABC
S ABM
S ABM
V SA SB SC SM V a
V
V SA SB SM SM
= = = Þ = =
B
 :
( ) ( ) { }
( )
( )
SBC ABC BC
AB SBC
BC AB ABC
ìï
^ = ïï
Þ ^ íï
^ Ì ïï
î
.
 S.ABC :
. .
1
. .
3 S ABC A SBC SBC V V S AB D = = .
· 0 2 1 1
. . . sin .4 .2 3. sin 30 2 3
2 2 SBC S BC BS SBC a a a D = = =
( ) 2 3
. .
1
.2 3.3 2 3 1
3 S ABC A SBC Þ V = V = a a = a
 B nmp (SAC ) ?
 ( ) . .
1
. . ;
3 S ABC B SAC SAC V V S d B SAC D
= = é ù êë úû
( ) ( ) . 3.
; 2 S ABC
SAC
V
d B SAC
SD
Þ é ù= êë úû
.
 ( ) 2 2 2 2 2 2 AB ^ SBC Þ AB ^ SB Þ SA = AB + SB = 9a + 12a = 21a .
 DSBC :
2 2 2 · SC = BC + BS - 2.BC.BS. cosSBC
2 2 2 2 3
16 12 2.4 .2 3. 4
2
Þ SC = a + a - a a = a .
 TrongDABC B : 2 2 2 2 2 2 AC = AB + BC = 9a + 16a = 25a .
 2 2 2 2 2 2 SA + SC = 21a + 4a = 25a = AC Þ DSAC S .
 SAC ( ) 2 1 1
. . .2 . 21 21 3
2 2 SAC S SC SA a a a D = = = .
 Thay(1),(3) ( ) ( )
3
2
3.2 3 6 7
2 ;
21 7
a a
d B SAC
a
Þ é ù= = êë úû
.
10. – 2009)
S.ABCD A D, AB = AD = 2a, CD = a
mp (SBC ) mp(ABCD) 0 60 I AD B mp (SBI )
mp (SCI ) mp(ABCD) S.ABCD
. – 2011)
S.ABC ABC B,BA = 3a,BC = 4a ,(SBC ) ^ (ABC )
B
· 0 SB = 2a 3,SBC = 30 S.ABC B mp (SAC )
S
C
B
A
4a 3a
2a 3
0 30

B
 mp(SBI ) mp (SCI ) mp(ABCD) SI ^ (ABCD).
 IH ^ BC Þ SH ^ BC

· 0 SHI = 60 mp (SBC ) mp (ABCD).
 S.ABCD : ( ) .
1
. . 1
3 S ABCD ABCD V = S SI .
 SI ?
TrongDSIH I 0 SI = IH. tan 60 = IH. 3 .
M,N AB,BC .
IN ABCD
.
1 2 3
. . ?
3 2 2 2 S ABCD ABCD
AB CD a a a
V S SI IN
+ +
= = = = .
:
· ·
IH = IN. cosHIN = IN. cosMCB (do
·
HIN
·
MCB
.
·
. cos .
MC
IH IN MCB IN
BC
Þ = =
2 2 2 2
3 2 3 5
. .
2 4 5
AD a a a
IN
MB MC a a
= = =
+ +
.
( )
3 5 3 15
. 3 . 3 2
5 5
a a
Þ SI = IH = = .

ABCD S ?
( ) ( )
( ) 2
2 .2
3 3
2 2 ABCD
DC AB AD a a a
S a
+ +
= = = .
 Thay(2),(3) ( )
3
2
.
1 3 15 3 15
1 . .3
3 5 5 S ABCD
a a
Þ V = a =
B
 H AD SH ^ AD .
 Do (SAD) ^ (ABCD)nênSH ^ (ABCD).
DSAD
3
2
a
Þ SH = .
S
D
A M B
C
N
H
I
600
11. – 2007)
S.ABCD ABCD a SAD
ABCD M,N,P SB,BC,CD
CMNP .
S
H
A
D C
B
M
N
P
K

 MK // SH (K Î HB)
Þ MK ^ (ABCD)
3
2 4
SH a
MK= = .

1
. .
3 CMNP CNP V S MK D =
2 3 1 3 . 3
. .
3 8 4 96
a a a
= =
B
 O ABCD .
 TrongDSAC NO
( )
( )
NO // SA
NO ABCD
SA ABCD
ìïï
ï Þ ^ íï
^ ïï
î
Þ NO ^ (ABI ) hayNO
ANIB .
(1)
2 2
SA a
NO= =
 : ( ) .
1
. . 2
3 ANIB N AIB AIB V V S NO D = = .
 ? AIB SD =
DoI DABD nên:
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 3
.
3 3 2 3 3 3 3
2 2 2 6
. . .
3 3 3 2 3
AC AC AD DC AD AB a
AI AO
AD a
BI BM AB AM AB
ìï
+ + ïï
= = = = = = ïïï
Þ íï
ï æ öï = = + = + ç ÷÷ = ï çç ÷ï çè ÷ø ïî
:
2 2
2 2 2 2 3 6
3 3
a a
AB a AI BI AIB
æ ö æ ö
ç ÷÷ ç ÷÷ = = çç ÷ + çç ÷ = + Þ D çç ÷÷ çç ÷÷ è ø è ø
I .
( )
2 1 1 3 6 2
. . . . 3
2 2 3 3 6 AIB
a a a
S AI BI D Þ = = = .
 Thay(1),(3) ( )
2 3
.
1 2 2
2 . .
3 6 2 36 N AIB
a a a
Þ V = =
2. – 2006)
S.ABCD ABCD AB = a,AD = a 2,SA = a SA
M,N AD,SC I
BM AC ANIB .
A B
D C
M
I
S
A
D C
B
M
N
I
O
3. – 2009)
ABC.A 'B 'C ' BB ' = a BB ' mp (ABC )
0 60 ABC C
· 0 BAC = 60 B ' lên
mp (ABC ) DABC A 'ABC theo a .

B
 M,N AB,AC G DABC .
 Do B ' lên mp (ABC ) G nênB 'G ^ (ABC )
( ) · · 0 BB; ABC B 'BG 60
é ù
Þ ê ú= =
êë úû
.
 ( ) '
1 1
. . ' . . . ' 1
3 6 A ABC ABC V S B G AC BC B G D = = .
 B 'G ?
Trong DB 'BG G
· 0 B 'BG = 60 BB ' = a
; ' 3 (2)
2 2
Þ BG = a B G = a .
 AB,BC ?
AB = 2x . TrongDABC C
· 0 BAC = 60
BC .
, 3
2
AB
Þ AC = = x BC = x
DoG DABC
3 3
2 4
a
Þ BN = BG = .
TrongDBNC C : 2 2 2 BN = NC + BC
( )
2 2 2
2 2
3
9 9 3 2 13
3 3
16 4 52 2 13 3 3
2 13
a
AC
a x a a
x x x
a
BC
ìïï
= ïïï
Û = + Û = Þ = Þ ïíïï
= ïïïï
î
 (2),(3) ( )
3
'
1 3 3 3 3 9
1 . . .
6 2 13 2 13 2 108
A ABC
a a a a
Þ V = = .

+
+

+
+

B ’ B’ ’ B . ' ' '
.
' ' '
. . S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC
= .
’
B’
C’
A
B
C
G
N
M
600
B
A C N
M
G

:
’ ’ B
’ ’
' '
. ' ' ' ' ' '
. .
1
. ' '
3
1
.
3
SB C
S A B C A SB C
S ABC A SBC
SBC
V V S A H
V V
S AH
D
D
= =
( )
1
' . ' . sin . ' '
2 ' . ' . '
1 . .
. . sin .
2
SB SC A H
SB SC SA
Ðpcm
SB SC SA
SB SC AH
a
a
= = Þ .
· ·
a = B 'SC ' = BSC .
’ B’ ’ A º A ',B º B ',C º C ' .
S
’ B’
’
A B
C
H
’

B
a/ S.ABC .
.
1
. .
3 S ABC ABC V S SA D = SA = a .
DABC vuông B AC = a 2 nên DABC
AC = a 2 Þ AB = BC = a .
2 1
.
2 2 ABC
a
S AB BC D Þ = = .
( )
2 3
.
1 1
. . . .
3 3 2 6 S ABC ABC
a a
V S SA a Ðvtt D = = = .
b/ S.AMN .
BC ,G DSBC .
2
3
SI
SG
= .
Do ( ) // //
2
3
SM SN SG
mp BC MN BC
SB SC SI
a Þ Þ = = = .
( )
3 3
.
. .
.
4 4 4 2
. . .
9 9 9 6 27
S AMN
S AMN S ABC
S ABC
V SM SN a a
V V Ðvtt
V SB SC
Þ = = Þ = = = .
B
 ( ) . . . . . . 1 A BCKH S AHK S ABC A BCKH S ABC S AHK V + V = V Þ V = V - V .
 DoDABC a SA = 2a nên:
( )
2 3
.
1 1 3 3
. . . .2 2
3 3 4 6 S ABC ABC
a a
V S SA a D = = = .
 .
2 2
.
. .
. . . S AHK
S ABC
V SA SH SK SH SB SK SC
V SA SB SC SB SC
= =
2 2 4
2 2 2 2 2 2
16 16
.
5 .5 25
SA SA a
SA AB SA AC a a
= = =
+ +
.
( ) . .
16
. 3
25 S AHK S ABC Þ V = V .
4 S.ABC DABC B,AC = a 2,SA ^ mp(ABC ),SA = a .
S.ABC .
G DSBC , mp (a ) AG BC SC,SB
M,N S.AMN .
S
A
B
C
M
N
G
I
15. – 2006)
pS.ABC DABC a SA ^ (ABC ),SA = 2a H,K
A SB,SC A.BCKH theoa .
S
A
B
C
H
a
K
2a

 ( ) ( ) ( ) ( )
3
. . . .
16 9 3 3
1 , 2 , 3 . .
25 25 50 A BCKH S ABC S ABC S ABC
a
Þ V = V - V = V = Ðvtt .
B
 MN // CD (N Î SD) ABMN (ABM).
 .
.
1
2
S ABN
S ABD
V SN
V SD
= = .
( ) . . .
1 1
1
2 4 S ABN S ABD S ABCD Þ V = V = V .
 .
.
1 1 1
. .
2 2 4
S BMN
S BCD
V SM SN
V SC SD
= = = .
( ) . . .
1 1
2
4 8 S BMN S BCD S ABCD Þ V = V = V .
 ( ) . . . 3 S ABMN S ABN S BMN V = V + V .
 ( ) ( ) ( ) . .
3
1 , 2 , 3
8 S ABMN S ABCD Þ V = V .
ABCDNM S .ABCD S .ABMN Þ V = V - V .
. . .
3 5
8 8 ABCDNM S ABCD S ABCD S ABCD Þ V = V - V = V .
. 3
5
S ABMN
ABCDNM
V
V
Þ = .
B
 I = SO ÇAM (AEMF) // BD Þ EF // BD .

.
1
. .
3 S ABCD ABCD V = S SO 2
ABCD S = a .
TrongDSOA 0 6
. tan 60
2
a
SO = AO =
3
.
6
6 S ABCD
a
Þ V = .

. 2 S AEMF SAMF SAME SAMF V = V + V = V
. 2 2 S ABCD SACD SABC V = V = V
S.AMF S.ACD
1
2
SM
SC
=
DSAC I ,
16 S.ABCD (a )quaA,B M SC
S
A
C B
M
N
D
17. Cho hình chóp t u S.ABCD à hình vuông c nh a , c nh bên t o v c 600 . G i
M m SC . M t ph AM và song song v iBD , c tSB t iE và c tSD t iF
S.AEMF .

//
2 1
.
3 3
SAMF
SACD
SI SF V SM SF
EF BD
SO SD V SC SD
Þ = = Þ = = .
( )
3 3 3
. .
1 1 6 6 6
2.
3 6 36 36 18 SAMF SACD S ABCD S AEMF
a a a
Þ V = V = V = Þ V = = Ðvtt .
B
 O,H ABCD AB .
 Do MS = MA Þ d éA,(MNP )ù= d éS,MNP ù êë úû êë úû
( ) . . 1 A MNP S MNP Þ V = V .
 .
.
1
. .
4
S MNP
S ABP
V SM SN SP
V SA SB SP
= = .
. .
1 1 1 1 1
. . . . . .
4 4 3 12 2 S MNP S ABP ABP V V S SO AB HP SO D Þ = = =
( ) ( )
2 3
2
.
1 6
. . . 2
24 2 48 S MNP
a a
Þ V = a a a - = Ðvtt .
 ( ) ( ) ( )
3
.
6
1 , 2
48 A MNP
a
Þ V = Ðvtt .

3V
h
B
= V ,B,h
V
h
S
=
 :
 :

o AB // mp (P ) mp (P ) CD d (AB,CD)= d éêAB,(P )ùú ë û
.
o mp(P) // mp (Q) mp(P ),mp (Q) AB CD
d (AB,CD)= d éêëmp (P ),mp (Q)ùúû
.
o
 S
S
S ' ¹ S
S S
. – 2008)
S.ABCD AB = a SA = a 2 M,N,P
SA,SB,CD AMNP .
M
A
B
N
C
D
S
H O P

B
 ( )
DC AD
DC SAD DC SD
DC SA
ìï
ï ^ Þ ^ Þ ^ íï
^ ïî
.
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ¼ · 0 , 60
SCD ABCD DC
DC SD SCD SCD ABCD SDA
DC AD ABCD
ìï
Ç = ïï
ïï é ù ^ Ì Þ = = ê ú íï
ê ú ë û ïï
^ Ì ïï
î

.
1
.
3 S ADC ADC V S SA D =
2 1
.
2 2 ADC
a
S AD DC D = = .
0 0 tan 60 . tan 60 3
SA
SA AD a
AD
= Þ = =
3
.
3
6 S ADC
a
Þ V = .
 ( ) ( ) .
. .
1 3
. , ,
3
S ADC
S ADC A SDC SDC
SDC
V
V V S d A SDC d A SDC
S D
D
= = é ùÞ é ù= êë úû êë úû
.
( ) . .
2 2
6 6 3
,
. . 2
S ADC S ADC V V a
d A SDC
DC SD DC SA AD
Þ é ù= = = êë úû
+
.
B
 2 2 2 2 2 2 AB + AC = 3 + 4 = 5 = BC Þ DABC A .
( ) 2 1 1
. .3.4 6
2 2 ABC S AB AC cm D Þ = = = .
( ) 3 1 1
. .6.4 8
3 3 ABCD ABC V S DA cm D Þ = = = .
 ( ) 2 2 2 2 BD = AB + AD = 3 + 4 = 5 cm
( ) 2 2 2 2 DC = AC + AD = 4 + 4 = 4 2 cm
19 S.ABCD ABCD a , SA ^ (ABCD) (SCD)
ABCD 0 60 A mp (SCD).
20. – 2002)
ABCD AD mp (ABC ), AC = AD = 4(cm),AB = 3(cm),
BC = 5(cm) A mp (BCD).
S
A D
B C
600
D
A
B C

Nên ( )( )( ) DBC S p p BC p DC p BD D = - - -
5 5 4 2
5 2 2
2 2
BC DC DB
p
+ + + +
= = = + DDBC
( )( )( )( ) ( ) 2 5 2 2 5 2 2 5 5 2 2 4 2 5 2 2 5 2 34 DBC S cm D Þ = + + - + - + - = .
 ( ) ( ) ( ) .
1 3 6 34
. , ,
3 17
ABCD
ABCD A BCD DBC
DBC
V
V V S d A DBC d A DBC cm
S D
D
= = é ùÞ é ù= = êë úû êë úû
.
B
 M BC DABC A nên:
( )
BC AM
BC SM do SA B SA C SBC cân
ìï
ï ^ ïíï
^ D = D Þ D ïï
î

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
SAB SAC SA
SAB ABC SA ABC
SAC ABC
ìï
Ç = ïïï
ï ^ Þ ^ íïïï
^ ïï
î
.
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) · · 0 , 60
SBC ABC BC
BC AM ABC SBC ABC SMA
BC SM SBC
ìï
Ç = ïïï
ï ^ Ì Þ = = íïïï
^ Ì ïï
î
 0 0 2 6
. tan 60 . tan 60 . 3
2 2 2
BC a a
SA = AM = = = .
2 2 1 1
. . .
2 2 2 2 ABC
BC a
S AM BC D = = = ( )
2 3
.
1 1 6 6
. . . .
3 3 2 2 12 S ABC ABC
a a a
V S SA Ðvtt D Þ = = = .
 ( ) ( ) .
. .
1 3
. . , ,
3
S ABC
S ABC A SBC SBC
SBC
V
V V S d A SBC d A SBC
S D
D
= = é ùÞ é ù= êë úû êë úû
.
2
2 2 2 2 1 1 1
. . . .
2 2 2 2 SBC
BC
S SM BC SA AM BC SA BC a D
æ ö
= = + = + ç ÷÷ = çç ÷çè ø÷
( ) 6
,
4
a
Þ d éêA SBC ùú= ë û
.
B
21 S.ABC ABC A (SAB ) (SAC )
(ABC ), cho BC = a 2 (SBC ) (ABC )
0 60 A (SBC ).
22. – 2004)
S.ABCD ABCD SO O
AC BD SO = 2 2,AC = 4,AB = 5 M SC
SA BM .
S
A
B C
M
(doAM DABC cân)
S
C
A B
D
O
M
H

 DoM SC nênOM // SA Þ SA // (OMB).
Þ d (SA,MB)= d éêëSA,(MOB )ùúû= d éêëS,(MOB )ùúû
= d éêëC,(MOB)ùúû (1) (do MS = MC )
.
( ) ( )
1
2 2
2
MH ^ ABCD Þ MH = SO =
 ( ) . .
1 1
. . ,
3 3 C MOB M OBC OBC MOB V V S MH S d C MOB D D
= = = é ù êë úû
( ) ( )
.
, 3 OBC
MOB
S MH
d C MOB
S
D
D
Þ é ù= êë úû
.
 ( ) ( ) ( ) ( )
.
1 , 3 , 4 OBC
MOB
S MH
d SA MB
S
D
D
Þ = .
 ( )
2 2 2 1 1
1
4 . 1 5
2 2
2 2
OBC
OB AB OA OB
AC S OB OC
OC OC
D
ìï
= - = Þ = ïïï
Þ = = íï
= = Þ = ïïï
î
.

OB OC
OB OM MOB
OB SO
ìï
ï ^ Þ ^ Þ D íï
^ ïî
B .
( ) 2 2 1 1 1 1 3
. . . .1. 8 4 6
2 2 2 4 4 2 MOB
SA
S OB OM OB OB SO AO D Þ = = = + = + = .
 Thay(2),(5),(6) ( ) ( ) 2 6
4 ,
3
Þ d SA MB = .
B
 MN // BC Þ MN // (A 'BC ).
Þ d (MN,AC ')= d éêëMN,(A 'BC )ùúû= d éêëM,(A 'BC )ùúû (1)
.
 ( ) ' .
1 1 1 1
. ' . .1.1.1 2
3 3 2 12 A MBC MBC V S A A D = = = .
 CB ^ (BAA 'B)Þ CB ^ BA ' .
Þ DA 'BC B .
 ( ) ( ) ' . . ' '
1
. , ' 3
3 A MBC M A BC A BC V V S d M A BC D
= = é ù êë úû
.
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2
2 , 3 . ' . . , ' . , ' , ' 4
12 3 2 6 4
Þ = A B BC d éêM A BC ùú= d éêM A BC ùúÞ d éêM A BC ùú= ë û ë û ë û
.
 ( ) ( ) ( ) 2
1 , 4 , '
4
Þ d MN AC = .
23. – 2006)
ABCD.A 'B 'C 'D' M,N AB
CD A 'C MN .
B’
’
’
’
A
B C
D
M
N

B
 O M,N AD,BC
·
Þ SNM = a .
 ( ) ( ) ( )
BC MN
BC MNS SBC MNS
BC SO
ìï
ï ^ Þ ^ Þ ^ íï
^ ïî
.
 MH ^ SN (H Î SN ).
Do ( ) ( ) ( )
BC MN
BC MNS SBC MNS
BC SO
ìï
ï ^ Þ ^ Þ ^ íï
^ ïî
Nên
( ) ( )
( )
( )
SBC MNS SN
MH SBC
SN MH MNS
ìï
^ = ïï
Þ ^ íï
^ Ì ïï
î
.
DA // BC Þ AD // mp(SBC )Þ d éêA,(SBC )ùú= d éêM,(SBC )ùú= MH = 2a ë û ë û
.
 c vuôngMHN
2
sin sin
MH a
MN
a a
= = .

sin
: tan .
sin cos cos
a a
SON SO ON
a
a
a a a
= = = .
( )
2
3
2
. 2
1 1 1 2 4
. . . . 1
3 3 3 sin cos 3 sin cos S ABCD ABCD
a a a
V S SO MN SO
a a a a
æ ö
Þ = = = ç ÷÷ = çç ÷çè ø÷
.
 (1)
S .ABCD V ( ) 2 3 f a = sin a.cosa = cos a - cos a

–

B
 :
 :


f (x ), " x Î D
B
S.ABCD A mp (SBC ) 2a
a a
A
D C
B
S
M O N
H

 3 y = x - x (0,1).
 2 3
' 1 3 ' 0
3
y = - x Þ y = Û x = ± .
 B
x
3
3
- 0
3
3
1
y ' 0 + 0 -
y
2 3
9

( )
khi
0;1
2 3 3
max
9 3
y = x = hay ( ) khi
2 3 3
max cos
9 3
f a = a = .
 S.ABCD
3
3 4
2 3
2 3
3.
9
a
= a
3
cos
3
a = .
B
 ( )
BC AC
BC SAC BC SC
BC SA
ìï
ï ^ Þ ^ Þ ^ íï
^ ïî
.

( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) · ·
,
SBC ABC BC
BC SC SBC SBC ABC SCA
BC AC ABC
a
ìï
Ç = ïï
ïï é ù í ^ Ì Þ ê ú= =
ï ê ú ë û ïï
^ Ì ïï
î
.
 DSAC
. sin sin
. cos cos
SA SC a
AC SC a
a a
a a
ìï
= = ïíï
= = ïî
( )
3
2
2 2
.
1 1 1 1
. . . . cos . sin cos . sin
3 3 2 6 6 S ABC ABC
a
V S SA AC SA a a a a a a D Þ = = = = .

S .ABC V ( ) 2 2 2 P = cos a. sin a = 1- sin a . sin a
 ( )
( )( )( ) 2 2 2
2
2 2
1 sin 1 sin 2 sin
sin 0 1 sin sin
2
P
a a a
a a a
- -
> Þ = - = .
 ( )( )( )
( ) ( ) ( )
3
2 2 2
2 2 2
1 sin 1 sin 2 sin 8
1 sin 1 sin 2 sin
3 27
Cauchy a a a
a a a
é - + - + ù ê ú
- - £ ê ú =
ê ú
êë úû
.
S.ABC DABC C SA ^ (ABC ) SC = a
mp (SBC ) mp (ABC ) S.ABC
S
A
C
B

khi 2 2 2
max max
8 2 3 3
1 sin 2sin sin
27 2 3
Þ P = Û P = - a = a Û a = .

S .ABC V
3
27
a
3
sin
3
a = .
. S.ABC ABC B,SA ^ mp(ABC ) B AB = a,
AC = 2a (SBC ) (ABC ) 0 60 S.ABC theoa .
:
3
2
V = a .
S.ABC ABC B,SA ^ (ABC ). Cho AC = a 2 ,
SB = 3a S.ABC .
:
3 2
3
V = a .
S.ABC ABC B,SA ^ (ABC ). ChoAB = a ,BC = a 3
SC mp (ABC ) 0 60 S.ABC .
: 3 V = a .
S.ABC ABC A,SA ^ (ABC ). Cho BC = 2a,SB = a 3
(SBC ) (ABC ) 0 30 S.ABC .
:
3 3
6
V = a .
S.ABCD ABCD a,SA ^ (ABCD) SD
mp (SAB ) 0 30 S.ABCD C mp (SBD).
S.ABCD ABCD a,SA ^ (ABCD), SC mp(ABCD)
0 60 S.ABCD D mp (SBC ).
:
3 42
7
V = a .
. (TN.THPT - 2010)
S.ABCD ABCD a,SA ^ (ABCD) mp(SBD)
mp(ABCD) 0 60 S.ABCD theo a .
:
3
6
V = a .
. (TN.THPT - 2011)
S.ABCD ABCD A D AD = CD = a,AB = 3a
SA ^ mp(ABCD) SC 0 45
S.ABCD theo a .
:
3 2 6
9
V = a .

. (TN.THPT - 2009)
S.ABC SBC a,SA ^ (ABC ) B
·
120o BAC =
S.ABC theo a .
:
3 2
36
V = a .
. S.ABC ABC B AC = a,SA ^ (ABC ) SB
ABC 0 60
:
3 6
24
a
V = .
. S.ABCD ABCD a , SA ^ (ABCD) (SCD)
ABCD 0 60 .
a/ S.ABCD .
b/ A mp (SCD).
: / ; / ( )
33 3
,
3 2
a a
a V = b d éêA mp SCD ùú= ë û
.
S.ABC ABC B BA = BC = a,SA ^ (ABC ) SB
mp (SAB ) 0 30 .
:
3 2
6
a
V = .
. S.ABC SA ^ (ABC ),SA = h B DABC mp (SBC )
ABC 0 30
:
3 3
3
h
V = .
. S.ABC DABC A SB ^ (ABC ) B SB = a ,SC
mp (SAB ) 0 30 mp (SAC ) mp (SAB ) 0 60
2 2 2 2 SC = SB + AB + AC S.ABC .
:
3 3
27
a
V = .
. ABCD AD ^ (ABC ),AC = AD = 4(cm),AB = 3(cm),BC = 5(cm)
ABCD A mp (BCD).
: / ( ) / ( ) ( ) 3 6 34
8 ; ,
17
a V = cm b d éêA mp BCD ùú= cm ë û
.
S.ABC DABC
· ( ) 0 A,BC = 2a,BAC = 120 ,SA ^ ABC B
mp (SBC ) 0 45 S.ABC .
:
3
9
a
V = .

. S.ABCD ABCD B SA ^ (ABCD),SC = a SC
0 60 S.ABCD .
:
3 3
48
a
V = .
. S.ABCD c ABCD B SA ^ (ABCD),SC
ABCD 0 45 AB = 3a,BC = 4a S.ABCD .
: 3 V = 20a .
. S.ABCD ABCD a
μ
A 0 = 60 B
SA ^ (ABCD) A SC a S.ABCD .
:
3 2
4
a
V = .
. S.ABCD ABCD A B B
AB = BC = a,AD = 2a,SA ^ (ABCD) mp (SCD) mp(ABCD) 0 60
S.ABCD .
:
3 6
2
a
V = .
. S.ABCD ABCD
AB = 2R B mp (SBC ) mp(ABCD) 0 45
:
3 3
4
R
V = .
22. – 2008)
S.ABCD ABCD
· ·
90o BAD = ABC = ,AB = BC = a ,
AD = a , SA ^ (ABCD),SA = 2a M,N SA,SD mi
BCNM S.BCNM theo a .
:
3
3
a
V = .
– 2007).
S.ABC DABC B SA ^ (ABC )
· 0 ACB = 60 ,
BC = a,SA = a 3 M SB .
a/ mp(SAB) ^ mp(SBC ).
b/ MABC .
:
3
4
a
V = .
. – 2006).
S.ABCD ABCD a
μ
A 0 = 60 B
SA ^ (ABCD),SA = a C ' SC (P ) AC '
BD SB,SD B ' D ' S.ABC 'D' .
:
3 3
18
a
V = .

25 S.ABCD ABCD O,SA ^ (ABCD), AB = a,SA = a 2
H,K A lênSB,SD SC ^ (AHK )
O.AHK .
26 S.ABCD ABCD O,SA = SB = SC = SD .
Bi AB = 3a , BC = 4a
·
45o SAO = S.ABCD theo a .
27 S.ABC ABC B B SA ^ (ABC ). ChoAB = a ,
BC = a 3 ,SA = a quaA SC H SB K
S.AHK A.HKBC theo a .

. (ÐH.DB - A.2006)
ABCD.A 'B 'C 'D'
· 0 3
, ' , 60
2
a
AB = AD = a AA = BAD = M,N
A 'D ' A 'B ' AC ' ^ mp(BDMN )
A.BDMN .
3 3
16
a
V = .
29 S.ABCD ABCD h a ,SA ^ (ABCD), SA = a 3
A SC SB,SC,SD M,N,P .
a/ AMNP theoa .
b/ SC BD .
30. (ÐH - D.2010)
S.ABCD ABCD a SA = a
S lênmp(ABCD) H ,
4
AC
AC AH = CM
SAC M SA SMBC theoa .
:
3 14
48
V = a .
31. (ÐH - A.2010)
S.ABCD ABCD a . M N
AB AD,H CN DM B SH ^ mp(ABCD) SH = a 3
S.CDNM DM SC theo a .
:
3 5 3 2 3
,
24 19
a a
V = h = .
32. (ÐH - D.2007)
S.ABCD
· · 0 ABC = BAD = 90 ,BA = BC = a,AD = 2a
SA SA = a 2 H A trênSB
DSCD nh(theo a) H mp (SCD).
: ( ,( ))
3
a
d H SCD = .
33. (ÐH - D.2006)
S.ABC ABC a,SA = 2a SA ^ mp (ABC )
M N A SB SC nh th
A.BCNM .
:
3 3 3
50
a
V =
34 S.ABCD SA ^ mp(ABCD),G DSAC ,
mp (ABG) SC M SD N MNABCD SA = AB = a
AN (ABCD) 0 90 .

35 S.ABCD ABCD a ,SA ^ mp(ABCD)
mp (SCD) mp (SBC ) 0 120 S.ABCD
SC AD .
36 ABCD AD = 6AB = 3 3 M AB sao choMB = 2MA
N AD . Trê mp(ABCD) M S sao cho
SM = 2 6 minh: (SBN ) ^ (SMC ) SN mp (SMC ).
37. S.ABC ABC A , choAB = a,AC = a 3 SBC
S.ABC .
. S.ABCD ABCD a SAB
(ABCD).
a/ BC .
b/ S.ABCD .
:
3 3
6
a
V = .
. Cho ABCD DABC , DBCD D (ABC )
mp (BCD) AD mp (BCD) 0 60
ABCD AD = a .
:
3 3
9
a
V = .
. Cho S.ABC ABC B BC = a (SAC )
0 45
:
3
12
a
V = .
. S.ABC ABC a , DSBC S
mp (ABC ) S.ABC .
:
3 3
24
a
V = .
. S.ABC ABC A AB = AC = a B DSAB
S mp (ABC ) mp (SAC ) mp (ABC )
0 45 S.ABC .
:
3
12
a
V = .
B . S.ABC
· 0 · 0 BAC = 90 ,ABC = 30 ,DSBC a
mp(SAB) ^ mp(ABC ) S.ABC .
:
2 2
24
a
V = .
i 44. S.ABC ABC DSBC SH = h mp(SBC)

mp (ABC ) B ngSB mp (ABC ) 0 30 .
S.ABC
:
3 4 3
9
h
V = .
ABCD DABC DBCD
AD = a
:
3 6
36
a
V = .
. C S.ABCD ABCD SAB
SH = h mp(ABCD)
:
3 4
9
h
V = .
. S.ABCD ABCD SAB a
mp(ABCD) B mp (SAC ) mp(ABCD) 0 30
S.ABCD
:
3 3
4
a
V = .
. S.ABCD ABCD AB = 2a,BC = 4a,(SAB) ^ (ABCD).
Haimp (SBC ) mp (SAD) mp(ABCD) 0 30
:
3 8 3
9
a
V = .
. S.ABCD ABCD AC = 2BD = 2a DSAD
S mp(ABCD) S.ABCD .
:
3 15
12
a
V = .
. S.ABCD ABCD A D,AB = CD = a,AB = 2a B
DSAB imp(ABCD) S.ABCD .
:
3 3
2
a
V = .
51. (CÐ- A.2010)
S.ABCD ABCD ha ,mp(SAB) ^ mp(ABCD), SA = SB
SC 0 45 a pS.ABCD .
:
3 5
6
a
V = .
52. (ÐH - B.2008)
S.ABCD ABCD 2a,SA = a,SB = a 3
mp(SAB) ^ mp(ABCD) M,N AB,BC a
S.BMDN gSM,DN .

:
3 3 5
, cos
3 5
a
V = j = .
S.ABC SB = SC = BC = CA = a . Haimp(ABC) mp(SAC)
mp(SBC) S.ABC . :
3 3
12
a
V =
54. S.ABC ABC A (SAB ) (SAC )
vuông (ABC ), choBC = a 2 (SBC ) (ABC ) 0 60
S.ABC .
55. S.ABCD ABCD a , hai (SAB ) (SAD) vuông
g (ABCD). Cho SB = 3a M CD S.ABCM .
56. S.ABCD ABCD (SAB ) (SAD)
(ABCD), choAB = a,AD = 2a,SC (ABCD) 0 45
S.ABCD theo a .
57. S.ABCD ABCD a (SAC ) (SBD)
(ABCD) (SCD) 0 60 S.ABCD .
8. S.ABC ABC A (SAB ) (SAC )
vuông (ABC ), cho BC = a 2 (SBC ) (ABC ) 0 60
S.ABC A (SBC ).
59. S.ABCD ABCD A D ,AD = DC = a,AB = 2a B
(SAB ) (SAD) (ABCD),SC
(ABCD) 0 60 I SB .
a/ S.ABCD theo a .
b/ SBC CI .
c/ M SB sao choSB = 3SM M.ABCD.
60. S.ABCD ABCD AC = 2 3a,BD = 2a
O (SAC ) (SBD) mp(ABCD) B O mp (SAB )
3
4
a
S.ABCD theo a .
61. (ÐH - A.2009)
S.ABCD ABCD A D,AB = AD = 2a,CD = a
mp (SBC ) mp (ABCD) 0 60 I AD B mp (SBI )
(SCI ) (ABCD) S.ABCD theo a . :
3 3 15
5
a
V = .

62. S.ABC yABC B,AB = BC = 2a , haimp (SAB )
mp (SAC ) mp (ABC ) M AB SM
BC AC N B mp (SBC ) mp (ABC ) 0 60
S.BCNM AB SN theo a . : 3 2 39
3,
13
a
V = a d = .
. S.ABC
a/ a 2a . :
3 11
2
a
V = .
b/ a 0 60 . :
3 3
16
a
V = .
c/ a 0 45 . :
3
6
a
V = .
d/ a 0 60 . :
3 3
24
a
V = .
64. S.ABCD
a/ C a . :
3 2
6
a
V = .
b/ a 2a .
c/ a 0 60 . :
3 3
12
a
V = .
d/ 2a 0 45 .
ABCD a M DC .
a/ ABCD . :
3 2
12 ABCD
a
V = .
b/ M mp (ABC ) M.ABC . :
3
.
2
24 M ABC
a
V =
66. S.ABCD
5
2
a
, 0 60
S.ABCD theo a A mp (SBC ).
. S.ABCD a
· 0 BSA = 60 .
a/ :
2 3
3
a
S = .
b/ S.ABCD . :
3 2
6
a
V = .
68. S.ABC a ,
· 0 BSA = 60 , I Î BC IB = 2IC
S.ABC S.ABI .
S.ABC h 0 60

:
3 2
3
h
V = .
70. S.ABCD a 3a .
a/ S.ABCD A mp (SBC ).
b/  SA mp (SBC ). sin a ?
1. (TN.THPT - 2008)
S.ABC a 2a I BC .
a/ : SA ^ BC .
b/ S.ABI theo a .
S.ABCD 0 45
a S.ABCD .
:
3 8 3
3
a
V = .
. A – 2007)
S.ABCD S.ABCD
3 9 2
2
a
.
: AB = 3a .
74. (CÐ- 2009)
S.ABCD AB = a,SA = a 2 M,N,P
SA,SB,CD MN SP
a AMNP .
75. (ÐH - B.2007)
S.ABCD a E D
SA,M AE,N BC MN ^ BD
theo a MN AC .
: ( ) 2
,
4
a
d MN AC = .
76 S.ABCD (P )quaA SC SB,SC,SD
B ',C ',D ' B
' 2
,
3
SB
AB a
SB
= = .
a/ S.AB 'C 'D' S.ABCD .
b/ S.AB 'C 'D' .
. (ÐH.DB1- D.2006)
S.ABCD a SH
I SH (SBC ) b S.ABCD .
:
3
2 2
2
3 16
a b
V
a b
=
-
.
. (ÐH - A.2004)

S.ABCD a
( ) 0 0 j , 0 < j < 90 mp (SAB ) mp (ABCD)theoj
theoa j .
:
3 2. tan
tan ;
6
a
V
j
j = .
. Cho DABC nha O D sao
cho
6
3
a
OD = M,N BD DC .
a/ AM BC .
b/ ABCD AMN .
c/ ABCMN .

. ABCD B ',C ' AB AC
AB 'C 'D ABCD .
: ' ' 1
4
AB C D
ABCD
V
V
= .
. ABCD ( ) 3 9 m , trênAB,AC,AD B ',C ',D ' sao cho
AB = 2AB ',2AC = 3AC ',AD = 3AD ' AB 'C 'D ' .
: ( ) 3 V = 2 m
. ABCD a B ',C ' trênAB AC sao cho
2
' , '
2 3
a a
AB = AC =
AB 'C 'D .
:
3 2
36
a
V = .
. ABCD ( ) 3 12 m M,P AB,CD N trên
AD sao choDA = 3NA BMNP .
: ( ) 3 V = 1 m .
. S.ABC ABC a 3 SA = a
A SB H SC K S.AHK .
:
3 3
40
a
V = .
. S.ABCD ( ) 3 27 m A ' trênSA sao choSA = 3SA '
A ' SB,SC,SD B ',C ',D '
S.A 'B 'C 'D' .
: ( ) 3 V = 1 m .
. S.ABCD ( ) 3 9 m ABCD M trênSA
sao cho2SA = 3SM (MBC ) SD N ABCDMN
: ( ) 3 V = 4 m .
. S.ABCD a SA = h N
SC AN BD SB,SD M,P
S.AMNP theoa,h .
:
2
9
a h
V = .
. S.ABCD ABCD I SC AI
BD
: k = 0, 5.
Bai 98. S.ABCD M trênSA sao cho
SM
x
SA
=
x (MBC )

:
5 1
2
x
-
= .

99. ABC.A 'B 'C ' ABC A BC = a 2
A 'B = 3a
: 3 V = a 2 .
100. ABCD.A 'B 'C 'D' c 4a 5a
: 3 V = 9a .
101. ABC.A 'B 'C ' ABC A
· 0 ACB = 30 , AA ' = 3a ,
AC = 2a .
a/ ABC.A 'B 'C ' .
b/ (A 'BC ) ABC.A 'B 'C '
102. ABC.A 'B 'C ' ABC 4(cm)
A 'BC 8(cm)
: ( ) 3 8 3 cm .
103. – ng.
a/ 44(cm)
12(cm)
: ( ) 3 4800 cm .
b/ Tính th 3 và
0 30 .
c/ B 64
Tìm các kích th ó.
d/ ng t ng thêm 98cm3. Khi ó tính
ng.
104. a 0 60
:
3 6
2
a
V = .
105. a
:
3
2 3
; 3
4
a
V = S = a .
106. ABCD.A 'B 'C 'D' a BD ' = a 6
: 3 V = 2a .
107. 6(cm) 8(cm)
B

: ( ) ( ) 3 3 V = 240 cm ;S = 248 cm .
108. 37(cm);13(cm);30(cm)
( ) 2 480 cm
: ( ) 3 V = 1080 cm .
09. ABC.A 'B 'C ' ABC A B
3a AA 'B 'B 5a
: 3 V = 24a .
10.
( ) 2 96 cm . T
: ( ) 3 V = 64 cm .
11. ABCD.A 'B 'C 'D' AB = a ABCD ABC 'D '
2 2a 2 a 5
12. 19(cm);20(cm);37(cm)
: ( ) 3 V = 2888 cm .
13. 2 24m
: 3 V = 8m .
14. ABC.A 'B 'C ' ABC AA ' = a,A 'B ^ BC
ABC.A 'B 'C ' .
15. 3;4;5 B
1(m)
: ( ) 3 V = 0, 4 m .
16. 5 (m); 10 (m); 13 (m)
: ( ) 3 V = 6 m .
17. (ÐH - D.2008)
ABC.A 'B 'C ' yABC AB = BC = a
AA ' = a 2 M BC a ABC.A 'B 'C '
AM,B 'C .
: ( )
3 7
, , '
2 7
a a
V = d AM B C = .
118. ABC.A 'B 'C ' a B
AB A 'C
15
5
a
ABC.A 'B 'C ' .
:
3 3
4
a
V = .
119 ABCD.A 'B 'C 'D' a
1 O
1 1 1 1 A B C D
1 1 AO BD ( ) 1 1 BD ^ ACB .

120 ABC.A 'B 'C ' ABC a
A ' mp(AB 'C ') theo a
2 3
' ' '
3
AA = A B = A C = a .
121 ABC.A 'B 'C '
· 0 AB = AC = 4a,BAC = 120 A ' lên
mp (ABC ) DABC 0 30 a
ABC.A 'B 'C ' AA ' BC .
122. (ÐH - A.2008)
ABC.A 'B 'C ' 2a ABC
A,AB = a ,AC = a 3 A ' trênmp (ABC )
BC a A 'ABC cosin AA '
B 'C ' .
:
3 1
, cos
2 4
a
V = j = .
123 ABC.A 'B 'C ' ABC B BA = BC = a . B
A 'B ABC 0 60
:
3 3
2
a
V = .
124. ABC.A 'B 'C ' ABC A
· 0 AC = a,ACB = 60
B BC ' mp(AA 'C 'C ) 0 30 AC ' ABC.A 'B 'C ' .
: 3 V = a 6 .
125. ABCD.A 'B 'C 'D' ABCD a BD '
ABCD 0 30
:
3 2 6 4 6
;
3 3
a a
V = S = .
126 ABC.A 'B 'C ' ABC B ,AC = 2a, A 'B
ABC 0 30 .
a/ ABC.A 'B 'C ' .
b/ AH DA 'AB AH ^ A 'C .
127. ABCD.A 'B 'C 'D' ABCD
· 0 a;BAD = 60 B
AB ' (ABCD) 0 30 ABCD.A 'B 'C 'D' .
:
3 3
2
a
V = .
128. ABC.A 'B 'C ' ABC B B A 'C = a A 'C
(AA 'B 'B ) 0 30 ABC.A 'B 'C ' .
:
3 2
16
a
.

129. ABC.A 'B 'C ' ABC B B BB ' = AB = a
B 'C mp (ABC ) 0 30 ABC.A 'B 'C ' .
:
3 3
2
a
V = .
130. ABC.A 'B 'C ' ABC a B AB '
(BCC 'B ') 0 30 AB ' ABC.A 'B 'C ' .
:
3 3
' 3;
2
a
AB = a V = .
131. ABC.A 'B 'C ' ABC A B
· 0 AB = a;ACB = 60
BC ' (AA 'C 'C ) 0 30 ABC.A 'B 'C '
ABC ' .
:
2
3 3 3
6;
2
a
V = a S = .
132. ABC.A 'B 'C ' A mp(A 'BC ) a
AA ' mp(A 'BC ) 0 30 . ABC.A 'B 'C ' .
:
3 32
9
a
V = .
133. ABCD.A 'B 'C 'D' A 'C = a B A 'C
mp(ABCD) 0 30 mp(ABB 'A ') 0 45
:
3 2
8
a
V = .
134. ABCD.A 'B 'C 'D' ABCD O ABCD
OA ' = a
a/ ABCD.A 'B 'C 'D'
b/ OA ' mp(ABCD) 0 60 .
c/ A 'B mp(AA 'CC ') 0 30 .
: / / /
3 3 3 2 6 3 4 3
; ;
9 4 9
a a a
a V = b V = c V = .
135. Cho ABCD.A 'B 'C 'D' ABCD BD ' = a
a/ BD ' mp(ABCD) 0 60 .
b/ BD ' mp(AA 'D 'D) 0 30 .
: / /
3 3 3 2
;
16 8
a a
a V = b V = .
136. a
0 60
: 3 2 V = a ; S = 6a .
137. ABCD.A 'B 'C 'D' AB = a,AD = b,AA ' = c v
2 2 2 BD ' = AC ' = CA ' = a + b + c .
a/ ABCD.A 'B 'C 'D'

b/ x,y, z
2 2 2 sin x + sin y + sin z = 1.
138. (ÐH - D.2009)
ABC.A 'B 'C ' ABC B,AB = a,AA ' = 2a ,
A 'C = 3a M A 'C ' I AM A 'C
IABC A mp(IBC )theo a .
: ( ( ))
3 4 2 5
, ,
9 5
a a
V = d A IBC =
139 ABC.A 'B 'C ' ABC B BA = BC = a
B mp(A 'BC ) mp (ABC ) 0 60 ABC.A 'B 'C ' .
:
3 3
2
a
V = .
140. ABC.A 'B 'C ' (A 'BC ) 0 30
A 'BC 8(cm) ABC.A 'B 'C ' .
: ( ) 3 V = 8 3 cm .
141. ABCD.A 'B 'C 'D' a mp(BDC ')
mp(ABCD) 0 60 ABCD.A 'B 'C 'D' .
:
3 6
2
a
V = .
142. ABCD.A 'B 'C 'D' AA ' = 2a ; mp(A 'BC ) mp(ABCD)
0 60 A 'C mp(ABCD) 0 30
:
3 16 2
3
a
V = .
143. ABCD.A 'B 'C 'D' AA ' = a A 'C
(ABCD) 0 30 mp(A 'BC ) mp(ABCD) 0 60
ABCD.A 'B 'C 'D' .
:
3 2 2
3
a
V = .
144. ABCD.A 'B 'C 'D' ABCD a B
mp(ABC 'D ') 0 30 . T ABCD.A 'B 'C 'D' .
: 3 V = 3a .
145. ABC.A 'B 'C ' ABC B ;AC = 2a B
mp(A 'BC ) mp (ABC ) 0 45 ABC.A 'B 'C ' .
: 3 V = a 2 .

146. ABC.A 'B 'C ' ABC A AB = AC = a
· 0 BAC = 120 B mp(A 'BC ) mp (ABC ) 0 45
:
3 3
8
a
V = .
147. ABC.A 'B 'C ' ABC a ,
· 0 AA 'B = 60 .
a/ ABC.A 'B 'C ' .
b/ (C 'AB ) ABC.A 'B 'C '
148. ABC.A 'B 'C ' ABC B BB ' = AB = h B
mp(B 'AC ) ABC 0 60
:
3 2
4
h
V = .
149. ABC.A 'B 'C ' ABC B AA ' = a
a/ mp(A 'BC ) ABC 0 60 .
b/ A 'B h mp (ABC ) 0 45 .
c/ A ' DA 'BC
: / / /
3
3 3 3
3; ; 3
4
a
a V = a b V = c V = a .
150. ABCD.A 'B 'C 'D' AA ' = 2a
a/ Mp(ACD ') ABCD 0 45 .
b/ BD ' ABCD 0 60 .
c/ D mp(ACD ') a .
: / / /
3
3 3 16
16 ; 12 ;
3
a
a V = a b V = a c V = .
151 ABCD.A 'B 'C 'D' ABCD a
ABCD.A 'B 'C 'D'
a/ Mp(BDC ') ABCD 0 60 .
b/ DBDC '
c/ AC ' ABCD 0 45 .
: / / /
3
3 3 6
; ; 2
2
a
a V = b V = a c V = a .
152 ABCD.A 'B 'C 'D' ABCD a n
μ
A 0 = 60
ABCD.A 'B 'C 'D'
a/ (BDC ') ABCD 0 60 .
b/ Kho C mp(BDC ')
2
a
.
c/ AC ' ABCD 0 45 .
: / / /
3 3 3 3 3 3 2 3
; ;
4 8 2
a a a
a V = b V = c V = .

153 ABCD.A 'B 'C 'D' BD ' = 5a;BD = 3a
a/ AB = a .
b/ BD ' mp(AA 'D 'D) 0 30 .
c/ (ABD ') ABCD 0 30 .
: / / / 3 3 3 a V = 8a 2; b V = 5a 11; c V = 16a .
154. ABC.A 'B 'C ' ABC a A '
A,B,C . C AA ' 0 60
155. ABC.A 'B 'C ' ABC a B a 3
ABC 0 60 ABC.A 'B 'C '
:
3 3 3
8
a
V = .
156. ABC.A 'B 'C ' ABC a A '
mp (ABC ) O DABC AA '
ABC 0 60 .
a/ BB 'C 'C
b/ ABC.A 'B 'C '
:
3 3
4
a
V = .
157. ABCD.A 'B 'C 'D' AB = 3 (cm),AD = 7 (cm)
(ABB 'A ') (ADD 'A ') ABCD 0 45 0 60
ABCD.A 'B 'C 'D' 1(cm).
: ( ) 3 V = 3 cm .
158. ABCD.A 'B 'C 'D' ABCD a 8cm
ABCD 0 30 ABCD.A 'B 'C 'D' .
: ( ) 3 V = 336 cm .
159. ABCD.A 'B 'C 'D'
· 0 AB = a,AD = b,AA ' = c,BAD = 30
ABCD 0 60 ABCD.A 'B 'C 'D' .
160. ABC.A 'B 'C ' ABC a A '
A,B,C B
2 3
'
3
a
AA = ABC.A 'B 'C ' .
:
3 3
4
a
V = .
161. ABC.A 'B 'C ' ABC a A '
trênmp (ABC ) AH DABC B (BB 'C 'C )
ABC 0 60 .
a/ BB 'C 'C

b/ ABC.A 'B 'C ' .
:
3 3 3
8
a
V = .
162 ABC.A 'B 'C ' ABC O . Canh bênCC ' = a
ABC 0 60 C ' lênmp (ABC ) O .
a/ AA 'B 'B
b/ ABC.A 'B 'C '
:
2 3 3 3 3
;
2 8
a a
S = V = .
163. ABC.A 'B 'C ' ABC a
A ' lênmp (ABC ) BC DABC AA ' = a .
a/
b/ ABC.A 'B 'C ' .
: / /
3
0 3
30 ;
8
a
a b V = .
164. ABC.A 'B 'C ' ABC C ' trên
mp (ABC ) O DABC B O CC ' a
(AA 'C 'C ) (BB 'C 'C ) 0 90
ABC.A 'B 'C '
:
3 27
4 2
a
V = .
165. ABCD.A 'B 'C 'D' 6 a A ' trên
mp(ABCD) H A
0 60 .
a/ H AC ABCD .
b/ ACC 'A ' BDD 'B ' .
c/
: / /
3
2 2
' ' ' '
2
2, ;
2 ACC A BDD B
a
a S = a S = a b V = .
166. ABCD.A 'B 'C 'D' ABCD a
μ
A 0 = 60
B ' ABCD BB ' = a
a/
b/
: / /
3
0 2 3
60 ; , 15
4
a
a b V = S = a .
167. (ÐH - B.2010)
ABC.A 'B 'C ' AB = a mp(A 'BC ) (ABC )
0 60 G A 'BC
GABC theo a .
:
3 3 3 7
,
8 12
a a
V = R = .

68. S.ABCD ABCD 2a , SA ^ mp(ABCD) SC
0 60 M SB .
S.ABCD .
M.BCD .
: / /
3 3
. . .
8 6 1 2 6
;
3 4 3 S ABCD M BCD S ABCD
a a
a V = b V = V = .
169. S.ABC AB = 5a,BC = 6a,CA = 7a (SAB),(SBC )
(SCA) mp (ABC ) 0 60 S.ABC .
: 3
. 8 3 S ABC V = a .
170. ABCD.A 'B 'C 'D' AB = a 3,AD = a,AA ' = a,O
AC BD .
ABCD.A 'B 'C 'D' OA 'B 'C 'D' .
OBB 'C ' .
c/ C ' OBB 'C ' .
: / / /
3 3
3
' ' ' ' . ' '
1 3 3
3, ; ; ' 2 3
3 3 12 OA B C D O BB C
a a
a V = a V = V = b V = c C H = a .
171. ABCD.A 'B 'C 'D' a ACB 'D ' .
: 3 1
3
V = a .
172. a E AC
(A 'B 'E ) BC F A 'B 'BC CA 'B 'FE .
:
3 3
' ' ' '
3 3
;
12 16 A B BC CA B FE
a a
V = V = .
173. S.ABCD ABCD
· 0 AB = 2cm,ACB = 90 . Hai DSAC
DSBD 3 (cm) S.ABCD .
: ( ) 6
4
V = cm .
174. Cho hình chópS.ABCD có ABCD là hình vuông c nh2a,SA = a,SB = a 3 và
mp (SAB )vuông góc m t ph G iM,N l t là m c a các c nhAB,BC .Tính
theoa th tích kh i chóp S.BMDN .
:
3 3
3
a
V = .
175. Cho hình chópS.ABCD nh a,m u và n m trong m t
ph ng vuông góc v iM,N l m c a các c nhSB,BC,CD .Ch ng minhAM
vuông góc v iBP và tính th tích c a kh i t di n CMNP .
:
3 3
96
a
V = .

176. Chh S.ABC DABC B SA ^ mp(ABC ) B
SA = AB = BC = a .
S.ABC .
A mp (SBC ).
H SB (a ) AH BC SC K
S.AHK .
177. S.ABC DABC A AB = a,AC = SA = a 3
(SAB ) (SAC ) mp (ABC ).
S.ABC A mp (SBC ).
mp (SBC ),mp (ABC ) SB ,mp (SAC ).
M SC S.ABM .
178. S.ABCD ABCD O (SAD),(SCD)
mp(ABCD) SA 0 45 .
S.ABCD .
S.OAB O mp (SAB ).
179. S.ABCD ABCD O . (SAD),(SCD)
mp(ABCD) SD = 2a (SAB ) mp(ABCD) 0 45 .
a/ S.ABCD .
b/ S.OCD .
c/ SC (SBD).
d/ O mp (SAD).
e/ G DSAB . M t ph ng(a )quaOG AB SA,SB H,K
S.OHK .
180. S.ABC a a 2 .
a/ S.ABC .
b/ M t ph ng(P )quaA,B K SC
181. S.ABC DABC 2a (SAB ) (SAC )
(ABC ), SA = a 2 .
a/ S.ABC .
b/ E SB F trênSC sao cho SB = 4BE,SC = 2SF . M t ph ng(a )quaA,E,F
182. S.ABCD 6a
0 60 . Qua CD mp (a ) mp (SAB ) SA,SB H,K
S.CDHK .
183. S.ABCD a,SA ^ mp(ABCD),SA = 2a H,K
A lên SB,SD . M t ph ng(AHK ) SC I S.AHIK .

184. S.ABCD I ,J SB SD . M t
ph ng(AIJ ) SC L S.AIJL S.ABCD .
85 S.ABCD M,N,P AB,AD,SC .
: mp(MNP) S.ABCD
86 S.ABCD mp (a ) A,B M SC
t ph
187 S.ABC M SA N SB sao cho MA = 2SM
SN = 2NB . mp (a )qua MN SC
188 S.ABC M DABC M
so SA,SB,SC (SBC ),(SAC ),(SAB ) O,P,Q . C
a/ .
.
M SBC
M ABC
V MO
V SA
= .
b/
MO MP MQ
SA SB SC
w
æ ö
ç + + ÷÷= çç ÷çè ÷ø
w ?
189 AB = 2a t ph ng mp (a ) M
cho
· 0 MAB = 30 mp (a ) A S sao cho SA = SB
H,K A trên SM,SB .
a/ SB ^ mp(AHK )
b/ I HK mp (a ) . : AI
c/ S.AHK .
190 S.ABCD ABCD SA ^ mp(ABCD). M mp (a )
A SC SB,SC,SD I ,J ,K .
a/ AIJK
b/ S ^ mp(ABCD) A mp(AIJK )
A,B, I ,C,J ,D,K
c/ SC mp (SAB )  AB = BC : .
.
S AIJK
S ABCD
V
V
.
191 S.ABCD ABCD a ,
· 0 BAD = 60
a/ H
b/ S.ABCD .
c/ A mp (SBC ) SA,BC .
192 S.ABCD ABCD a,SA ^ (ABCD),SA = a 2 . Trên SB,SD
E,F sao cho SE = SF, 3SE = 2SB .
a/ G SC mp (AEF ).
b/ SC ^ (AEGF )
c/ S.AEGF .

193. S.ABCD ABCD a,SA ^ mp(ABCD),SA = a . TrênSA
M sao cho AM = x (0 £ x £ a).
a/ Mp(MCD) a, x .
b/ Cho
2
a
x =
194. C S.ABC DABC C,AC = a DSAC,DSBC
I AB .
a/ : (SAB) ^ (ABC ),(SIC) ^ (SAB)
b/ SA,BC
c/ S.ABC .
195. S.ABCD ABCD AB = a ,
· 0 ADC = 60
S 2a
S.ABCD .
196 S.ABCD = 2a = a 6
a/
b/ t ph
197. a b 
198. Cho 2a a
0 30 .
a/
b/
CD ABCD M sao cho
1
3
CM = CD
ABMD ABMC .
: 2 ABDM
ABCM
V
V
= .
ABC.A 'B 'C ' A.BB 'C 'C
:
ABC.A'B C
. ' ' 2
3
A BB C C V
V ¢ ¢
= .
ABCD M,N,P BC,BD,AC sao choBC = 4BM,
AC = 3AP,BD = 2BN mp (MNP ) AD Q ABCD
mp(MNP ).
: 1
2
7
13
V
V
= .
uôngABCD a I AB d
mp(ABCD) d S sao cho
3
2
a
SI = C
(SAD).
: ( ) 3
,
2
a
d éêC SAD ùú= ë û
.

. Cho S.ABC DABC C,SC = 5(cm)
(SCB ) (ABC ) S.ABC ?
ABCD.A 'B 'C 'D' AC ' = 2(cm) ABCD
a bên(BCC 'B ') b a, b
: ( ) khi 0
max
2
30
8
V = cm a = b = .
Chương
1/
(P ) d ,D O b 0 0 0 < b < 90 .
Khi quaymp (P )xung qu D b O

 D d 2b
2/
ChoDOIM I qua OI OIM
 OI O OI OM
 I r = IM
3/
h r l
 : . . xq S = p r l
 2 . ðS = p r
Þ
tp xq ð S = S + S .
– – 2

 : 2 1 1
. . .
3 3 non ð V = S h = p r h .
4/ :

+ Þ
+

+ Þ
+ Þ
+ Þ

5/
B
S (P ) S
SA = SB = l cânSAB .
I AB Þ OI ^ AB O OH ^ SI H .
OH ^ mp(SAB )Þ OH = d éêO,(SAB )ùú= 12(cm) ë û
.
a/ .
( ) 2 2 2 2 SA = AO + SO = 20 + 25 = 5 41 cm
( ) 2 . . . . .25.5 41 125 41 xq S = p r l = pOA SA = p = p cm .
b/ : ( ) 2 2 3 1 1 12500
. . .25 .20
3 3 3 non V r h cm
p
= p = p = .
c/
SAB SD
( )
1 1
. .2 . . 1
2 2 SAB S AB SI IA SI IA SI D = = = .
SOI ( ) 2 2 2
1 1 1
OI 15 cm
OH OI OS
= + Þ = .
uôngSOI ( ) ( )
. 20.15
. . 25 2
12
OS OI
OI OS SI OH SI cm
OH
= Þ = = = .
( ) ( ) 2 2 2 2 AIO : IA = OA - OI = 25 - 15 = 20 cm 3 .
* Thay(2),(3) ( ) ( ) 2 1 20.25 500 SAB S cm D Þ = = .
B
a
2
a
r = .
( )
2
2
2 5
. .
2 4 xq
a a
S rl a a Ðvdt
p
p p
æ ö
= = + ç ÷÷ = çç ÷çè ÷ø
.
( )
2
2 3 1 1 1 1
3 3 2 2 12
a
V Bh pr h p a pa Ðvtt
æ ö
= = = ç ÷÷ = çç ÷çè ÷ø
.
ng cao h = 20cm r = 25cm .
a/
b/
c/ 12(cm)
S
A
B
O
I
H
h
r
l
. ABCD.A 'B 'C 'D' a
O ABCD A 'B 'C 'D ' .
’
A B
D C
O
B’
’ ’
a
a
a

B
DSAB
S a 2 nênDSAB
AB = a 2 .
Þ l = SA = SB = a
2
2 2
AB a
h = SO = =
2
2
a
r = h = SO = .
a/ .
( )
2 2 2
. .
2 2 xq
a a
S rl a Ðvdt
p
= p = p =
:
( ) 2
2 2 2
2
2 2 1 2
2 2 2 2 tp xq ð
a a a a
S S S r
p p p p
p
+
= + = + = + =
: ( )
3
2 1 1 2
.
3 3 12
a
V B h r h Ðvtt
p
= = p =
b/ ( ) SBC SD
I BC OH ^ SI H mp (a )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) · · 0 ; 60
mp SBC mp BC
BC OI mp mp SBC mp SIO
BC SI mp SBC
a
a a
Ç =
é ù
^ Ì Þ ê ú= =
êë úû
^ Ì
.
SIO
·
0
2
2 6 sin
sin 60 3 3
2
a
SO SO a
SIO SI
SI
= Þ = = = .
SIB
2
2 2 2 2 2 3
2 2. 2
3 3
a a
BC = IB = SB - SI = a - = .
( )
2 1 1 6 2 3 2
. . .
2 2 3 3 3 SBC
a a a
S SI BC Ðvdt D = = = .
a 2 .
a/ S .
b/
c/ Cho dây cungBC mp (SBC )
0 60 SBC .
S
B A
O
C
I
S ,O a 2
0 60 .
a/
b/ I SO
1
3
SI
SO
=
I

B
a/ : . . (1) xq S = prl = p AO SA
* DoAO SA
sinh SA
· 0 SAO = 60 .
SAO :
( ) 0
0
2
2
cos 60 2
. cos 60 2
2
SA a
AO SA a
SA AO SA a AO
ìï
ìï ï = ïï = ïï = Þ í Û í
ïï = ïï = ïî ïï
î
* Thay(2) (1) ( ) 2 2
. 2.
2 xq
a
Þ S = p a = pa Ðvdt .
:
( )
2 2
2 2 2 3
2 2 tp xq ð
a a
S S S a r a Ðvdt
p p
= + = p + p = p + = .
:
( )
2
3
2 2 0 2 1 1 1 2 1 3 6
. . . . sin 60 . 2.
3 3 3 2 6 2 12
a a
V r h A O SO SA a a Ðvtt
p
p p p p
æ ö
ç ÷÷ = = = çç ÷ = = çç ÷÷ è ø
.
b/
I IB
td S .
Do
1 2 2
. .
3 2 6
SI IB SI a a
SIB SOA IB OA
SO OA SO
D : D Þ = Û = = = ( )
2
2 .
18 td
a
S IB Ðvdt
p
Þ = p = .
B
a/
DSOA :
2 2 2 2 SA = SO + OA = R + 4R = R 5
2 . 5 5 xq Þ S = prl = pR R = pR .
:
3
2 2 1 1 2
. 2
3 3 3
R
V OA SO R R
p
= p = p = .
b/ CMR: N .
B
r
l
S
A
O
I
600
B
h
S O R 2R I
IO = 2R A (O,R)
sao choOA ^ OI .
a/
b/ M SA, IM N N
c/ K O trênIM
H DSAI .
I
M
K
O
N
S
B
A
H

Wl mp (a ) S,A, I .
( ) ( )
( )
N
N mp
N mp doN IM
a
a
ìï
ï Î W Þ Î ÇW íï
Î Î ïï
î
N SB mp (a ) W (B IA
c/ CMR K O trênIM H DSAI .
H DSAI O trênmp (SAI ).
Do
( )
( ) · 0 90
OH SAI OH IM
IM OHK HK IM HKI
OK IM
ìï
ïï ^ Þ ^ Þ ^ Þ ^ Þ = íï
^ ïï
î
.
K IH trongmp (a ) H
B
AB O
SAM
2 2 SA = SM = h + R
1 ·
. . sin
2 ASM S SA SM ASM D =
( ) · ( ) 2 2 2 1 1
. sin sin
2 2
= SA a = h + R a a = ASM .
ASM SD
sin a
:

· 0 ASB < 90 h > R sin a
·
sin a = sin ASB max . SAM S h R D = .

· 0 ASB ³ 90 h £ R sin a
( ) 2 2 1
max
2 SAM S h R D = + .
6/
h = a 5
4
r = a (P )
O 3
5
a .
a/ mp (P )
b/
c/
. Trong không gian choDOIM I
· 0 IOM = 30 IM = a OIM
OI OMI
a/
b/
R h
M
S
A
O
B

h = 30cm 20cm .
a/
b/
a .
a/
b/
c/ 0 60
2a
a/
b/
2cm 0 60 .
a/
b/
S , r = 10cm .
a/ mp (P )
b/ G (a )quaG
(a )
2 12a .
a/
b/
c/ (P ) 2a 3
(P )
S ,O a 2
0 60 .
a/
b/ I SO 2
SI
SO
=
I
S.ABC a 0 30
S ABC
a/ S.ABC .
b/
S.ABCD
· ( ) 0 0 SO = h,SAB = a, 45 < a < 90
S ABCD
2a .
a/
b/ Thi
2
a
13a 12a d
d
6a 2a d

Δ
A
D
B
C
l
r
r
S O (a )
AB , sao cho
· 0 AOB = 60 mp(a) 0 30 .
a/
·
ASB .
b/ SAB b
Bài 15. Tính th tích hình nón bi t th u n i ti p hình nón làV .
Bài 16. Trên m ng hai hình nón (hình này ch a hình kia). Sao cho nh cách
nhau m n là a . Góc nh c a thi t di n qua tr c c a hình nón l n là 2a và c a hình nón nh là
2b .Tính th tích ph n hình nón nh và trong hình nón l n.
. SO = h R M OS OM = x
(0 < x < h).
a/ (G) M .
b/ O (G) theoR,h,x . x sao cho .
S . ABCD a
B
· ( ) 0 0 ASB = 2a, 0 < a < 45
1/
Trongmp (P ) D l
r . Khi quaymp (P ) D l
 D
 l
 r
2/
ABCD
AB ABCD
 AB
 CD
 AB = CD = h
 A r = AD B r = BC

3/
h r
 2 xq S = prh
 2 2. 2 2 tp xq Ðay S = S + S = prh + pr
 2 V = B.h = pr h
4/ :
 r mp (a ) D
D r r
h

 r mp (a ) D
2r
2
sin
r
j
j D mp (a ) 0 0 0 < j < 90 .
 Chomp (a ) D D k .
+ k < r mp (a ) Þ
+ k = r mp (a )
+ k > r mp (a )

D
B’
A
O
C
’
’
B
’
5/
B
a/ .
OA,OB sao cho
· 0 AOB = 30 A ',O ',B '
A,O,B OA O 'B '
0 30 ABB 'A '
( ) 2 2 2 0 AB = OA + OB - 2.OA.OB. cos 30 = 100 2 - 3
Þ AB = 10 2 - 3 (cm).
AA ' = BB ' = OO ' = 20(cm).
( ) 2
' ' . ' 10 2 3.20 200 2 3 ABB A Þ S = AB BB = - = - cm .
b/ .
( ) 2 2 2 . . ' 2 .10.20 400 xq S = prh = pOAOO = p = p cm
:
( ) 2 2 2 2. 2 2 400 2 10 600 tp xq Ðay S = S + S = prh + pr = p + p = p cm .
: ( ) 2 2 3 V = B.h = pr h = p.10 .20 = 2000p cm .
B
a/ .
l = h = 2r .
Do 2 2 4 xq S = prl = pr .
b/
ABCD.A 'B 'C 'D'
ABCD
AB = r 2
( ) ( )
2
3 . ' 2 .2 4 ABCD V = S AA = r r = r Ðvtt .
7 20(cm) 10(cm)
OA O 'B ' 0 30
AB '
a/
b/
A
O
O'
B
B'
A'
0 30
8 r
a/
b/
c/ V V '
'
V
V
.

c/ :
3 3
2
4 4 2
' .2
V r r
V Bh pr r p
= = = .
B
M,N AB CD
OM ^ AB O 'N ^ DC I MN OO ' .
R = OA, h = OO ' .
* TrongDIOM I nên:
2
2
OM = OI = IM .
2 2
.
2 2 2 2
h a
Þ = Û h = a .
2 2 2 2 R = OA + AM + MO
2 2
2 2 2 2 3
2 4 4 8 8
a a a a a
æ ö æ öç ÷ ç ÷÷ = ç ÷ + çç ÷ = + = çç ÷÷ ç ÷è ø çè ø÷
.
2 3
2
2
3 2 3 2
.
8 2 16
3 2 3
2 2 .
2 2 2 2
xq
a a a
V R h
a a a
S Rh
p p
p
p p
ìïïï
= = = ïï
Þ íïï
= = = ïïïî
B
R h
2 S = 2pR + 2pRh R h 2 V = pR h
2 S = 2pR + 2pRh Û
2
2 2 3
2
3.
2 2 2 4
Côsi S V V V V
R R
p pR pR pR p
= + = + + ³
3
2 3
2
27
4 2 54
V S S
V
p p p
æ ö
Þ £ ç ÷÷ Û £ çç ÷çè ÷ø
.
2
2
2 2 2
V R h Rh
R
R R
p
p p
= = = hay h = 2R .
nên 2 6
6
S
S pR R
p
= = .
6
S
R
p
= 2.
6
S
h
p
= .
9 ABCD a A,B
(ABCD) 0 45
D
450
A
O
C
N
’
B
M
I
10 S
11 (O,R) (O ',R) B AB
(O)sao choDO 'AB mp(O 'AB ) (O)
0 60

B
OO ' ^ (OAB ) H AB OH ^ AB, O 'H ^ AB
· 0 Þ OHO ' = 60 .
OH = x 0 < x < R 0 OO ' = x tan 60 = x 3 .
DOAH 2 2 2 AH = R - x .
DO 'AB ( ) 2 2 O 'A = AB = 2AH = 2 R - x 1 .
DAOO ' O nên:
( ) 2 2 2 2 2 AO ' = OO ' + R = 3x + R 2 .
(1),(2) ( )
2
2 2 2 2 2 3
4 3
7
R
Þ R - x = x + R Þ x = .
3 7
' 3
7
R
Þ h = OO = x = .
S V
2
3
2
6 7
2
7
3 7
7
R
S Rh
R
V R h
p
p
p
p
ìïïï
= = ïïíïïï
= = ïï
î
6/
9 ABCD a I ,H AB
CD IH
a/
b/
0 R
a/
b/
21 20(cm) 30(cm).
a/
b/
c/ A B AB
0 60 AB
22. 10(cm) 10 3 (cm) A,B
AB 0 30 .
a/ AB
b/ A B .
c/ AB
23 O O ' r h = r 2 A
O B O ' sao choOA O 'B .
a/ OABO '
A
O
’
B
H

b/ mp (a ) AB OO ' OO ' mp (a ).
c/ mp (a ) OO '
2
2
r
24 30(cm) h = 30(cm).
a/
b/ 60(cm)
25 S.ABC SA = SB = SC = a b .
a/
b/ SAB,SBC,SCA
26 4p .
a/
b/ mp (a )
1 1 ABA B B
0 120
27 ABCDEF.A 'B 'C 'D'E 'F ' a h .
a/
b/
28 ABCD.A 'B 'C 'D' ABCD AB = a
CD = 4a
5
2
a
h .
a/
b/
29. hai O O ' a
O A O ' B sao choAB = 2a
OO 'AB .
. B ABCD a A,B
0 45 .
I.
1/
M O R O R
S (O;R)hay{M / OM = R}.
2/
S (O;R) A
 OA = R Û A Î S (O;R) OA
OA OB OA = - OB
uuur uuur
AB
 OA < R Û A
–
A
A
A
B
O

 OA > R Û A
Þ S (O;R) M sao choOM £ R .
3/
S (O;R) mp (P ) d O mp (P ) H
O trênmp(P)Þ d = OH .
 d < R Û mp (P ) S (O;R) mp (P )
H 2 2 2 2 r = HM = R - d = R - OH
 d > R Û mp(P ) S (O;R)
 d = R Û mp(P) S (O;R) mp (P )
mp (P ) S (O;R) d (O,mp(P))= R
4/
S (O;R) D H O D d = OH
O D
 d > R Û D S (O;R).
 d < R Û D S (O;R)
 d = R Û D
D d = d (O,D)= R .
A S (O;R)
 QuaA S (O;R).
 A
 S (O;R).
II.
1/

Þ B

d
d =

Þ B

Þ B
2/


3/
a/ .
 Tâm
Þ I AC ' .

Þ B
'
2
AC
R = .
b/ .
' ' ' '
1 2 3 1 2 3 ... . ... n n A A A A A A A A , trong
1 2 3... n A A A A ' ' ' '
1 2 3... n A A A A (O) (O ')
 Tâm: I I OO ' .
 : '
1 2 ... n R = IA = IA = = IA .
c/ .
 S.ABC
· · 0 SAC = SBC = 90 .
+ Tâm: I SC .
+ B
2
SC
R = = IA = IB = IC .
 S.ABCD
· · · 0 SAC = SBC = SDC = 90 .
+ Tâm: I SC .
+ B
2
SC
R = = IA = IB = IC = ID .
d/ .
S.ABC...
 O Þ SO
 Trong SO
mp (SAO) SA
D SA M SO I Þ I
 B
’
A B
D
’
B’
I
’
C
A
’
I
O
’
I
A1
A2
A3
An
’1
’2
’3
’n
S
A
I
C
B
S
A
B C
D
I
S
A
B
C
O D
I
Δ
M

SM SI
SMI SOA
SO SA
D : D Þ = Þ B
2 .
...
2
SM SA SA
R IS IA IB IC
SO SO
= = = = = = =
e/ .
S.ABC... SA ^ (ABC...) ABC...
tâmO . S.ABC...
 O d mp(ABC...) O .
 Trong mp (d,SA) D SA SA M d I .
Þ I
R = IA = IB = IC = IS = ...
 :
MIOB
DMAI M
2
2 2 2
2
SA
R AI MI MA AO
æ ö
= = + = + ç ÷÷ çç ÷çè ø÷
.
f/ .
 D
 (a )
 (a )ÇD = I Þ I
 B I
g/ .
A
S
M Δ
I
O
B
C
d
Δ
O
O
O O
Δ
Δ
Δ.
O

4/
 2 4 C S = pR .
 3 4
3 C V = pR .

31 S.ABCD ABCD nha,SA ^ (ABCD) SB
0 30 S.ABCD .
32 S.ABC a 2a
S.ABC .
3 S.ABCD a 3a
S.ABCD .
34 S.ABC ABC C,SA ^ (ABC ) B AB = a 3,
BC = a,SB mp (ABC ) 0 60
S.ABC .
35 S.ABCD a
S.ABCD ABCD SA ^ (ABCD),SA = a,AC = a 2
S.ABCD ABCD SA ^ (ABCD).
H,K,L A DSAB,DSAC,DSAD
A,B,C,D,H,K,L
. Cho S.ABC
· ( ) 0 AB = AC = a,BAC = 120 ,SA ^ ABC ,SA = 2a
S,A,B,C
S.ABC mp(SBC ) ^ mp(ABC ) SC = b,SA = SB = AB = AC = a
S.ABCD 2a O
0 60 M CD H O trênSM .
A mp (SCD) S.ABCD .
S.ABCD
S.ABCD ABCD a DSAB
(SAB) ^ (ABCD).
S.ABCD .
mp(SAB ),mp (SCD).
ABC.A 'B 'C '
·
A,AC = a,ACB = a BC '
(ACC 'A ') b .
ABC.A 'B 'C ' ga
a .
S.ABC 10(cm) 15(cm)

B SA,SB,SC
SABC,SA = a,SB = b,SC = c
ABC.A 'B 'C '
B 10(cm).
SABC SA ^ mp(ABC ),SA = a,AB = b,AC = c
a/
· 0 BAC = 90 .
b/
· 0 BAC = 60 ,b = c .
c/
· 0 BAC = 120 ,b = c .
S.ABC a a 2
A SB,SC
AB,AC .
SA D AC,SD .
ABCD a AH O AH
OBCD .
S.ABCD SA = a ABCD A,B
AB = BC = a,AD = 2a E AD
SCDE
ngABCD.A 'B 'C 'D' a .
ABCD
A 'B 'C 'D ' .
AC ' AB .
cânABC AB = 2a d A
(ABC ) S kh A SABC .
SABC .
SABC p mp (SBC ) mp (ABC )
0 30 .
R
mp (P )
mp (P ).
S.ABC DABC a mp (SBC ) ^ mp (ABC ), SC = SB = a 2
mp(SAB ),mp (SAC ) B mp (SAC ).
S.ABC
S.ABCD ABCD AB = a,AD = 2a (SAD),(SAB )
mp(ABCD),SA = a O
O.SCD .
S.ABCD

S.ABCD ABCD AD = 2a
AB = a,BC = a ,SA ^ (ABCD),SA = a .
S.ABD .
S.CDM M AD .
S.BCD .
ƯU ẦM CỦA: Th.S Ă OÀN

Hinh hoc khong gian

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (7)

Similar to Hinh hoc khong gian

Similar to Hinh hoc khong gian (20)

More from phongmathbmt

More from phongmathbmt (20)

Hinh hoc khong gian