Toán

1. Bài 1: Từ A ở ngoài (O;R) vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC và cát tuyến ADE (AD nằm giữa AO và AB)
a/Cm : ABOC nội tiếp và AO⊥BC
b/Cm : AB2
=AD.AE và BD.EC=DC.BE
c/K là trung điểm CE , OK cắt AC tại G. Cm : OB2
=OK.OG
d/AO cắt BE tại F. Cm : OEFG nội tiếp
K
F
D
G
A
O
B
C
E

2. Bài 2 : Từ A nằm ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC. Gọi H là giao điểm AO và BC.
a/Cm : ABOC nội tiếp và AO là đường trung trực của BC
b/Vẽ dây BE//AC, AE cắt (O) tại D. Cm : AB2
=AD.AE
c/Cm : DHOE nội tiếp
d/Vẽ dây BV//AO. Cm : V,O,C thẳng hàng
e/Trên BE lấy G, vẽ GH vuông góc EC tại H cắt BV tại F. Gọi K là trung điểm GE.
Cm : FK vuông góc KC.
V
K
D
H
F
E
A
O
B
C
G

3. Bài 3 : Từ A ở ngoài (O;R) vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC và cát tuyến ADE (AD nằm giữa AO và AB),
OK⊥DE tại K và cắt BC tại N
a/Cm : A,B,K,O,C cùng thuộc một đường tròn và
KA là phân giác của góc BKC
b/Cm : DHOE nội tiếp và HB là phân giác của góc DHE
c/BH cắt DE tại R. Cm : DR.AE=RE.AD.
d/AB cắt NE tại F. Cm : FB=FE
e/Qua B vẽ đường thẳng song song AC cắt FC tại I và cắt EC tại M.
Cm : I là trung điểm BM
R M
I
F
K
N
H
D
A O
B
C
E

4. Bài 4 : Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) có BE và CD là 2 đường cao cắt nhau tại H, AH cắt BC
tại F
a/Cm : BDEC, DHFB, EHFC nội tiếp
b/Cm : 1
HF HD HE
AF CD BE
+ + =
c/Cm : 2
AH HC HB
AF CD BE
+ + =
d/Cm :
. . .
1
. . .
HA HB HA HC HB HC
CACB BA BC AB AC
+ + =
e/Tiếp tuyến tại B cắt tiếp tuyến tại A và tại C
lần lượt tại M,N. Qua trung điểm I của MN vẽ
đường thẳng song song AM cắt NC tại K.
Gọi P là giao điểm của IK và AB
Cm : OBPN nội tiếp
P
K
I
N
M E
D
F
H
O
A
B C

5. Bài 5 : Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
a/Cm : BFED nội tiếp và xác định tâm M
b/Cm : H là tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF
c/Vẽ đường kính AN. Cm : H,M,N thẳng hàng và AH=2OM
d/Từ A vẽ các đường thẳng song song với BE,CF lần lượt cắt CF,BE tại P và Q
Cm : PQ⊥AM
Q
P
N
M
E
F
D
H
O
A
B
C

6. Bài 6 : Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O;R) có 2 đường cao AF và BE cắt nhau tại H
a/Cm : FHEC, AEFB nội tiếp
b/Vẽ đường kính AK. Cm : BHCK là hình bình hành
c/HK cắt BC tại M. Cm : AH=2OM
d/Cm :
. .
4
AB AC BC
S ABC
R
∆ =
e/Trên cung nhỏ AC lấy điểm D.
Cm :
. .
. .
BA AD BC CD AC
AB BC CD DA BD
+
=
+
M
K
F
E
H
O
A
B
C
D

7. Bài 7 : Cho ∆ABC nhọn có 3 đường cao AD,BF,CE cắt nhau tại H
a/Cm : BEFC nội tiếp và xác định tâm K
b/Cm : EC là phân giác FED
c/Gọi I,J lần lượt là hình chiếu của H lên EF,FD. Cm : HI=HJ
d/AD cắt IJ tại M, EM cắt FD tại N. Cm : M là trung điểm EN
e/Cm : Diện tích ∆DEF gấp đôi diện tích ∆DMF
N
M
J
I
D
E
F
H
A
B C

8. Bài 8 : Từ A ở ngoài (O) vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ADE. Vẽ BH⊥AO tại H
a/Cm : AB2
=AD.AE
b/AO cắt (O) tại I. Cm : BI là phân giác góc ABH
c/Cm : DHOE nội tiếp
d/Cm : BH2
=DH.HE
e/N là trung điểm HB. Đường trung trực của AB cắt NO tại K
Cm : KA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ABO
K
N
HI
D
O
B
A
E

9. Bài 9 : Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O) có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H
a/Cm : AFHE nội tiếp xác định tâm I và AH⊥BC tại D
b/Gọi M,N lần lượt là giao điểm của CF,BE với (O)
Cm : EF//MN và OA⊥MN
c/Cm : AM là tiếp tuyến của đường
tròn ngoại tiếp ∆MHD
d/ EF cắt AD tại K.
Cm : K là trực tâm của ∆IBC
e/Tính diện tích quạt AOB và
quạt AOC biết
0ˆ ˆ 105A B+ = và 2 2AB AC BC+ =
K
I
D
H
E
F
N
M
O
A
B C

11. Bài 10 : Từ M ngoài (O) vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC đến (O), AH⊥MO tại H
a/Cm : MA2
=MB.MC
b/Cm : HA là phân giác của góc BHC
c/Cm : AH2
=BH.HC
d/Vẽ dây CK//AH. Cm : B,H,K thẳng hàng
e/Đoạn thẳng MO cắt (O) tại K. Cm : MB.AH=BH.AM
K
K H
B
O
A
M
C

12. Bài 11 : Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O;R) có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H
a/Cm : BFEC nội tiếp xác định tâm I
b/Cm : BC=2R.sinA và cosB+cosC>sinA
c/Đường tròn (H;HA) cắt AB,AC tại M,N
Cm : MN⊥AO
d/Vẽ HP⊥AI tại P. Cm : 2
4 .BC IP IA=
M
P
I
D
N
F
E
H
O
A
B
C

13. Bài 12 : Từ A ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến AE,AF và cát tuyến AID, OK⊥ID tại K
a/Cm : A,E,O,K,F cùng thuộc một đường tròn và AF2
=AI.AD
b/Cm : AI+AD=2AK và góc IFE bằng góc KFD
c/Cm : FI.DE+FD.IE=FE.ID
d/Tiếp tuyến tại D lần lượt cắt
AF,AE tại B,C. Vẽ DH⊥EF tại H
Đường trung trực của BC cắt EF tại M
Cm : BHMC nội tiếp
M
K
I
H
C
B
A
O
F
E
D

14. Bài 13 : Từ A ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC. Trên BC lấy G (GB>GC). Qua G vẽ đường
thẳng vuông góc AB cắt AB tại F và cắt OC tại G. Gọi I là trung điểm BG
a/Cm : AI⊥IH
b/AI cắt (O) tại D và K (I nằm giữa D và K)
Cm : AD.IK=AK.DI
c/Cm : DB.KC=DC.BK
d/Cm : DB.KC+DC.BK=DK.BC
e/Vẽ dây BE//AO. Cm : E,H,C thẳng hàng
f/ED và EK lần lượt cắt AO tại J,L.
Cm : OJ=OL
L
J
E
D
K
I
H
F
A
O
B
C
G

15. Bài 14 : Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O) có AD là đường cao, vẽ
đường kính AG. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của B,C lên
AG, M là trung điểm BC
a/Cm : BDEA và CFDA nội tiếp
b/Cm : OM//AD, DF//BG, DE//GC
c/Cm : ∆ADB~∆ACG và M là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆DEF
d/Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại N,
CG cắt AB tại P. Cm : PN⊥AG
P
N
M
F
E
G
D
O
A
B
C

16. Bài 15 : Từ A ở ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC và cát tuyến ADE
(AD nằm giữa AO và AC). Đoạn thẳng OA cắt BC tại H và cắt
(O) tại F.
a/Cm : ABOC nội tiếp, AO⊥BC, BF là tia
phân giác của góc ABH.
b/Cm : AB2
=AD.AE và DHOE nội tiếp
c/Vẽ FL⊥SH tại F. Qua A vẽ đường thẳng song
song OC cắt FL tại K. Gọi J là trung điểm FH
Cm : KJ⊥JS
d/Đường trung trực của AH cắt tiếp tuyến tại E
của (O) tại S. Cm : SA=SE
J
D
L
K
F
S
G H
A
O
B
C
E

17. Bài 16 : Từ A ngoài (O) vẽ tiếp tuyến AB, BH⊥AO tại H
Cát tuyến ADE cắt BH tại F.
a/Cm : AB2
=AD.AE
b/Cm : DHOE nội tiếp
c/Cm : DH.OE=BH2
d/I đối xứng B qua OF. Cm : I thuộc (O)
e/DG//BE (G thuộc BH) và DK//EI (K thuộc AI)
Cm : ∆DGK cân
G
K
I
F
D
H
O
B
A
E

18. Bài 17 : Từ A vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC và cát tuyến ADE
đến (O), AO cắt BC tại H
a/Cm : ABOC nội tiếp và AO⊥BC
b/Cm : OE2
=OH.OD và DHOE nội tiếp
c/DH cắt (O) tại N. Cm : EN⊥AO
d/Đường tròn tâm H bán kính HD cắt DN tại M
EM cắt HO tại J, BC cắt DE tại I
Cm : IJ//DM và HE đi qua trung điểm của IJ
N
J
I
M
H
D
A
O
B
C
E

19. Bài 18 : Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O) có 3 đường cao
cắt nhau tại H.
a/Cm : ADHE và BDEC nội tiếp
b/Tia phân giác góc BAC cắt (O) tại M
Cm : AM là phân giác của góc FAO
c/Cm : AE.BD.FC=AD.BF.CG=DE.DF.FG
d/Tiếp tuyến tại A cắt BC tại I.
Cm : DE//AI
e/Vẽ dây AK⊥IO, AM cắt BC tại P
vẽ đường kính MN.
Cm : M,P,K thẳng hàng
f/DE cắt AH tại T. Qua T vẽ đường thẳng
song song với BC cắt DC tại S và cắt AC tại G
Cm : ∆SFG cân
G
S
T
K
P
N
I
M
F
D
E
H
O
A
B
C

20. Bài 19 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (góc A tù).
Gọi E,F là hình chiếu của A lên BC và CF.
a/Cm : AECD nội tiếp và AE.DF=EB.AD
b/Đường tròn tâm I đường kính AB và đường tròn tâm J
đường kính AF cắt nhau tại M.
Cm : M thuộc BF và E,M,D thẳng hàng
c/AB cắt (J) tại N và AF cắt (I) tại H, HM cắt AB tại K
Cm : BK.AN=KA.BN
d/BJ cắt FI tại G, AG cắt IJ tại P. Cm : PI=PJ
P
K
G
N
H
M
I
J
D
E
O
A
B
C
F

21. Bài 20 : Cho ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD,
AC cắt BD tại I, IH⊥AD tại H
a/Cm : ABIH nội tiếp và IA.IC=IB.ID
b/AB cắt CD tại K. Cm : K,I,H thẳng hàng
c/M là trung điểm ID.
Cm : BHOM nội tiếp và CM.BD=DH.OA
d/Qua N vẽ đường thẳng vuông góc BD cắt AC,AD lần lượt
tại E và F. Cm : N là trung điểm của EF.
F
E
N
K
M
H
I
DOA
B
C

22. Bài 21 : Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O) có 2 đường cao
BE và CD cắt nhau tại H
a/Cm : BDEC nội tiếp và xác định tâm I
b/K là trung điểm DE.
Cm : AK.AC=AD.AI
c/Vẽ dây BF song song DE.
Cm : AB=AF và KI//AO
d/AM cắt BF tại M. Cm : MI⊥BE
e/DT⊥BC (T thuộc BE)
Cm : Đường trung trực của DT,KI,DC đồng quy.
T M
F
I
K
H
E
D
O
A
B C

23. Bài 22 :
Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O) có 2 đường cao BE,CF cắt nhau tại H.
a/Cm : AFHE, BFEC nội tiếp và EH.EB=EA.EC
b/Gọi I,K là trung điểm EF,BC. Cm : IK//OA
c/AO cắt BE,CF,CB,(O) lần lượt tại M,N,P,D
Cm :
1 1 1
DP DN DM
= +
d/Qua K vẽ đường thẳng vuông góc HK cắt AB,AH,AC
lần lượt tại T,G,S. Cm : GT=GS
N
M
G
S
T
H
D
K
I
E
F O
A
B
C

24. Bài 23 :
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có AC cắt BD tại I
a/Cm : IA.IC=IB.ID
b/Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại B cắt nhau tại S, SO cắt AD tại H
Cm : SAOD nội tiếp và SO⊥AD
c/Vẽ AM⊥HI tại M và đường kính AE. AM cắt SO,DE
lần lượt tại N,F
Cm : AM.AN=SH.HO và NA=NF
d/HI cắt BC tại K. Cm :
2
2
KC IC
KB IB
=
F
E
N
M
K
H
S
I
O
A
D
C
B

25. Bài 24 :
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C là điểm chính giữa
cung AB. Tiếp tuyến tại C và tiếp tuyến tại A cắt nhau tại S
a/Cm : ASCO là hình vuông
b/Lấy M trên SA, MC cắt SO,AB lần lượt tại E,F
Cm : SE.FB không đổi khi M di chuyển trên SA
c/MC cắt SB tại D. Cm : CD2
=DE.DF
d/OM cắt SC tại I. Cm : SI.FA không đổi khi M di chuyển trên SA và AI⊥SF
E
D
F
I S
BA O
C
M

26. Bài 25 :
Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O) có 2 đường cao BD,CF cắt nhau tại H và lần lượt cắt (O) tại E,G
a/Cm : AFHD,BFDC nội tiếp và FD//GE
b/Cm : ∆AGE cân
c/Lấy M thuộc cung BC, ME cắt AC tại Q, MG cắt AB tại P.
Cm P,H,O thẳng hàng
d/Vẽ MI⊥BC tại I và MN⊥AB tại N, NI cắt HM tại T.
Cm : TH=TM
T
Q
P
I
N
H
F
D
G
E
O
A
B
C
M

27. Bài 26 :
Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O) có AH là đường cao, M là điểm chính giữa cung nhỏ BC
a/Cm : OM⊥BC tại E và AM là phân giác của HAO
b/Vẽ dây MN//AB, CF⊥MN tại F, MN cắt AC tại G.
Cm : MEFC, AOGN nội tiếp
c/AM cắt BC tại D. Cm : AD2
=AB.AC-DB.DC
d/BN cắt AC tại I. Cm : BI2
=AI2
+AI.AB
G
D E
I
H
N
M
O
A
B C
F

28. Bài 27 :
Từ A ở ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC. Vẽ dây BF//AC, AF cắt (O) tại E.
Vẽ đường kính BN, AN cắt (O) tại M, BC cắt AO tại H
a/Cm : ABOC nội tiếp và AO⊥BC
b/Cm : EHOF nội tiếp và ON.MH=AH.HO
c/Cm : HM⊥MC và ∆EHM~∆NHF
d/Cho BM=a, MC=b, CN=c. Tính R theo a,b,c
e/BE cắt AC tại J và CM cắt AH tại I. Cm : IJ2
=4AH.HO
f/AO cắt (O) tại K (O nằm giữa A và K)
Cm :
1 1 1
OB KH KA
= +
J
I
K
M
E
N
F
H
A
O
B
C

29. Bài 28 :
Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O). Trên BC lấy D,P sao cho BD=DP=PC
AD cắt (O) tại K. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của D lên AB,AC
a/Cm : AEDF nội tiếp và AD.DK=2BD2
b/Qua K vẽ đường thẳng vuông góc với AK cắt AB,AC lần lượt tại I,J
Cm : IEFJ nội tiếp và Cm : ∆ODP cân
c/KM⊥AI tại M và KN⊥AJ tại N. Cm : IMNJ nội tiếp và MN//EF
d/Vẽ PT⊥DF tại T. Cm : AT,DN,KF đồng quy
e/Cho APB=600
và ACB=450
. Tính AC theo R.
T
M
N
J
I
F
E
K
CD
B
P
O
A

31. Bài 29 :
Cho nửa đường tròn đường kính AB, D là điểm chính giữa cung AB, C là điểm thuộc cung AD
AD cắt BC tại H
a/Cm : DO⊥AB, ∆ADB vuông cân và HD.HA=HC.HB
b/DA là tia phân giác CDM và CMOD nội tiếp
c/CD cắt AB tại N. Cm : NA.NB=NM.NO và AH.AD+BH.BC=4R2
d/Vẽ OI⊥BC (I thuộc DB). Trên DB lấy K sao cho I là trung điểm DK,
vẽ KF⊥BC (F thuộc AB), BC cắt OD tại E.
Cm : BE.BC=2R2
và tính góc OEF
M
H
N
F
K
I
E
OA
B
D
C

32. Bài 30 :
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC, AH⊥BC tại H
Đường tròn tâm D đường kính AH cắt AB,AC tại E,F
a/Cm : AEHF là hình chữ nhật và AO⊥EF
b/Cm : AE.EB+AF.FC=BH.HC và EF là tiếp tuyến chung của
đường tròn ngoại tiếp ∆BEH và
đường tròn ngoại tiếp ∆HFC
c/Cm : . . .EH EB FH FC AB AC+ =
d/Đường tròn tâm A bán kính AH cắt (O) tại M và N.
Cm : M,E,F,N thẳng hàng
N
M
F
E
D
H COB
A

34. Bài 31 :
Từ S ở ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến SB,SQ đến (O), SO cắt (O) tại E và F (E nằm giữa S và O)
Vẽ đường kính QD, SD cắt (O) tại C, BQ cắt SD,SO lần lượt tại A,H. Gọi I là trung điểm CD.
a/Cm : S,B,I,O,Q cùng thuộc một đường tròn
b/Cm : SE/EH=SF/HF. Từ đó suy ra SE/SF=BH2
/HF2
c/Cm : SC/SD=AC/AD và SC/SD=CH2
/BH2
d/Cm : SK2
=KE.KF. Từ đó suy ra 1/SK=1/SE=1/SF
e/Cm : KS=KH và ID2
=IB.IQ
A I
K
H
E
C
D
F
S
O
B
C

35. Bài 32
Cho đường tròn tâm O đường kính BC và A thuộc cung BC sao cho AB<AC.
Tiếp tuyến tại A cắt tiếp tuyến tại B và tiếp tuyến tại C lần lượt tại E và F, EC cắt BF tại G
a/Cm : EB+CF=EF, EO⊥OF , BE.CF=R2
và AG⊥BC
b/AG cắt BC tại H. Cm : AH.EF=2R2
, HA là phân giác của ∠EHF,
c/J đối xứng B qua E, I là trung điểm FC. Cm : J,A,C thẳng hàng, JO⊥OI và IJ là tiếp tuyến của (O)
d/CD⊥OA tại D. Đường tròn tâm C bán kính CD cắt (O) tại M và N.
Cm : MN đi qua trung điểm của CD.
H
T
S N
M
D
G
I
J
F
E
CO
B
A

37. Bài 33
Cho ∆ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC có AH là đường cao. Trên tia đối tia CB
lấy D sao cho CD=AC
a/Cm :
1 1 1
DC DH DB
= +
b/Qua B vẽ đường thẳng song song OA cắt DA tại F. Cm :
1 1 1
BO BD BF
= +
c/Đường thẳng vuông góc AH tại A cắt BF tại E, EH cắt AB, AO lần lượt tại J, K. Cm :
1 1 1
EJ EH EK
= +
d/Tiếp tuyến tại A cắt BC tại I. Lấy G là trung điểm của IH. Cm :
1 1 1
IG IB IC
= +
e/Tiếp tuyến tại B cắt AI tại P, AE cắt (O) tại R, AC cắt BR tại S, PS cắt AB tại T. Cm :
1 1 1
TS AR BC
= +
f/Trên tia đối tia AI lấy M bất kì. HM cắt AC tại N. Cm :
1 1 1
AN AH AM
= + khi ∠HAM=1200
.
g/BE cắt (O) tại Z. Gọi X, Y lần lượt là trung điểm của EB, OR. Cm :
1 1 1
RY OB RE
= + khi XY EZ=

38. Bài 34 :
Từ A ở ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC đến (O), OA cắt (O)
tại F và G.
a/Cm : AF.HG=FH.AG
b/Vẽ cát tuyến ADE, BC cắt AD và OA tại K,H
Cm : AD.KE=DK.AE
c/Gọi I là trung điểm của DE, OI cắt BC tại J
Cm : BJ.KC=BK.JC
d/Qua A vẽ đường thẳng vuông góc OA cắt CF tại N.
Gọi M là giao
điểm CF và AB. Cm : MN.FC=MF.NC
M
N
K
HF
I
J
G
D
A
O
B
C
E