1. B –Trung LY -0987708400 Page 1
Vấn đề 4: Góc có đỉnh ở bên trong và bên ngoài đường tròn
I. Tóm tắt lý thuyết
 Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến MAB và MCD thì góc BMD
được gọi là góc ở bên ngoài đường tròn (O) và
BMD=
1
( )
2
BD AC .
 Nếu một MC là tiếp tuyến thì BMD=
1
( )
2
BC AC
 Từ một điểm M bên trong kẻ hai dây cung AB và CD khi đó góc
1
( )
2
AMC AC BD  là
góc ở bên trong đường tròn.
II. Các ví dụ mẫu
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D. Tiếp tuyến ở D cắt AC ở
P. Chứng minh PD = PC.
Bài 2: Hai dây cung AB và CD kéo dài cắt nhau tại điểm E ở ngoài đường tròn (O) (B nằm giữa A và E,
C nằm giữa D và E). Cho biết 0 0 0
75 , 22 , 144 .CBE CEB AOD  
Chứng minh AOB BAC .
Bài 3: Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB (C nằm giữa
M và B). Phân giác của góc BAC cắt BC ở D, cắt đường tròn (O) ở N. Chứng minh:
a) MA = MD;
b) MA2
= MC.MB;
c) NB2
= NA. ND.
III. Luyện tập
Trên lớp
Bài 4: A, B, C là 3 điểm thuộc đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC tại D. Tia phân giác của
BAC cắt đường tròn ở M, tia phân giác góc D cắt đường AM ở I. Chứng minh DI AM .
Bài 5: Từ điểm P nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn. Qua trung điểm B của
đoạn thằng PA vẽ cát tuyến BCD với đường tròn ( C nằm giữa B và D). Các đường thằng PC và PD cắt
đường tròn ở E và F. Chứng minh:
a) DCE DPE CAF  ; b) AP// PF.
Về nhà
Bài 6: Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và và AMN (B nằm giữa A và
C, M nằm giữa A và N). Hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại S. Chứng minh:
a) 2A BSM CBN  ; b) AM.AN = AB.AC.
Bài 7: Trên đường tròn (O; R) vẽ ba dây liên tiếp bằng nhau AB, BC, CD, mỗi dây có độ dài nhỏ hơn R.
Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại I, các tiếp tuyến của đường tròn tại B, D cắt nhau tại K. Chứng
minh:
a) ;BIC BKD
b) BC là tia phân giác của góc KBD.