Dokumen tersebut membahas tentang struktur data graph dan beberapa konsep yang terkait dengannya seperti vertex, edge, directed graph, undirected graph, weighted graph, adjacency matrix, adjacency list, minimum spanning tree, shortest path problem, dan algoritma-algoritma seperti Prim-Dijkstra, Kruskal, dan metode greedy.

1. STRUKTUR DATA
Struktur Data Graph

2. GRAPH
• Graph adalah kumpulan dari simpul dan
busur yang secara matematis dinyatakan
sebagai :
G = (V, E)
Dimana
G = Graph
V = Simpul atau Vertex, atau Node, atau Titik
E = Busur atau Edge, atau arc

3. Contoh graph :
C
E
Undirected graph
e3
e7
edge
e5
v1 A
e2
vertex v2
B
e1 e4
v4 D
e6 v5
v3
V terdiri dari v1, v2, …, v5
E terdiri dari e1, e2, … , e7

4. • Sebuah graph mungkin
hanya terdiri dari satu simpul
• Sebuah graph belum tentu
semua simpulnya terhubung
dengan busur
• Sebuah graph mungkin
mempunyai simpul yang tak
terhubung dengan simpul
yang lain
• Sebuah graph mungkin
semua simpulnya saling
berhubungan

5. Graph Berarah dan Graph Tak Berarah :
B
A C
E
B
C
E
Directed graph Undirected graph
Dapat dilihat dari bentuk busur yang artinya urutan
penyebutan pasangan 2 simpul.
e1 e3
e4
e7
e5
v1 A
e2
v2
v4 D
e6 v5
v3
v1
v2
v3
v5
D
v4
e1
e2
e3
e4
e5
e6
e7
e8 e9
e10

6. • Graph tak berarah (undirected graph atau
non-directed graph) :
• Urutan simpul dalam sebuah busur tidak
dipentingkan. Mis busur e1 dapat disebut
busur AB atau BA
• Graph berarah (directed graph) :
• Urutan simpul mempunyai arti. Mis busur AB
adalah e1 sedangkan busur BA adalah e8.

7. • Graph Berbobot (Weighted Graph)
• Jika setiap busur mempunyai nilai yang
menyatakan hubungan antara 2 buah simpul,
maka busur tersebut dinyatakan memiliki
bobot.
• Bobot sebuah busur dapat menyatakan
panjang sebuah jalan dari 2 buah titik, jumlah
rata-rata kendaraan perhari yang melalui
sebuah jalan, dll.

8. Graph Berbobot :
B
A C
E
C
E
Directed graph Undirected graph
Panjang busur (atau bobot) mungkin tidak digambarkan secara
panjang yang proposional dengan bobotnya. Misal bobot 5
digambarkan lebih panjang dari 7.
5 3
12
6
8
v1 A
4
v2
B
v4 D
3 v5
v3
v1
v2
v3
v5
D
v4
5
e2
3
12
8
3
6
4 7
10

9. Istilah pada graph
Incident
Jika e merupakan busur dengan simpul-
simpulnya adalah v dan w yang ditulis
e=(v,w), maka v dan w disebut “terletak”
pada e, dan e disebut incident dengan v
dan w.
Degree (derajat), indegree dan outdegree
Degree sebuah simpul adalah jumlah busur
yang incident dengan simpul tersebut.

10. Indegree sebuah simpul pada graph berarah
adalah jumlah busur yang kepalanya
incident dengan simpul tersebut, atau jumlah
busur yang “masuk” atau menuju simpul
tersebut.
Outdegree sebuah simpul pada graph
berarah adalah jumlah busur yang
ekornya incident dengan simpul tersebut,
atau jumlah busur yang “keluar” atau berasal
dari simpul tersebut.

11. 3. Adjacent
Pada graph tidah berarah, 2 buah simpul
disebut adjacent bila ada busur yang
menghubungkan kedua simpul tersebut.
Simpul v dan w disebut adjacent.
w
e
v
Pada graph berarah, simpul v disebut
adjacent dengan simpul w bila ada busur
dari w ke v.
v
e w

12. 4. Successor dan Predecessor
Pada graph berarah, bila simpul v adjacent
dengan simpul w, maka simpul v adalah
successor simpul w, dan simpul w adalah
predecessor dari simpul v.
5. Path
Sebuah path adalah serangkaian simpul-
simpul yang berbeda, yang adjacent secara
berturut-turut dari simpul satu ke simpul
berikutnya.
3 4 4 4 4
2
3
1 2 1 2 1 2 1
3 3

13. Representasi Graph dalam
bentuk matrix
• Adjacency Matrix Graph tak berarah
B
A C
D E
Graph
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
0 1 1 1 0
A
0
B C
1 2
A
B
C
E
4
D
3
D
E
0
1
2
4
3
Urut abjad
Degree simpul : 3

14. Representasi Graph dalam
bentuk matrix
• Adjacency Matrix Graph berarah
Graph
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 0 0 0
A
0
B C D
1 2 3
A
B
C
E
4
D
E
0
1
2
4
3
B
A C
D E
ke
dari
out
in

15. • Adjency List graph tak berarah
• Digambarkan sebagai sebuah simpul yang
memiliki 2 pointer.
• Simpul vertex : Simpul edge :
Representasi Graph dalam
bentuk Linked List
info info
Menunjuk ke simpul
vertex berikutnya,
dalam untaian simpul
yang ada.
Menunjuk ke simpul
edge pertama Menunjuk ke
simpul edge
berikutnya, bila
masih ada.
Menunjuk ke simpul
vertex tujuan yang
berhubungan dengan
simpul vertex asal.
left right left right

16. • Define struct untuk sebuah simpul yang
dapat digunakan sebagai vertex maupun
edge.
typedef struct tipeS {
tipeS *Left;
int INFO;
tipeS *Right;
};
tipeS *FIRST, *PVertex, *PEdge;

17. Contoh : untuk vertex A, memiliki 2
edge yang terhubung yaitu e1 dan e2.
A
C
D
B
E
e2
Graph
e1
B
A C
D E
e1
e3
e4
e7
e5
e2
e6
Urut abjad

18. Gambar di atas dapat disusun dengan
lebih sederhana, sbb :
A
C
D
B
E
D
A
B
A
B
C E
D E
C
C D
B
A C
D E
Graph
B
E

19. Adjency List graph berarah
A
C
D
B
E
D
A
B
C
E
C
B
E
B
A C
D E

20. Graph berarah dan
berbobot
B
A C
D E
5
3
2
14
12
6
7
12
0 5 0 2 0
6 0 3 0 0
0 0 0 0 12
0 0 12 0 7
0 14 0 0 0
A
0
A
B
C
D
B
1
C
2
D E
3 4
E
0
1
2
3
4
Perhatikan pemilihan nilai 0.

21. Penyelesaian kasus Graph
halaman sebelumnya :
• Define simpul untuk vertex dan edge
• Mengidentifikasi Simpul pertama sebagai
vertex yang pertama
• Tambahkan vertex sisanya
• Tambahkan edge pada masing-masing
vertex yang telah terbentuk
• Tampilkan representasi graph berikut
bobotnya

25. Hasil :

26. ALGORITMA DIJKSTRA
• Algoritme Dijkstra, (sesuai penemunya Edsger Dijkstra), adalah sebuah algoritma
yang dipakai dalam memecahkan permasalahan jarak terpendek (shortest path
problem) untuk sebuah graf berarah (directed graph).
• Algoritma ini dioublikasikan pada tahun 1959 jurnal Numerische Mathematik yang
berjudul “A Note on Two Problems in Connexion with Graphs” dan dianggap sebagai
algoritma greedy.
• Permasalahan rute terpendek dari sebuah titik ke akhir titik lain adalah sebuah
masalah klasik optimasi yang banyak digunakan untuk menguji sebuah algoritma
yang diusulkan. Permasalahan rute terpendek dianggap cukup baik untuk mewakili
masalah optimisasi, karena permasalahannya mudah dimengerti (hanya
menjumlahkan seluruh edge yang dilalui) namun memiliki banyak pilihan solusi.
• Menurut Andrew Goldberg peneliti Microsoft Research Silicon Valley,
mengatakan ada banyak alasan mengapa peneliti terus mempelajari masalah
pencarian jalan terpendek. “Jalan terpendek adalah masalah optimasi yang
relevan untuk berbagai macam aplikasi, seperti jaringan routing, game,
desain sirkuit, dan pemetaan”.

27. Contoh
Sebagai contoh hitunglah Jarak terdekat dari V1 ke V7 pada gambar berikut ini.

28. jawaban
Dengan demikian jarak terpendek dari V1 ke V7 adalah 16
dengan jalur V1->V2->V3->V5->V6->V7

29. [buku utama, bab 6.5]
GRAPH vs TREE
• Sebuah Graph memiliki ciri berbeda dengan Tree
• Dalam Graph, edge bebas menghubungkan node-node mana pun.
• Dalam Tree, satu node hanya boleh terhubung ke satu parent dan
beberapa child, tidak boleh ke beberapa parent.
• Dalam sebuah Graph bisa dirunut jalur edge yang membentuk jalur
putaran dari 1 node kembali ke node semula; ini tidak boleh terjadi
dalam Tree
By @Dikky Suryadi M.Kom

30. SPANNING TREE
• Spanning Tree adalah sebuah Tree yang dibuat dari
sebuah Graph dengan menghilangkan beberapa edge-
nya. Tree ini harus mengandung semua node yang
dimiliki Graph.
[buku utama, ilustrasi 6.3]

31. MINIMUM SPANNING TREE
• Jika Weighted Graph diubah menjadi
Spanning Tree, tiap kombinasi Tree yang
dapat dibuat memiliki total weight yang
berbeda-beda.
• Problem Minimum Spanning Tree (MST)
berusaha mencari Tree seperti apa yang
bisa dibuat dari sebuah Weighted Graph
dengan total weight seminimal mungkin.

32. MST DENGAN METODE
GREEDY
• Algoritma Prim-Dijkstra
• Ditemukan oleh Robert C. Prim di tahun 1957
dan oleh Edsger Dijkstra di tahun 1959.
• Algoritma Kruskal
• Ditemukan oleh Joseph Kruskal di tahun
1956.
By @Dikky Suryadi M.Kom

33. • Langkah-langkah algoritma Prim-Dijkstra :
1. Tentukan node awal, asumsikan semua edge berwarna hitam
2. Dari semua edge yang terhubung ke node awal tersebut, pilih
edge dengan bobot terkecil
3. Tandai edge yang dipilih dengan warna hijau
4. Apabila ada edge yang kedua node-nya sudah terkena jalur
hijau, tandai edge tersebut dengan warna merah (karena jika
dipilih akan membentuk jalur putaran à melanggar syarat tree)
5. Tentukan node-node yang berada di jalur hijau sebagai node
aktif
6. Bandingkan semua edge yang terhubung ke node aktif (hanya
edge hitam), pilih yang bobotnya terkecil
7. Tandai edge yang dipilih dengan warna hijau
8. Ulangi dari langkah ke-4 hingga semua node terlewati jalur
9. Ketika semua node telah dilewati jalur hijau, maka jalur hijau
ALGORITMA PRIM- DIJKSTRA

34. • Langkah-langkah algoritma Kruskal :
1. Asumsikan semua edge berwarna hitam
2. Bandingkan bobot semua edge hitam, pilih edge dengan bobot
terkecil
3. Tandai edge yang dipilih dengan warna hijau
4. Apabila ada edge yang kedua node-nya sudah terkena jalur
hijau, tandai edge tersebut dengan warna merah (karena jika
dipilih akan membentuk jalur putaran à melanggar syarat tree)
5. Ulangi dari langkah ke-2 hingga semua node terlewati jalur
hijau
6. Ketika semua node telah dilewati jalur hijau, maka jalur hijau
yang terbentuk adalah MST yang dicari
ALGORITMA KRUSKAL
By @Dikky Suryadi M.Kom

35. • Pelajari langkah-langkah algoritma pada :
• bab 6.5.1 (algoritma Prim-Dijkstra)
• bab 6.5.2 (algoritma Kruskal)
CONTOH PROBLEM MST

36. SHORTEST PATH
• Dalam sebuah Graph yang setiap edge yang memiliki weight
(bobot), jarak terpendek (shortest path) antara 2 node dapat dicari
dengan Metode Greedy
• Misal kita hendak mencari jalur terpendek (shortest path) dari node
A ke node F, bagaimana cara menghitungnya dengan Metode
Greedy?
[buku utama, bab 6.7]
By @Dikky Suryadi M.Kom

37. METODE GREEDY
SHORTEST PATH
• Langkah-langkah Metode Greedy
1.Berangkat dari node awal
2.Pilih edge yang memiliki bobot terkecil dari
node tersebut
3.Maju ke node yang dituju
4.Ulangi dari langkah ke-2 hingga mencapai
node tujuan
By @Dikky Suryadi M.Kom

38. CONTOH PROBLEM
SHORTEST PATH
[buku utama, bab 6.7]
By @Dikky Suryadi M.Kom

39. • Metode Greedy menghasilkan solusi yang cukup baik, tapi bukan
yang paling baik
• Diskusikan mengapa bisa begitu?
SOLUSI OPTIMAL?
• Benarkah solusi yang didaptkan dari Metode Greedy untuk Shortest
Path problem adalah benar-benar solusi terbaik?
• Coba bandingkan solusi berikut :
By @Dikky Suryadi M.Kom

40. • Diskusikan mengapa kadang Metode Greedy
gagal menghasilkan solusi terbaik!
LATIHAN
• Buatlah Minimum Spanning Tree menggunakan
algoritma Prim-Dijkstra dan algoritma Kruskal
• Carilah Shortest Path dari node A ke node F
dengan Metode Greedy!
By @Dikky Suryadi M.Kom

41. By @Dikky Suryadi M.Kom
REVIEW
• Apa yang sudah dipahami?
• Apa yang akan dibahas selanjutnya?