Gli Infiniti Valori Derivanti dalla Frazione 1 su 9 - Quattro Formule - Numeri con Due Cifre Ripetute - Dimostrazioni e Tanti Esempi - Divisioni Parziali
Mathematics (from Greek μάθημα máthēma, “knowledge, study, learning”) is the study of topics such as quantity (numbers), structure, space, and change. There is a range of views among mathematicians and philosophers as to the exact scope and definition of mathematics
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APEX INSTITUTE was conceptualized in May 2008, keeping in view the dreams of young students by the vision & toil of Er. Shahid Iqbal. We had a very humble beginning as an institute for IIT-JEE / Medical, with a vision to provide an ideal launch pad for serious JEE students . We actually started to make a difference in the way students think and approach problems.
Growth of Functions
CMSC 56 | Discrete Mathematical Structure for Computer Science
October 6, 2018
Instructor: Allyn Joy D. Calcaben
College of Arts & Sciences
University of the Philippines Visayas
The simplest and most common form of mathematical induction infers that a statement involving a natural number n (that is, an integer n ≥ 0 or 1) holds for all values of n. The proof consists of two steps:
The base case (or initial case): prove that the statement holds for 0, or 1.
The induction step (or inductive step, or step case): prove that for every n, if the statement holds for n, then it holds for n + 1. In other words, assume that the statement holds for some arbitrary natural number n, and prove that the statement holds for n + 1
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- PROGRAMMA VeraCrypt
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- RENDERE INVISIBILI FILE, CARTELLE con PROGRAMMI
- PROGRAMMA Directory Security
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- PROTEGGERE con PASSWORD un DOCUMENTO di WORD
- PROTEGGERE un FOGLIO di CALCOLO con EXCEL
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- PROTEGGERE un FILE COMPRESSO con WINRAR
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WINRAR
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- FURTO d'IDENTITA'
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- DUPLICAZIONI, DIFFUSIONE ABUSIVA di OPERE PROTETTE
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- MINACCE ai DATI da EVENTI STRAORDINARI
EQUAZIONI e DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
- METODO GRAFICO
- 2 METODI ANALITICI
- ESEMPIO 2a
- CALCOLI, SOLUZIONI e GRAFICI PASSO PASSO
- Equazione di una Funzione Esponenziale
- Calcolo delle Coordinate di Alcuni Punti
- Grafico della Funzione
- Equazione e Disequazioni Associate
all'Equazione della Funzione
- Impostazione Generale delle Soluzioni
- Soluzioni, con Grafico,
dell'Equazione e delle Disequazioni
- 2 Metodi Analitici con Commenti, Esempi e Controllo
- Sintesi delle Soluzioni
#equation #equations #function #functions
#exponential #exponentials
#exponential_equation #exponential_equations
#exponential_inequation #exponential_inequations
#exponential_function #exponential_functions
#transcendental #transcendentals
#transcendental_equation #transcendental_equations
#transcendental_function #transcendental_functions
#graphical_method #analytical_methods
http://www.enzoexposito.it/mobile/expon_log.html
EQUAZIONI e DISEQUAZIONI LOGARITMICHE
- METODO GRAFICO
- METODO ANALITICO
- ESEMPIO 2
- CALCOLI, SOLUZIONI e GRAFICI PASSO PASSO
- GRAFICI di 2 FUNZIONI a CONFRONTO
- Equazione di una Funzione Logaritmica
- Calcolo delle Coordinate di Alcuni Punti
- Grafico della Funzione
- Equazione e Disequazioni Associate
all'Equazione della Funzione
- Impostazione Generale delle Soluzioni
- Soluzioni, con Grafico,
dell'Equazione e delle Disequazioni
- Metodo Analitico
- Sintesi delle Soluzioni
#equations #functions
#exponentials #logarithms
#logarithmic_equations #exponential_equations
#logarithmic_inequations #exponential_inequations
#logarithmic_functions #exponential_functions
#transcendental #transcendentals
#transcendental_equation #transcendental_equations
#transcendental_function #transcendental_functions
#graphical_method #analytical_methods
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EQUAZIONI e DISEQUAZIONI LOGARITMICHE
- METODO GRAFICO
- METODO ANALITICO
- ESEMPIO 1
- CALCOLI, SOLUZIONI e GRAFICI PASSO PASSO
- Equazione di una Funzione Logaritmica
- Calcolo delle Coordinate di Alcuni Punti
- Grafico della Funzione
- Equazione e Disequazioni Associate
all'Equazione della Funzione
- Impostazione Generale delle Soluzioni
- Soluzioni, con Grafico,
dell'Equazione e delle Disequazioni
- Metodo Analitico
- Sintesi delle Soluzioni
#equations #functions
#exponentials #logarithms
#logarithmic_equations #exponential_equations
#logarithmic_inequations #exponential_inequations
#logarithmic_functions #exponential_functions
#transcendental #transcendentals
#transcendental_equation #transcendental_equations
#transcendental_function #transcendental_functions
#graphical_method #analytical_methods
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EQUAZIONI e DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
- METODO GRAFICO
- METODO ANALITICO
- ESEMPIO 2
- CALCOLI, SOLUZIONI e GRAFICI PASSO PASSO
- Equazione di una Funzione Esponenziale
- Calcolo delle Coordinate di Alcuni Punti
- Grafico della Funzione
- Equazione e Disequazioni Associate
all'Equazione della Funzione
- Impostazione Generale delle Soluzioni
- Soluzioni, con Grafico,
dell'Equazione e delle Disequazioni
- Metodo Analitico con Commenti, Esempi e Controllo
- Sintesi delle Soluzioni
#disequazioni
#disequazioni_esponenziali
#equazioni
#equazioni_esponenziali
#esponenziali
#funzioni_esponenziali
#equation #equations
#function #functions
#exponential #exponentials
#exponential_equation #exponential_equations
#exponential_inequation #exponential_inequations
#exponential_function #exponential_functions
#transcendental #transcendentals
#transcendental_equation #transcendental_equations
#transcendental_function #transcendental_functions
#graphical_method #analytical_methods
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http://www.enzoexposito.it/mobile/matematica.html
http://www.enzoexposito.it/mobile/expon_log.html
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NOTA 1:
PAGINE 25, 27, 29,
QUASI alla FINE del COMMENTO,
DOPO "2° membro:",
SI LEGGA:
"poiché il log con base 2 (di 2) è l'esponente ..."
In REALTA', E' SOTTINTESO (di 2)
NOTA 2:
FINE PAGINA 27, SI LEGGA
2^1 - 2 = 0
INVECE di
2^0 - 2 = 0.
INFATTI, ERA STATO POSTO
x = 1
EQUAZIONI e DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
- METODO GRAFICO
- 3 METODI ANALITICI
- ESEMPIO 1
- CALCOLI, SOLUZIONI e GRAFICI PASSO PASSO
- Equazione di una Funzione Esponenziale
- Calcolo delle Coordinate di Alcuni Punti
- Grafico della Funzione
- Equazione e Disequazioni Associate
all'Equazione della Funzione
- Impostazione Generale delle Soluzioni
- Soluzioni, con Grafico,
dell'Equazione e delle Disequazioni
- 1° Metodo Analitico
- 2° Metodo Analitico
- 3° Metodo Analitico
- Sintesi delle Soluzioni
#equation #equations #function #functions
#exponential #exponentials
#exponential_equation #exponential_equations
#exponential_inequation #exponential_inequations
#exponential_function #exponential_functions
#transcendental #transcendentals
#transcendental_equation #transcendental_equations
#transcendental_function #transcendental_functions
#graphical_method #analytical_methods
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- ICDL/ECDL BASE
- MODULO 2
- ONLINE ESSENTIALS
- BROWSER per DESKTOP e LAPTOP
- BROWSER per MOBILE
- APPLICAZIONI per POSTA ELETTRONICA
- WEBMAIL
- ICT, CONCETTI di BASE
- E-COMMERCE, E-BANKING, E-GOVERNMENT
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- TIPI di RETI
- CLIENT e SERVER
- INTERNET, HARDWARE e SOFTWARE
- INTERNET e WEB
- DOWNLOAD, UPLOAD, SIDELOAD
- SPEED, VELOCITA' di TRASFERIMENTO
- bps, BIT per SECONDO
- Bps, BYTE per SECONDO
#app #applicazioni #browser #client #desktop #download #ecdl #email #hardware #icdl #ict #internet #laptop #mobile #online_essentials #rete #server #software #web #webmail #modulo_2 #ecdl_base #icdl_base #desktop #laptop #mail #e-commerce #e-banking #e-government #e-learning #telelavoro #smart_working #smartworking #tipi_di_rete #download #upload #sideload #speed #bps #Bps #bitpersecond #bit_per_second #bit #Byte #Bytepersecond #Byte_per_second
DERIVATA della FUNZIONE COSECANTE IPERBOLICA
- 3 ESPRESSIONI della COSECANTE e GRAFICO
- ESPRESSIONI della COTANGENTE IPERBOLICA
con GRAFICO
- INSIEME di DERIVABILITA' della COSECANTE IPERBOLICA
- LIMITE del RAPPORTO INCREMENTALE
- DIMOSTRAZIONI PASSO PASSO
- LIMITE ESPONENZIALE NOTEVOLE
- 9 ESPRESSIONI della DERIVATA della COSECANTE
- TANTI CALCOLI con COMMENTI PUNTO x PUNTO
- MOLTI GRAFICI ESPLICATIVI
Calcolo della Derivata di una Funzione Trascendente
Funzione CoSecante Iperbolica
Definizione della Funzione
Dominio
Incremento della x
Rapporto incrementale e Derivata
Dimostrazioni Commentate
Calcoli Passo Passo
Grafici Esplicativi
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http://www.enzoexposito.it/mobile/anal_infin_derivate.html
https://www.slideshare.net/EnzoExposito1
https://www.linkedin.com/in/enzo-exposito-aa970530/detail/recent-activity/shares/
https://twitter.com/enzoexposyto
#math #maths #mathematics #calculus #function
#functions #derivative #derivatives #limit #limits #exponential
#sine #cosine #tangent #cotangent #secant #cosecant
#hyperbolic_sine #hyperbolic_cosine #hyperbolic_tangent #hyperbolic_cotangent #hyperbolic_secant #hyperbolic_cosecant #hyperbolic_functions
DERIVATA della FUNZIONE SECANTE IPERBOLICA
- 3 ESPRESSIONI della SECANTE e GRAFICO
- ESPRESSIONI della TANGENTE IPERBOLICA e GRAFICO
- INSIEME di DERIVABILITA' della SECANTE IPERBOLICA
- LIMITE del RAPPORTO INCREMENTALE
- DIMOSTRAZIONI PASSO PASSO
- LIMITE ESPONENZIALE NOTEVOLE
- 9 ESPRESSIONI della DERIVATA della SECANTE
- TANTI CALCOLI con COMMENTI PUNTO x PUNTO
- MOLTI GRAFICI ESPLICATIVI
Calcolo della Derivata di una Funzione Trascendente
Funzione Secante Iperbolica
Definizione della Funzione
Dominio
Incremento della x
Rapporto incrementale
Dimostrazioni Commentate
Calcoli Passo Passo
Grafici Esplicativi
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http://www.enzoexposito.it/mobile/anal_infin_derivate.html
https://www.slideshare.net/EnzoExposito1
https://www.linkedin.com/in/enzo-exposito-aa970530/detail/recent-activity/shares/
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#math #maths #mathematics #calculus #function
#functions #derivative #derivatives #limit #limits #exponential
#sine #cosine #tangent #cotangent #secant #cosecant
#hyperbolic_sine #hyperbolic_cosine #hyperbolic_tangent #hyperbolic_cotangent #hyperbolic_secant #hyperbolic_functions
Dall'EQUAZIONE di una QUARTICA
ai SUOI PUNTI di FLESSO.
2° ESEMPIO con CALCOLI e GRAFICI PASSO PASSO
- Equazione di una Quartica Passante per alcuni Punti
- a < 0
- Sviluppi dell'Equazione
- Controlli del Grafico
- Equazione Generale ed Equazione Data
- Retta al Centro dei Punti di Flesso
- Punti di Flesso
- Rette Verticali passanti per i Punti di Flesso
- Distanze dei Punti di Flesso dalla Retta Centrale
#equations #functions #quartic #biquadratic #quartic_equations #quartic_functions #biquadratic_equations #biquadratic_functions #rational_functions #graph #max #min
#equazioni #funzioni #quartica #biquadratiche #equazioni_quartiche #funzioni_quartiche #equazioni_biquadratiche #funzioni_biquadratiche #funzioni_razionali #grafici #massimo #minimo #punto_di_flesso
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Dall'EQUAZIONE di una QUARTICA
ai SUOI PUNTI di FLESSO.
1° ESEMPIO con CALCOLI e GRAFICI PASSO PASSO
- Equazione di una Quartica Passante per alcuni Punti
- Quartica di Riferimento
- Sviluppi dell'Equazione
- Controlli del Grafico
- Equazione Generale ed Equazione Data
- Retta al Centro dei Punti di Flesso
- Punti di Flesso
- Rette Verticali passanti per i Punti di Flesso
- Distanze dei Punti di Flesso dalla Retta Centrale
#quartic #quartic_equations #biquadratic #biquadratic_functions #equation #equations #function #functions #graph #rational #rational_function #quartic_functions #biquadratic_functions
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EQUAZIONI e DISEQUAZIONI di 4° GRADO:
ESEMPIO 2.
CALCOLI,SOLUZIONI e GRAFICI PASSO PASSO
- Equazione di una Quartica Passante per alcuni Punti
- Sviluppi dell'Equazione
- Controlli del Grafico
- Punti di Flesso
- Equazione e Disequazioni Associate
all'Equazione della Quartica
- Impostazione Generale delle Soluzioni
- Soluzioni puntuali, con Grafico,
dell'Equazione e delle Disequazioni
- Sintesi delle Soluzioni
#quartic #quartic_equations #biquadratic #biquadratic_function #equation #equations #function #functions #graph #rational #rational_function
www.enzoexposito.it/mobile/matematica.html
EQUAZIONI e DISEQUAZIONI di 4° GRADO:
SOLUZIONI col METODO GRAFICO.
ESEMPIO con CALCOLI e GRAFICI PASSO PASSO
- Equazione di una Quartica Passante per alcuni Punti
- Quartica di Riferimento
- Sviluppi dell'Equazione
- Controlli del Grafico
- Equazione e Disequazioni Associate
all'Equazione della Quartica
- Impostazione Generale delle Soluzioni
- Punti di Flesso
- Soluzioni puntuali, con Grafico,
dell'Equazione e delle Disequazioni
- Sintesi delle Soluzioni
#quartic #quartic_equations #biquadratic #biquadratic_function #equation #equations #function #functions #graph #rational #rational_function
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EQUAZIONI e DISEQUAZIONI di TERZO GRADO:
SOLUZIONI col METODO GRAFICO.
ESEMPIO 2.
CALCOLI e GRAFICI PASSO PASSO
- Equazione di una Cubica Passante per alcuni Punti
- Sviluppi dell'Equazione
- Controlli del Grafico
- Equazione e Disequazioni Associate
all'Equazione della Cubica
- Impostazione Generale delle Soluzioni
- Soluzioni puntuali, con Grafico,
dell'Equazione e delle Disequazioni
- Sintesi delle Soluzioni
#cubic #cubic_equations #equation #equations #function #functions #graph #rational #rational_function
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The French Revolution, which began in 1789, was a period of radical social and political upheaval in France. It marked the decline of absolute monarchies, the rise of secular and democratic republics, and the eventual rise of Napoleon Bonaparte. This revolutionary period is crucial in understanding the transition from feudalism to modernity in Europe.
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Knowledge and skills frameworks, generally called competency frameworks, for ELT teachers, trainers and managers have existed for a few years now. However, until I created one for my MA dissertation, there wasn’t one drawing together what we need to know and do to be able to effectively produce language learning materials.
This webinar will introduce you to my framework, highlighting the key competencies I identified from my research. It will also show how anybody involved in language teaching (any language, not just English!), teacher training, managing schools or developing language learning materials can benefit from using the framework.
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Gli Infiniti Valori Derivanti dalla Frazione 1 su 9 - Quattro Formule - Numeri con Due Cifre Ripetute - Dimostrazioni e Tanti Esempi - Divisioni Parziali
1. DIVISIONI PARZIALI
i VALORI di 1
9
a cura di Enzo Exposyto
A)
1
9
= 0,
n
1 +
1
9 ⋅ 1
n
0
∀n ∈ N = {0,1,2,3,...}
2. i VALORI di 1
a cura di Enzo Exposyto 9
Le DUE “n” -SULL’1 e SOPRA lo 0- INDICANO CHE
la CIFRA 1 è RIPETUTA “n” VOLTE,
la CIFRA 0 è RIPETUTA “n” VOLTE.
n è un QUALSIASI NUMERO INTERO,
appartenente all’insieme N = {0,1,2,3,...}.
Ad esempio, con n = 5, la FORMULA A) diventa
5 volte 1 5 volte 0
A)
1
9
= 0,
n
1 +
1
9 ⋅ 1
n
0
A)
1
9
= 0,
5
1 +
1
9 ⋅ 1
5
0
= 0,11111 +
1
9 ⋅ 100000
∀n ∈ N = {0,1,2,3,...}
n = 5
4. FORMULA A) - 1^ dimostrazione
QUINDI
1
9
=
1
3
⋅
1
3
=
1
3
⋅ 0,
n
3 +
1
3 ⋅ 3 ⋅ 1
n
0
=
1
3
⋅ {0,
n
3 +
1
3 ⋅ 1
n
0
}
= 0,
n
1 +
1
9 ⋅ 1
n
0
A)
1
9
=
1
3
⋅
1
3
= 0,
n
1 +
1
9 ⋅ 1
n
0
∀n ∈ N = {0,1,2,3,...}
∀n ∈ N = {0,1,2,3,...}
5. FORMULA A)
2^ DIMOSTRAZIONE
(MODUS PONES e PRINCIPIO d’INDUZIONE)
a cura di Enzo Exposyto
A)
1
9
= 0,
n
1 +
1
9 ⋅ 1
n
0
∀n ∈ N = {0,1,2,3,...}
6. Formula A) - 2^ dimostrazione sintetica
La formula A) è dimostrata visto che
P(0) = 0,
0
1 +
1
9 ⋅ 1
0
0
= 0 +
1
9 ⋅ 1
=
1
9
P(n) = 0,
n
1 +
1
9 ⋅ 1
n
0
=
9 ⋅ 1
n
0 ⋅ 0,
n
1 + 1
9 ⋅ 1
n
0
=
n
9 + 1
9 ⋅ 1
n
0
=
1
n
0
9 ⋅ 1
n
0
=
1
9
P(1) = 0,
1
1 +
1
9 ⋅ 1
1
0
= 0,1 +
1
9 ⋅ 10
=
9 ⋅ 10 ⋅ 0,1 + 1
9 ⋅ 10
=
9 + 1
9 ⋅ 10
=
10
90
=
1
9
A) 0,
n
1 +
1
9 ⋅ 1
n
0
=
1
9
∀n ∈ N = {0,1,2,3,...}
P(0) =
1
9
P(1) =
1
9
P(n) =
1
9
P(n + 1) =
1
9
P(n) =
1
9
→ P(n + 1) =
1
9
P(0) =
1
9
∧ P(1) =
1
9
∀n ∈ N = {0,1,2,3,...}
P(n + 1) = 0,
n + 1
1 +
1
9 ⋅ 1
n + 1
0
=
9 ⋅ 1
n + 1
0 ⋅ 0,
n + 1
1 + 1
9 ⋅ 1
n + 1
0
=
n + 1
9 + 1
9 ⋅ 1
n + 1
0
=
1
n + 1
0
9 ⋅ 1
n + 1
0
=
1
9
7. Formula A) - 2^ dimostrazione estesa
Qui, sarà dimostrata la forma
A) 0,
n
1 +
1
9 ⋅ 1
n
0
=
1
9
∀n ∈ N = {0,1,2,3,...}
A)
1
9
= 0,
n
1 +
1
9 ⋅ 1
n
0
∀n ∈ N = {0,1,2,3,...}
9. 2b) Dimostrazione del Passo Induttivo
P(n) =
1
9
∀n ∈ N = {0,1,2,3,...}
P(n + 1) =
1
9
∀n ∈ N = {0,1,2,3,...}
P(n) = 0,
n
1 +
1
9 ⋅ 1
n
0
=
9 ⋅ 1
n
0 ⋅ 0,
n
1 + 1
9 ⋅ 1
n
0
=
n
9 + 1
9 ⋅ 1
n
0
=
1
n
0
9 ⋅ 1
n
0
=
1
9
P(n + 1) = 0,
n + 1
1 +
1
9 ⋅ 1
n + 1
0
=
9 ⋅ 1
n + 1
0 ⋅ 0,
n + 1
1 + 1
9 ⋅ 1
n + 1
0
=
n + 1
9 + 1
9 ⋅ 1
n + 1
0
=
1
n + 1
0
9 ⋅ 1
n + 1
0
=
1
9
10. Formula A) - Conclusioni da 2a) e 2b)
Poiché
e
ne deriva che
P(0) =
1
9
∧ P(1) =
1
9
P(n) =
1
9
→ P(n + 1) =
1
9
∀n ∈ N = {0,1,2,3,...}
A) 0,
n
1 +
1
9 ⋅ 1
n
0
=
1
9
∀n ∈ N = {0,1,2,3,...}
11. DIVISIONI PARZIALI
i VALORI di 1
9
a cura di Enzo Exposyto
∀n ∈ N+
= {1,2,3,...}
B)
1
9
= 0,
2n
1 +
1
9 ⋅ 1
2n
0
12. i VALORI di 1
a cura di Enzo Exposyto 9
Le “2n” -SULL’1 e SOPRA lo 0- INDICANO CHE
la CIFRA 1 è RIPETUTA “2n” VOLTE,
la CIFRA 0 è RIPETUTA “2n” VOLTE.
n è un QUALSIASI NUMERO INTERO,
appartenente all’insieme N+ = {1,2,3,...}.
Ad esempio, con n = 3, la FORMULA B) diventa
2*3 volte 1 2*3 volte 0
B)
1
9
= 0,
2n
1 +
1
9 ⋅ 1
2n
0
∀n ∈ N+
= {1,2,3,...}
B)
1
9
= 0,
2 ⋅ 3
1 +
1
9 ⋅ 1
2 ⋅ 3
0
= 0,111111 +
1
9 ⋅ 1000000
n = 3
14. FORMULA B) - 1^ dimostrazione
continua ...
1
9
= {
1
3
}2
= {0,
n
3 +
1
3 ⋅ 1
n
0
}2
= 0,
n
3 ⋅ 0,
n
3 + 2 ⋅ 0,
n
3 ⋅
1
3 ⋅ 1
n
0
+
1
3 ⋅ 1
n
0
⋅
1
3 ⋅ 1
n
0
∀n ∈ N = {0,1,2,3,...}
= {0,
n
3 ⋅ 0,
n
3 = 0,
n − 1
1 0
n − 1
8 9} ∀n ∈ N+
= {1,2,3,...}
15. continua ...
1
9
= 0,
n − 1
1 0
n − 1
8 9 + 2 ⋅
0,
n
3
3
⋅
1
1
n
0
+
1
9 ⋅ 1
n
0 ⋅ 1
n
0
= 0,
n − 1
1 0
n − 1
8 9 + 2 ⋅ 0,
n
1 ⋅
1
1
n
0
+
1
9 ⋅ 1
n
0
n
0
= 0,
n − 1
1 0
n − 1
8 9 +
0,
n
2
1
n
0
+
1
9 ⋅ 1
2n
0
= 0,
n − 1
1 0
n − 1
8 9 + 0,
n
0
n
2 +
1
9 ⋅ 1
2n
0
= {0,
n − 1
1 0
n − 1
8 9 + 0,
n
0
n
2 = 0,
n
1
n
1 = 0,
2n
1 }
16. Quindi
Notiamo che la formula B) è stata ricavata, a un certo punto della
dimostrazione, sotto la condizione: n elemento di N+ = {1,2,3,...}. Tuttavia,
vedremo che ESSA È VALIDA ANCHE con n = 0.
1
9
= 0,
2n
1 +
1
9 ⋅ 1
2n
0
B)
1
9
= {
1
3
}2
= 0,
2n
1 +
1
9 ⋅ 1
2n
0
∀n ∈ N+
= {1,2,3,...}
17. FORMULA B)
2^ DIMOSTRAZIONE
(MODUS PONES e PRINCIPIO d’INDUZIONE)
a cura di Enzo Exposyto
B)
1
9
= 0,
2n
1 +
1
9 ⋅ 1
2n
0
∀n ∈ N+
= {1,2,3,...}
20. FORMULA C)
(CONTIENE NUMERO con 2 CIFRE RIPETUTE)
a cura di Enzo Exposyto
C)
1
9
=
9 ⋅
n − 1
1 0
n − 1
8 9 + 6 ⋅
n
3 + 1
9 ⋅ 1
2n
0
∀n ∈ N+
= {1,2,3,...}
21. FORMULA C)
La CIFRA 1 è RIPETUTA “n-1” VOLTE,
la CIFRA 8 è RIPETUTA “n-1” VOLTE,
la CIFRA 3 è RIPETUTA “n” VOLTE,
la CIFRA 0 è RIPETUTA “2n” VOLTE,
con n QUALSIASI appartenente all’insieme N+ = {1,2,3,...}.
Ad esempio, con n = 3, la FORMULA C) diventa
2 volte 1 e 8 3 volte 3
2*3 volte 0
n = 3
C)
1
9
=
9 ⋅
n − 1
1 0
n − 1
8 9 + 6 ⋅
n
3 + 1
9 ⋅ 1
2n
0
∀n ∈ N+
= {1,2,3,...}
C)
1
9
=
9 ⋅
3 − 1
1 0
3 − 1
8 9 + 6 ⋅
3
3 + 1
9 ⋅ 1
2 ⋅ 3
0
=
9 ⋅ 110889 + 6 ⋅ 333 + 1
9 ⋅ 1000000
22. FORMULA C)
DIMOSTRAZIONE
a cura di Enzo Exposyto
∀n ∈ N+
= {1,2,3,...}
C)
1
9
=
9 ⋅
n − 1
1 0
n − 1
8 9 + 6 ⋅
n
3 + 1
9 ⋅ 1
2n
0
23. FORMULA C) - Dimostrazione
continua ...
1
9
= {
1
3
}2
= {0,
n
3 +
1
3 ⋅ 1
n
0
}2 ∀n ∈ N = {0,1,2,3,...}
= 0,
n
3 ⋅ 0,
n
3 + 2 ⋅ 0,
n
3 ⋅
1
3 ⋅ 1
n
0
+
1
3 ⋅ 1
n
0
⋅
1
3 ⋅ 1
n
0
= 0,
n
3 ⋅ 0,
n
3 + 2 ⋅ 0,
n
3 ⋅
1
3 ⋅ 1
n
0
+
1
9 ⋅ 1
n
0 ⋅ 1
n
0
24. continua ...
= {
n
3 ⋅
n
3 =
n − 1
1 0
n − 1
8 9} ∀n ∈ N+
= {1,2,3,...}
1
9
=
9 ⋅ 1
n
0 ⋅ 1
n
0 ⋅ 0,
n
3 ⋅ 0,
n
3 + 3 ⋅ 1
n
0 ⋅ 2 ⋅ 0,
n
3 + 1
9 ⋅ 1
n
0 ⋅ 1
n
0
=
9 ⋅
n
3 ⋅
n
3 + 6 ⋅
n
3 + 1
9 ⋅ 1
2n
0
=
9 ⋅ 1
n
0 ⋅ 0,
n
3 ⋅ 1
n
0 ⋅ 0,
n
3 + 6 ⋅ 1
n
0 ⋅ 0,
n
3 + 1
9 ⋅ 1
n
0 ⋅ 1
n
0
25. Quindi
Notiamo che anche la formula C) è stata ricavata, a un certo punto della
dimostrazione, sotto la condizione: n elemento di N+ = {1,2,3,...}.
1
9
=
9 ⋅
n − 1
1 0
n − 1
8 9 + 6 ⋅
n
3 + 1
9 ⋅ 1
2n
0
∀n ∈ N+
= {1,2,3,...}
C)
1
9
=
9 ⋅
n − 1
1 0
n − 1
8 9 + 6 ⋅
n
3 + 1
9 ⋅ 1
2n
0
26. FORMULA C)
2 ESEMPI
(CONTENGONO NUMERI con 2 CIFRE RIPETUTE)
a cura di Enzo Exposyto
C)
1
9
=
9 ⋅
n − 1
1 0
n − 1
8 9 + 6 ⋅
n
3 + 1
9 ⋅ 1
2n
0
∀n ∈ N+
= {1,2,3,...}
28. dalla C), la FORMULA D)
(CONTIENE NUMERO con 2 CIFRE RIPETUTE)
a cura di Enzo Exposyto
D)
9 ⋅
n − 1
1 0
n − 1
8 9 + 6 ⋅
n
3 + 1
1
2n
0
= 1
∀n ∈ N+
= {1,2,3,...}
29. FORMULA D)
La CIFRA 1 è RIPETUTA “n-1” VOLTE,
la CIFRA 8 è RIPETUTA “n-1” VOLTE,
la CIFRA 3 è RIPETUTA “n” VOLTE,
la CIFRA 0 è RIPETUTA “2n” VOLTE,
con n QUALSIASI appartenente all’insieme N+ = {1,2,3,...}.
Ad esempio, con n = 3, la FORMULA D) diventa
2 volte 1 e 8 3 volte 3
2*3 volte 0
D)
9 ⋅
n − 1
1 0
n − 1
8 9 + 6 ⋅
n
3 + 1
1
2n
0
= 1 ∀n ∈ N+
= {1,2,3,...}
D)
9 ⋅
3 − 1
1 0
3 − 1
8 9 + 6 ⋅
3
3 + 1
1
2 ⋅ 3
0
=
9 ⋅ 110889 + 6 ⋅ 333 + 1
1000000
= 1 n = 3