EJERICIOS PRPUESTOSSERIE DE FOURIER Y TRANSFORMADA DE LAPLACE- CALCULO IV SAIA "E"

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA
CABUDARE- EDO LARA
EJERCICIOS PROPUESTOS
SERIE DE FOURIER Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
ALUMNO AMOROCHO SARAHI
CEDULA 22275166
BARQUISIMETO 10 DE JULIO DE 216

2. 1. UTILIZAR LA DEFINICION DE TRANSFORMADA DE LAPLACE Y
RESOLVER LA SIGUIENTE FUNCION
F(t)=
5
3
𝑡 +
8
5
𝑐𝑜𝑠√2𝑡
Por definición
F(s)=L{ 𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑓( 𝑡) 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
+∞
0
= ∫ [
5
3
𝑡 +
8
5
𝑐𝑜𝑠√2𝑡] 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
𝑏
0𝑏→∞
𝑙𝑖
=
5
3
∫ 𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑏
0𝑏→∞
𝑙𝑖
dt+
8
5
∫ 𝑐𝑜𝑠√2𝑡𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
𝑏
0𝑏→∞
𝑙𝑖
Por tablas integrales nos queda
F(s)=
5
3
[
𝑡𝑒−𝑠𝑡
−𝑠
−
𝑒−𝑠𝑡
𝑠2 ]
0
𝑏
𝑏→∞
𝑙𝑖
+
8
5
[(𝑠𝑐𝑜𝑠√2𝑡 − √2𝑠𝑒𝑛√2𝑡)]0
𝑏
𝑏→∞
𝑙𝑖
Evaluando nos queda
F(s)=
5
3
[
𝑏𝑒−𝑠𝑏
−𝑠
−
𝑒−𝑠𝑏
𝑠2 +
0𝑒−0𝑠
𝑠
+
𝑒0
𝑠2]
𝑏→∞
𝑙𝑖
+
8
5
[
𝑒−𝑠𝑏
𝑠2+2
(−𝑠𝑐𝑜𝑠√2𝑏 + √2𝑠𝑒𝑛√2𝑏) −
𝑒0
𝑠2+2
(−𝑠𝑐𝑜𝑠0 + √2𝑠𝑒𝑛𝑜]
𝑏→∞
𝑙𝑖
Evaluando los limites nos queda
F(s)=
5
3
[
1
𝑠2] +
8
5
[
𝑠
𝑠2+2
]
F(s)=
5
3𝑠2 +
8𝑠
5(𝑠2+2)

3. 2. UTILIZAR PROPIEDADES Y TABLA PARA DETERMINAR LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE ENUNCIE LAS PROPIEDADES ANTES DE
RESOLVER SIMPLIFICAR LOS RESULTADOS
F(t)=
3
7
t(7𝑒4𝑡
cosh4t-
𝑐𝑜𝑠5𝑡
𝑡2 +3𝑒−3𝑡
𝑡5
=
3
7
t 7𝑒4𝑡
cosh4t -
3
7
𝑐𝑜𝑠5𝑡
𝑡
+
9
7
𝑒−3𝑡
𝑡6
Asi
F(s)=L{ 𝑓(𝑡)}
=3{ 𝑡𝑒4𝑡
𝑐𝑜𝑠ℎ4𝑡} +
3
7
𝐿 {
𝑐𝑜𝑠5𝑡
𝑡
} +
9
7
𝐿{ 𝑡6
𝑒−3𝑡} ; por
linealidad
Luego
L{ 𝑐𝑜𝑠4𝑡} =
𝑠
𝑠2−42 =
𝑠
𝑠2−16
L{tcosh4t}=−
𝑑
𝑑𝑠
[
𝑠
𝑠2−16
] ; por tabla
= -[
𝑠2−16−2𝑠2
(𝑠2−16)2 ]= [
𝑠2−16
(𝑠2−16)2]
L{𝑒4𝑡
𝑡𝑐𝑜𝑠ℎ4𝑡} =
(𝑠−4)2+16
[(𝑠−4)2−16]2
=
𝑠2−8𝑠+32
(𝑠2−8𝑠)2 ; traslación
L{
𝑐𝑜𝑠5𝑡
𝑡
} = ∫ 𝑓( 𝑢) 𝑑𝑢
∞
𝑠
F(s)= L{cos5t}=
𝑠
𝑠2+25
L{
𝑐𝑜𝑠5𝑡
𝑡
} = ∫
𝑢
𝑢2+25
𝑑𝑢
∞
𝑠

4. ∫
𝑢𝑑𝑢
𝑢2 + 25
𝑏
𝑠𝑏→∞
𝑙𝑖
=
1
2
[ln| 𝑢2
+ 25|] 𝑠
𝑏
𝑏→∞
𝑙𝑖
=
1
2
[ln( 𝑏2
+ 25) − ln( 𝑠2
+ 25)]𝑏→∞
𝑙𝑖
=+∞
Como la integral diverge
L{
𝑐𝑜𝑠5𝑡
𝑡
} 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
Por lo tanto
L{
3
7
𝑡(7𝑒4𝑡
𝑐𝑜𝑠ℎ4𝑡 −
𝑐𝑜𝑠5𝑡
𝑡2 + 3𝑒−3𝑡
𝑡5
}
No existe

5. 3. APLICAR TABLA SIMPLIFICACION Y METODO CORRESPONDIENTE
PARA DETERMINAR
𝐿−1{ 𝑓( 𝑠)} = 𝑓( 𝑡)
𝐿−1
{
2𝑠3
− 7√2
7𝑠8
+
√2 + 2(𝑠 +
3
5
)3
4(𝑠 +
3
9
)9
−
5𝑠 − 3
𝑠2 −
2
5
𝑠 + 7
}
=𝐿−1
{
2𝑠3
7𝑠4 −
7√2
7𝑠4 +
√2
4(𝑠+
3
5
)
9 +
2(𝑠+
3
5
)
2
4(𝑠+
3
5
)
9 −
5𝑠−3
𝑠2−
2
5
𝑠+7
}
Por linealidad nos queda
F(t)=
2
7
𝐿−1
{
1
𝑠
} − √2𝐿−1
{
1
𝑠4} +
√2
4
𝐿−1
{
1
( 𝑠+3)9} +
1
2
𝐿−1
{
1
(𝑠+
3
5
)7
}-𝐿−1
{
5(𝑠−
1
5
+
1
5
)−3
(𝑠−
1
5
)2+7−
1
25
}
completando cuadrados en denominador
Por tablas
=
2
7
(1) − √2
𝑡3
3!
+
√2
4
𝑡8 𝑒
−3
5𝑡⁄
8!
+
1
2
𝑒
−3
5𝑡⁄
𝑡6
6!
-
5𝐿−1
{
(𝑠−1
5⁄
(𝑠−1
5⁄ )
2
+
174
25
} + 2𝐿−1
{
1
(𝑠−1
5⁄ )2+
174
25
}
=F(t)=
2
7
−
√2𝑡3
3!
+
√2
4(8!)
𝑡8
𝑒−3
5𝑡⁄
+
1
2(6!)
𝑡6
𝑒−3
5𝑡⁄
-
5𝑒
1
5⁄ 𝑡
𝑐𝑜𝑠
√174
5
𝑡 +
2
√174
5
𝑒
1
5⁄ 𝑡
sen
√174𝑡
5
Tablas
𝐿−1
{1
𝑠⁄ } = 1
𝐿−1
{1
𝑠 𝑛⁄ } =
𝑡 𝑛−1
( 𝑛−1)!
𝐿−1
{1
( 𝑠 + 𝑎) 𝑛⁄ } =
𝑡 𝑛−1
( 𝑛 − 1)!
𝑒−𝑎𝑠
𝐿−1
{
1
( 𝑠+𝑎)2+𝑏2}=
1
𝑏
𝑒−𝑎𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑏𝑡

6. 4. UTILIZAR EL TEOREMA DE CONVOLUCION Y DETERMINE
𝐿−1
{
2√5 𝑠
𝑠3(𝑠 + 9)
}
Por convolucion
F(t)= 𝐿−1{ 𝑓( 𝑠)6( 𝑠)}
= 𝐿−1{ 𝑓( 𝑠)} ∗ 𝐿−1{6( 𝑠)}
=f(t)*g(t)
=∫ 𝑓( 𝑡 − 𝑥) 𝑔( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑡
0
Asi
𝐿−1
{
2√5 𝑠
𝑠3(𝑠+9)
}=2√5𝐿−1
{
𝑠
𝑠3} ∗ 𝐿−1
{
1
𝑠+9
}
=2√5𝐿−1
{
1
𝑠2} ∗ 𝐿−1
{
1
𝑠+9
}
=2√5𝑡 ∗ 𝑒−9𝑡
F(t)= 2√5 ∫ ( 𝑡 − 𝑥) 𝑒−9𝑥
𝑑𝑥
𝑡
0
=2√5 ∫ 𝑡𝑒−9𝑥
𝑑𝑥 −
𝑡
0
2√5 ∫ 𝑥𝑒−9𝑥
𝑑𝑥
𝑡
0
Integrando por tablas
F(t)= 2√5 [
𝑡𝑒−9𝑥
−9
]
0
𝑡
− 2√5 [
𝑥𝑒−9𝑥
−9
−
𝑒−9𝑥
81
]
0
𝑡
Evaluando resulta
F(t)= 2√5 [
𝑡𝑒−9𝑡
−9
+
𝑡𝑒0
9
+
𝑡𝑒−9𝑡
9
+
𝑒−9𝑡
81
−
0𝑒0
9
−
𝑒0
81
]
=2√5 [
𝑡
9
+
𝑒−9𝑡
81
−
1
81
]=
2√5
81
[9𝑡 + 𝑒−9𝑡
− 1]

7. 5. DESARROLLE LA EXPANSION DE FOURIER EN TERMINOS DEL SEMI
PERIODO DE FOURIER Y REALICE EL ESPECTRO DE LA FUNCION
F(X)={
2𝑥 𝑠𝑖0 ≤ 𝑥 ≤ 3
6 𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 0
} T=6
Aplicando f(x)
Sea p= 𝑡
2⁄ =3
Asi ola serie de Fourier es
F(x)=
𝐴 𝑜
2
+ ∑ 𝐴 𝑛 𝑐𝑜𝑠
𝑛ñ𝑥
𝑝
∞
𝑛=1 +∑ 𝑏 𝑛 𝑠𝑒𝑛
𝑛ñ 𝑥
𝑝
∞
𝑛=1
Donde
𝐴 𝑜 =
1
𝑝
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑝
−𝑝
=
1
3
[∫ 6𝑑𝑥
0
−3
+ ∫ 2𝑥𝑑𝑥
3
0
]

8. =
1
3
[6𝑥|−3
0
+ 𝑥2
𝑥2|0
3]
=
1
3
[18 + 9]=
27
3
=9
𝐴 𝑛 =
1
𝑝
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑐𝑜𝑠
𝑛ñ𝑥
𝑝
𝑑𝑥
𝑝
−𝑝
=
1
3
[∫ 6 𝑐𝑜𝑠
𝑛ñ
3
𝑥𝑑𝑥
0
−3
+ ∫ 2𝑥𝑐𝑜𝑠
𝑛ñ
3
𝑥𝑑𝑥
3
0
]
=2[
3
𝑛ñ
𝑠𝑒𝑛
𝑛ñ
3
𝑥]
−3
0
+
2
3
[
3
𝑛ñ
𝑥𝑠𝑒𝑛
𝑛ñ𝑥
3
+
9
𝑛2ñ2 𝑐𝑜𝑠
𝑛ñ𝑥
3
]
0
3
=
6
𝑛ñ
[ 𝑠𝑒𝑛0 − 𝑠𝑒𝑛(−𝑛ñ)] + [
6𝑠𝑒𝑛𝑛ñ
𝑛ñ
+
9𝑐𝑜𝑠𝑛ñ
𝑛2ñ2 −
9𝑐𝑜𝑠0
𝑛2ñ2 ]
=
9(𝑐𝑜𝑠𝑛ñ−1)
𝑛2ñ2 cosnñ= (−1) 𝑛
=
9[(−1) 𝑛−1]
𝑛2ñ2
𝑏 𝑛 =
1
𝑝
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑠𝑒𝑛
𝑛ñ𝑥
𝑝
𝑑𝑥
𝑝
−𝑝
=
1
3
[∫ 6𝑠𝑒𝑛
𝑛ñ
3
𝑥𝑑𝑥
0
−3
+ ∫ 2𝑥𝑠𝑒𝑛
𝑛ñ
3
𝑥𝑑𝑥
3
0
]
=
−6
𝑛ñ
𝑐𝑜𝑠
𝑛ñ
3
𝑥|−3
0
+
2
3
[
−3𝑥
𝑛ñ
𝑐𝑜𝑠
𝑛ñ
3
𝑥 +
9
𝑛2 𝑛2 𝑠𝑒𝑛
𝑛ñ
3
]
−3
0
=[−
6
𝑛ñ
𝑐𝑜𝑠0 +
6
𝑛ñ
cos(𝑛ñ)] −
−6𝑐𝑜𝑠𝑛ñ
𝑛ñ
=
−6
𝑛ñ