The document describes the MAX-SAT problem and a stochastic strategy for finding its solution. The MAX-SAT problem involves finding an assignment of variables that maximizes the number of satisfied clauses in a Boolean formula. The proposed strategy works as follows: (1) Calculate the expected number of satisfied clauses for each possible variable assignment; (2) Set each variable to the value that maximizes this expectation, recursively. This stochastic approach converts the MAX-SAT problem into a linear relaxation that can be solved iteratively.
Solutions manual for calculus an applied approach brief international metric ...Larson612
Solutions Manual for Calculus An Applied Approach Brief International Metric Edition 10th Edition by Larson IBSN 9781337290579
Full download: https://goo.gl/RtxZKH
Теория ограничений и Линейное программированиеStas Fomin
Краткое введение в математическое моделирование и задачи линейного программирования.
Показана связь Теории Ограничений Др. Голдратта с линейным программированием, показаны решения компьютером модельных задач из «Синдрома стога сена», даже найдены ошибки в решениях Др. Голдратта.
Solutions manual for calculus an applied approach brief international metric ...Larson612
Solutions Manual for Calculus An Applied Approach Brief International Metric Edition 10th Edition by Larson IBSN 9781337290579
Full download: https://goo.gl/RtxZKH
Теория ограничений и Линейное программированиеStas Fomin
Краткое введение в математическое моделирование и задачи линейного программирования.
Показана связь Теории Ограничений Др. Голдратта с линейным программированием, показаны решения компьютером модельных задач из «Синдрома стога сена», даже найдены ошибки в решениях Др. Голдратта.
ВІДГУК
на оглядовий реферат аспіранта
Інституту Теоретичної Фізики ім. Боголюбова
Халченкова Олександра Вікторовича
Рецензований реферат відповідає науковій спеціальності
01.04.02 –теоретична фізика
В рефераті висвітленні базові принципи простору Фока-Баргмання та метод побудови термодинамічних функцій з використанням особливостей цього простору. Розглянуті питання і матеріали є актуальними і будуть використані у подальшій науково-дослідній роботі аспіранта.
Реферат виконано на належному науковому рівні. Його автор заслуговує на позитивну оцінку.
Рецензент:
Доктор фіз.-мат. наук,
Професор Філіппов Г.Ф.
Сегментация рынка и сегментационные исследованияabramamama
Лекция Владимира Щипкова “Разделяй и властвуй: сегментация рынка и сегментационные исследования” в ГУ-ВШЭ 3.02.2009
http://blog.styleru.net/tns/lekciya-vladimira-shhipkova-razdelyaj-i-vlastvuj-segmentaciya-rynka-i-segmentacionnye-issledovaniya/
1. Дерандомизация и метод условных вероятностей для
«MAX-SAT»
Н.Н. Кузюрин С.А. Фомин
10 октября 2008 г.
E X = 4.78
Иногда вероятностные алгоритмы могут
x1 = 0 x1 = 1 быть «дерандомизированы» —
E X(x1 = 0) = 2.5
x2 = 0
E X(x1 = 1) = 6.4
x2 = 1
конвертированы в детерминированные
E X(x1 = 0, x2 = 0) = 5.3 E X(x1 = 0, x2 = 1) = 2.1 алгоритмы.
E X(x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0) = 1
x3 = 0 x3 = 1
E X(x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1) = 4
Один из таких методов — «метод
условных вероятностей».
1 / 13
2. Задача MAX-SAT
Задача
Максимальная выполнимость/MAX-SAT.
Даны m скобок конъюнктивной нормальной формы (КНФ) с n
переменными. Найти значения переменных, максимизирующие число
выполненных скобок.
xi : независимые случайные величины,
P{xi = 1} = pi , P{xi = 0} = 1 − pi .
X (x1 , . . . , xn ): число невыполненных скобок в КНФ.
Надо найти x :
ˆ
X (ˆ) ≤ E X .
x
2 / 13
3. Задача MAX-SAT
Задача
Максимальная выполнимость/MAX-SAT.
Даны m скобок конъюнктивной нормальной формы (КНФ) с n
переменными. Найти значения переменных, максимизирующие число
выполненных скобок.
xi : независимые случайные величины,
P{xi = 1} = pi , P{xi = 0} = 1 − pi .
X (x1 , . . . , xn ): число невыполненных скобок в КНФ.
Надо найти x :
ˆ
X (ˆ) ≤ E X .
x
3 / 13
4. Покомпонентная стратегия нахождения x
^
1 Вычисляем
E X = 4.78
f0 ← E X (x| x1 = 0)
x1 = 0 x1 = 1
f1 ← E X (x| x1 = 1)
E X(x1 = 0) = 2.5 E X(x1 = 1) = 6.4
x2 = 0 x2 = 1 2 Если f0 < f1 , то d1 = 0,
E X(x1 = 0, x2 = 0) = 5.3 E X(x1 = 0, x2 = 1) = 2.1 иначе d1 = 1.
x3 = 0 x3 = 1
3 Вычисляем
E X(x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0) = 1 E X(x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1) = 4
f0 ← E X (x| x1 = d1 , x2 = 0)
E X (x| x1 = d1 , . . . , xn = dn ) = f1 ← E X (x| x1 = d1 , x2 = 1)
= X (d1 , . . . , dn ) 4 Если f0 < f1 , то d2 = 0,
иначе d2 = 1.
5 ...
4 / 13
5. Покомпонентная стратегия нахождения x
^
E X = 4.78
x1 = 0 x1 = 1
E X(x1 = 0) = 2.5 E X(x1 = 1) = 6.4
x2 = 0 x2 = 1
E X(x1 = 0, x2 = 0) = 5.3 E X(x1 = 0, x2 = 1) = 2.1
x3 = 0 x3 = 1
E X(x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0) = 1 E X(x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1) = 4
5 / 13
6. Почему эта стратегия работает?
E X = P{x1 = 1} E X (x| x1 = 1) + P{x1 = 0} E X (x| x1 = 0) =
= p1 E X (x| x1 = 1) + (1 − p1 ) E X (x| x1 = 0) ≥
≥ p1 E X (x| x1 = d1 ) + (1 − p1 ) E X (x| x1 = d1 ) =
= (p1 + 1 − p1 ) E X (x| x1 = d1 ) = E X (x| x1 = d1 ).
Аналогично продолжая:
E X ≥ E X (x| x1 = d1 , . . . , xn = dn ).
Но
E X (x| x1 = d1 , . . . , xn = dn ) = X (d1 , . . . , dn ).
6 / 13
7. Задача
MAX-SAT(IP)
Cj : скобка.
zj = {0, 1} : значение скобки.
Cj+ : i : xi ∈ Cj (положительные литералы в скобке).
Cj− : i : xi ∈ Cj .
m
zj → max (1)
j=1
xi + (1 − xi ) ≥ zj , ∀j.
i∈Cj+ i∈Cj−
xi , zj ∈ {0, 1}, ∀i, j
7 / 13
8. Линейная релаксация задачи «MAX-SAT»
m
zj → max (2)
j=1
xi + (1 − xi ) ≥ zj , ∀j.
i∈Cj+ i∈Cj−
xi , zj ∈ [0, 1], ∀i, j
8 / 13
9. Вход: Формулировка задачи «MAX-SAT» в виде (1).
x ← решения линейной релаксации (2)
ˆ
for all i ∈ {1..m} do
xi ← 0
if random(0..1) ≤ xi then
ˆ
xi ← 1 {xi ← 1 с вероятностью xi }
ˆ
end if
end for
Выход: (x1 , . . . , xm ).
Теорема
Алгоритм «Линейная релаксация и вероятностное округление»
обеспечивает приближенное решение «MAX-SAT», со средней
1
точностью (1 − e ).
Откуда следует, что
m
EX ≤
e
m
X (x1 = d1 , . . . , xn = dn ) ≤
e
9 / 13
10. Дерандомизация для MAX-SAT
Вероятность невыполнения j-й дизъюнкции
Pj = P{Cj = 0} = P xi + (1 − xi ) = 0 .
+
i∈C −
i∈C
j j
m
EX = Pj , (3)
j=1
Пусть первые k переменных определены и
I0 : ∀i ∈ I0 xi = 0
I1 : ∀i ∈ I1 xi = 1
Если I0 ∩ Cj− = ∅ или I1 ∩ Cj+ = ∅, то Pj = 0, иначе:
Pj = (1 − pi ) · pi . (4)
i∈Cj+ I0 i∈Cj− I1
10 / 13
11. Дерандомизация для MAX-SAT
Вход: Формулировка задачи «MAX-SAT» в виде (1).
Выход: (x1 , . . . , xn ) — приближенное решение (1).
(p1 , . . . , pn ) ← решения линейной релаксации (2).
for all i ∈ {1..n} do
f0 = E X (x| xi = 0) {Вычисляется через (4)}
f1 = E X (x| xi = 1) { и (3)}
if f0 < f1 then
xi ← 0
else
xi ← 1
end if
end for
return x
Упражнение
Как организовать вычисление f0 и f1 , чтобы сложность алгоритма
(кроме решения линейной релаксации) была O(mn)?
11 / 13
12. Дерандомизация для MAX-SAT
Вход: Формулировка задачи «MAX-SAT» в виде (1).
Выход: (x1 , . . . , xn ) — приближенное решение (1).
(p1 , . . . , pn ) ← решения линейной релаксации (2).
for all i ∈ {1..n} do
f0 = E X (x| xi = 0) {Вычисляется через (4)}
f1 = E X (x| xi = 1) { и (3)}
if f0 < f1 then
xi ← 0
else
xi ← 1
end if
end for
return x
Упражнение
Как организовать вычисление f0 и f1 , чтобы сложность алгоритма
(кроме решения линейной релаксации) была O(mn)?
12 / 13