The document discusses properties of probabilistically checkable proof systems (PCP systems) for verifying statements. It defines the classes PCP(r(·),q(·)) which capture the resources (random bits and oracle queries) used by a PCP verifier. The document compares PCP systems to non-deterministic verifiers for NP, noting key differences like the ability of PCP verifiers to check partial proofs. It also defines the complexity classes NP and coRP in terms of verifiers.
Social Bookmarks, Folksonomies–Complex NetworksOleg Nazarevych
Соціальні закладки, “народнакласифікація” –складні мережі.
Social Bookmarks, Folksonomies–Complex Networks
Короткий огляд, історія виникнення, математичні основи, тенденції розвитку.
Social Bookmarks, Folksonomies–Complex NetworksOleg Nazarevych
Соціальні закладки, “народнакласифікація” –складні мережі.
Social Bookmarks, Folksonomies–Complex Networks
Короткий огляд, історія виникнення, математичні основи, тенденції розвитку.
Теория ограничений и Линейное программированиеStas Fomin
Краткое введение в математическое моделирование и задачи линейного программирования.
Показана связь Теории Ограничений Др. Голдратта с линейным программированием, показаны решения компьютером модельных задач из «Синдрома стога сена», даже найдены ошибки в решениях Др. Голдратта.
2. PCP-система
Определение
Системой вероятностной проверки доказательств (верифицирующей
PCP-системой) для языка L называется ВМТ M с оракулом, для
которой выполняются следующие условия:
полнота (completeness): ∀x ∈ L существует оракул πx :
P[Mπx (x) = 1] = 1.
корректность (soundness): ∀x ∈ L и для любого оракула π:
/
1
P[Mπ (x) = 1] ≤ .
2
2 / 16
3. Сравнение N P и PCP верификаторов
1 Верификатором для класса N P была ДМТ, а у
PCP-системы — ВМТ.
2 ∀x строка доказательства у N P была полиномиального размера,
а у PCP-системы, каждая строка πx может быть
экспоненциального размера.
3 В случае N P, верификатор сразу же получает доступ ко всему
доказательству, а PCP-система, при любой длине доказательства,
успеет просмотреть часть не больше чем полиномиальной длины.
Впрочем, PCP-система может вполне «побрезговать» полным
доказательством, даже если оно полиномиального размера,
ограничившись просмотром константы битов из доказательства,
или вовсе не смотреть на него, вынеся результат из исследования
входного слова и вероятностного «подбрасывания монеток».
Также, PCP-система может обойтись и без «монеток».
3 / 16
4. PCP-система
Определение
Системой вероятностной проверки доказательств (верифицирующей
PCP-системой) для языка L называется ВМТ M с оракулом, для
которой выполняются следующие условия:
полнота (completeness): ∀x ∈ L существует оракул πx :
P[Mπx (x) = 1] = 1.
корректность (soundness): ∀x ∈ L и для любого оракула π:
/
1
P[Mπ (x) = 1] ≤ .
2
4 / 16
5. Класс PCP
Определение
Пусть r , q : N ⇒ N — неотрицательные целочисленные функции.
Класс сложности PCP(r (·), q(·)) состоит из языков, имеющих
верифицирующую PCP-систему, которая на входе x:
1 потребляет не более r (|x|) случайных бит;
2 делает не более q(|x|) запросов к оракулу.
Для множеств целочисленных функций R, Q определим
PCP(R, Q) ≡ PCP(r (·), q(·)).
r ∈R,q∈Q
5 / 16
6. Классы N P и coRP
Определение
Язык L ⊆ Σ∗ принадлежит классу N P, если существуют
полиномиальная детерминированная машина Тьюринга M и полином
p(·), такие, что L = {x ∈ Σ∗ : ∃ y , |y | < p(|x|)& M(x, y ) = 1}.
Определение
Класс сложности coRP состоит из всех языков L, для которых
существуют некий полином p(·) и полиномиальная МТ M(x, y ), такая,
что:
x ∈ L ⇒ ∀y , M(x, y ) = 1,
|{y : M(x, y ) = 0, |y | ≤ p(|x|)}| 1
x ∈L ⇒
/ ≥ .
2 p(|x|) 2
6 / 16
7. PCP при различных параметрах
PCP(poly , poly ) = N EX P ≡ N T IME(2poly )
«Вырожденные» случаи:
PCP(0, poly ) = N P
PCP(poly , 0) = coRP
7 / 16
8. PCP(log , poly ) ⊆ N P
L ∈ PCP(log , poly ), M —оракульная ВМТ из PCP-системы для L.
Обозначим:
1 r1 , . . . , rm — вероятностная строка, потребляемая ВМТ;
2 i — индекс вероятностных строк.
3 i i
q1 , . . . , qni — вопросы к оракулу, на x и i-й строке r1 , . . . , rm .
4 πqi , . . . , πqn
i — ответы оракула на эти вопросы.
1 i
∀i ∈ 1, . . . , m, πqi , . . . , πqn
i кодируется полиномиальной строкой y :
1 i
случайных строк — m ≤ 2log(|x|) = poly (|x|);
ответов оракула ≤ poly (|x|).
⇒ y — полиномиальное «N P-доказательство» для x.
Верификатор-ДМТ M, на x#y , просимулирует ВМТ M на всех r ,
и вместо оракула предоставит M ответы из «N P-доказательства» y .
Если на всех r M (r , x) = 1, то M (x#y ) = 1.
8 / 16
9. PCP(log , poly ) ⊆ N P
Пусть x ∈ L. Покажем ∀y : M(x, y ) = 0.
/
Допустим, что ∃y : M(x, y ) = 1, для x ∈ L.
/
Тогда, «превратим» это «N P-доказательство» y обратно
в некоторого оракула π y :
y
P M π (x) = 1 = 1
Противоречие с условием «soundness» PCP системы.
9 / 16
10. PCP-теорема
Теорема
N P ⊆ PCP(log , O(1))
Учитывая результат предыдущего слайда (PCP(log , poly ) ⊆ N P):
Теорема
N P = PCP(log , O(1))
Теорема
N P = PCP(log , q = 5)
Таких битов не может быть меньше трех, при гипотезе, что P = N P.
(N P ≈ PCP(log , q = 5))
10 / 16
11. PCP-теорема
Теорема
N P ⊆ PCP(log , O(1))
Учитывая результат предыдущего слайда (PCP(log , poly ) ⊆ N P):
Теорема
N P = PCP(log , O(1))
Теорема
N P = PCP(log , q = 5)
Таких битов не может быть меньше трех, при гипотезе, что P = N P.
(N P ≈ PCP(log , q = 5))
11 / 16
12. PCP-теорема
Теорема
N P ⊆ PCP(log , O(1))
Учитывая результат предыдущего слайда (PCP(log , poly ) ⊆ N P):
Теорема
N P = PCP(log , O(1))
Теорема
N P = PCP(log , q = 5)
Таких битов не может быть меньше трех, при гипотезе, что P = N P.
(N P ≈ PCP(log , q = 5))
12 / 16
13. PCP(log , q = 2) ⊆ P (P = PCP(log , q = 2))
На i-ую вероятностную строку r1 , . . . , rm ответов от оракула должно
i i
быть не больше чем два π1 , π2 .
По схеме верификации машиной M можно построить 2SAT-формулу
φ — КНФ, где будет m-дизъюнкций, соответствующих вероятностным
строкам, где каждая дизъюнкция содержит не больше чем 2
i i
переменные, соответствующие ответам оракула π1 , π2 .
Cуществование πx ⇐⇒ «выполнимость 2SAT-формулы φ», а эта
задача полиномиально разрешима.
13 / 16
14. Иерархия некоторых классов сложности
P
ZPP
PCP (log,q=2)
coRP RP
coN P BPP NP
PCP (poly,0)
PP PCP (log,q=5)
PCP (0,poly)
PSPACE PCP (log,log)
PCP (poly,poly)
N EX P
14 / 16