RealEDU. Download: https://drive.google.com/file/d/1nSq2Gcy4-NUZThe--UKgPdTeIswtKz24/view?usp=sharing

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC
BÙI XUÂN DIỆU
Bài Giảng
OLYMPIC SINH VIÊN MÔN ĐẠI SỐ
ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH, MA TRẬN VÀ ÁNH XẠ
TUYẾN TÍNH, ĐA THỨC
Tóm tắt lý thuyết, các ví dụ, bài tập và lời giải
Dresden (Germany) - 2012

2. MỤC LỤC
Mục lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1 . Ma trận - Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Các tính chất cơ bản của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Các định thức đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Định thức con và phần phụ đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Phần bù Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 2 . Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 19
1 Không gian đối ngẫu - Phần bù trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1 Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Phần bù trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Hạt nhân và ảnh - Không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 Hạt nhân và ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Cơ sở của không gian véctơ - Độc lập tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Bài toán đổi cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1 Các tính chất của hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1

3. 2 MỤC LỤC
Chương 3 . Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính . . . . . . . . 31
1 Vết của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Cấu trúc của tự đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1 Trị riêng và véctơ riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Tự đồng cấu chéo hoá được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Đa thức tối tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Dạng chuẩn của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1 Dạng chuẩn Jordan của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Dạng chuẩn Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Biểu diễn ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1 Rút gọn một ma trận về ma trận dạng đường chéo đơn giản . . . . . . 43
4.2 Biểu ma trận dưới dạng tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Biểu diễn Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Biểu diễn Lanczos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Chương 4 . Các ma trận có dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1 Ma trận đối xứng - Ma trận Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Ma trận phản xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Ma trận trực giao - Phép biến đổi Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Ma trận chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Ma trận luỹ linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Toán tử chiếu - Ma trận lũy đẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Ma trận đối hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4. MỤC LỤC 3
8 Ma trận hoán vị (hay còn gọi là ma trận giao hoán) . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Chương 5 . Các bất đẳng thức ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1 Các bất đẳng thức cho ma trận đối xứng và Hermitian . . . . . . . . . . . . . 59
1.1 Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2 Các bất đẳng thức cho trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chương 6 . Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5. 4 MỤC LỤC

6. CHƯƠNG 1
MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
§1. ĐỊNH THỨC
1.1 Các tính chất cơ bản của định thức
Định thức của một ma trận vuông A = (aij)n
1 cấp n là tổng luân phiên
∑
σ
(−1)σ
a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n),
ở đó tổng trên được lấy qua tất cả các phép hoán vị σ ∈ Sn. Định thức của ma trận A được
kí hiệu là det A hoặc |A|, nếu det A 6= 0 ta nói A là ma trận khả nghịch (không suy biến).
Các tính chất sau đây thường được sử dụng để tính định thức của một ma trận. Các bạn
có thể kiểm chứng hoặc chứng minh chúng một cách dễ dàng.
1. Nếu đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) của ma trận A thì định thức của nó đổi dấu. Nói
riêng, nếu ma trận A có hai hàng (cột)giống nhau thì det A = 0.
2. Nếu A, B và C là các ma trận vuông cùng cấp thì det
A C
0 B
!
= det A. det B.
3. det A =
n
∑
j=1
(−1)i+jMi,j, ở đó Mij là định thức của ma trận thu được từ A bằng cách bỏ
đi hàng thứ i và cột thứ j của nó. Công thức này còn được gọi là công thức khai triển
định thức theo hàng. Các bạn có thể tự viết công thức khai triển định thức theo cột
một cách tương tự.
4.

13. λ1α1 + µ1β1 a12 . . . a1n
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
λnαn + µnβn an2 . . . ann

20. = λ

27. α1 a12 . . . a1n
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
αn an2 . . . ann

34. + µ

41. β1 a12 . . . a1n
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
βn an2 . . . ann

48. 5

49. 6 Chương 1. Ma trận - Định thức
5. det(AB) = det A det B.
6. det(AT) = detA.
1.2 Các định thức đặc biệt
Định thức Vandermonde
Ma trận Vandermonde cấp n là ma trận vuông cấp n có dạng
Vn(a1, a2, ..., an) =








1 1 . . . 1 1
a1 a2 . . . an−1 an
a2
1 a2
2 . . . a2
n−1 a2
n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
an−1
1 an−1
2 . . . an−1
n−1 an−1
n








Định lý 1.1. Chứng minh rằng det Vn(a1, a2, ..., an) = ∏
16i<j6n
(aj − ai). Từ đó suy ra hệ
Vn(a1, a2, ..., an).X = 0 chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi a1, a2, . . . , an đôi một phân
biệt.
Một ứng dụng thú vị của định thức Vandermonde là bài toán sau:
Bài tập 1.1. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Khi đó
An
= 0 ⇔ tr(Ak
) = 0, k = 0, 1, 2, . . . , n
Chứng minh. ⇒ Nếu An = 0 thì A là một ma trận lũy linh, do đó A chỉ có các trị riêng
bằng 0, nên Ak cũng chỉ có các trị riêng bằng 0 với mọi k. Suy ra điều phải chứng minh.
⇐ Giả sử các giá trị riêng của A là λ1, λ2, . . . , λn. Khi đó từ tr(Ak) = 0, k = 0, 1, 2, . . . , n ta
có hệ phương trình: 














λ1 + λ2 + . . . + λn = 0
λ2
1 + λ2
2 + . . . + λ2
n = 0
.
.
.
λn
1 + λn
2 + . . . + λn
n = 0
(1.1)
hay
Vn(λ1, λ2, . . . , λn)(λ1, λ2, . . . , λn)T
= 0.
Ta sẽ chứng minh tất cả các giá trị riêng của A bằng nhau. Thật vậy:
Nếu λi đôi một phân biệt thì định thức Vandermonde khác không, hệ phương trình trên
chỉ có nghiệm duy nhất λ1, λ2, . . . , λn = 0. Mâu thuẫn.

50. 1. Định thức 7
Ngược lại, không mất tính tổng quát, giả sử λ1 = λ2 và không một giá trị λi còn lại nào
bằng nhau. Khi đó hệ phương trình được viết lại dưới dạng
Vn−1(λ2, . . . , λn)(2λ2, . . . , λn)T
= 0
Lập luận tương tự ta có λ2 = . . . = λn = 0, mâu thuẫn.
Vậy tất cả các trị riêng của A bằng nhau và do đó bằng 0.
Bài tập 1.2. Chứng minh rằng với các số nguyên k1 < k2 < ... < kn bất kì thì
det Vn(k1, k2, ..., kn)
det Vn(1, 2, ..., n)
là một số nguyên.
Bài tập 1.3. Cho W là ma trận có được từ ma trận V = Vn(a1, a2, ..., an) bằng cách thay
hàng (an−1
1 , an−1
2 , ..., an−1
n ) bởi hàng (an
1 , an
2 , ..., an
n). Chứng minh rằng
det W = (a1 + a2 + ... + an) det V.
Bài tập 1.4. Chứng minh rằng
det









1 1 . . . 1 1
a1 a2 . . . an−1 an
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
an−2
1 an−2
2
.
.
. an−2
n−1 an−2
n
a2a3...an a1a3...an . . . a1a2...an−2an a1a2...an−1









= (−1)n−1
. det Vn(a1, a2, ..., an)
Chứng minh. • Nếu a1, a2, . . . , an 6= 0 thì nhân cột thứ nhất với a1, cột thứ hai với a2, . . . ,
cột thứ n với an rồi chia cho a1a2 . . . an ta được
det









1 1 . . . 1 1
a1 a2 . . . an−1 an
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
an−2
1 an−2
2
.
.
. an−2
n−1 an−2
n
a2a3...an a1a3...an . . . a1a2...an−2an a1a2...an−1









=
1
a1a2 . . . an
. det









a1 a2 . . . an−1 an
a2
1 a2
2 . . . a2
n−1 a2
n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
an−1
1 an−1
2
.
.
. an−1
n−1 an−1
n
1 1 . . . 1 1









= (−1)n−1. det Vn(a1, a2, ..., an)
• Trường hợp có ít nhất một trong các số a1, a2, . . . , an bằng 0 (xét riêng).

51. 8 Chương 1. Ma trận - Định thức
Bài tập 1.5. Cho f1(x), f2(x), ..., fn(x) là các đa thức bậc không quá n − 2. Chứng minh
rằng với mọi số a1, a2, . . . , an ta có

61. f1(a1) f1(a2) . . . f1(an)
f2(a1) f2(a2) . . . f2(an)
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
fn(a1) fn(a2) . . . fn(an)

71. = 0
Chứng minh. Giả sử fi(x) = bi0 + bi1x + . . . + bi,n−2xn−2 thì






f1(a1) f1(a2) . . . f1(an)
f2(a1) f2(a2) . . . f2(an)
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
fn(a1) fn(a2) . . . fn(an)






=






b10 b11 . . . b1,n−2 0
b20 b21 . . . b2,n−2 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
bn0 bn1 . . . bn,n−2 0






.






1 1 . . . 1 1
a1 a2 . . . an−1 an
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
an−1
1 an−1
2 . . . an−1
n−1 an−1
n






Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài tập 1.6. Cho A =
aij
và fi(x) = a1i + a2ix + ... + anixn−1 với i = 1, n. Chứng minh
rằng

81. f1(x1) f1(x2) . . . f1(xn)
f2(x1) f2(x2) . . . f2(xn)
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
fn(x1) fn(x2) . . . fn(xn)

91. = det A.Vn(x1, x2, ..., xn)
Chứng minh. Tương tự như bài ?? ta có






f1(x1) f1(x2) . . . f1(xn)
f2(x1) f2(x2) . . . f2(xn)
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
fn(x1) fn(x2) . . . fn(xn)






=






a11 a12 . . . a1,n−1 a1n
a21 a22 . . . a2,n−1 a2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
an1 an2 . . . an,n−1 ann






.






1 1 . . . 1 1
x1 x2 . . . xn−1 xn
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
xn−1
1 xn−1
2 . . . xn−1
n−1 xn−1
n






Suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập 1.7. Chứng minh rằng với k1, k2, . . . , kn là các số tự nhiện khác nhau và a1, a2, . . . , an
là các số dương khác nhau thì
det








1 1 1 . . . 1
ak1
1 ak1
2 ak1
3 . . . ak1
n
ak2
1 ak2
2 ak2
3 . . . ak2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
akn
1 akn
2 akn
3 . . . akn
n








6= 0

92. 1. Định thức 9
Định thức Cauchy
Ma trận Cauchy là ma trận vuông cấp n, A = (aij), ở đó aij = 1
xi+yj
. Bằng phương pháp
quy nạp, ta sẽ chứng minh
det A =
Πij(xi − xj)(yi − yj)
Πi,j(xi + xj)
Trước hết lấy mỗi cột từ 1 đến n − 1 trừ đi cột cuối cùng, ta được
a0
ij = (xi + yj)−1
− (xi + yn)−1
= (yn − yj)(xi + yn)−1
(xi + yj)−1
với j 6= n.
Đưa nhân tử (xi + yn)−1 ở mỗi hàng, và yn − yj ở mỗi cột trừ cột cuối cùng ra khỏi định
thức ta sẽ thu được định thức |bij|n
i,j=1, ở đó bij = aij với j 6= n và bin = 1.
Tiếp theo, lấy mỗi hàng từ 1 đến n − 1 trừ đi hàng cuối cùng. Đưa nhân tử xn − xi ở
mỗi hàng trừ hàng cuối cùng, và nhân tử (xn + yj)−1 ở mỗi cột trừ cột cuối cùng, ta sẽ thu
được công thức truy hồi định thức Cauchy cấp n qua cấp n − 1.
Định thức Frobenius
Ma trận có dạng











0 1 0 . . . 0 0
0 0 1 . . . 0 0
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
0 0 0 . . . 1 0
0 0 0 . . . 0 1
a0 a1 a2 . . . an−2 an−1











được gọi là ma trận Frobenius, hay ma trận bạn của đa thức
p(λ) = λn
− an−1λn−1
− an−2λn−2
− . . . − a0.
Khai triển định thức Frobenius theo hàng thứ nhất, các bạn có thể dễ dàng thu được công
thức sau:
det(λI − A) = p(λ)

93. 10 Chương 1. Ma trận - Định thức
Định thức của ma trận ba đường chéo
Ma trận ba đường chéo là ma trận vuông J = (aij)n
i,j=1, ở đó aij = 0 với |i − j| 1. Đặt
ai = aii, bi = ai,i+1, ci = ai+1,i, ma trận ba đường chéo khi đó có dạng:














a1 b1 0 . . . 0 0 0
c1 a2 b2 . . . 0 0 0
0 c2 a3
... 0 0 0
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
.
0 0 0
... an−2 bn−2 0
0 0 0 . . . cn−2 an−1 bn−1
0 0 0 . . . 0 cn−1 an














Khai triển định thức của ma trận trên theo hàng thứ k, ta được
∆k = ak∆k−1 − bk−1ck∆k−2 với k ≥ 2, ở đó ∆k = det(aij)k
i,j=1.
Công thức truy hồi trên đã khẳng định rằng định thức ∆n không những chỉ phụ thuộc vào
các số bi, cj mà còn phụ thuộc vào bici. Trong trường hợp đặc biệt, kí hiệu
(a1 . . . an)

111. a1 1 0 . . . 0 0 0
−1 a2 1 . . . 0 0 0
0 −1 a3
... 0 0 0
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
.
0 0 0
... an−2 1 0
0 0 0 . . . −1 an−1 1
0 0 0 . . . 0 −1 an

129. ta có công thức truy hồi thông qua liên phân số sau:
(a1a2 . . . an)
(a2a3 . . . an)
= a1 +
1
a2 + 1
a3+
...+ 1
an−1+ 1
an
Định thức của ma trận khối
Giả sử A =
A11 A12
A21 A22
!
, ở đó A11 và A22 là các ma trận vuông cấp m và cấp n tương
ứng. Đặt D là một ma trận vuông cấp m và B là ma trận cỡ n × m.
Định lý 1.2.

134. DA11 DA12
A21 A22

139. = |D|.|A| và

144. A11 A12
A21 + BA11 A22 + BA12

149. = |A|.

150. 1. Định thức 11
1.3 Bài tập
Bài tập 1.8. Cho A là một ma trận phản xứng cấp n lẻ. Chứng minh rằng det A = 0.
Bài tập 1.9. Chứng minh rằng định thức của một ma trận phản xứng cấp n chẵn không
thay đổi nếu ta cộng thêm vào mỗi phần tử của nó với một số cố định.
Bài tập 1.10. Tính định thức của một ma trận phản xứng cấp 2n chẵn thỏa mãn tính
chất các phần tử ở trên đường chéo chính bằng 1.
Bài tập 1.11. Cho A = (aij)n
i,j=1, với aij = a|i−j|. Tính det A.
Bài tập 1.12. Cho ∆3 =

159. 1 −1 0 0
x h −1 0
x2 hx h −1
x3 hx2 hx h

168. và ∆n được định nghĩa tương tự cho n 3.
Chứng minh rằng ∆n = (x + h)n.
Bài tập 1.13. Cho C = (cij)n
i,j=1, với cij =



aibj nếu i 6= j
xi nếu i = j
. Tính det C.
Bài tập 1.14. Cho ai,i+1 = ci với i = 1, . . . , n, các phần tử khác của ma trận A bằng 0.
Chứng minh rằng định thức của ma trận I + A + A2 + . . . + An−1 bằng (1 − c)n−1, với
c = c1 . . . cn.
Bài tập 1.15. Tính det(aij)n
i,j=1, với aij = (1 − xiyj)−1.
Bài tập 1.16. Tính

175. 1 x1 . . . xn−2
1 (x2 + x3 + . . . + xn)n−1
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
1 xn . . . xn−2
n (x1 + x2 + . . . + xn−1)n−1

182. Bài tập 1.17. Tính

189. 1 x1 . . . xn−2
1 x2x3 . . . xn
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
1 xn . . . xn−2
n x1x2 . . . xn−1

196. Bài tập 1.18. Tính |aik|n
0 , với aik = λn−k
i (1 + λ2
i )k.
Bài tập 1.19. Cho aij = Cin
j . Chứng minh rằng |aij|r
1 = nr(r+1)/2 với r ≤ n.

197. 12 Chương 1. Ma trận - Định thức
Bài tập 1.20. Cho k1, . . . , kn ∈ Z, tính |aij|n
1 , ở đó aij =



1
(ki+j−i)!
với ki + j − i ≥ 0
0 với ki + j − i 0
Bài tập 1.21. Cho sk = p1xk
1 + . . . + pnxk
n, và ai,j = si+j. Chứng minh rằng
|aij|n−1
0 = p1 . . . pnΠij(xi − xj)2
.
Bài tập 1.22. Cho s = xk
1 + . . . + xk
n. Tính

207. s0 s1 . . . sn−1 1
s1 s2 . . . sn y
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
sn sn+1 . . . s2n− yn

217. Bài tập 1.23. Cho aij = (xi + yj)n. Chứng minh rằng
|aij|n
0 = Cn
1 Cn
2 . . . Cn
nΠik(xi − xk)(yk − yi).
Bài tập 1.24. Cho bij = (−1)i+jaij. Chứng minh rằng |aij|n
1 = |bij|n
1 .
Bài tập 1.25. Cho ∆n(k) = |aij|n
0 , ở đó aij = Ck+i
2j . Chứng minh rằng
∆n(k) =
k(k + 1) . . . (k + n − 1)
1.3 . . . (2n − 1)
∆n−1(k − 1).
Bài tập 1.26. Cho Dn = |aij|n
0 , ở đó aij = Cn
2j−1. Chứng minh rằng Dn = 2n(n+1)/2.
Bài tập 1.27. Cho A =
A11 A12
A21 A22
!
và B =
B11 B12
B21 B22
!
, ở đó A11, B11, A22, B22 là các ma
trận vuông cùng cấp và rank A11 = rank A, rank B11 = rank B. Chứng minh rằng

222. A11 B12
A21 B22

227. .

232. A11 A12
B21 B22

237. = |A + B|.|A11|.|B22|

238. 2. Định thức con và phần phụ đại số 13
§2. ĐỊNH THỨC CON VÀ PHẦN PHỤ ĐẠI SỐ
2.1 Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.3. Ma trận mà các phần tử của nó là giao của p hàng và p cột của ma trận
vuông A được gọi là ma trận con cấp p của A. Định thức tương ứng được gọi là định thức
con cấp p. Kí hiệu
A
i1 . . . ip
k1 . . . kp
!
=

246. ai1k1
ai1k2
. . . ai1kp
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
aipk1
aipk2
. . . aipkp

254. Nếu i1 = k1, . . . , ip = kp thì định thức con được gọi là định thức con chính cấp p.
Định nghĩa 1.4. Định thức con khác 0 có bậc cao nhất được gọi là định thức con cơ sở và
cấp của nó được gọi là hạng của ma trận A.
Định lý 1.5. Nếu A
i1 . . . ip
k1 . . . kp
!
là một định thức con cơ sở của A, thì các hàng của ma
trận A là tổ hợp tuyến tính của các hàng i1, . . . , ip của nó, và các hàng i1, . . . , ip này độc lập
tuyến tính.
Hệ quả 1.6. Hạng của một ma trận bằng số các hàng (cột) độc lập tuyến tính lớn nhất
của nó.
Định lý 1.7 (Công thức Binet - Cauchy). Giả sử A và B là các ma trận cỡ n × m và
m × n tương ứng và n ≤ m. Khi đó
det AB = ∑
1≤k1k2...kn≤m
Ak1...kn
Bk1...kn
,
ở đó Ak1...kn
là định thức con thu được từ các cột k1, . . . , kn của A và Bk1...kn là định thức con
thu được từ các hàng k1, . . . , kn của B.
Kí hiệu Aij = (−1)i+jMij, ở đó Mij là định thức của ma trận thu được từ ma trận A bằng
cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j, nó được gọi là phần bù đại số của phần tử aij. Khi đó ma
trận adj A = (Aij)T được gọi là ma trận liên hợp của ma trận A. Ta có công thức sau:
A. adj(A) = det A.I
Định lý 1.8. Toán tử adj có các tính chất sau:

255. 14 Chương 1. Ma trận - Định thức
1. adj AB = adj B. adj A
2. adj XAX−1 = X(adj A)X−1
3. Nếu AB = BA thì (adj A)B = B(adj A).
Định lý 1.9.

262. A11 . . . A1p
.
.
. . . .
.
.
.
Ap1 . . . App

269. = |A|p−1
.

276. Ap+1,p+1 . . . Ap+1,n
.
.
. . . .
.
.
.
An,p+1 . . . Ann

283. Hệ quả 1.10. Nếu A là ma trận suy biến thì rank(adj A) ≤ 1.
Định lý 1.11 (Jacobi). Giả sử 1 ≤ p n và σ =
i1 . . . in
j1 . . . kn
!
là một phép hoán vị bất
kì. Khi đó

291. Ai1 j1
. . . Ai1 jp
.
.
. . . .
.
.
.
Aip j1
. . . Aip jp

299. = (−1)σ
|A|p−1
.

307. Aip+1,jp+1
. . . Aip+1,jn
.
.
. . . .
.
.
.
Ain,jp+1
. . . Ainjn

315. Định lý 1.12 (Chebotarev). Cho p là một số nguyên tố và e = exp(2πi/p). Khi đó tất cả
các định thức con của định thức Vandermonde (aij)
p−1
i,i=0 là khác không, ở đó aij = eij.
Định lý 1.13 (Công thức khai triển Laplace). Cố định p hàng i1, i2, . . . , ip của A với
i1 i2 . . . ip. Khi đó
det A = ∑
j1...jp,jp+1...jn,ip+1...in
(−1)i+j
A
i1 . . . ip
j1 . . . jp
!
.A
ip+1 . . . in
jp+1 . . . jn
!
,
ở đó i = i1 + . . . + ip, j = j1 + . . . + jp.
Đại lượng (−1)i+j A
ip+1 . . . in
jp+1 . . . jn
!
được gọi là phần bù đại số của định thức con A
i1 . . . ip
j1 . . . jp
!
.
2.2 Bài tập
Bài tập 1.28. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng
|A + λI| = λn
+
n
∑
k=1
Skλn−k
,
ở đó Sk là tổng của tất cả Cn
k các định thức con chính cấp k của A.

316. 2. Định thức con và phần phụ đại số 15
Bài tập 1.29. Chứng minh rằng

326. a11 . . . a1n x1
.
.
. . . .
.
.
. vdots
an1 . . . ann xn
y1 . . . yn 0

336. = − ∑
i,j
xiyj Aij,
ở đó Aij là phần bù đại số của phần tử aij.
Bài tập 1.30. Chứng minh rằng tổng của các định thức con chính cấp k của AT A bằng
tổng bình phương các định thức con chính cấp k của A.
Bài tập 1.31. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Tính



I A C
0 I B
0 0 I



−1
Bài tập 1.32. Tìm một ví dụ một ma trận vuông cấp n mà các phần bù đại số của nó đều
bằng 0, ngoại trừ phần tử nằm ở hàng i và cột j.
Bài tập 1.33. Cho x và y là các cột có độ dài n. Chứng minh rằng
adj(I − xy)T
= xyT
+ (1 − yT
x)I.
Bài tập 1.34. Cho A là một ma trận phản xứng. Chứng minh rằng adj(A) là một ma trận
phản xứng nếu n lẻ và đối xứng nếu n chẵn.
Bài tập 1.35. Cho A là một ma trận phản xứng cấp n với các phần tử trên đường chéo
chính bằng 1. Tính adj A.
Bài tập 1.36. Tìm tất cả các ma trận A có các phần tử không âm sao cho tất cả các phần
tử của ma trận A−1 cũng không âm.
Bài tập 1.37. Cho e = exp(2πi/n) và A = (aij)n
1 với aij = eij. Tính A−1.
Bài tập 1.38. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Vandermonde V.

337. 16 Chương 1. Ma trận - Định thức
§3. PHẦN BÙ SCHUR
3.1 Các định nghĩa và tính chất
Cho P =
A B
C D
!
là một ma trận khối, ở đó A, D là các ma trận vuông. Để tính định
thức của ma trận P, ta có thể phân tích P dưới dạng sau:
A B
C D
!
=
A 0
C I
!
I Y
0 X
!
=
A AY
C CY + X
!
(1.2)
Nếu A là một ma trận khả nghịch thì các phương trình B = AY và D = CY + X có nghiệm
lần lượt là Y = A−1B và X = D − CA−1B.
Định nghĩa 1.14. Ma trận D − CA−1B được gọi là phần bù Schur của ma trận khả nghịch
A trong P, và được kí hiệu là (P|A).
Dễ dàng nhận thấy rằng
det P = det A det(P|A).
Mặt khác,
A AY
C CY + X
!
=
A 0
C X
!
I Y
0 I
!
, (1.3)
nên phương trình (??) có thể được viết dưới dạng sau:
P =
A 0
C P|A
!
I A−1B
0 I
!
=
I 0
CA−1 I
!
A 0
0 P|A
!
I A−1B
0 I
!
(1.4)
Tương tự, nếu D là ma trận khả nghịch, thì
P =
I BD−1
0 I
!
A − BD−1C 0
0 D
!
I 0
D−1C I
!
(1.5)
Định lý 1.15.
1. Nếu |A| 6= 0 thì |P| = |A|.|D − CA−1B|;
2. Nếu |D| 6= 0 thì |P| = |A − BD−1C|.|D|.
3. P−1 =
A−1 + A−1BX−1CA−1 −A−1BX−1
−X−1CA−1 X−1
!
, ở đó X = (P|A).

338. 3. Phần bù Schur 17
Định lý 1.16. Nếu A và D là các ma trận vuông cấp n, det A 6= 0, và AC = CA, thì
|P| = |AD − CB|.
Chú ý 1.17. Định lý ?? vẫn đúng nếu |A| = 0, thật vậy, xét ma trận Ae = A + eI. Dễ
dàng thấy rằng ma trận Ae sẽ khả nghịch với mọi e đủ nhỏ! Hơn nữa nếu AC = CA thì
AeC = CAe.
Định lý 1.18. Giả sử u là một hàng, v là một cột, và a là một số bất kì. Khi đó

343. A v
u a

348. = a|A| − u(adj A)v.
Định lý 1.19 (Emily Haynsworth). Cho A =



A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33


 , B =
A11 A12
A21 A22
!
, C =
(A11) là các ma trận vuông, và B, C là các ma trận khả nghịch. Khi đó:
(A|B) = ((A|C)|(B|C)).
3.2 Bài tập
Bài tập 1.39. Cho u và v là các hàng có độ dài n và A là một ma trận vuông cấp n. Chứng
minh rằng
|A + uT
v| = |A| + v(adj A)uT
Bài tập 1.40. Cho A là một ma trận vuông. Chứn minh rằng

353. I A
AT I

358. = 1 − ∑ M2
1 + ∑ M2
2 − ∑ M2
3 + . . .
ở đó ∑ M2
k là tổng bình phương của tất cả các định thức con cấp k của A.

359. 18 Chương 1. Ma trận - Định thức

360. CHƯƠNG 2
KHÔNG GIAN VÉCTƠ - ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
§1. KHÔNG GIAN ĐỐI NGẪU - PHẦN BÙ TRỰC GIAO
1.1 Không gian đối ngẫu
Định nghĩa 2.1. Với mỗi không gian véctơ V trên trường K, không gian tuyến tính V∗
mà các phần tử của nó là các ánh xạ tuyến tính trên V, nghĩa là, ánh xạ f : V → K sao
cho
f (λ1v1 + λ2v2) = λ1 f (v1) + λ2 f (v2) với mọi λ1, λ2 ∈ K và v1, v2 ∈ V,
được gọi là không gian đối ngẫu với không gian V.
Định lý 2.2. Cho V là không gian Ơclit n chiều, chứng minh điều kiện cần và đủ để ánh
xạ f : V → R tuyến tính là tồn tại véctơ a cố định của V để f (x) = a, x , ∀x ∈ V
Chú ý 2.3. Khi đó không gian V∗ có thể được coi như đồng nhất với không gian V.
Chứng minh. ⇐ Điều kiện đủ: Dễ dàng chứng minh ánh xạ f (x) = a, x , ∀x ∈ V là
ánh xạ tuyến tính với mỗi vectơ a cố định đã được chọn trước.
⇒ Điều kiện cần: Giả sử f : V → V là một ánh xạ tuyến tính bất kỳ.
(a) Nếu f ≡ 0 thì ta chọn vectơ a = 0 thoả mãn yêu cầu bài toán.
(b) Nếu f 6≡ 0. Ta sẽ chứng minh dimKerf = n − 1. Thật vậy, vì f 6≡ 0 nên tồn
tại ít nhất một vectơ y ∈ V, y 6∈ Kerf. Cố định một vectơ y như vậy, khi đó với
mỗi x ∈ V, đặt λ = f (x)
f (y)
, z = x − λy = x − f (x)
f (y)
y thì f (z) = 0 ⇒ z ∈ Kerf .
Ta có x = z + λy , tức là mỗi vectơ x ∈ V thừa nhận phân tích thành tổng của
2 vectơ, một vectơ thuộc Kerf và một vectơ thuộc spany. Điều đó có nghĩa là
19

361. 20 Chương 2. Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính
V = Kerf + spany và suy ra dimKerf = n − 1.
Bây giờ giả sử V có phân tích thành tổng trực giao V = Kerf + (Kerf )⊥
thì
dim (Kerf )⊥
= 1 , tức (Kerf )⊥
= span (y0) , trong đó ky0k = 1 . Đặt a =
f (y0) y0 ∈ (Kerf )⊥
, ta sẽ chứng minh vectơ a thoã mãn yêu cầu bài ra, tức
là f (x) = a, x , ∀x ∈ V. Thật vậy: Với mỗi x ∈ V, do V = Kerf + (Kerf )⊥
=
Kerf + span (y0) nên x = λy0 + y, y ∈ Kerf . Khi đó:
f (x) = λf (y0) + f (y)
= λf (y0)
= λ f (y0) y0, y0
= λ a, y0
= a, λy0
= a, λy0 + y
a, y = 0 do a ∈ (Kerf )⊥
, y ∈ (Kerf )
= a, x
Với mỗi cơ sở e1, e2, . . . , en của không gian V, đặt e∗
i (ej) = δij, khi đó e∗
1, . . . , e∗
n sẽ là cơ sở của
V∗. Mỗi phần tử f ∈ V∗ khi đó có thể được biểu diễn dưới dạng
f = ∑ f (ei)e∗
i .
Do đó, nếu cố định cơ sở e1, e2, . . . , en của không gian V, chúng ta có thể xây dựng được một
đẳng cấu g : V → V∗ bằng cách đặt g(ei) = e∗
i .
Với mỗi ánh xạ tuyến tính A : V1 → V2 toán tử đối ngẫu A∗ : V∗
2 → V∗
1 xác định bởi
(A ∗ f2)(v1) = f2(Av1) với mỗi f2 ∈ V∗
2 và v1 ∈ V1. Để thuận tiện hơn, ta kí hiệu f (v) bởi
f, v , khi đó định nghĩa của toán tử A∗ có thể được viết lại như sau:
hA∗
f2, v1i = hf2, Av1i
Gọi (aij)n
1 là ma trận của ánh xạ tuyến tính A trong cặp cơ sở {eα} của V1 và {eβ} của V2,
ở đó Aej = ∑i aijei. Tương tự, gọi (a∗
ij)n
1 là ma trận của ánh xạ tuyến tính A∗ trong cặp cơ
sở {e∗
β} của V∗
2 và {e∗
α} của V∗
1 .
Bổ đề 2.4.
(a∗
ij) = (aij)T
Giả sử {eα} và {eβ} là hai cơ sở khác nhau của không gian véctơ V, A là ma trận chuyển
từ cơ sở {eα} sang {eβ}, B là ma trận chuyển cơ sở từ {e∗
α} sang cơ sở {e∗
β}.
Bổ đề 2.5.
ABT
= I.
Hệ quả 2.6. Các cơ sở {eα} và {eβ} cảm sinh cùng một đẳng cấu V → V∗ khi và chỉ khi A
là một ma trận trực giao, nghĩa là AAT = I.

362. 1. Không gian đối ngẫu - Phần bù trực giao 21
1.2 Phần bù trực giao
Định nghĩa 2.7. Với mỗi không gian con W ⊂ V, không gian
W⊥
= {f ∈ V∗
| f, w = 0 với mọi w ∈ W},
được gọi là phần bù trực giao của không gian con W.
W⊥ là một không gian véctơ con của V∗ và dimW + dimW⊥ = dimV, bởi vì nếu e1, . . . , en
là một cơ sở của V sao cho e1, . . . , ek là một cơ sở của W thì khi đó e∗
k+1, . . . , e∗
n là một cơ sở
của W⊥.
Bổ đề 2.8. 1. Nếu W1 ⊂ W2 thì W⊥
2 ⊂ W⊥
1 ,
2. (W⊥)⊥ = W,
3. (W1 + W2)⊥ = W⊥
1 ∩ W⊥
2 và (W1 ∩ W2)⊥ = W⊥
1 + W⊥
2 ,
4. Nếu V = W1 ⊕ W2 thì V∗ = W⊥
1 ⊕ W⊥
2 .
Định lý 2.9. Nếu A : V → V là một toán tử tuyến tính và AW ⊂ W thì A∗W⊥ ⊂ W⊥.
Trong không gian các ma trận cỡ m × n, tích trong (tích vô hướng) giữa hai ma trận X, Y
được xác định như sau:
tr(XYT
) = ∑
i,j
xijyij.
Định lý 2.10. Cho A là một ma trận cỡ m × n. Nếu với mỗi ma trận X cỡ n × m ta có
tr(AX) = 0 thì A = 0.
1.3 Bài tập
Bài tập 2.1. Cho ma trận A vuông cấp n thỏa mãn tính chất tr(AX) = 0 với mọi ma trận
X có vết bằng 0. Chứng minh rằng A = λI.
Bài tập 2.2. Cho A và B là các ma trận cỡ m × n và k × n tương ứng, sao cho nếu AX = 0
thì BX = 0 với X là một véctơ cột nào đó. Chứng minh rằng B = CA, ở đó C là một ma trận
cỡ k × m.

363. 22 Chương 2. Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính
§2. HẠT NHÂN VÀ ẢNH - KHÔNG GIAN THƯƠNG
2.1 Hạt nhân và ảnh
Định nghĩa 2.11. Cho A : V → W là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơ V tới
không gian véctơ W. Khi đó
Ker(A) := {x|x ∈ V, A(x) = 0}
được gọi là hạt nhân của A.
Im(A) := {y|y ∈ W, ∃x ∈ V, A(x) = y} = {A(x)|x ∈ V}
được gọi là ảnh của A.
Định lý 2.12. Cho A : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó
1. Ker(A) là một không gian véctơ con của V.
2. Im(A) là một không gian véctơ con của W.
3. dimKerA + dim Im A = dimV.
4. Nếu B = {e1, e2, . . . , en} là một cơ sở của V thì
Im(A) = span{A(e1), A(e2), . . . , A(en)}.
Cho U
A
−→ V
B
−→ W là các ánh xạ tuyến tính. Khi đó
Định lý 2.13.
dim(Im A ∩ KerB) = dim Im A − dim Im BA = dimKerBA − dimKerA.
Định lý 2.14.
KerA∗
= (Im A)⊥
và Im A∗
= (KerA)⊥
.
Hệ quả 2.15. rank A = rank A∗.
Chú ý 2.16. . Nếu V là một không gian Euclide thì V∗ có thể đồng nhất với V, và
V = Im A ⊕ (Im A)⊥
= Im A ⊕ KerA∗
= =A∗
⊕ KerA.

364. 2. Hạt nhân và ảnh - Không gian thương 23
Định lý 2.17 (Fredholm). Cho A : V → V là một toán tử tuyến tính. Xét bốn phương
trình sau:
(1) Ax = y với x, y ∈ V, (3) Ax = 0,
(2) A∗
f = g với f, g ∈ V∗
, (4) A∗
f = 0.
Khi đó
1. hoặc là các phương trình (1) và (2) có nghiệm với mọi vế phải, và trong trường hợp
này nghiệm là duy nhất
2. hoặc là các phương trình (3) và (4) có cùng số các nghiệm độc lập tuyến tính x1, . . . , xk
và f1, . . . , fk và trong trường hợp này các phương trình (1) (và (2) tương ứng) có
nghiệm nếu và chỉ nếu f1(y) = . . . = fk(y) = 0 (tương ứng g(x1) = . . . = g(xk) = 0).
Định lý 2.18. Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi một trong các điều kiện tương
đương sau được thỏa mãn
a) Tồn tại các ma trận Y và Z sao cho C = AY và C = ZB;
b) rank A = rank(A, C) và rank B = rank
B
C
!
Định lý 2.19. Cho rank A = a. Khi đó tồn tại các ma trận khả nghịc L và R sao cho
LAR = Ia, ở đó Ia là ma trận cấp n có a phần tử trên đường chéo bằng 1, và các phần tử
còn lại bằng 0.
2.2 Không gian thương
Nếu W là một không gian véctơ con của không gian V thì V có thể được phân thành
lớp các tập con như sau:
Mv = {x ∈ V|x − v ∈ W}.
Nhận xét rằng Mv = Mv0 nếu và chỉ nếu v − v0 ∈ W. Khi đó trên tập thương
V/W = {Mv|v ∈ V},
ta có thể xây dựng một cấu trúc tuyến tính bằng cách đặt λMv = Mλv và Mv + Mv0 =
Mv+v0 . Chú ý rằng Mλv và Mv+v0 không phụ thuộc vào cách chọn v và v0 .
Định nghĩa 2.20. Không gian V/W được gọi là không gian thương của V modulo W

365. 24 Chương 2. Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính
Để thuận tiện người ta thường kí hiệu lớp Mv bởi v + W. Ánh xạ
p : V → V/W, p(v) = Mv,
được gọi là phép chiếu chính tắc từ V lên V/W. Hiển nhiên, Kerp = W và Im p = V/W.
Bổ đề 2.21. dim(V/W) = dimV − dimW
Chứng minh. Nếu e1, . . . , ek là một cơ sở của W và e1, . . . , ek, ek+1, . . . , en là một cơ sở của V
thì p(e1) = . . . = p(ek) = 0 và p(ek+1), . . . , p(en) là một cơ sở của V/W.
Định lý 2.22.
1. (U/W)/(V/W) ∼
= U/V nếu W ⊂ V ⊂ U;
2. V/V ∩ W ∼
= (V + W)/W nếu V, W ⊂ U.
2.3 Bài tập
Bài tập 2.3. Cho A là một toán tử tuyến tính. Chứng minh rằng
dimKerAn+1
= dimKerA +
n
∑
k=1
dim(Im Ak
∩ KerA)
và
dim Im A = dim Im An+1
+
n
∑
k=1
dim(Im Ak
∩ KerA).

366. 3. Cơ sở của không gian véctơ - Độc lập tuyến tính 25
§3. CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VÉCTƠ - ĐỘC LẬP TUYẾN
TÍNH
3.1 Bài toán đổi cơ sở
Cho A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V → W trong cặp cơ sở e = {e1, . . . , en} của
V và e = {e1, . . . , en} của W. Giả sử e0 = eP và e0 = eQ là các cơ sở khác của V và W. Khi
đó
A0
= Q−1
AP
là ma trận của f trong cặp cơ sở e0 và e0. Đặc biệt, nếu V = W và P = Q thì A0 = P−1AP.
Định lý 2.23. Với mỗi toán tử tuyến tính A, đa thức đặc trưng
|λI − A| = λn + an−1λn−1 + . . . + a0
không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở của không gian V.
Định lý 2.24 (Green, 1973). . Cho x1, . . . , xn và y1, . . . , yn là hai cơ sở của không gian V,
1 ≤ k ≤ n. Khi đó k véctơ của y1, . . . , yn có thể hoán đổi được với các véctơ x1, . . . , xk sao cho
chúng ta vẫn thu được 2 cơ sở khác của không gian V.
Định lý 2.25 (Aupetit, 1988). Cho T là một toán tử tuyến tính trên không gian V sao
cho với mọi ξ ∈ V các véctơ ξ, Tξ, . . . , Tnξ là độc lập tuyến tính. Khi đó các toán tử tuyến
tính I, T, . . . , Tn là độc lập tuyến tính.
3.2 Bài tập
Bài tập 2.4. Trong Vn cho các véctơ e1, . . . , em. Chứng minh rằng nếu m ≥ n + 2 thì tồn
tại các số α1, . . . , αm không đồng thời bằng 0 sao cho ∑ αiei = 0 và ∑ αi = 0.
Bài tập 2.5. Một tổ hợp tuyến tính lồi của các véctơ v1, . . . , vm là một véctơ bất kì
x = t1v1 + . . . + tmvm,
ở đó ti ≥ 0 và ∑ ti = 1. Chứng minh rằng trong một không gian véctơ thực n chiều, bất kì
tổ hợp tuyến tính lồi của m véctơ cũng là một tổ hợp tuyến tính lồi của không nhiều hơn
n + 1 véctơ cho trước.
Bài tập 2.6. Chứng minh rằng nếu |aii| ∑k6=i |aik| với mọi i = 1, . . . , n thì A = (aij)n
1 là
một ma trận khả nghịch.

367. 26 Chương 2. Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính
Bài tập 2.7. a) Cho các véctơ e1, . . . , en+1 trong một không gian Euclide n chiều, sao cho
(ei, ej) 0 nếu i 6= j, chứng minh rằng mọi n véctơ rút ra từ hệ n + 1 véctơ trên đều
là một cơ sở của V.
b) Chứng minh rằng nếu e1, . . . , em là các véctơ trong Rn sao cho (ei, ej) 0 với i 6= j thì
m ≤ n + 1.

368. 4. Hạng của ma trận 27
§4. HẠNG CỦA MA TRẬN
Định nghĩa 2.26. Cho A là một ma trận cỡ m × n. Hạng của ma trận A là cấp cao nhất
của các định thức con khác không của nó.
4.1 Các tính chất của hạng của ma trận
Bổ đề 2.27.
1. rank(A) ≤ min{m, n}. Nếu A là ma trận vuông cấp n thì A khả nghịch khi và chỉ khi
rank(A) = n.
2. rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B).
Định lý 2.28. (Định lý Sylvester) Cho A, B là các ma trận cỡ m × n và n × p tương ứng.
Khi đó
rank(AB) = rank(B) − dim(Im B ∩ KerA)
Nói riêng,
rank(A) + rank(B) − n ≤ rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}
Chứng minh. Chú ý rằng nếu A là toán tử tuyến tính trên không gian véctơ n chiều thì
n = dim Im A + dimKerA
và nếu A là ma trận của toán tử tuyến tính A thì
rank(A) = dim Im A.
Bây giờ xem A như là ánh xạ tuyến tính trên không gian véctơ con Im B. Khi đó ảnh của
nó là Im AB và hạt nhân của nó là Im B ∩ KerA. Do đó ta có
dim Im AB + dim(Im B ∩ KerA) = dim Im B.
Cuối cùng, chú ý rằng bất đẳng thức cần chứng minh được suy ra trực tiếp từ đẳng thức
trên và bất đẳng thức sau:
dim Im A + dimKer(Im B ∩ KerA) ≤ dim Im A + dimKerA = n.
Định lý 2.29 (Bất đẳng thức Frobenius).
rank(AB) + rank(BC) ≤ rank(B) + rank(ABC)

369. 28 Chương 2. Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính
Bổ đề 2.30. Hạng của ma trận A bằng cỡ nhỏ nhất của các ma trận B, C, sao cho A = BC.
Chứng minh. Nếu A = BC và cỡ nhỏ nhất của các ma trận B, C bằng k. Khi đó ta cần
chứng minh
rank(A) ≤ min{rank B, rank C} ≤ k.
Định lý 2.31 (Flanders, 1962). Cho r ≤ m ≤ n và Mn,m là không gian các ma trận cỡ
n × m. Giả sử U là không gian véctơ con của Mn,m thỏa mãn hạng lớn nhất của các phần
tử của U bằng r. Khi đó
dimU ≤ nr.
Bổ đề 2.32. Nếu B ∈ U thì B =
B11 B12
B21 0
!
, ở đó B21B12 = 0.
Bổ đề 2.33. Nếu B, C ∈ U thì B21C12 + C21B12 = 0.
4.2 Bài tập
Bài tập 2.8. Cho A là một ma trận vuông cấp n. CMR tồn tại k ≤ n sao cho r(Ak) = r(Am)
với mọi m ≥ k. Nói riêng r(An) = r(An+1).
Bài tập 2.9. Giả sử các giá trị riêng của ma trận A có phần thực âm. Chứng minh rằng
tồn tại ma trận xác định dương C sao cho ATC + CA = −I.
Bài tập 2.10. Cho aij = xi + yj. Chứng minh rằng rank(aij)n
1 ≤ 2.
Bài tập 2.11. Cho A là một ma trận vuông có hạng bằng 1. Chứng minh rằng
|A + I| = 1 + tr A.
Bài tập 2.12. Chứng minh rằng rank(A∗ A) = rank A.
Bài tập 2.13. Cho A là một ma trận khả nghịch. Chứng minh rằng nếu rank
A B
C D
!
=
rank A thì D = CA−1B.
Bài tập 2.14. Cho A1, A2 là các ma trận có cùng cỡ, và V1, V2 là không gian véctơ sinh
bởi các hàng của A1, A2 tương ứng, W1, W2 là không gian véctơ sinh bởi các cột của A1, A2
tương ứng. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương.
1. rank(A1 + A2) = rank A1 + rank A2,

370. 4. Hạng của ma trận 29
2. V1 ∩ V2 = 0,
3. W1 ∩ W2 = 0.
Bài tập 2.15. Chứng minh rằng nếu A và B là các ma trận có cùng cỡ và BT A = 0 thì
rank(A + B) = rank A + rank B.
Bài tập 2.16. Cho A và B là các ma trận vuông cấp lẻ. Chứng minh rằng nếu AB = 0 thì
ít nhất một trong hai ma trận A + AT và B + BT là suy biến.

371. 30 Chương 2. Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính

372. CHƯƠNG 3
DẠNG CHÍNH TẮC CỦA MA TRẬN VÀ TOÁN
TỬ TUYẾN TÍNH
§1. VẾT CỦA MA TRẬN
Định nghĩa 3.1. Vết của ma trận A là tổng của các phần tử trên đường chéo của nó, được
kí hiệu là tr A.
Dễ thấy
tr AB = ∑
i,j
aijbji = tr BA.
Do đó,
tr PAP−1
= tr P−1
AP = tr A,
nghĩa là, hạng của ma trận của toán tử tuyến tính không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở
của không gian.
Nếu A là toán tử tuyến tính trên không gian Euclidean thì:
Định lý 3.2. Cho e1, . . . , en là một cơ sở chuẩn tắc. Khi đó
tr A =
n
∑
i=1
(Aei, ei).
31

373. 32 Chương 3. Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính
§2. CẤU TRÚC CỦA TỰ ĐỒNG CẤU
2.1 Trị riêng và véctơ riêng
Giả sử V là một không gian véctơ, f : V → V là một tự đồng cấu của V. Việc nghiên
cứu f trên toàn không gian V đôi khi gặp khó khăn, vì V quá lớn. Người ta muốn tránh
điều đó bằng cách hạn chế f lên một số lớp không gian con nào đó U của V.
Định nghĩa 3.3. Không gian véctơ con U của V được gọi là một không gian con ổn định
đối với f (hay một không gian con f ổn định nếu f (U) ⊂ U.
Đôi khi người ta nói U là một không gian con ổn định (nếu f đã rõ).
Đối với tự đồng cấu f : V → V, các không gian con sau đây là ổn định: {0}, V, Kerf, Im f.
Nếu có các không gian con ổn định U1, U2 sao cho V = U1 ⊕ U2 thì f |U1
và f |U2
đều là
các tự đồng cấu. Khi đó việc nghiên cứu f trên V có thể quy về việc nghiên cứu fi trên Ui.
Nói rõ hơn, nếu f1 có ma trận là A trong cơ sở {e1, e2, . . . , em} của U1 và f2 có ma trận là B
trong cơ sở {em+1, . . . , en} của U2 thì f có ma trận
A 0
0 B
#
trong cơ sở {e1, e2, . . . , en} của V.
Sau đây ta xét một trường hợp riêng đặc biệt thú vị, có nhiều ứng dụng trong Cơ học,
Vật lý. Đó là trường hợp các không gian con ổn định một chiều.
Định nghĩa 3.4. Giả sử f là một tự đồng cấu của không gian véctơ V. Nếu có véctơ α 6= 0
và vô hướng λ ∈ R sao cho f (α) = λα, thì λ được gọi là một giá trị riêng của f còn α được
gọi là một véctơ riêng ứng với trị riêng λ.
Định nghĩa 3.5. Giả sử λ là một trị riêng của tự đồng cấu f : V → V. Không gian véctơ
Ker(f − λ idV) gồm tất cả các véctơ riêng ứng với trị riêng λ và véctơ không được gọi là
không gian con riêng của f ứng với trị riêng λ.
Định nghĩa 3.6. Đa thức bậc n một ẩn X với hệ số thực
Pf (X) = det(f − X idV)
được gọi là đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f.
Đa thức bậc n một ẩn X với hệ số thực
PA(X) = det(A − X idV)
được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Nghiệm của đa thức này được gọi là giá trị
riêng của A.

374. 2. Cấu trúc của tự đồng cấu 33
Mệnh đề 3.7. Giả sử U là một không gian con ổn định với tự đồng cấu f : V → V. Gọi
f : V/U → V/U, f [α] = [f (α)] là đồng cấu cảm sinh bởi f. Khi đó, đa thức đặc trưng của
f bằng tích các đa thức đặc trưng của f |U và f .
Định lý 3.8. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Khi đó đa thức đặc trưng của AB và
BA là trùng nhau.
Hệ quả 3.9. Cho A, B là các ma trận cỡ m × n. Khi đó các đa thức đặc trưng của ABT và
BT A khác nhau bởi nhân tử λn−m.
Định lý 3.10. Cho ma trận vuông A có tổng của các phần tử trên mỗi cột của nó bằng 1,
và giả sử (x1, . . . , xn)T là véctơ riêng của A thỏa mãn x1 + . . . xn 6= 0. Khi đó giá trị riêng
tương ứng với véctơ riêng này bằng 1.
Định lý 3.11. Nếu tổng của các giá trị tuyệt đối của các phần tử trên mỗi cột của ma trận
A không vượt quá 1, thì tất cả các giá trị riêng của nó cũng không vượt quá 1.
2.2 Tự đồng cấu chéo hoá được
Định nghĩa 3.12. Tự đồng cấu f của không gian véctơ V được gọi là chéo hoá được nếu
có một cơ sở của V gồm toàn các véctơ riêng của f. Nói cách khác f chéo hoá được nếu ma
trận của nó trong một cơ sở nào đó của V là một ma trận chéo.
Gọi A là ma trận của f trong một cơ sở nào đó của V. Từ định nghĩa ta suy ra f chéo hoá
được khi và chỉ khi tồn tại ma trận C khả nghịch sao cho C−1AC là một ma trận chéo.
Định nghĩa 3.13. Ma trận A đồng dạng với một ma trận chéo được gọi là ma trận chéo
hoá được.
Định lý 3.14. Giả sử tự đồng cấu f : V → V có tính chất f2 = f. Khi đó f chéo hoá được.
Định lý 3.15 (Điều kiện cần và đủ cho sự chéo hoá). Tự đồng cấu f của không gian
véctơ n chiều V chéo hoá được nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
(i) Đa thức đặc trưng của f có đủ nghiệm trong R:
Pf (X) = (−1)n
(X − λ1)s1 (X − λ2)s2 . . . (X − λm)sm
(ii) rank(f − λi idV) = n − si (với i = 1, 2, . . . , m), ở đây si là bội của λi xem như nghiệm
của đa thức đặc trưng.

375. 34 Chương 3. Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính
Chú ý 3.16. Trên trường số phức C hầu hết các toán tử tuyến tính đều chéo hóa được, chỉ
có các toán tử có trị riêng bội là có thể không chéo hóa được, và các toán tử như vậy sẽ tạo
thành một tập hợp có độ đo 0. Nói riêng, tất cả các toán tử unita và Hermitian đều chéo
hóa được, và tồn tại một cơ sở trực giao bao gồm các véctơ riêng của nó. Điều này là do nếu
AW ⊂ W thì AW⊥ ⊂ W⊥.
Chú ý thêm rằng các véctơ riêng của toán tử unita có độ dài bằng 1, vì |Ax| = |x|. Các
trị riêng của toán tử Hermitian là thực vì (Ax, x) = (x, Ax) = (Ax, x).
Định lý 3.17. Cho A là một ma trận trực giao, khi đó tồn tại một cơ sở trực giao sao cho
ma trận của A trong cơ sở đó có dạng đường chéo khối với các khối ±1, hoặc
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
!
.
2.3 Đa thức tối tiểu
Định nghĩa 3.18. Đa thức có bậc nhỏ nhất triệt tiêu ma trận A và có hệ số cao nhất bằng
1 được gọi là đa thức tối tiểu của A.
Chú ý 3.19. Đa thức tối tiểu của toán tử tuyến tính được định nghĩa bằng đa thức tối tiểu
của ma trận của nó trong một cơ sở nào đó, và không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở của
không gian.
Định lý 3.20. Mọi đa thức triệt tiêu A đều chia hết cho đa thức tối tiểu của nó.
Định nghĩa 3.21. Đa thức p được gọi là triệt tiêu véctơ v ∈ V ứng với toán tử tuyến tính
A : V → V nếu p(A)v = 0. Đa thức triệt tiêu véctơ v có bậc nhỏ nhất và có hệ số cao nhất
bằng 1 được gọi là đa thức tối tiểu của v.
Định lý 3.22. Với mọi toán tử tuyến tính A : V → V, tồn tại một véctơ v ∈ V sao cho đa
thức tối tiểu của nó ứng với A trùng với đa thức tối tiểu của toán tử A.
Định lý 3.23 (Cayley - Hamilton). Mỗi ma trận đều là nghiệm của đa thức đặc trưng
của nó.
Định lý 3.24 (Farahat, Lederman, 1958). Đa thức đặc trưng của ma trận A cấp n trùng
với đa thức tối tiểu của nó khi và chỉ khi với mọi véctơ (x1, . . . , xn) tồn tại các cột P và Q có
độ dài n sao cho xk = QT AkP.
Định lý 3.25 (Greenberg, 1984). Cho pA(t) là đa thức đặc trưng của ma trận A, và X là
ma trận giao hoán với A. Khi đó pA(X) = M(A − X), ở đó M là một ma trận giao hoán với
A và X.

376. 2. Cấu trúc của tự đồng cấu 35
2.4 Bài tập
Bài tập 3.1. Chứng minh rằng các hệ số của đa thức đặc trưng của ma trận A có thể được
mô tả như sau:
det(A − λI) = (−λ)n
+ c1(−λ)n−1
+ . . . + cn
trong đó ck là tổng của tất cả các định thức con chính cấp k của ma trận A. (Một định thức
con được gọi là chính nếu các chỉ số hàng và chỉ số cột của nó trùng nhau).
Bài tập 3.2. Giả sử λ là nghiệm bội p của đa thức đặc trưng của ma trận A vuông cấp n.
a. Chứng minh rằng số chiều của không gian riêng ứng với giá trị riêng λ không lớn
hơn p.
b. Đặt r = rank(A − λI). Chứng minh rằng 1 ≤ n − r ≤ p.
Bài tập 3.3. Chứng minh rằng các giá trị riêng của ma trận A−1 bằng bằng nghịch đảo
của các giá trị riêng của A (kể cả bội).
Chứng minh.
det(A−1
− λI) = (−λ)n
. det(A−1
). det
A −
1
λ
I
.
Bài tập 3.4. Chứng minh rằng các giá trị riêng của ma trận A2 bằng bằng bình phương
của các giá trị riêng của A (kể cả bội).
Chứng minh. Giả sử λ1, λ2, . . . , λn là các giá trị riêng của ma trận A (kể cả bội). Khi đó
det(A − λI) = (λ1 − λ)(λ2 − λ) . . . (λn − λ)
det(A + λI) = (λ1 + λ)(λ2 + λ) . . . (λn + λ)
Nhân hai vế của các đẳng thức trên với nhau ta có
det(A2
− λ2
I) = (λ2
1 − λ2
)(λ2
2 − λ2
) . . . (λ2
n − λ2
)
thay λ2 bởi λ trong đẳng thức trên ta có
det(A2
− λI) = (λ2
1 − λ)(λ2
2 − λ) . . . (λ2
n − λ)
suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập 3.5. Chứng minh rằng các giá trị riêng của ma trận Ap bằng luỹ thừa p của các
giá trị riêng của A (kể cả bội).

377. 36 Chương 3. Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính
Chứng minh. Tương tự như bài tập trên, gọi 1, e1, e2, . . . , en−1 là các căn bậc p khác nhau
của 1
ek = cos 2kπ
p + i sin 2kπ
p
. Ta có
det(A − λI) = (λ1 − λ)(λ2 − λ) . . . (λn − λ)
det(A − λe1 I) = (λ1 − λe1)(λ2 − λe1) . . . (λn − λe1)
.
.
.
det(A − λep−1 I) = (λ1 − λep−1)(λ2 − λep−1) . . . (λn − λep−1)
Nhân các vế của p phương trình trên với nhau ta được
det(An
− λp
I) = (λ
p
1 − λp
)(λ
p
2 − λp
) . . . (λ
p
n − λp
)
Thay λp bởi λ trong đẳng thức trên ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập 3.6. Cho A là một ma trận vuông cấp n với các phần tử trong một trường đóng
đại số K. Gọi λ1, λ2, . . . , λn là các giá trị riêng (kể cả bội) của ma trận A. Chứng minh rằng
nếu f (X) là một đa thức với các hệ số trong K thì
det f (A) = f (λ1)f (λ2) . . . f (λn).
Chứng minh. Theo bài ra,
det(A − λI) =
n
∏
i=1
(λi − λ).
Giả sử f (λ) = a0
s
∏
j=1
(λ − µi), khi đó f (A) = a0
s
∏
j=1
(A − µi I). Vậy
det f (A) = an
0
s
∏
j=1
det(A − µj I)
= an
0
s
∏
j=1
n
∏
i=1
(λi − muj)
=
n
∏
i=1
a0
s
∏
j=1
(λi − µj)
#
=
n
∏
i=1
f (λi)
Bài tập 3.7. Chứng minh rằng nếu PA(λ) =
k
∏
i=1
(λi − λ)si là đa thức đặc trưng của A thì
đa thức đặc trưng của f (A) với f là một đa thức là Pf (A)(λ) =
k
∏
i=1
(f (λi − λ))si .

378. 2. Cấu trúc của tự đồng cấu 37
Chứng minh. Áp dụng bài tập ?? với hàm số g(x) = f (x) − λ, giả sử PA(λ) = det(A −
λI) =
n
∏
i=1
(λi − λ). (kể cả bội), ta có
det g(A) =
n
∏
i=1
g(λi)
hay
Pf (A)(λ) = det(f (A) − λI) =
n
∏
i=1
(f (λi) − λ)
Bài tập 3.8. Chứng minh rằng nếu λ1, λ2, . . . , λn là các giá trị riêng của ma trận A và
f (X) là một đa thức thì f (λ1), f (λ2), . . . , f (λn) là các trị riêng của ma trận f (A).
Chứng minh. Là một hệ quả trực tiếp của bài tập ??.
Bài tập 3.9. Chứng minh rằng nếu λ1, λ2, . . . , λn là các giá trị riêng của ma trận A và
f (x) =
g(x)
h(x)
là một phân thức hữu tỷ xác định khi x = A (nghĩa là det h(A) 6= 0), khi đó
det f (A) = f (λ1)f (λ2) . . . f (λn) và f (λ1), f (λ2), . . . , f (λn) là các giá trị riêng của ma trận
f (A).
Chứng minh. Áp dụng đẳng thức det f (A) =
det(g(A)
det(h(A)
và sử dụng các kết quả của bài tập
??, ??, ??.
Bài tập 3.10. Chứng minh rằng nếu A, B là các ma trận vuông cùng cấp thì các đa thức
đặc trưng của AB và BA trùng nhau.
Chứng minh. i) Nếu A là ma trận không suy biến thì AB và BA là các ma trận đồng
dạng nên có cùng đa thức đặc trưng.
ii) Nếu A suy biến thì 0 là một giá trị riêng của A. Chọn m đủ lớn sao cho Ak = A − 1
k I
không suy biến với mọi k ≥ m. (kể từ m đủ lớn nào đó, 1
k , k ≥ m không phải là giá trị
riêng của A). Khi đó AkB và BAk có cùng đa thức đặc trưng. Cho k → ∞ ta có điều
phải chứng minh.
Bài tập 3.11. Cho P là một ma trận hoán vị. Chứng minh rằng Pn = I; PT = P−1. Tìm
các giá trị riêng của P.
Bài tập 3.12.
a) Có tồn tại hay không các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho AB − BA = I?

379. 38 Chương 3. Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính
b) Chứng minh rằng nếu AB − BA = A thì |A| = 0.
Bài tập 3.13. Tìm trị riêng và véctơ riêng của ma trận A = (aij) với aij = λi/λj.
Bài tập 3.14. Chứng minh rằng mọi ma trận vuông A đều là tổng của hai ma trận khả
nghịch.
Bài tập 3.15. Chứng minh rằng các trị riêng của ma trận phụ thuộc liên tục vào các phần
tử của nó. Nói rõ hơn, cho trước ma trận A = (aij). Khi đó với mọi e 0, tồn tại δ 0 sao
cho nếu |aij − bij| δ và λ là một trị riêng của A, thì tồn tại một trị riêng µ của B = (bij)
sao cho |λ − µ| e.
Bài tập 3.16. Tổng của các phần tử trên mỗi hàng của ma trận khả nghịch A bằng s.
Chứng minh rằng tổng của các phần tử trên mỗi hàng của A−1 bằng 1/s.
Bài tập 3.17. Chứng minh rằng nếu hàng đầu tiên của ma trận S−1AS có dạng (λ, 0, 0, . . . , 0),
thì cột đầu tiên của ma trận S là một véctơ riêng của ma trận A ứng với véctơ riêng λ.
Bài tập 3.18. Cho f (λ) = |λI − A|, ở đó A là một ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng
f 0(λ) =
n
∑
i=1
|λi − Ai|, ở đó Ai là ma trận thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột
thứ j.
Bài tập 3.19. Cho λ1, . . . , λn là các trị riêng của ma trận A. Chứng minh rằng các trị
riêng của ma trận adj A là Πi6=1, . . . , Πi6=n.
Bài tập 3.20. Véctơ x được gọi là đối xứng (phản đối xứng, tương ứng) nếu các tọa độ của
nó thỏa mãn (xi = xn−i) (tương ứng (xi = −xn−i)). Cho A = (aij) là một ma trận đối xứng
tâm (aij = an−j,n−j). Chứng minh rằng trong các véctơ riêng của A ứng với các trị riêng,
tồn tại hoặc là một véctơ riêng đối xứng, hoặc là một véctơ riêng phản đối xứng.
Bài tập 3.21. Cho ma trận A vuông, phức cấp n có các phần tử ai,n−i+1 = xi có thể khác
0, còn các phần tử còn lại bằng 0. Tìm điều kiện của {x1, . . . , xn} sao cho ma trận A chéo
hóa được.
Bài tập 3.22 (Drazin, Haynsworth, 1962). a) Chứng minh rằng ma trận A có m véctơ
riêng độc lập tuyến tính tương ứng với các trị riêng thực khi và chỉ khi tồn tại ma
trận vuông S xác định không âm có hạng bằng m sao cho AS = SA∗.
b) Chứng minh rằng ma trận A có m véctơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với các
trị riêng λ thỏa mãn |λ| = 1 khi và chỉ khi tồn tại ma trận vuông S xác định không
âm có hạng bằng m sao cho ASA∗ = S.

380. 2. Cấu trúc của tự đồng cấu 39
Bài tập 3.23. Cho A là một ma trận cấp n và
f1(A) = A − (tr A)I, fk+1(A) = fk(A)A −
1
k + 1
tr(fk(A)A)I.
Chứng minh rằng fn(A) = 0.
Bài tập 3.24. Cho A và B là các ma trận cấp n. Chứng minh rằng nếu tr Am = tr Bm với
mọi m = 1, . . . , n thì các trị riêng của A và B là trùng nhau.
Bài tập 3.25. Cho A là một ma trận khả nghịch và đa thức đặc trưng của nó trùng với đa
thức tối tiểu. Chứng minh rằng đa thức tối tiểu của A−1 bằng p(0)−1λn p(λ−1).
Bài tập 3.26. Cho Π(x − λi)ni là đa thức tối tiểu của ma trận A. Chứng minh rằng đa
thức tối tiểu của ma trận
A I
0 A
!
là Π(x − λi)ni+1.

381. 40 Chương 3. Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính
§3. DẠNG CHUẨN CỦA MA TRẬN
3.1 Dạng chuẩn Jordan của ma trận
Định lý 3.26. Cho A và B là các ma trận vuông thực và A = P−1BP, ở đó P là một ma
trận phức. Khi đó tồn tại ma trận thực Q sao cho A = Q−1BQ.
Điều đó có nghĩa là tập hợp tất cả các ma trận có dạng A = P−1BP với P là một ma trận
phức thì ”không lớn hơn” tập hợp tất cả các ma trận có dạng A = Q−1BQ với Q là một ma
trận thực.
Một khối Jordan cỡ r × r là một ma trận có dạng
Jr(λ) =











λ 1 0 . . . . . . 0
0 λ 1 . . . . . . 0
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
0 0 0 . . . 1 0
0 0 0 . . . λ 1
0 0 0 . . . 0 λ











Định nghĩa 3.27. Một ma trận Jordan là một ma trận khối có các khối Jordan trên đường
chéo.
Một cơ sở Jordan của toán tử tuyến tính A : V → V là một cơ sở của không gian V sao
cho ma trận của nó trong cơ sở đó là một ma trận Jordan.
Định lý 3.28 (Jordan). Với mọi toán tử tuyến tính A : V → V trên C, tồn tại một cơ
sở Jordan, và ma trận Jordan của nó được xác định duy nhất, sai khác hoán vị các khối
Jordan của nó.
Chú ý 3.29. Dạng chuẩn Jordan của một ma trận được sử dụng một cách rất thuận tiện
trong việc thực hiện phép tính lũy thừa một ma trận. Cụ thể hơn, nếu A = P−1 JP thì
An = P−1 JnP. Để tính lũy thừa của khối Jordan Jr(λ) = λI + N, ta có công thức khai triển
Newton:
Jn
=
n
∑
k=0
Cn
k λk
Nn−k
,
Chú ý 3.30. Cơ sở Jordan luôn luôn tồn tại trên các trường đóng đại số. Trên R không
phải lúc nào cũng tồn tại cơ sở Jordan. Tuy nhiên trên trường số thực cũng tồn tại một
dạng Jordan, là thực hóa dạng chuẩn Jordan trên trường số phức.

382. 3. Dạng chuẩn của ma trận 41
Định lý 3.31. Với mỗi toán tử tuyến tính A trên trường số thực, luôn tồn tại một cơ sở mà
ma trận của nó trong cơ sở đã cho có dạng đường chéo khối với các khối Jm1
(t1), . . . , Jmk
(tk)
tương ứng với trị riêng thực ti và các khối J∗
n1
(λ1), . . . , J∗
ns
(λs) tương ứng với trị riêng phức
λi và λ̄i, ở đó J∗
n(λ) là ma trận cỡ 2n × 2n thu được từ khối Jordan Jn(λ) bằng cách thay
thế mỗi phần tử có dạng a + ib của nó bởi ma trận
a b
−b a
!
.
Chú ý 3.32. Từ dạng chuẩn Jordan, mỗi toán tử tuyến tính A trên C đều có thể được
phân tích dưới dạng A = As + An, ở đó As là chéo hóa được, và An là luỹ linh, hơn nữa
AsAn = An As.
Định lý 3.33. Các toán tử As và An là xác định duy nhất, hơn nữa As = S(A) và An =
N(A), ở đó S và N là các đa thức nào đó.
Định lý 3.34. Cho A là một toán tử tuyến tính khả nghịch trên trường số phức C. Khi đó
A có thể biểu diễn dưới dạng A = AsAu = Au As, ở đó As là toán tử chéo hóa được và Au
là một toán tử lũy đơn (toán tử lũy đơn là tổng của toán tử đồng nhất và toán tử lũy linh).
Biểu diễn này là duy nhất.
Chứng minh. Nếu A khả nghịch thì As cũng khả nghịch. Khi đó A = As + An = As Au, ở
đó Au = A−1
s (As + An) = I + A−1
s An.
3.2 Dạng chuẩn Frobenius
Dạng chuẩn Jordan chỉ là một trong số nhiều dạng chuẩn khác nhau của ma trận của
ánh xạ tuyến tính. Một trong những dạng chuẩn khác được giới thiệu trong mục này là
dạng tuần hoàn, hay còn gọi là dạng chuẩn Frobenius.
Một khối Frobenius hay khối tuần hoàn là một ma trận có dạng








0 0 0 . . . 0 −a0
1 0 0 . . . 0 −a1
0 1 0 . . . 0 −a2
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
0 0 0 . . . 1 −an−1








(3.1)
Nếu A : Vn → Vn và Ae1 = e2, . . . , Aen−1 = en thì ma trận của A đối với cơ sở e1, . . . , en là
một khối Frobenius.
Định lý 3.35. Với mọi toán tử tuyến tính A : V → V trên trường số thực hoặc phức, tồn
tại một cơ sở của V mà ở đó ma trận của A trong cơ sở đó là ma trận có dạng đường chéo
khối với các khối Frobenius.

383. 42 Chương 3. Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính
Bổ đề 3.36. Đa thức đặc trưng của khối Frobenius (??) trùng với đa thức tối tiểu của nó,
và bằng λn +
n−1
∑
k=0
akλk.
3.3 Bài tập
Bài tập 3.27. Chứng minh rằng A và AT là các ma trận đồng dạng.
Bài tập 3.28. Cho σ(i), i = 1, . . . , n là một phép hoán vị bất kì và P = (pij), ở đó pij = δiσ(j).
Chứng minh rằng ma trận P−1AP thu được từ ma trận A bằng cách phép hoán vị σ các
cột và các hàng của nó. Ma trận P được gọi là ma trận hoán vị tương ứng với σ.
Bài tập 3.29. Cho ma trận A có m trị riêng phân biệt, m 1. Đặt bij tr(Ai+j). Chứng
minh rằng |bij|m−1
0 6= 0 và |bij|m
0 = 0
Bài tập 3.30. Chứng minh rằng rank A = rank A2 nếu và chỉ nếu tồn tại lim
λ→0
(A + λI)−1 A.
Bài tập 3.31. Cho A là một khối Jordan. Chứng minh rằng tồn tại một véctơ v sao cho
các véctơ v, Av, A2v, . . . , An−1v tạo nên một cơ sở của không gian V. Khi đó ma trận của A
trong cơ sở đó là ma trận có dạng khối Frobenius.
Bài tập 3.32. Với mỗi khối Frobenius A tồn tại một ma trận đối xứng S sao cho A =
SATS−1.

384. 4. Biểu diễn ma trận 43
§4. BIỂU DIỄN MA TRẬN
4.1 Rút gọn một ma trận về ma trận dạng đường chéo
đơn giản
Nhận xét rằng phép biến đổi A 7→ XAX−1 bảo toàn vết của ma trận A. Chính vì vậy
mà các phần tử trên đường chéo của ma trận XAX−1 không thể tùy ý. Định lý sau đây cho
phép chúng ta rút gọn đường chéo của ma trận A 6= λI về dạng đơn giản (0, 0, . . . , 0, tr A).
Định lý 3.37 (Gibson, 1975). Cho A 6= λI. Khi đó ma trận A đồng dạng với ma trận
đường chéo diag(0, 0, . . . , 0, tr A).
Định lý 3.38. Cho A là một ma trận phức bất kì. Khi đó tồn tại ma trận unita U sao cho
các phần tử trên đường chéo của ma trận UAU−1 là bằng nhau.
Định lý 3.39 (Marcus, Purves, 1959). Mọi ma trận vuông A khác 0 đều đồng dạng với
một ma trận mà tất cả các phần tử trên đường chéo của nó đều khác 0.
4.2 Biểu ma trận dưới dạng tọa độ cực
Cũng giống như mỗi một số phức z = a + bi đều có thể được biểu diễn dưới dạng
z = |z|.eiϕ, mỗi ma trận S đều có thể được biểu diễn dưới dạng A = SU, trong đó S là một
ma trận Hermitian và U là một ma trận unita.
Định lý 3.40. Mọi ma trận vuông A trên R (hoặc C) đều có thể biểu diễn được dưới dạng
A = SU, ở đó S là một ma trận symmetric (Hermitian) xác định không âm, và U là một
ma trận trực giao (unita). Nếu A khả nghịch thì phân tích trên là duy nhất.
Chú ý 3.41. Tương tự, chúng ta cũng có thể xây dựng được một phân tích A = U1S1 ở đó
S1 là ma trận symmetric (Hermitian) và U1 là ma trận trực giao (unita). Khi đó S = S1
khi và chỉ khi AA∗ = A∗A, nghĩa là A là một ma trận chuẩn tắc.
Định lý 3.42. Mọi ma trận vuông A đều có thể biểu diễn được dưới dạng A = UDW, ở đó
U và W là các ma trận unita và D là một ma trận đường chéo.
Định lý 3.43. Cho A = S1U1 = U2S2 là các biểu diễn của ma trận khả nghịch A dưới
dạng tọa độ cực. Khi đó U1 = U2.

385. 44 Chương 3. Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính
4.3 Biểu diễn Schur
Định lý 3.44 (Schur). Mọi ma trận vuông A trên trường số phức C đều có thể được biểu
diễn dưới dạng A = UTU∗, ở đó U là ma trận unita và T là ma trận tam giác, hơn nữa, A
là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu T là ma trận đường chéo.
4.4 Biểu diễn Lanczos
Định lý 3.45 (Lanczos, 1958). Mọi ma trận thực cỡ m × n có hạng p 0 đều có thể được
biểu diễn dưới dạng A = XΛYT ở đó X và Y là các ma trận cỡ m × p và n × p với các cột
trực giao và Λ là ma trận đường chéo cỡ p × p.
4.5 Bài tập
Bài tập 3.33. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông A khác 0 đều tồn tại ma trận X
sao cho các ma trận X và A + X có các trị riêng khác 0 đều khác nhau.
Bài tập 3.34. Chứng minh rằng mọi phép biến đổi tuyến tính trên Rn là tổ hợp của một
phép biến đổi trực giao và một phép co giãn dọc theo hướng vuông góc (với các hệ số phân
biệt).
Bài tập 3.35. Cho A : Rn → Rn là một toán tử co, nghĩa là |Ax| ≤ |x|. Coi Rn là không
gian con của R2n. Chứng minh rằng A là hạn chế lên Rn của tổ hợp của phép một phép
biến đổi trực giao trên R2n và một phép chiếu lên Rn.
Bài tập 3.36 (Phân tích Gauss). Giả sử mọi định thức con |aij|
p
1, p = 1, . . . , n của ma
trận A vuông cấp n bằng 0. Chứng minh rằng A có thể biểu diễn dưới dạng A = T1T2, ở đó
T1 là ma trận tam giác dưới và T2 là một ma trận tam giác trên.
Bài tập 3.37 (Phân tích Gram). Chứng minh rằng mọi ma trận khả nghịch X có thể
biểu diễn được dưới dạng X = UT, ở đó U là một ma trận trực giao và T là một ma trận
tam giác trên.
Bài tập 3.38 (Ramakrishnan, 1972). Cho B = diag(1, e, . . . , en−1), ở đó e = exp(2πi
n , và
C = (cij)n
1, ở đó cij = δi,j−1 (ở đây j − 1 được xem như là modulo n). Chứng minh rằng mọi
ma trận M vuông cấp n trên C được biểu diễn duy nhất dưới dạng M = ∑n−1
k,l=0 akl BkCl.
Bài tập 3.39. Chứng minh rằng mọi ma trận phản xứng A có thể được biểu diễn dưới
dạng
A = S1S2 − S2S1,
ở đó S1 và S2 là các ma trận đối xứng.

386. CHƯƠNG 4
CÁC MA TRẬN CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT
§1. MA TRẬN ĐỐI XỨNG - MA TRẬN HERMITIAN
1.1 Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 4.1. Ma trận thực A được gọi là đối xứng nếu A = AT.
Ma trận phức A được gọi là Hermitian nếu A∗ = A, ở đó A∗ = ĀT.
Các tính chất đơn giản:
1. Các giá trị riêng của ma trận Hermitian đều thực.
2. Mọi ma trận Hermitian A đều có thể được phân tích dưới dạng U∗DU, ở đó U là ma
trận unita và D là ma trận đường chéo.
3. Ma trận A là ma trận Hermitian khi và chỉ khi (Ax, x) ∈ R với mọi véctơ x.
Mỗi ma trận đối xứng A có một dạng toàn phương q(x) = xT Ax và dạng song tuyến tính
B(x, y) = xT Ay tương ứng.
Định nghĩa 4.2. Trong trường hợp thực, nếu A là một ma trận đối xứng, thì dạng toàn
phương xT Ax được gọi là xác định dương nếu xT Ax 0 với mọi x 6= 0. Ma trận A khi đó
được gọi là ma trận xác định dương, và viết A 0.
Trong trường hợp phức, nếu A là một ma trận Hermitian, thì dạng Hermitian (hay còn
gọi là dạng nửa song tuyến tính) x∗Ax được gọi là xác định dương nếu x∗Ax 0 với mọi
x 6= 0. Ma trận A khi đó được gọi là ma trận xác định dương, và viết A 0.
45

387. 46 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
Chú ý 4.3. Nếu A là một ma trận Hermitian, giả sử U là ma trận thỏa mãn A = U∗DU, ở
đó D là một ma trận đường chéo. Khi đó x∗Ax = (Ux)∗D(Ux). Khi đó bằng phép đổi biến
y = Ux, dạng Hermitian có thể biểu diễn dưới dạng sau:
∑λiyiyi = ∑λi|yi|2
.
Khi đó nếu A xác định dương thì vết của nó, λ1 + . . . + λn và định thức của nó λ1 . . . λn đều
dương.
Định lý 4.4 (Tiêu chuẩn Sylvester). Cho A = (aij) là một ma trận Hermitian. Khi đó
A xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của nó đều dương.
Định lý 4.5. Nếu A là một ma trận xác định không âm, và x là một véctơ sao cho x∗Ax =
0. Khi đó Ax = 0.
Định lý 4.6. Cho A là một ma trận xác định dương, B là một ma trận Hermitian. Khi đó
AB là một ma trận chéo hóa được, và số các trị riêng dương, âm và bằng 0 của nó bằng với
số các giá trị tương ứng của B.
Định lý 4.7. Mọi ma trận chéo hóa được với các trị riêng thực đều có thể biểu diễn được
dưới dạng tích của một ma trận xác định dương và một ma trận Hermitian.
1.2 Bài tập
Bài tập 4.1. Chứng minh rằng mọi ma trận Hermitian có hạng bằng r đều có thể biểu
diễn được dưới dạng tổng của r ma trận Hermitian có hạng bằng 1.
Bài tập 4.2. Chứng minh rằng nếu A là một ma trận xác định dương, thì adj A cũng là
một ma trận xác định dương.
Bài tập 4.3. Chứng minh rằng nếu A là một ma trận Hermitian khác 0 thì rank A ≥
(tr A)2
tr(A2)
.
Bài tập 4.4. Cho A là một ma trận xác định dương cấp n. Chứng minh rằng
∞
Z
−∞
e−xT Ax
dx = (
√
π)n
|A|−1/2
,
Bài tập 4.5. Chứng minh rằng nếu hạng của một ma trận đối xứng (Hermitian) bằng r
thì nó có r định thức con chính khác 0.
Bài tập 4.6. Cho S là một ma trận đối xứng khả nghịch cấp n có tất cả các phần tử đều
dương. Hỏi phần tử lớn nhất khác 0 có thể của ma trận S−1 bằng bao nhiêu?

388. 2. Ma trận phản xứng 47
§2. MA TRẬN PHẢN XỨNG
2.1 Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 4.8. Ma trận thực A được gọi là phản xứng nếu AT = −A.
Chú ý rằng ma trận phản xứng cấp n lẻ có định thức bằng 0.
Định lý 4.9. Nếu A là một ma trận phản xứng thì A2 là một ma trận đối xứng, xác định
không dương.
Hệ quả 4.10. Các trị riêng khác 0 của ma trận phản xứng là thuần ảo.
Định lý 4.11. Điều kiện xT Ax = 0 thỏa mãn với mọi x khi vào chỉ khi A là một ma trận
phản xứng.
Bổ đề 4.12. Hạng của một ma trận phản xứng là một số chẵn.
Định nghĩa 4.13. Toán tử tuyến tính A trên không gian Euclidean được gọi là phản xứng
nếu ma trận của nó trong một cơ sở trực chuẩn nào đó là phản xứng.
Định lý 4.14. Đặt Λi =
0 −λi
λi 0
!
. Với mọi toán tử tuyến tính phản xứng A, tồn tại một
cơ sở trực chuẩn sao cho ma trận của nó trong cơ sở trực chuẩn đó có dạng
diag(Λ1, Λ2, . . . , Λk, 0, . . . , 0).
2.2 Bài tập
Bài tập 4.7. Chứng minh rằng nếu A là một ma trận phản xứng thì I + A là một ma trận
khả nghịch.
Bài tập 4.8. Cho A là một ma trận phản xứng, khả nghịch. Chứng minh rằng A−1 cũng
là một ma trận phản xứng.
Bài tập 4.9. Chứng minh rằng mọi nghiệm của đa thức đặc trưng của ma trận AB, ở đó
A và B là các ma trận phản xứng cấp 2n, đều có bội lớn hơn 1.

389. 48 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
§3. MA TRẬN TRỰC GIAO - PHÉP BIẾN ĐỔI CAYLEY
3.1 Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 4.15. Ma trận thực A được gọi là trực giao, nếu AAT = I.
Nhận xét rằng nếu A là một ma trận trực giao, thì các hàng (và các cột) của nó là một hệ
trực chuẩn. Hơn nữa, ma trận A trực giao khi và chỉ khi (Ax, Ay) = (x, y) với mọi x, y.
Nếu A là một ma trận trực giao, thì nó cũng là một ma trận unita, do đó các trị riêng
của nó có giá trị tuyệt đối bằng 1.
Các trị riêng của ma trận trực giao nằm trên vòng tròn đơn vị có tâm là gốc tọa độ, các
trị riêng của ma trận phản xứng nằm trên trục ảo. Trong giải tích phức, phép biến đổi
f (z) = 1−z
1+z biến vòng tròn đơn vị thành trục ảo và f (f (z)) = z, vì thế, chúng ta hy vọng
rằng phép biến đổi
f (A) = (I − A)(I + A)−1
sẽ biến một ma trận trực giao thành ma trận phản xứng. Phép biến đổi này được gọi là
phép biến đổi Cayley. Đặt A# = (I − A)(I + A)−1, dễ dàng thấy rằng (A#)# = A.
Định lý 4.16. Phép biến đổi Cayley biến mọi ma trận phản xứng thành ma trận trực giao
và biến mọi ma trận trực giao A với |A + I| 6= 0 thành ma trận phản xứng.
Định lý 4.17 (Hsu, 1953). Với mọi ma trận vuông A, tồn tại ma trận J = diag(±1, . . . , ±1)
sao cho |A + J| 6= 0.
3.2 Bài tập
Bài tập 4.10. Chứng minh rằng nếu p(λ) là đa thức đặc trưng của một ma trận trực giao
vuông cấp n thì
λn
p(λ−1
) = ±p(λ).
Bài tập 4.11. Chứng minh rằng mọi ma trận unita cấp 2 với định thức bằng 1 đều có
dạng
u v
−v̄ ū
!
, ở đó |u|2 + |v|2 = 1.
Bài tập 4.12. Cho A là một ma trận trực giao vuông cấp 3 và có định thức bằng 1. Chứng
minh rằng
a) (tr A)2 − tr(A)2 = 2 tr A.
b) (∑
i
aii − 1)2 + ∑
ij
(aij − aji)2 = 4.

390. 3. Ma trận trực giao - Phép biến đổi Cayley 49
Bài tập 4.13. Cho J là một ma trận khả nghịch. Ma trận A được gọi là J- trực giao nếu
AT JA = J và J-phản xứng nếu AT J = −JA. Chứng minh rằng phép biến đổi Cayley biến
một ma trận J- trực giao thành một ma trận J- phản xứng và ngược lại.
Bài tập 4.14 (Djokovíc, 1971). Giả sử tất cả các giá trị tuyệt đối của các trị riêng của
ma trận A bằng 1 và |Ax| ≤ |x| với mọi x. Chứng minh rằng A là một toán tử unita.
Bài tập 4.15 (Zassenhaus, 1961). Một toán tử unita U biến véctơ khác không x thành
véctơ Ux trực giao với x. Chứng minh rằng mọi cung của vòng tròn đơn vị chứa tất cả các
trị riêng của U có độ dài không nhỏ hơn π.

391. 50 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
§4. MA TRẬN CHUẨN TẮC
4.1 Các định nghĩa và tính chất
Toán tử tuyến tính A trên C được gọi là chuẩn tắc, nếu A∗A = AA∗. Ma trận của một
toán tử chuẩn tắc trong một cơ sở trực chuẩn được gọi là ma trận chuẩn tắc. Hiển nhiên
nếu A là ma trận chuẩn tắc thì A∗A = AA∗.
Định lý 4.18. Các điều kiện sau là tương đương:
1. A là ma trận chuẩn tắc,
2. A = B + iC, ở đó B, C là các ma trận Hermitian giao hoán,
3. A = UΛU∗, ở đó U là ma trận unita và Λ là ma trận đường chéo.
4.
n
∑
i=1
|λ2
i | =
n
∑
i,j=1
|a2
ij|, ở đó λ1, . . . , λn là các trị riêng của A.
Định lý 4.19. Nếu A là một ma trận chuẩn tắc, thì KerA∗ = KerA và Im A∗ = Im A.
Hệ quả 4.20. Nếu A là một ma trận chuẩn tắc, thì
V = KerA + ⊕(KerA)⊥
= KerA ⊕ Im A
Định lý 4.21. Ma trận A là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu mọi véctơ riêng của A cũng là véctơ
riêng của A∗.
Định lý 4.22. Nếu ma trận A là chuẩn tắc, thì A∗ có thể biểu diễn dưới dạng như là một
đa thức của A.
Hệ quả 4.23. Nếu A và B là các ma trận chuẩn tắc và AB = BA thì A∗B = BA∗ và
AB∗ = B∗ A, nói riêng AB cũng là một ma trận chuẩn tắc.
4.2 Bài tập
Bài tập 4.16. Cho A là một ma trận chuẩn tắc. Chứng ming rằng tồn tại ma trận chuẩn
tắc B sao cho A = B2.
Bài tập 4.17. Cho A và B là các toán tử chuẩn tắc sao cho Im A ⊥ Im B. Chứng minh rằng
A + B là một toán tử chuẩn tắc.
Bài tập 4.18. Chứng minh rằng ma trận A là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu A∗ = AU, ở đó U
là ma trận unita.

392. 4. Ma trận chuẩn tắc 51
Bài tập 4.19. Chứng minh rằng nếu A là một toán tử chuẩn tắc và A = SU là biểu diễn
trong tọa độ cực của nó thì SU = US.
Bài tập 4.20. Cho A, B và AB là các ma trận chuẩn tắc. Chứng minh rằng BA cũng là
một ma trận chuẩn tắc.

393. 52 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
§5. MA TRẬN LUỸ LINH
5.1 Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 4.24. Ma trận A vuông cấp n được gọi là luỹ linh nếu tồn tại số nguyên k sao
cho Ak = 0. Nếu có thêm Ak−1 6= 0 thì k được gọi là bậc lũy linh của ma trận A.
Định lý 4.25. Bậc luỹ linh của một ma trận lũy linh bằng cấp cao nhất của các khối
Jordan của nó.
Định lý 4.26. Cho A là ma trận luỹ linh, vuông cấp n. Khi đó An = 0.
Định lý 4.27. Đa thức đặc trưng của một ma trận vuông cấp n lũy linh bằng λn.
Định lý 4.28. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng A lũy linh khi và chỉ
khi tr(Ap) = 0 với mọi p = 1, 2, . . . , n.
Định lý 4.29. Cho A : V → V là một toán tử tuyến tính và W là một không gian con bất
biến của V. Đặt A1 : W → W và A2 : V/W → V/W là các toán tử cảm sinh bởi toán tử A.
Chứng minh rằng nếu A1 và A2 là lũy linh thì A cũng là lũy linh.
5.2 Bài tập
Bài tập 4.21. A là ma trận lũy linh nếu và chỉ nếu tất cả giá trị riêng của A đều bằng 0.
Bài tập 4.22. Chứng minh rằng nếu A là ma trận lũy linh thì I − A là ma trận khả
nghịch.
Chứng minh. Ta có
I = I − Ak
= (I − A)(I + A + A2
+ . . . + Ak−1
)
Bài tập 4.23. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông A luôn có thể phân tích A = B + C
với C là một ma trận lũy linh và B là ma trận chéo hóa được và BC = CB.
Bài tập 4.24. Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn B là ma trận lũy linh
và AB = BA. Chứng minh rằng det(A + B) = det A
Bài tập 4.25. Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A2008 = I; B2009 = 0 và
AB + 4A + 2009B = 0. Chứng minh rằng (A + B) là ma trận không suy biến.

394. 5. Ma trận luỹ linh 53
Bài tập 4.26. (2000) Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A1999 =
0; B2000 = 0 và AB = BA. Chứng minh rằng (A + B + I) khả nghịch.
Chứng minh. Nhận xét rằng (A + B)3999 = 0 nên (A + B) là ma trận luỹ linh, suy ra điều
phải chứng minh.
Bài tập 4.27. Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A1999 = I; B2000 = I và
AB = BA. Chứng minh rằng (A + B + I) khả nghịch.
Chứng minh. Giả sử (A + B + I) suy biến. Khi đó tồn tại vecto X khác 0 sao cho (A + B +
I)X = 0. Hay (A + I)X = −BX suy ra (A + I)1999X = −B1999X = −X, suy ra ((A + I)1999 +
I)X = 0. Theo gỉa thiết (A2000 − I)x = 0.
Ta sẽ chứng minh hai đa thức (x + 1)1999 + 1 và x2000 − 1 là nguyên tố cùng nhau. Thậy
vậy, giả sử chúng có nghiệm chung là z. Khi đó (z + 1)1999 = −1 và z2000 = 1. Từ đó suy ra
môđun của z và (z + 1) đều là 1. Do đó, arg z = ±2π
3 và
z2000
= cos
±4000π
3
+ sin
±4000π
3
= cos
±4π
3
+ sin
±4π
3
6= 1
Vậy tồn tại các đa thức P(x) và Q(x) để P(x)[(x + 1)1999 + 1] + Q(x)(x2000 − 1) = 1
Từ đó suy ra [P(A)[(A + 1)1999 + 1] + Q(A)(A2000 − I)]X = X hay X = 0, mâu thuẫn với
việc chọn X. Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài tập 4.28. (IMC) Cho hai ma trận vuông cấp n, A và B. Giả sử tồn tại (n + 1) số
t1, t2, . . . , tn phân biệt sao cho các ma trận Ci = A + tiB là các ma trận lỹ linh với mọi
i = 1, ..., n + 1. Chứng minh rằng A và B cũng là các ma trận lũy linh
Bài tập 4.29. Tìm các ma trận A, B sao cho λA + µB là luỹ linh với mọi λ, µ nhưng không
tồn tại ma trận P sao cho P−1AP và P−1BP là các ma trận tam giác.

395. 54 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
§6. TOÁN TỬ CHIẾU - MA TRẬN LŨY ĐẲNG
6.1 Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 4.30. Toán tử P được gọi là toán tử chiếu (hay luỹ đẳng) nếu P2 = P.
Định lý 4.31. Tồn tại một cơ sở của không gian sao cho ma trận của toán tử chiếu có dạng
diag(1, . . . , 1, 0, . . . , 0).
Hệ quả 4.32. Có một tương ứng 1-1 giữa toán tử chiếu và phân tích V = W1 ⊕ W2 của
không gian V. Nói rõ hơn, với mỗi phân tích V = W1 ⊕ W2, tồn tại toán tử chiếu P thỏa
mãn P(w1 + w2) = w1; và ngược lại, với mỗi toán tử chiếu P có một phân tích tương ứng
V = Im P ⊕ KerP.
Toán tử P khi đó có thể được gọi là toán tử chiếu lên W1 theo hướng W2.
Hệ quả 4.33. Nếu P là toán tử chiếu thì rank P = tr P.
Hệ quả 4.34. Nếu P là toán tử chiếu thì I − P cũng là một toán tử chiếu, hơn nữa Ker(I −
P) = Im P và Im(I − P) = KerP.
Định lý 4.35. Toán tử chiếu P là Hermitian nếu và chỉ nếu Im P ⊥ KerP.
Định lý 4.36. Toán tử chiếu P là Hermitian nếu và chỉ nếu |Px| ≤ x với mọi x.
Các toán tử chiếu Hermitian P và Q được gọi là trực giao nếu Im P ⊥ Im Q, nghĩa là
PQ = QP = 0.
Định lý 4.37. Cho P1, . . . , Pn là các toán tử chiếu Hermitian. Khi đó toán tử P = P1 + . . . +
Pn là toán tử chiếu nếu và chỉ nếu PiPj = 0 với mọi i 6= j.
Định lý 4.38 (Djokovíc, 1971). Cho V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vk, ở đó Vi 6= 0 với mọi i = 1, . . . , k.
Đặt Pi : V → Vi là các phép chiếu trực giao và A = P1 + . . . + Pk. Khi đó 0 ≤ |A| ≤ 1, và
|A| = 1 nếu và chỉ nếu Vi ⊥ Vj với mọi i 6= j.
6.2 Bài tập
Bài tập 4.30. Cho P là một toán tử chiếu và V = Im P ⊕ KerP. Chứng minh rằng nếu
Im P ⊥ KerP thì Pv là hình chiếu trực giao của v lên Im P.
Bài tập 4.31. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng các điều kiện sau là
tương đương

396. 6. Toán tử chiếu - Ma trận lũy đẳng 55
a. A là ma trận lũy đẳng.
b. Cn = Im A + KerA với Ax = x với mọi x ∈ Im A.
c. KerA = Im(I − A)
d. rank(A) + rank(I − A) = n
e. Im(A) ∩ Im(I − A) = {0}
Bài tập 4.32. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng A là lũy đẳng khi và
chỉ khi rank(A) = tr(A) và rank(I − A) = tr(I − A).
Bài tập 4.33. Cho P1 và P2 là các toán tử chiếu. Chứng minh rằng
1. P1 + P2 là toán tử chiếu khi và chỉ khi P1P2 = P2P1 = 0.
2. P1 − P2 là toán tử chiếu khi và chỉ khi P1P2 = P2P1 = P2.
Bài tập 4.34 (Định lý ergodic). Cho A là ma trận unita. Chứng minh rằng
lim
n→∞
1
n
n−1
∑
i=0
Ai
x = Px,
ở đó P là một phép chiếu Hermitian lên Ker(A − I).
Bài tập 4.35. Cho A và B là các ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng nếu AB = A và
BA = B thì A, B là các ma trận lũy đẳng.
Bài tập 4.36. Cho A và B là các ma trận vuông cấp n, lũy đẳng. Tìm điều kiện cần và đủ
để (A + B) là ma trận lũy đẳng.
Bài tập 4.37. Cho A là ma trận lũy đẳng. Chứng minh rằng (A + I)k = I + (2k − 1)A với
mọi k ∈ N.
Bài tập 4.38. (OL) Cho A, B là các ma trận cùng cấp, lũy đẳng và AB + BA = 0. Tính
det(A − B).
Bài tập 4.39. Cho A, B là các ma trận cùng cấp, lũy đẳng và I − (A + B) khả nghịch. CMR
tr(A) = tr(B).
Bài tập 4.40. Cho A1, A2, . . . , Ak là các toán tử tuyến tính trên không gian véctơ n chiều
V sao cho A1 + A2 + . . . + Ak = I. Chứng minh rằng nếu các điều kiện sau là tương đương
1. A1, . . . , Ak là các toán tử chiếu.

397. 56 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
2. Ai Aj = 0 với mọi i 6= j.
3. rank A1 + . . . + rank Ak = n.
Bài tập 4.41. Cho A1, A2, . . . , Ak là các ma trận lũy đẳng. Chứng minh rằng nếu A1 +
A2 + . . . + Ak = I thì Ai Aj = 0 với mọi i 6= j.

398. 7. Ma trận đối hợp 57
§7. MA TRẬN ĐỐI HỢP
Định nghĩa 4.39. Toán tử tuyến tính (hoặc ma trận) A được gọi là đối hợp nếu A2 = I.
Dễ dàng kiểm chứng rằng P là ma trận lũy đẳng nếu và chỉ nếu 2P − I là ma trận đối hợp.
Định lý 4.40. Tồn tại một cơ sở của không gian sao cho ma trận của toán tử đối hợp có
dạng diag(±1, . . . , ±1).
Chú ý 4.41. Nếu A là toán tử đối hợp thì V = Ker(A + I) ⊕ Ker(A − I).
Định lý 4.42 (Djokovíc, 1967). Ma trận A có thể biểu diễn được dưới dạng tích của 2 ma
trận đối hợp nếu và chỉ nếu các ma trận A và A−1 là đồng dạng.
Hệ quả 4.43. Nếu B là một ma trận khả nghịch sao cho XT BX = B thì X có thể biểu diễn
được dưới dạng tích của 2 ma trận đối hợp. Nói riêng, mọi ma trận trực giao đều có thể
biểu diễn được dưới dạng tích của 2 ma trận đối hợp.
Bài tập 4.42. Chứng minh rằng A là ma trận đối hợp nếu và chỉ nếu 1
2(I + A) là ma trận
lũy đẳng.

399. 58 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
§8. MA TRẬN HOÁN VỊ (HAY CÒN GỌI LÀ MA TRẬN GIAO
HOÁN)
8.1 Định nghĩa
Định nghĩa 4.44. Ma trận hoán vị là ma trận có dạng C =








c0 c1 c2 . . . cn−1
cn−1 c0 c1 . . . cn−2
cn−2 cn−1 c0 . . . cn−3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
c1 c2 c3 . . . c0








Ma trận P =









0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 0
... 1
1 0 0 . . . 0









được gọi là ma trận hoán vị cơ sở.
8.2 Bài tập
Bài tập 4.43. Chứng minh rằng Pn = I; PT = P−1. Tìm các giá trị riêng của P.
Bài tập 4.44. Cho f (x) = c0 + c1x + ... + cn−1xn−1. Chứng minh rằng
a. C = f (P)
b. Các giá trị riêng của C là f (ωk), k = 0, 1, ..., n − 1. với ω là căn bậc n của 1.
c. det C =
n−1
∏
i=0
f (ωi)
Bài tập 4.45. Cho A, B là các ma trận hoán vị. Chứng minh rằng A và B giao hoán và AB
cũng là một ma trận hoán vị.
Bài tập 4.46. Cho A là một ma trận hoán vị. Chứng minh rằng rank(Ak) = rank(A) với
mọi k.

400. CHƯƠNG 5
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC MA TRẬN
§1. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CHO MA TRẬN ĐỐI XỨNG VÀ
HERMITIAN
1.1 Các định lý cơ bản
Định nghĩa 5.1. Cho A, B là các ma trận Hermitian. Ta viết A B (tương ứng A ≥ B)
nếu A − B là ma trận xác định dương (tương ứng xác định không âm).
Định lý 5.2. Nếu A B 0 thì A−1 B−1.
Định lý 5.3. Nếu A 0 thì A + A−1 ≥ 2I.
Định lý 5.4. Nếu A là ma trận thực và A 0 thì
(A−1
x, x) = max
y
(2(x, y) − (Ay, y)).
Định lý 5.5. Cho A =
A1 B
B∗ A2
!
0. Khi đó det A ≤ det A1 det A2.
Hệ quả 5.6 (Bất đẳng thức Hadamard). Nếu A = (aij) là ma trận xác định dương, thì
det A ≤ a11a22 . . . ann và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A là ma trận đường chéo.
Hệ quả 5.7. Nếu X là một ma trận bất kì, thì
| det X| ≤ ∑
i
|x1i|2
. . . |xni|2
.
59

401. 60 Chương 5. Các bất đẳng thức ma trận
Định lý 5.8. Cho A =
A1 B
B∗ A2
!
0 là ma trận xác định dương, ở đó B là một ma trận
vuông. Khi đó | det B|2 ≤ det A1 det A2.
Định lý 5.9. Cho αi 0, ∑ αi = 1 và Ai 0. Khi đó
|α1A1 + . . . + αk Ak| ≥ |A1|α1 . . . |Ak|αk .
Định lý 5.10. Cho λi là các số phức bất kì và Ai ≥ 0. Khi đó
| det(λ1 A1 + . . . + λk Ak)| ≤ det(|λ1|A1 + . . . + |λk|Ak).
Định lý 5.11. Cho A và B là các ma trận thực xác định dương, và A1, B1 là các ma trận
thu được từ ma trận A, B tương ứng bằng cách xóa đi các hàng đầu tiên và cột đầu tiên
của nó. Khi đó
|A + B|
|A1 + B1|
≥
|A|
|A1|
+
|B|
|B1|
1.2 Bài tập
Bài tập 5.1. Cho A và B là các ma trận vuông cấp n 1, ở đó A 0 và B ≥ 0. Chứng
minh rằng |A + B| ≥ |A| + |B| và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi B = 0.
Bài tập 5.2. Cho A và B là các ma trận Hermitian và A 0. Chứng minh rằng det A ≤
| det(A + iB)| và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi B = 0.
Bài tập 5.3. Cho Ak và Bk là các ma trận con cấp k ở phía trên, góc trái của các ma trận
xác định dương A và B sao cho A B. Chứng minh rằng
|Ak| |Bk|.
Bài tập 5.4. Cho A và B là các ma trận thực đối xứng và A ≥ 0. Chứng minh rằng nếu
C = A + iB là ma trận không khả nghịch, thì Cx = 0 với x là một véctơ thực khác 0 nào
đó.
Bài tập 5.5. Cho A là ma trận vuông cấp n và A 0. Chứng minh rằng
|A|1/n
= min
1
n
tr(AB),
ở đó giá trị nhỏ nhất được lấy trên tất cả các ma trận B xác định dương có định thức bằng
1.
Bài tập 5.6. Cho A là ma trận thực đối xứng xác định dương. Chứng minh rằng
det






0 x1 . . . xn
x1
.
.
.
xn
A






≤ 0

402. 2. Các bất đẳng thức cho trị riêng 61
§2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CHO TRỊ RIÊNG
2.1 Các bất đẳng thức cơ bản
Định lý 5.12 (Bất đẳng thức Schur). Cho λ1, . . . , λn là các trị riêng của ma trận A =
(aij)n
1. Khi đó
n
∑
i=1
|λi|2
≤
n
∑
i,j=1
|aij|2
,
và dấu bằng xảy ra nếu và chỉ nếu A là một ma trận chuẩn tắc.
Định lý 5.13. Cho λ1, . . . , λn là các trị riêng của ma trận A = B + iC, ở đó B và C là các
ma trận Hermitian. Khi đó
n
∑
i=1
| Re λi|2
≤
n
∑
i,j=1
|bij|2
và
n
∑
i=1
| Im λi|2
≤
n
∑
i,j=1
|cij|2
.
Định lý 5.14 (H. Weyl). Cho A và B là các ma trận Hermitian, C = A + B. Cho các trị
riêng của các ma trận trên được xếp theo thứ tự tăng dần lần lượt là α1 ≤ . . . ≤ αn,
β1 ≤ . . . ≤ βn, γ1 ≤ . . . ≤ γn. Khi đó
a) γi ≥ αj + βi−j+1 với i ≥ j,
b) γi ≤ αj + βi−j+n với i ≤ j.
Định lý 5.15. Cho A =
B C
C∗ D
!
là một ma trận Hermitian. Giả sử các trị riêng của A
và B được xếp theo thứ tự tăng dần sau: α1 ≤ . . . ≤ αn, β1 ≤ . . . ≤ βm. Khi đó
αi ≤ βj ≤ αi+n−m.
Định lý 5.16. Cho A và B là các phép chiếu Hermitian, nghĩa là A2 = A và B2 = B. Khi
đó các trị riêng của AB là thực và nằm trong khoảng [0, 1].
Định nghĩa 5.17. Các giá trị σi =
√
µi, ở đó µi là các trị riêng của ma trận A∗A, được gọi
là các giá trị kì dị của ma trận A.
Chú ý 5.18. Nếu A là một ma trận Hermitian xác định không âm thì các giá trị kì dị của
A và các trị riêng của A là trùng nhau. Nếu A = SU là phân tích trong tọa độ cực của
A, thì các giá trị kì dị của A trùng với các trị riêng của ma trận S. Với ma trận S, tồn tại
một ma trận unita V sao cho S = VΛV∗, ở đó Λ là ma trận đường chéo. Do đó, mọi ma
trận A có thể được biểu diễn dưới dạng A = VΛW, ở đó V và W là các ma trận unita và
Λ = diag(σ1, . . . , σn).