The document defines key concepts for vectors including: - Components of a vector are represented as an ordered pair (p1,p2) and (q1,q2) where p and q are the initial and final points. - The magnitude of a vector PQ is calculated as the square root of (q1-p1)^2 + (q2-p2)^2. - Operations on vectors include addition, subtraction, scalar multiplication, and the dot and cross products. - The dot product of two vectors u and v equals their magnitude multiplied by the cosine of the angle between them. - The cross product of two vectors u and v produces a vector orthogonal to both and its magnitude

1. P= punto inicial
Q= punto final
Componentes de un vector: (p1,p2) y (q1, q2)
(q1-p1)=X
(q2-p2)=y (X,Y)
Magnitud
||PQ||=√(𝑞1 − 𝑝1)2 + (𝑞2 − 𝑝2)2
Pendiente
M=y2-y1/x2-x1
+Segmentode rectacon mismalongitudydirección
esequivalente
Operaciones con vectores (sea u y v vectores y c escalar)
Suma:u+v= (u1+v1, u2+v2)
Multiplicaciónvector-escalar:CU=(cu1,cu2)
Negativode V: -V=(-1)V=(-v1,-v2)
La diferenciade uy v: u-v=u+(-v) = (u1-v1,u2-v2)
Propiedades de las operaciones con vectores
U+v= u+v
(u+v)+w=u+(v+w)
U+0=0
u-u=0
c(du)=(cd)u
(c+d)u=cu+du
C(u+v)=cu+cv
1(u)=u;0(u)=0
-seav un vectory c escalar
||cv||=|c| ||v||
-vectorunitario
U= V/||V||=1/||V||(V)
Vectores unitarios
Vector unitario en dirección de V y verificar magnitud
v=(x,y)
||v||,valorunitario=(x,y)/||v||=(i,j)
||val. Unitario||(magnitud)
Vec.vec=escalar
Esc.vec= vec
Vec+ Vec=vec
||vec||=esc
Propiedades del producto escalar
U.V=V.U esc
U.(V+w)=UV+UW esc
C(u.v)=(cu).v=u.(cv) esc
0.v=0
V.V=||V||^2esc
U(v.u) vec
Angulo entre 2 vectores
CosO= u.v/||u||||v||
u.v=||u||||v|| cosO
Producto vectorial (cruz)
UXV=
𝑖 𝑗 𝑘
𝑢1 𝑢2 𝑢3
𝑣1 𝑣2 𝑣3
=i
𝑢2 𝑢3
−𝑣2 𝑣3
- j
𝑢1 𝑢3
−𝑣1 𝑣3
+ k
𝑢1 𝑢2
−𝑣1 𝑣2
Propiedades algebraicas
UXV= - (VXU)
UX(V+W)=(UXV)+(UXW)
C(UXV)=(CU)XV=UX(CV)
UX0=0
UXU=0
V.(UXW)=(UXV).W
Propiedades geométrias(sea u y v vectores dife. De 0 en
el espacio y sea teta° el ángulo entre U y V)
UXV esortogonal tanto a u como a v
||UxV||=||u||||v||SenO
UXV=0 sí y sólosí U y V son multiplosescalaresdel
otro
||UxV||=área del paralelogramoque tiene uyv
como ladosadyacentes
uxv/||UxV|| = vectorunitarioortogonal
El triple producto escalar (volumen) 3 vectores adya.
U.(VxW)=
𝑢1 𝑢2 𝑢3
𝑣1 𝑣2 𝑣3
𝑤1 𝑤2 𝑤3
= U1
𝑣2 𝑣3
−𝑤2 𝑤3
-U2
𝑣1 𝑣3
−𝑤1 𝑤3
+U3
𝑣1 𝑣2
−𝑤1 𝑤2
𝜃
sen
cos
u
U= (cosO,senO)=cosOi+senOj
U=||u||(cosO, senO) =
||u||cosOi + ||u||senOj