Métodos numéricos - introducción a los métodos numéricos

1. Tecnológico Nacional de
México
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHETUMAL
Ingeniería Eléctrica
Materia: Métodos Numéricos
U.1 Introducción a los métodos
numéricos.
“investigación”.
Alumnos:
Baxin López David Alberto
Carrillo Santos Alejandro
4to.
Semestre Grupo “B”
PERIODO: Enero-Junio2020
07 marzo de 2020

2. Contenido
HISTORIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS----------------------------------------------3
RAZONES DE SU APLICACIÓN.-------------------------------------------------------------6
CONCEPTO DE EXACTITUD, PRECISIÓN Y ERROR.------------------------------------8
EXACTITUD Y PRECISIÓN. -------------------------------------------------------------------------8
ERROR --------------------------------------------------------------------------------------------9
ERRORES INHERENTES, DE REDONDEO Y POR TRUNCAMIENTO. --------------- 11
ERRORES INHERENTES -------------------------------------------------------------------------- 11
ERRORES DE REDONDEO ------------------------------------------------------------------------ 11
ERRORES POR TRUNCAMIENTO. ----------------------------------------------------------------- 12
ERRORES ABSOLUTOS Y RELATIVOS -------------------------------------------------- 13
ERROR ABSOLUTO.------------------------------------------------------------------------------ 13
ERROR RELATIVO. ------------------------------------------------------------------------------ 13
BIBLIOGRAFÍA------------------------------------------------------------------------------ 15

3. Historia de los Métodos Numéricos
Año Descripción
-2000 Se encuentran métodos para aproximar algunas medidas en triángulos y circulos.
-1650 Papiro de Rhyd.
Explica un método para encontrar raíces de ecuaciones sencillas sin el uso de
algebra,
-250 Euclides desarrolla el metodos de exhauscin para aproximar área con este obtiene
un valor muy aproximado de Pi
900 Creación de métodos algebraicos y revisión de los métodos numéricos disponibles a
la época inicio de los métodos algorítmicos para resolver problemas.
1617 Jhon Naplier introduce los algoritmos y diseña una máquina para calcularlos,
conocida como los huesos de Napier
1623 Kleper utiliza una máquina para realizar cálculos de forma práctica que usó en sus
estudios astronómicos. Ésta podía realizar muchas operaciones y hasta guardar los
pasos intermedios para ser usados en otros cálculos.
1723 Leibniz se interesa por los método desarrollados por Arquímedes y desarrolla
metodologías similares con los cuales se da inicio al cálculo diferencial e integral,
también se diseña una máquina para aproximar valores de funciones .
Newton desarrolla una gran cantidad de métodos para realizar numéricamente
procedimientos matemáticos. El más famoso es el de interpolación de polinomios.
1768 Motivado por el trabajo de Newton y Leibniz, Euler desarrolla un método para
encontrar soluciones aproximadas a problemas de ecuaciones diferenciales con lo que
da inicio a los métodos de integración numérica

4. 1822 Babbage construye una máquina que le permitiría realizar operaciones matemáticas
y hasta resolver ecuaciones complejas.
Babbage no pudo terminar de construir la máquina pero posteriormente se
reconstruyó y fue totalmente
1946 Se termina de construir el Integrador y Computador Numérico Eléctronico ENIAC.
Desde 1946 hasta el día de hoy se ha optimizado la implementación para las
computadoras modernas
La historia marca la década de los años cuarenta durante el siglo XX como el nacimiento de
los métodos numéricos modernos, al conjuntarse tres elementos esenciales: el desarrollo de las
computadoras electrónicas programables, el desarrollo del análisis matemático moderno y la
disponibilidad y necesidad de problemas complejos en ciencia y tecnología. Aspectos como la
mecánica de fluidos, el estudio de las propiedades electromagnéticas de los materiales y el análisis
de sistemas mecánicos complejos dependieron fuertemente de estos desarrollos
El artículo de Von Newmann y Goldstine (1947) sobre inversión de matrices de orden
superior estableció la posibilidad de emplear las computadoras para realizar cálculos numéricos
complejos en tiempos razonables que hasta entonces no eran asequibles al ser humano. Diversos
problemas que de manera conjunta aparecen en el análisis físico y tecnológico tenían las mismas
características:
• La solución de grandes sistemas de ecuaciones lineales que representaban sistemas
complejos
• La solución de sistemas de ecuaciones no lineales
• Los problemas de optimización de un gran número de variables y restricciones • El
problema del ajuste de funciones a un conjunto de puntos experimentales

5. • La teoría de aproximaciones, mediante la cual se busca cómo aproximar un valor de una
función compleja (como sin(x), ln(x), ex, etc.) a otra que se base en el empleo de operaciones
básicas (la suma, resta, multiplicación y división)
• El desarrollo del análisis de Fourier de señales complejas
• La integración y derivación automática de funciones complejas por parte de los sistemas
de cómputo
• La solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, así como de ecuaciones
integrales
Se puede estudiar la historia de los métodos numéricos estadísticamente y se encontrará que
en todos los campos descritos antes, alrededor del 90% de ellos han sido desarrollados en los
últimos 70 años.
Los métodos numéricos desarrollados en estos últimos 70 años son aplicables cada uno a
problemas altamente específicos. Los albores del desarrollo de los métodos numéricos apenas
pueden rastrearse en la historia, y están referidos a los tiempos anteriores a nuestra era con las
civilizaciones egipcia y árabe que resolvieron problemas que sólo después pudieron resolverse
analíticamente mediante el álgebra (un caso particular es la solución de ecuaciones de segundo
grado antes de que se conociera una fórmula para resolverla) y que no perdieron vigencia por
sentar las bases de desarrollos para resolver problemas que hoy se saben algebraicamente
irresolubles.

6. Razones de su aplicación.
Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas.
Aunque existen muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una característica común:
invariablemente requieren de un buen número de tediosos cálculos aritméticos.
El análisis numérico trata de diseñar métodos para aproximar de una manera eficiente las
soluciones de problemas expresados matemáticamente
Los métodos numéricos surgen para dar métodos alternativos de solución.
No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de
los métodos numéricos en la solución de problemas en ingeniería haya aumentado de forma
considerable en los últimos años. Además de proporcionar un aumento en la potencia de cálculo,
la disponibilidad creciente de las computadoras y su asociación con los métodos numéricos han
influido de manera muy significativa en el proceso de la solución actual de los problemas en
ingeniería.
Antes de la era de la computadora los ingenieros sólo contaban con tres métodos para la
solución de problemas:
1. Se encontraban las soluciones de algunos problemas usando métodos exactos o
analíticos. Dichas soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión excelente del
comportamiento de algunos sistemas. No obstante, las soluciones analíticas sólo pueden
encontrarse para una clase limitada de problemas.

7. 2. Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones gráficas, las cuales
tomaban la forma de gráficas o monogramas; aunque las técnicas gráficas se utilizan a menudo
para resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos.
3. Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras y reglas de cálculo.
Aunque dichas aproximaciones deberían ser perfectamente adecuadas para resolver problemas
complicados, en la práctica se presentan varias dificultades debido a que los cálculos manuales son
lentos y tediosos.
Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las
computadoras. Es bien sabido que una forma efectiva de aprender programación consiste en
escribir programas para computadora.
Los métodos numéricos son un medio para reforzar su comprensión de las matemáticas.
Porque una función de los métodos numéricos es la de reducir las matemáticas superiores a
operaciones aritméticas básicas, ya que se profundiza en los temas que de otro modo resultan
oscuros. Esta alternativa aumenta su capacidad de comprensión en la materia.
Son algoritmos que establecen la secuencia de solución de sistemas de ecuaciones de gran
tamaño, con características de ser no lineales y geométricas complicadas, porque la mayor parte de
los problemas reales tienen este comportamiento, y que por lo general su solución es muy
complicada a través de métodos analíticos.

8. Concepto de exactitud, precisión y error.
Exactitud y precisión.
Los errores en cálculos y medidas se pueden caracterizar con respecto a su exactitud y su
precisión. La exactitud se refiere a qué tan cercano está el valor calculado o medido del valor
verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos
valores calculados o medidos. Estos conceptos se ilustran gráficamente utilizando la analogía con
una diana en la práctica de tiro. Los agujeros en cada blanco de la figura 3.2 se consideran como
las predicciones con una técnica numérica; mientras que el centro del blanco representa la verdad.
La inexactitud (conocida también como sesgo) se define como una desviación sistemática del
valor verdadero. Por lo tanto, aunque los disparos en la figura 3.2c están más juntos que los de la
figura 3.2a, los dos casos son igualmente inexactos, ya que ambos se centran en la esquina
superior izquierda del blanco. La imprecisión (también llamada incertidumbre), por otro lado, se
refiere a la magnitud en la dispersión de los disparos. Por consiguiente, aunque las figuras 3.2b y
3.2d son igualmente exactas (esto es, igualmente centradas respecto al blanco), la última es más
precisa, pues los disparos están agrupados en forma más compacta.
FIGURA 3.2 Un ejemplo de puntería
ilustra los conceptos de exactitud y
precisión. a) Inexacto e impreciso; b)
exacto e impreciso; c) inexacto y preciso;
d) exacto y preciso.

9. Error
Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y
cantidades matemáticas exactas. Éstas incluyen los errores de truncamiento que resultan del
empleo de aproximaciones como un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo
que se producen cuando se usan números que tienen un límite de cifras significativas para
representar números exactos. Para ambos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto, o
verdadero, y el aproximado está dada por
Valor verdadero = Valor aproximado + error (3.1)
Reordenando la ecuación (3.1) se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia
entre el valor verdadero y el valor aproximado, es decir
Et = valor verdadero – valor aproximado (3.2)
donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. El subíndice t indica que se trata del
error “verdadero” (true). Como ya se mencionó brevemente, esto contrasta con los otros casos,
donde se debe emplear una estimación “aproximada” del error.
Una desventaja en esta definición es que no toma en consideración el orden de la magnitud
del valor que se estima. Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo si se
está midiendo un remache en lugar de un puente. Una manera de tomar en cuenta las magnitudes
de las cantidades que se evalúan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero, es
decir
Error relativo fraccional verdadero =
error verdadero
valor verdadero

10. donde, como ya se mencionó en la ecuación (3.2), error = valor verdadero – valor
aproximado. El error relativo también se puede multiplicar por 100% para expresarlo como
Et =
error verdadero
valor verdadero
100% (3.3)
donde et denota el error relativo porcentual verdadero.
EJEMPLO: Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se
obtiene 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 cm, calcule a) el
error verdadero y b) el error relativo porcentual verdadero en cada caso.
Solución.
a) El error en la medición del puente es [ecuación (3.2)]
Et = 10 000 – 9 999 = 1 cm
y en la del remache es de
Et = 10 – 9 = 1 cm
b) El error relativo porcentual para el puente es [ecuación (3.3)]
Et =
1
10 000
100% = 0.01%
y para el remache es de
Et =
1
10
100% = 10%
Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un error de 1 cm, el error relativo porcentual del
remache es mucho mayor. Se concluye entonces que se ha hecho un buen trabajo en la medición
del puente; mientras que la estimación para el remache dejó mucho que desear.
Et =0.01%
Et =10%

11. Errores inherentes, de redondeo y por truncamiento.
Errores inherentes
Los errores inherentes son aquellos que tienen los datos de entrada de un problema, y son
debidos principalmente a que se obtienen experimentalmente, debiéndose tanto al instrumento de
medición, como a las condiciones de realización del experimento. Por ejemplo, sí el experimento
es a temperatura constante y no se logra esto mas que en forma aproximada. También pueden
deberse a que se obtengan de cálculos previos. Por ejemplo el valor calculado es el de un número
irracional como 𝜋 ó √2 .
Por ejemplo, si necesitamos usar p en un cálculo, podemos escribirlo como 3.14, 3.1416,
3.1415926535589793..., etc. En muchos casos aún una fracción simple no tiene representación
decimal exacta, por ejemplo 1/3, que puede escribirse solamente como una sucesión finita de
números 3. Muchas fracciones que tienen representación finita en un sistema no la tienen en otro,
el número 1/10 es igual a 0.1 en decimal y en binario es 0.000110011001100...
Errores de redondeo
Los errores de redondeo se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o
analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de
operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada
operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se esté utilizando. Por
ejemplo, al calcular el valor de
1
3
, tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3,
que maneje nuestro instrumento de cálculo.

12. Existen dos tipos de errores de redondeo:
• Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que no se pueden conservar
dentro de la memoria correspondiente.
• Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas según el signo del
número en particular:
- par números positivos, el último dígito que se puede conservar en la localización de
memoria incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.
- para números negativos, el último dígito que se puede conservar en la localización de la
memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.
Errores por truncamiento.
Los errores de truncamiento se originan por el hecho de aproximar la solución analítica de
un problema, por medio de un método numérico. Por ejemplo, al evaluar la función exponencial
por medio de la serie de Taylor, se tiene que calcular el valor de la siguiente serie infinita:
Ante la imposibilidad de tomar todos los términos de la serie, se requiere truncar después
de cierto número de términos. Esto nos introduce ciertamente un error, que es el error de
truncamiento. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende del
método numérico empleado

13. Errores absolutos y relativos
Error absoluto.
Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser
positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o
negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
Donde
es el error absoluto (puede expresarse como punto flotante)
es el valor exacto
es el valor aproximado
Error relativo.
Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100
se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o
negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene
unidades.
Donde
es el error relativo (puede expresarse como punto flotante)
es el error absoluto (puede expresarse como punto flotante)
es el valor exacto

14. Las reglas que vamos a adoptar en el cálculo con datos experimentales
son las siguientes:
• Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el error
accidental.
• Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de
los resultados.
• El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese
valor tomado como exacto (la media aritmética).
• El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor
tomado como exacto (la media aritmética).
EJEMPLO: Obtenemos el error absoluto y relativo al considerar: a) 3,5 m como longitud de un
terreno que mide realmente 3,59 m. b) 60 m como la distancia entre dos postes que están situados
a 59,91 m.
a) Ea = |3,59 - 3,5| = 0,09 m
E r =
| 3 ,59 − 3 ,5 |
3 ,59
= 0 , 025 = 2 , 5 %
b) Ea = |59,91 - 60| = 0,09 m
E r =
| 59 ,91 − 60 |
59 ,91
= 0 , 0015 = 0 , 15 %

15. Bibliografía
Adrian. (6 de junio de 2012). SlideShare. Recuperado el 7 de Marzo de 2020, de
https://es.slideshare.net/Adrian210/mtodos-numricos-13227469
Augusto, C. (25 de Diciembre de 2017). Temas de cálculo. Recuperado el 7 de Marzo de 2020, de
WordPress: https://temasdecalculo2.wordpress.com/2017/12/25/1-6-error-absoluto-y-error-
relativo-metodos-numericos/
Delgado Cepeda, F. J. (2013). Recuperado el 3 de Marzo de 2020, de
http://prod77ms.itesm.mx/podcast/EDTM/ID002.pdf
Ruge H., H. (2 de Diciembre de 2014). Prezi. Recuperado el 03 de 07 de 2020, de
https://prezi.com/9j7batwesy0t/linea-del-tiempo-metodos-numericos/
Tomas, D. (s.f.). McLibre.org. Recuperado el 7 de marzo de 2020, de
https://www.mclibre.org/otros/daniel_tomas/diversificacion/matematicas/Calculo_de_error
es.pdf
Chapra, C.. (2007).Métodos Numéricos para Ingenieros. (5ª ed.). McGraw Hill.