グレブナー基底を食べよう

グレブナー基底を
食べよう
グレブナー基底大好きbot
ロマンティック数学ナイト 12/24

グレブナー基底とは？
＝様々な多項式の計算に
使える、数学の概念

挙手
グレブナー基底って
知ってる？

挙手
グレブナー基底って
聞いたことある？

グレブナー基底
＝聞いたことあるけど、
よくわかんないやつ

ポン酢とは？
＝様々な料理の味付けに
使える、日本の調味料

挙手
ポン酢って
知ってる？

挙手
ポン酢って
聞いたことある？

挙手
じゃあポン酢の
定義、言える？

ポン酢
＝聞いたことあるけど、
よくわかんないやつ

考察
■グレブナー基底＝定義は知らないけど、
聞いたことはある
■ポン酢＝定義は知らないけど、
食べたことはある

結論
＝ポン酢

目的
グレブナー基底の厳密な定義
ではなく
具体的な応用例を実食していく

殺人事件、発生
12/24(土)の朝、
赤い服に白い袋を持ったヒゲ
面の男が、何者かに殺害され
た。

容疑者は３人
■ 新井さん
■ 馬場さん
■ チェビシェフ

容疑者は３人 (個人情報保護)
■ Aさん
■ Bさん
■ Cさん

容疑者の証言
■ A「Bは嘘つきだ」
■ B「Cは犯人でない」
■ C「AかBが犯人だ」

犯人は誰か？
※ただし、嘘をついている
のは、犯人だけとする

容疑者の証言 (嘘=犯人)
■ A「Bは嘘つきだ」
■ B「Cは犯人でない」
■ C「AかBが犯人だ」

グレブナー基底で
嘘を見抜く

容疑者を変数化
■ Aさん→ 𝑥
■ Bさん→ 𝑦
■ Cさん→ 𝑧

真偽をゼロイチに
■ A=正直⇔ 𝑥 = 0、A=嘘 ⇔ 𝑥 = 1
■ B=正直⇔ 𝑦 = 0、B=嘘 ⇔ 𝑦 = 1
■ C=正直⇔ 𝑧 = 0、C=嘘 ⇔ 𝑧 = 1

証言を多項式化
A「Bは嘘つき」
⇔ 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

なぜなら、
𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 の時、
𝑥 = 0 (A:正直) ⇒ 𝑦 = 1 (B:嘘)
𝑥 = 1 (A:嘘) ⇒ 𝑦 = 0 (B:正直)

B「Cは正直」
⇔ 𝑦 − 𝑧 = 0

C「AかBは嘘つき」
⇔ 𝑧 − (1 − 𝑥)(1 − 𝑦) = 0

証言の連立方程式
,
𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
𝑦 − 𝑧 = 0
𝑧 − 1 − 𝑥 1 − 𝑦 = 0

どう解くか？
でも手でやるのは
めんどくさい

グレブナー基底を
使えば、
連立方程式が
自動的に解ける

証言の多項式の
グレブナー基底を計算
< 𝑥 + 𝑦 − 1, 𝑦 − 𝑧, 𝑧 − (1 − 𝑥)(1 − 𝑦) >
⇓
{𝑥 + 𝑧 − 1, 𝑦 − 𝑧, 𝑧2
}

連立方程式の書き換え
⟹ 5
𝑥 + 𝑧 − 1 = 0
𝑦 − 𝑧 = 0
𝑧2
= 0
5
𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
𝑦 − 𝑧 = 0
𝑧 − (1 − 𝑥)(1 − 𝑦) = 0
元の連立方程式グレブナー基底

連立方程式の書き換え
5
𝑥 + 𝑧 − 1 = 0
𝑦 − 𝑧 = 0
𝑧2
= 0

連立方程式の解
5
𝑥 + 𝑧 − 1 = 0
𝑦 − 𝑧 = 0
𝑧2
= 0
⟹ 5
𝑥 = 1
𝑦 = 0
𝑧 = 0

結論
A=嘘 ⇔ 𝑥 = 1
だったので、
犯人は A、つまり、

参考文献
書籍：
「妹がグレブナー基底に
興味を持ち始めたのだが。」
Amazon Kindle で
大好評発売中

More Related Content