Liên hệ page để nhận link download sách và tài liệu: https://www.facebook.com/garmentspace
https://www.facebook.com/garmentspace.blog
My Blog: http://garmentspace.blogspot.com/
Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY –TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ - QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI – GIÁC SƠ ĐỒ MÃ HÀNG - Công nghệ may,kỹ thuật may dây kéo đồ án công nghệ may, công
Diophantine equations Phương trình diophantBui Loi
Đây là một trong các dạng câu khó của diophant , một dạng câu trong môn số học dành cho chuyên ngành toán học, Đhsp
facebook tui, fb.com/starheaven.2110
Liên hệ page để nhận link download sách và tài liệu: https://www.facebook.com/garmentspace
https://www.facebook.com/garmentspace.blog
My Blog: http://garmentspace.blogspot.com/
Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY –TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ - QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI – GIÁC SƠ ĐỒ MÃ HÀNG - Công nghệ may,kỹ thuật may dây kéo đồ án công nghệ may, công
Diophantine equations Phương trình diophantBui Loi
Đây là một trong các dạng câu khó của diophant , một dạng câu trong môn số học dành cho chuyên ngành toán học, Đhsp
facebook tui, fb.com/starheaven.2110
Khảo sát hàm số để chứng mình bất đẳng thứctuituhoc
Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay
This document contains 25 math word problems involving solving equations and inequalities for variables on the set of real numbers. The problems cover a range of skills including solving linear, quadratic, and higher order equations; combining like terms; and determining relationships between variables using inequalities. Step-by-step workings are not shown, just the problems stated.
Khảo sát hàm số để chứng mình bất đẳng thứctuituhoc
Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay
This document contains 25 math word problems involving solving equations and inequalities for variables on the set of real numbers. The problems cover a range of skills including solving linear, quadratic, and higher order equations; combining like terms; and determining relationships between variables using inequalities. Step-by-step workings are not shown, just the problems stated.
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9BOIDUONGTOAN.COM
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, đăng ký học Toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10, mua tài liệu liên quan Toán lớp 9, liên hệ: 0976.179.282.
The document provides solutions to mathematical equations and inequalities involving radicals, fractions, and variables. It contains 50 problems involving solving equations and inequalities for variables on the set of real numbers. The problems cover a range of techniques including isolating variables, combining like terms, factoring, and applying properties of radicals, fractions and inequality signs.
This document provides 30 equations and inequalities and asks the reader to solve them on the set of real numbers. It uses variables like x, square roots, exponents, and basic arithmetic operations. The problems range from simple one-variable equations to more complex expressions with multiple variables. The goal is to calculate the value(s) of the variable(s) that satisfy each equation or inequality.
This document contains solutions to various equations and inequalities involving radicals on the set of real numbers. It is divided into 6 sections, with multiple problems provided in each section ranging from simple single-term radical equations to more complex multi-term radical equations and inequalities. The document provides the step-by-step workings for solving each problem.
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Bdt cauchy trong đề thi đại học
1. www.VNMATH.com
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Lời nói đầu : Thực hiện nhiệm vụ năm học 2008 – 2009, Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh
Hòa khuyến khích các giáo viên dạy môn chuyên, làm chuyên đề để xây dựng tài nguyên của tổ chuyên
môn.
Chính vì vậy tôi đã thực hiện và làm chuyên đề về :
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Trong các kì thi tuyển sinh đại học và cao đẳng, có một hay hai câu khó để phân loại thí sinh và
thường có một câu về bất đẳng thức.
1) Định lý (Bất đẳng thức Cô si) :
Cho n số thực không âm : a1 ; a2 ; ...; an
Ta có :
a1 + a2 + ... + an √
≥ n a1 a2 ...an
n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a1 = a2 = · · · = an
2) Một số bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Cô si :
2.1) Các Bất đẳng thức dạng phân thức
Với x, y > 0. Ta có :
1 1 4
+ ≥ (1)
x y x+y
1 4
≥ (2)
xy (x + y)2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.
Với x, y, z > 0. Ta có :
1 1 1 9
+ + ≥ (3)
x y z x+y+z
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
2.2) Các bất đẳng thức dạng đa thức :
x2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx (4)
3 x2 + y 2 + z 2 ≥ (x + y + z)2 (5)
(x + y + z)2 ≥ 3 (xy + yz + zx) (6)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
3) MỘT SỐ BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC :
Bài toán 1 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2005
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn :
1 1 1
+ + =4
x y z
Huỳnh Kim Linh Trang thứ 1 trong 12 trang
2. www.VNMATH.com
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Chứng minh rằng :
1 1 1
+ + ≤ 1.
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
Lời giải :
Cách 1 :
Áp dụng bất đẳng thức :
1 1 4
+ ≥
x y x+y
Với x, y > 0, ta được :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8=2 + + = + + + + + ≥4 + + (1)
x y z x y y z z x x+y y+z z+x
Tương tự
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 x+y
+ y+z
+z+x
= x+y + x+z x+y + y+z y+z
+ z+x
1 1 1
≥4 2x+y+z
+ x+2y+z
+ x+y+2z (2)
Từ (1) và (2) suy ra
1 1 1 1 1 1
8≥8 + + ⇔ + + ≤ 1.
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
Đẳng thức xảy ra khi
3
x=y=z= .
4
Cách 2 :
Áp dụng bất đẳng thức :
1 1 4
+ ≥
x y x+y
với x, y > 0, và bất đẳng thức Côsi ta có :
√ √
2x + y + z = (x + y) + (x + z) ≥ 2 xy + xz
Do đó :
1 1 1 1 1 1
≤ √ √ ≤ √ +√
2x + y + z 2 xy + xz 8 xy xz
Tương tự :
1 1 1 1
≤ √ +√
x + 2y + z 8 xy yz
1 1 1 1
≤ √ +√
x + y + 2z 8 xz yz
Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được :
1 1 1 1 1 1 1
+ + ≤ √ +√ +√ (3)
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 4 xy yz zx
Huỳnh Kim Linh Trang thứ 2 trong 12 trang
3. www.VNMATH.com
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4= + + + + + ≥√ +√ +√ (4)
2 x y 2 y z 2 z x xy yz zx
Từ (3) và (4) suy ra :
1 1 1
+ + ≤ 1.
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
Cách 3 : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dương
1 1 1 1
(x + x + y + z) + + + ≥ 16
x x y z
Suy ra
1 1 2 1 1
≤ + +
2x + y + z 16 x y z
Tương tự
1 1 1 2 1
≤ + +
x + 2y + z 16 x y z
1 1 1 1 2
≤ + +
x + y + 2z 16 x y z
Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được :
1 1 1
+ + ≤ 1.
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
Mở rộng bài toán 1 :
Cho n số thực dương cho trước :
a1 , a 2 , . . . a n
thỏa điều kiện :
1 1 1
+ + ··· + =k
a1 a2 an
Với n > 1 và k > 0 cho trước. Chứng minh rằng :
1 1 1 k
+ +· · ·+ ≤
m1 a1 + m2 a2 + · · · + mn an m2 a1 + · · · + mn an−1 + m1 an mn a1 + m1 a2 + · · · + mn−1 an m1 + m2 +
Bài toán 2 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005
Chứng minh rằng : với mọi x ∈ R ta có :
x x x
12 15 20
+ + ≥ 3x + 4x + 5x
5 4 3
Khi nào đẳng thức xảy ra.
Lời giải :
Huỳnh Kim Linh Trang thứ 3 trong 12 trang
4. www.VNMATH.com
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
x x x x
12 15 12 15
5
+ 4
≥2 5 4
= 2.3x
x x x x
15 20 15 20
4
+ 3
≥2 4 3
= 2.5x
x x x x
12 20 12 20
5
+ 3
≥2 5 3
= 2.4x
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được :
x x x
12 15 20
+ + ≥ 3x + 4x + 5x
5 4 3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x x x
12 15 20
= = ⇔ x = 0.
5 4 3
Đặt a = 3, b = 4, c = 5 ta đi đến bài toán tổng quát sau :
Mở rộng bài toán 2 :
Cho a, b, c là ba số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng : với mọi x ∈ R, ta có :
x x x
ab bc ca
+ + ≥ ax + b x + c x
c a b
Bài toán 3 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2005
Cho các số thực dương x, y, z thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng :
√ √ √
1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 √
+ + ≥3 3
xy yz zx
Lời giải :
Đặt √ √ √
1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3
P = + +
xy yz zx
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
√
1 + x3 + y 3 ≥ 3 3 x3 y 3 = 3xy
√
1 + y 3 + z 3 ≥ 3 3 y 3 z 3 = 3yz
√3
1 + z 3 + x3 ≥ 3 z 3 x3 = 3zx
Từ đó suy ra
√ √ √
√ xy yz zx √ 1 1 1
P ≥ 3 + + = 3 √ +√ +√ (1)
xy yz zx xy yz zx
Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi
1 1 1 1
√ + √ + √ ≥ 3√ =3 (2)
xy yz zx 2 xyz
Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Huỳnh Kim Linh Trang thứ 4 trong 12 trang
5. www.VNMATH.com
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Mở rộng bài toán 3 :
Cho các số thực dương
a1 , a 2 , . . . a n
thỏa mãn :
a1 . a2 · · · an = 1
Chứng minh rằng :
m
1 + ap + · · · ap
1 n−1
m
1 + ap + · · · ap
2 n
m
1 + ap + ap + · · · ap
n 1 n−2 √
q + q + ··· + q ≥nmn
(a1 a2 · · · an−1 ) (a2 a3 · · · an ) (an a1 · · · an−2 )
Trong đó
m≥2
là số nguyên dương, p, q là các số thực tùy ý
Hướng dẫn :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n số
1 + ap + · · · ap ≥ n n (a1 .a2 · · · an−1 )p
1 n−1
Bài toán 4 : DỰ BỊ 1 KHỐI A Năm 2005 :
Cho x, y, z là ba số thực thỏa x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
√ √ √
3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ≥ 6
Lời giải :
Ta có:
√ √ √ √
3 + 4x = 1 + 1 + 1 + 4x ≥ 4 4x ⇒ 3 + 4x ≥ 2
4 4 8
4x = 2. 4x
Tương tự
√ √
8
√ √
8
3 + 4y ≥ 2 4x ; 3 + 4z ≥ 2 4z
Vậy
√ √ √ √
8
√
8
√
8 3 √
8
√
24
3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ≥ 2 4x + 4y + 4z ≥ 6 4x .4y .4z ≥ 6 4x+y+z = 6
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 0.
Bài toán 5 : DỰ BỊ 2 KHỐI A Năm 2005 :
y 2
9
Chứng minh rằng : với mọi x, y > 0 ta có : (1 + x) 1 + x
1+ √
y
≥ 256
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải :
Ta có:
x x x 3
4 x
1+x=1+ + + ≥4 3
3 3 3 3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 3
y y y y 4 y3
1+ =1+ + + ≥4 3 3
x 3x 3x 3x 3 .x
Huỳnh Kim Linh Trang thứ 5 trong 12 trang
6. www.VNMATH.com
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y = 3x = 9
2
9 3 3 3 33 9 36
1+ √ =1+ √ + √ + √ ≥44 √ 3 ⇒ 1+ √ ≥ 16 4
y y y y y y y3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y = 9.
Vậy
2
y 9 x3 y 3 36
(1 + x) 1 + 1+ √ ≥ 256 4 = 256
x y 33 33 .x3 y 3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 3 và y = 9.
Bài toán 6 : DỰ BỊ 1 KHỐI B Năm 2005 :
Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn :
3
a+b+c=
4
√
3
√
3
√
Chứng minh rằng : a + 3b + b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3
Khi nào đẳng thức xảy ra ?
Lời giải :
Cách 1:
Ta có :
a+3b+1+1 1
3
(a + 3b) 1.1 ≤ 3
= 3 (a + 3b + 2)
b+3c+1+1
3
(b + 3c) 1.1 ≤ 3
= 1 (b + 3c + 2)
3
c+3a+1+1
3
(c + 3a) 1.1 ≤ 3
= 1 (c + 3a + 2)
3
Suy ra
√
3
√
3
√
3 1 1 3
a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ [4 (a + b + c) + 6] ≤ 4. + 6 = 3
3 3 4
Dấu = xảy ra
a+b+c= 3 1
4
⇔ ⇔a=b=c=
a + 3b = b + 3c = c + 3a = 1 4
Cách 2:
Đặt
√
x= 3
a + 3b ⇒ x3 = a + 3b
√
y= 3
b + 3c ⇒ y 3 = b + 3c
√
z= 3
c + 3a ⇒ z 3 = c + 3a
⇒ x3 + y 3 + z 3 = 4 (a + b + c) = 4. 3 = 3
4
Bất đẳng thức cần chứng minh
⇔x+y+z ≤3
Ta có : √3
x3 + 1 + 1 ≥ 3 x3 .1.1 = 3x
√
y 3 + 1 + 1 ≥ 3 3 y 3 .1.1 = 3y
√3
z 3 + 1 + 1 ≥ 3 z 3 .1.1 = 3z
⇒ 9 ≥ 3 (x + y + z)
Huỳnh Kim Linh Trang thứ 6 trong 12 trang
7. www.VNMATH.com
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Vì
x3 + y 3 + z 3 = 3
Vậy
x+y+z ≤3
Hay
√
3
√
3
√
3
a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ 3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
a=b=c=
4
Bài toán 7 : DỰ BỊ 2 KHỐI B Năm 2005 :
√ √ 1
Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y − y x ≤ 4
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải :
Ta có
√
0 ≤ x ≤ 1 ⇒ x ≥ x2
√ √ 1 √ 1 √
x y−y x≤ ⇔x y ≤ +y x (1)
4 4
Theo bất đẳng thức Cauchy :
√ 1 1 1 √ √ √ 1
y x + ≥ yx2 + ≥ 2 yx2 . = x y ⇒ x y − y x ≤
4 4 4 4
Dấu = xảy ra
0≤y≤x≤1
√ x=1
⇔
x = x2 ⇔
y= 1
1 4
yx2 =
4
Bài toán 8 : DỰ BỊ 1 KHỐI D Năm 2005 :
Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1. Chứng minh rằng :
x2 y2 z2 3
1+y
+ 1+z
+ 1+x
≥ 2
Lời giải :
Ta có:
x2 1+y x2 1+y
1+y
+ 4
≥2 1+y 4
. =x
y2 1+z y 2 1+z
1+z
+ 4
≥2 1+z 4
=y
z2 1+x z 2 1+x
1+x
+ 4
≥2 1+x 4
=z
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:
x2 y2 z2
1+y
+ 1+y + 1+z + 1+z + 1+x + 1+x
4 4 4
≥ (x + y + z)
x2 y2 z2 3 x+y+z 3(x+y+z) 3
⇔ 1+y + 1+z + 1+x ≥ − 4 − 4 + (x + y + z) ≥ 4
− 4
≥ 3 .3 − 4 = 9 − 4 = 6 = 3
4
3
4
3
4 2
vì
√
x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3
Huỳnh Kim Linh Trang thứ 7 trong 12 trang
8. www.VNMATH.com
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Vậy
x2 y2 z2 3
+ + ≥
1+y 1+z 1+x 2
Bài toán 9 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2006
Cho hai số thực x = 0, y = 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện: (x + y) xy = x2 + y 2 − xy
1 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x3
+ y3
.
Lời giải :
1 1 1 1 1
Từ giả thiết suy ra: x
+ y
= x2
+ y2
− xy
.
1 1
Đặt x
= a, y
=b
ta có: a + b = a2 + b2 − ab (1)
Khi đó a + b = a2 + b2 − ab (1)
2
Từ (1) suy ra: a + b = (a + b) − 3ab.
2
Vì ab ≤ a+b
2
nên a + b ≥ (a + b)2 − 4 (a + b)2 ⇒ (a + b)2 − 4 (a + b) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ a + b ≤ 4
3
Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16.
1
Với x = y = 2
thì A = 16.
Vậy giá trị lớn nhất của A là 16.
Bài toán 10 : Đề Dự bị 1 Đại học khối A năm 2006
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 3−x + 3−y + 3−z = 1.
9x 9y 9z 3x +3y +3z
Chứng minh rằng: 3x +3y+z
+ 3y +3z+x
+ 3z +3x+y
≥ 4
.
Lời giải :
1
Đặt 3x = a, 3y = b, 3z = c. Ta có: a, b, c > 0 và a
+1+
b
1
c
= 1 ⇔ ab + bc + ca = abc.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
a2 b2 c2
a+bc
+ b+ca + c+ab ≥ a+b+c
4
a3 b3 c3
⇔ a2 +abc
+ b2 +abc + c2 +abc ≥ a+b+c
4
a3 b3 c3 a+b+c
⇔ (a+b)(a+c)
+ (b+c)(b+a) + (c+a)(c+b) ≥ 4
(1).
a 3 a3
(a+b)(a+c)
+ a+b + a+c
8 8
≥33 . a+b . a+c = 3 a (2)
(a+b)(a+c) 8 8 4
b3 b+c b+a b3 b+c b+a 3
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có (b+c)(b+a)
+ 8 + 8 ≥ 3 (b+c)(b+a) . 8 . 8 = 4 b (3)
3
c3 c3
(c+a)(c+b)
+ c+a + c+b
8 8
≥ 3 3 (c+a)(c+b) . c+a . c+b = 3 c (4).
8 8 4
a3 b3 c3 a+b+c
Cộng theo từng vế các bất đẳng thức (2), (3), (4) ta suy ra (a+b)(a+c) + (b+c)(b+a) + (c+a)(c+b) ≥ 4
.
Vậy (1) đúng và ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 11 : Đề Dự bị 1 Đại học khối B năm 2006
11 7
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x + 2x
+ 4 1+ x2
, với x > 0
Lời giải :
Áp dụng bất đẳng thức : (a2 + b2 ) (c2 + d2 ) ≥ (ac + bd)2
2
7 7
Ta có : (9 + 7) 1 + x2
≥ 3+ x
11 1 7 9 3 3 15
⇒y ≥ x+ 2x
+ 2
3+ x
= x+ x
+ 2
≥6+ 2
= 2
15 15
Khi x = 3 thì y = 2
nên giá trị nhỏ nhất của y là 2
.
Bài toán 12 : Đề Dự bị 2 Đại học khối B năm 2006
Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 4
Huỳnh Kim Linh Trang thứ 8 trong 12 trang
9. www.VNMATH.com
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
3x2 +4 2+y 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 4x
+ y2
.
Lời giải :
3
3x2 +4
Ta có A = 4x
+ 2+y = 3x + x + y22
y2 4
1
+y
⇒ A = x + x + 2 y12 + y + y + x+y
4
1
8 8 2
≥ 1 + 3 + 2 = 9.
2 2
9
Với x = y = 2 thì A = 2 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 9 2
Bài toán 13 : Đề Dự bị Đại học khối A năm 2007
Cho x, y, z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3
x y z
P = 4(x3 + y 3 ) + 4(x3 + z 3 ) + 4(z 3 + x3 ) + 2 2
+ 2+ 2
y z x
Lời giải :
Với x, y > 0 ta chứng minh :
4 x3 + y3 ≥ (x + y)3 (∗)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y
Thật vậy bất đẳng thức (*)
⇔ 4 (x + y) (x2 − xy + y2 ) ≥ (x + y)3
⇔ 4 (x2 − xy + y2 ) ≥ (x + y)2 dox, y > 0
3
⇔ 3 (x2 + y2 − 2xy) ⇔ (x − y)2 ≥ 0
Tương tự ta có
4 y3 + z3 ≥ (y + z)3
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi y = z
4 z3 + x3 ≥ (z + x)3
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi z = x
Do đó
3 3 3 √
4 (x3 + y 3 ) + 4 (y 3 + z 3 ) + 4 (z 3 + x3 ) ≥ 2 (x + y + z) ≥ 6 3 xyz
Ta lại có
x y z 6
2 2
+ 2+ 2 ≥ √
y z x 3 xyz
Suy ra
√ 1
P ≥6 3
xyz + √ ≥ 12
3 xyz
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1
Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1
Bài toán 14 : Đề Dự bị Đại học khối D năm 2007
Cho a, b > 0 thỏa mãn ab + a + b = 3 Chứng minh :
3a 3b ab 3
+ + ≤ a2 + b 2 +
b+1 a+1 a+b 2
Huỳnh Kim Linh Trang thứ 9 trong 12 trang
10. www.VNMATH.com
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Lời giải :
Từ giả thiết a, b > 0 và ab + a + b = 3 Suy ra:
ab = 3 − (a + b), (a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1 = 4
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
3 3a(a+1)+3b(b+1) 3
a2 + b 2 + 2
≥ (a+1)(b+1)
+ a+b − 1
⇔ a2 + b2 + 3 ≥ 3 (a2 + b2 ) + 4 (a + b)
2 4
3
+ 3
a+b
−1
2 2 2 2 12
⇔ 4 (a + b ) + 6 ≥ 3 (a + b ) + 3 (a + b) + a+b
−4
2 2 12
⇔ a + b − 3 (a + b) − a+b
+ 10 ≥ 0 (∗)
Đặt
x = a + b > 0 ⇒ x2 = (a + b)2 ≥ 4ab = 4(3 − x)
( vì x > 0)
⇒ x2 + 4x − 12 ≥ 0 ⇒ x ≤ −6 hay x ≥ 2 ⇒ x ≥ 2
Ta có x2 = a2 + b2 + 2ab ⇒ a2 + b2 = x2 − 2(3 − x) = x2 + 2x − 6
Khi đó bất đẳng thức (*) thành
12
x2 − x − x
+ 4 ≥ 0, ∀x ≥ 2
⇔ x3 − x + 4x − 12 ≥ 0, ∀x ≥ 2
2
⇔ (x − 2) (x2 + x + 6) ≥ 0, ∀x ≥ 2
hiển nhiên đúng.
Vậy bất đẳng thức cho đã được chứng minh.
4) Một số bài toán để các bạn tự làm :
Bài toán 15 : Cho x, y > 0 thỏa : x + y + z = 1. Chứng minh :
x + y ≥ 16xyz
Bài toán 16 : Chứng minh rằng với a + b + c = 0 thì
8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c
Bài toán 17 : Cho a, b, c > 0 : a + b + c = 1. Chứng minh
(1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8(1 − a)(1 − b)(1 − c)
Bài toán 18 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh :
a b c a b c
+ + < + +
b+c c+a a+b b+c c+a a+b
Bài toán 19 : Cho a, b, c > 0 thỏa :
1 1 1
+ + ≥2
1+a 1+b 1+c
Chứng minh :
1
abc ≤
8
Huỳnh Kim Linh Trang thứ 10 trong 12 trang
11. www.VNMATH.com
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Bài toán 20 : Chứng minh rằng : với a > b > 0 thì
4
a+ ≥3
(a − b) (b + 1)2
Bài toán 21 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh :
a4 b4 c4 1 3
+ + ≥ a + b3 + c 3
b+c c+a a+b 2
Bài toán 22 : Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa :
a3 + b3 + c3 + d3 = 1
Chứng minh :
√
a2 b2 c2 d2 434
+ + + ≥
b3 + c3 + d3 a3 + c3 + d3 a3 + b3 + d3 a3 + c3 + b3 3
Bài toán 23 : Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa : a + b + c + d = 1. Chứng minh :
1 1 1 1
P = + 2 + 2 + 2 ≥ 256
a2 (3c + 3b + 3d − 2) b (3c + 3a + 3d − 2) c (3a + 3b + 3d − 2) d (3c + 3b + 3a − 2)
Bài toán 24 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh :
a b c a+b+c
+ + ≥ √
3
b c a abc
Bài toán 25 : Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh :
1 1 4 16 64
+ + + ≥
a b c d a+b+c+d
Bài toán 26 : Cho a, b, c > 0 Chứng minh :
1 1 1 4 4 4
+ + ≥ + +
a b c 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c
Bài toán 27 : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa tích xyz = 1. Chứng minh:
x3 y3 z3 3
+ + ≥
(1 + y) (1 + z) (1 + z) (1 + x) (1 + x) (1 + y) 4
Bài toán 28 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh :
2
1 1 1 4 1 1 1
+ + ≥ + +
ab bc ca 3 a+b b+c c+a
Bài toán 29 : Cho a.b > 0 và
a+b≤1
Chứng minh :
2 3
+ 2 ≥ 14
ab a + b2
Huỳnh Kim Linh Trang thứ 11 trong 12 trang
12. www.VNMATH.com
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Bài toán 30 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh :
1 1 1 3
+ + ≥
(2a + b) (2c + b) (2b + c) (2a + c) (2b + a) (2c + a) (a + b + c)2
Bài toán 31 : Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1. Chứng minh :
1 1 1
+ 2 + 2 ≥9
a2 + 2bc b + 2ca c + 2ab
Bài toán 32 : Cho x, y, z > 0 thỏa : x + y + z = 1. Chúng minh :
x y z 3
+ + ≤
x+1 y+1 z+1 4
Bài toán 33 : Chứng minh với a, b, c > 0 thì :
1 1 1
a8 + b8 + c8 ≥ a3 b3 c3 + +
a b c
Bài toán 34 : Cho a, b, c > 0 thỏa : ab + cb + ca = 1. Chứng minh :
√ √ √
1 + a2 + 1 + b2 + 1 + c2 ≤ 2 (a + b + c)
Bài toán 35 : Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1. Chứng minh :
2 2 2
1 1 1 100
a+ + b+ + c+ ≥
a b c 3
Bài toán 36 : Chứng minh : với mọi x, y, z > 0 ta luôn có :
x3 y3 z3
+ + ≥x+y+z
yz zx xy
Bài toán 37 : Chứng minh : với a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 3 ta có :
a b c 3
2
+ 2
+ 2
≥
1+b 1+c 1+a 2
Bài toán 38 : Cho a, b, c không âm. Chứng minh :
a2 b2 c2
+ + ≥1
a + 2b2 b + 2c2 c + 2a2
Bài toán 39 : Cho a, b, c, d dương với a + b + c + d = 4. Hãy Chứng minh
a b c d
1) 1+b2
+ 1+c2 + 1+d2 + 1+a2 ≥ 2
a b c d
2) 1+b2 c
+ 1+c2 d + 1+d2 a + 1+a2 b ≥ 2
a+1 b+1 c+1 d+1
3) 1+b2
+ 1+c2 + 1+d2 + 1+a2 ≥ 4
Bài toán 40 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Hãy chứng minh :
√ √ √
a+ b+ c ≥ ab + cb + ca
Huỳnh Kim Linh Trang thứ 12 trong 12 trang