Barisan dan deret aritmetika merupakan konsep penting dalam matematika yang memungkinkan perhitungan jumlah bilangan berulang secara sistematis. Rumus umum untuk menentukan suku ke-n barisan aritmetika dan jumlah n suku pertama deret aritmetika dijelaskan secara rinci dalam dokumen tersebut.
Barisan dan deret aritmetika merupakan barisan dan jumlah suku bilangan yang selisih antar suku berikutnya tetap. Rumus umum suku ke-n barisan adalah Un = a + (n-1)b, sedangkan rumus umum jumlah n suku pertama deret adalah Sn = n/2(2a + (n-1)b). Contoh soal terkait penentuan suku tertentu, rumus barisan, dan jumlah suku deret diberikan untuk memperjelas konsep dasar
Dokumen tersebut membahas tentang barisan dan deret aritmetika. Barisan aritmetika didefinisikan sebagai barisan bilangan yang selisih antar dua suku berturutan selalu sama. Rumus umum suku ke-n adalah a + (n-1)b, dimana a adalah suku pertama dan b adalah selisih. Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan tersebut, dengan rumus umum S = n(2a + (n-1)b).
Dokumen tersebut membahas tentang barisan dan deret aritmetika. Barisan aritmetika didefinisikan sebagai barisan bilangan yang selisih antar suku berikutnya selalu sama. Deret aritmetika adalah jumlah dari n suku pertama barisan aritmetika. Rumus umum untuk mencari suku ke-n dan jumlah n suku pertama (deret) barisan aritmetika dipaparkan beserta contoh-contoh perhitungannya.
Barisan dan deret aritmatika membahas tentang definisi barisan dan deret aritmatika, rumus umum suku ke-n dan jumlah n suku pertama, serta contoh-contoh soal dan penyelesaiannya. Secara ringkas, barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang beda antar suku tetap, sedangkan deret aritmatika adalah jumlah n suku pertama barisan tersebut yang rumusnya n(2a+(n-1)b).
Barisan dan deret aritmetika merupakan barisan bilangan yang selisih antar suku tetap. Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika adalah Un = a + (n-1)b, sedangkan rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S = n(2a + (n-1)b).
Barisan dan deret aritmetika merupakan barisan dan jumlah suku bilangan yang selisih antar suku berikutnya tetap. Rumus umum suku ke-n barisan adalah Un = a + (n-1)b, sedangkan rumus umum jumlah n suku pertama deret adalah Sn = n/2(2a + (n-1)b). Contoh soal terkait penentuan suku tertentu, rumus barisan, dan jumlah suku deret diberikan untuk memperjelas konsep dasar
Dokumen tersebut membahas tentang barisan dan deret aritmetika. Barisan aritmetika didefinisikan sebagai barisan bilangan yang selisih antar dua suku berturutan selalu sama. Rumus umum suku ke-n adalah a + (n-1)b, dimana a adalah suku pertama dan b adalah selisih. Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan tersebut, dengan rumus umum S = n(2a + (n-1)b).
Dokumen tersebut membahas tentang barisan dan deret aritmetika. Barisan aritmetika didefinisikan sebagai barisan bilangan yang selisih antar suku berikutnya selalu sama. Deret aritmetika adalah jumlah dari n suku pertama barisan aritmetika. Rumus umum untuk mencari suku ke-n dan jumlah n suku pertama (deret) barisan aritmetika dipaparkan beserta contoh-contoh perhitungannya.
Barisan dan deret aritmatika membahas tentang definisi barisan dan deret aritmatika, rumus umum suku ke-n dan jumlah n suku pertama, serta contoh-contoh soal dan penyelesaiannya. Secara ringkas, barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang beda antar suku tetap, sedangkan deret aritmatika adalah jumlah n suku pertama barisan tersebut yang rumusnya n(2a+(n-1)b).
Barisan dan deret aritmetika merupakan barisan bilangan yang selisih antar suku tetap. Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika adalah Un = a + (n-1)b, sedangkan rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S = n(2a + (n-1)b).
Dokumen tersebut membahas tentang barisan dan deret aritmetika maupun geometri. Isi utamanya adalah penjelasan tentang konsep barisan dan deret serta rumus-rumus yang terkait, beserta contoh soal dan penyelesaiannya. Topik utama yang dibahas antara lain definisi barisan aritmetika dan geometri, cara menentukan suku berikutnya, rumus untuk menghitung jumlah deret, serta cara menentukan jenis barisan apakah naik at
Barisan dan deret aritmetika merupakan barisan bilangan yang selisih antara dua suku berturutan selalu sama (barisan aritmetika), sedangkan deret aritmetika adalah jumlah dari beberapa suku pertama barisan aritmetika. Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika adalah Un = a + (n-1)b, sedangkan rumus umum jumlah n suku pertama (deret aritmetika) adalah Sn = 1/2n(2a+(n-1)
Dokumen tersebut membahas tentang barisan dan deret aritmetika. Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih antar suku tetap. Rumus umum suku ke-n adalah Un = a + (n-1)b, dengan a adalah suku pertama dan b adalah selisih. Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan, dengan rumus umum Dn = (1/2)n(2a + (n-1)b)
Dokumen tersebut membahas tentang pembelajaran matematika mengenai barisan dan deret aritmatika serta geometri untuk siswa kelas XI SMA semester I yang mencakup kompetensi inti, kompetensi dasar, tujuan pembelajaran, dan karakter yang dikembangkan."
Dokumen tersebut membahas tentang barisan aritmetika, yaitu barisan bilangan yang selisih antara dua suku berturutan selalu sama. Diberikan rumus umum untuk menentukan suku ke-n yaitu Un = a + (n-1)b, dimana a adalah suku pertama dan b adalah selisih antara dua suku. Contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk memperjelas penjelasan tentang barisan aritmetika.
Dokumen tersebut membahas tentang pola bilangan, barisan bilangan, dan deret bilangan. Terdapat penjelasan mengenai konsep-konsep tersebut beserta contoh-contoh penerapannya. Dibahas pula rumus-rumus untuk menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan jumlah n suku deret aritmatika.
Dokumen tersebut membahas tentang pola dan barisan bilangan, yang meliputi pola bilangan dan barisan bilangan. Terdapat beberapa jenis pola bilangan yang dijelaskan seperti pola garis lurus, persegi, segitiga, kubus, bilangan ganjil dan genap, serta pola bilangan Pascal dan Fibonacci. Dokumen juga menjelaskan tentang barisan bilangan dan rumus untuk menentukan suku berikutnya maupun suku ke-n dari suatu barisan.
Barisan aritmatika dan geometri merupakan dua jenis barisan bilangan yang memiliki perbedaan pada besaran selisih atau rasio antara dua suku berturutan. Barisan aritmatika memiliki selisih antar suku yang tetap, sedangkan barisan geometri memiliki rasio antar suku yang tetap. Rumus umum untuk menentukan suku ke-n pada kedua jenis barisan tersebut diberikan beserta contoh soalnya.
Barisan aritmatika dan geometri merupakan dua jenis barisan bilangan yang memiliki karakteristik berbeda. Barisan aritmatika memiliki selisih antar suku yang tetap, sedangkan barisan geometri memiliki rasio antar suku yang tetap. Kedua jenis barisan memiliki rumus untuk menentukan suku ke-n berdasarkan suku pertama dan selisih/rasio antar suku.
Dokumen tersebut membahas tentang barisan dan deret aritmetika maupun geometri. Isi utamanya adalah penjelasan tentang konsep barisan dan deret serta rumus-rumus yang terkait, beserta contoh soal dan penyelesaiannya. Topik utama yang dibahas antara lain definisi barisan aritmetika dan geometri, cara menentukan suku berikutnya, rumus untuk menghitung jumlah deret, serta cara menentukan jenis barisan apakah naik at
Barisan dan deret aritmetika merupakan barisan bilangan yang selisih antara dua suku berturutan selalu sama (barisan aritmetika), sedangkan deret aritmetika adalah jumlah dari beberapa suku pertama barisan aritmetika. Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika adalah Un = a + (n-1)b, sedangkan rumus umum jumlah n suku pertama (deret aritmetika) adalah Sn = 1/2n(2a+(n-1)
Dokumen tersebut membahas tentang barisan dan deret aritmetika. Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih antar suku tetap. Rumus umum suku ke-n adalah Un = a + (n-1)b, dengan a adalah suku pertama dan b adalah selisih. Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan, dengan rumus umum Dn = (1/2)n(2a + (n-1)b)
Dokumen tersebut membahas tentang pembelajaran matematika mengenai barisan dan deret aritmatika serta geometri untuk siswa kelas XI SMA semester I yang mencakup kompetensi inti, kompetensi dasar, tujuan pembelajaran, dan karakter yang dikembangkan."
Dokumen tersebut membahas tentang barisan aritmetika, yaitu barisan bilangan yang selisih antara dua suku berturutan selalu sama. Diberikan rumus umum untuk menentukan suku ke-n yaitu Un = a + (n-1)b, dimana a adalah suku pertama dan b adalah selisih antara dua suku. Contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk memperjelas penjelasan tentang barisan aritmetika.
Dokumen tersebut membahas tentang pola bilangan, barisan bilangan, dan deret bilangan. Terdapat penjelasan mengenai konsep-konsep tersebut beserta contoh-contoh penerapannya. Dibahas pula rumus-rumus untuk menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan jumlah n suku deret aritmatika.
Dokumen tersebut membahas tentang pola dan barisan bilangan, yang meliputi pola bilangan dan barisan bilangan. Terdapat beberapa jenis pola bilangan yang dijelaskan seperti pola garis lurus, persegi, segitiga, kubus, bilangan ganjil dan genap, serta pola bilangan Pascal dan Fibonacci. Dokumen juga menjelaskan tentang barisan bilangan dan rumus untuk menentukan suku berikutnya maupun suku ke-n dari suatu barisan.
Barisan aritmatika dan geometri merupakan dua jenis barisan bilangan yang memiliki perbedaan pada besaran selisih atau rasio antara dua suku berturutan. Barisan aritmatika memiliki selisih antar suku yang tetap, sedangkan barisan geometri memiliki rasio antar suku yang tetap. Rumus umum untuk menentukan suku ke-n pada kedua jenis barisan tersebut diberikan beserta contoh soalnya.
Barisan aritmatika dan geometri merupakan dua jenis barisan bilangan yang memiliki karakteristik berbeda. Barisan aritmatika memiliki selisih antar suku yang tetap, sedangkan barisan geometri memiliki rasio antar suku yang tetap. Kedua jenis barisan memiliki rumus untuk menentukan suku ke-n berdasarkan suku pertama dan selisih/rasio antar suku.
"Jodoh Menurut Prespektif Al-Quran" (Kajian Tasir Ibnu Katsir Surah An-Nur ay...Muhammad Nur Hadi
Jurnal "Jodoh Menurut Prespektif Al-Quran" (Kajian Tasir Ibnu Katsir Surah An-Nur ayat 26 dan 32 dan Surah Al-Hujurat Ayat 13), Ditulis oleh Muhammmad Nur Hadi, Mahasiswa Program Studi Ilmu Hadist di UIN SUSKA RIAU.
2. A. Barisan Aritmetika
• Definisi
• Bilangan yang tetap tersebut disebut beda
dan dilambangkan dengan b.
• Perhatikan juga barisan-barisan bilangan
berikut ini.
a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan
Aritmetika
c. 30, 25, 20, 15, ...
Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan
yang selisih setiap dua suku berturutan selalu
merupakan bilangan tetap (konstan).
3. Contoh :
a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
+3 +3 +3 +3
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya 3 atau b =3.
b. 2, 8, 14, 20, ...
+6 +6 +6
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.
4. c. 30, 25, 20, 15, ...
–5 –5 –5
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.
Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.
Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan
suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda
dengan b dapat ditentukan seperti berikut.
Jika Un adalah suku ke-n dari suatu
barisan aritmetika maka berlaku b = Un –
Un-1
1
5. U = a
U = U + b = a + b
U = U + b = (a + b) + b = a + 2b
U = U + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U = U + b = (a + 3b) + b = a + 4b
.
.
.
U = U + b = a + (n – 1)b
Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah
Keterangan: Un = suku ke-n
a = suku pertama
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n – 1)b
1
1
2
2
3
3
4
4
5
n 1
n
6. Contoh 1 :
Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7,
12, ....
Jawab:
–3, 2, 7, 12, …
Suku pertama adalah a = –3 dan
bedanya b = 2 – (–3) = 5.
Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :
U = –3 + (n – 1)5.
Suku ke-8 : U = –3 + (8 – 1)5 = 32.
Suku ke-20 : U = –3 + (20 – 1)5 = 92.
n
8
20
7. Contoh 2 :
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Tentukan banyak suku barisan tersebut.
Jawab:
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2)
= 3,dan
U = 40.
Rumus suku ke-n adalah U = a + (n – 1)b sehingga;
40 = –2 + (n – 1)3
40 = 3n – 5
3n = 45
Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.
Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.
n
n
8. B. Deret Aritmetika
• Definisi
• Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama
barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari
suatu barisan bilangan dinotasikan S .
Dengan demikian, S = U1 + U2 + U3 + ... + U .
Untuk memahami langkah-langkah menentukan
rumus S , perhatikan contoh berikut :
Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku
dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U3 + ... +
Un disebut deret aritmetika, dengan Un = a + (n –
1)b.
n
n
n
n
9. Contoh 1 :
Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11,
14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.
Jawab:
Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat
dituliskansebagai berikut.
S = 2 + 5 + 8 + 11 + 14
S = 14 + 11 + 8 + 5 + 2
2S = 16 + 16 + 16 + 16 + 16
2S = 5 x 16
S = S = 40
Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.
5
5
5
5 5
5
2
16
5
10. Menentukan rumus umum untuk S
sebagai berikut. Diketahui rumus umum
suku ke-n dari barisan aritmetika adalah
U = a + (n – 1)b. Oleh karena itu,
U = a = a
U = a + b = U – (a – 2)b
U = a + 2b = U – (n – 3)b
. . .
. . .
. . .
U = a + (n – 1)b = U
n
n
1
2
3
n
n
n n
11. Dengan demikian, diperoleh ;
S = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)
= a + (U – (n – 2) b) + (U – (n – 3) b) + ... + U
............ (1)
Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah
b kurang dari suku berikutnya.
U = U – b
U = U – b = U – 2b
U = U – b = U – 3b
Demikian seterusnya sehingga S dapat dituliskan
S = a + (U – (n – 1)b) + … + (U – 2b) + (U – b) + U
.......... (2)
n
n
n n
1
n
1
n
2
n
2
n
3
n
n
n
n
n
n n n n
n
12. Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh ;
S = a + (U – (n – 2)b) + (U – (n – 3)b) + ... +U
S = U + (U – b) + (U – 2b) + ... + a
2S = (a + U ) + (a + U )+ (a + U ) + ... + (a + U )
n suku
Dengan demikian, 2S = n(a + U )
S = n(a + U )
S = n(a + (a + (n – 1)b))
S = n(2a + (n – 1)b)
n n n n
n n n n
n n n n n
n n
n
n
n
2
1
2
1
2
1
n
13. Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret
aritmetika adalah
Keterangan:
S = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
b = beda
U = suku ke-n
n = banyak suku
Sn = 1/2n(a + U) atau
Sn =1/2n [2a + (n – 1)b]
14. Contoh 2:
Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 +
8 +....
Jawab:
Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.
S = x 100 {2(2) + (100 – 1)2}
= 50 {4 + 198}
= 50 (202)
= 10.100
Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut
adalah 10.100.
100
2
1
15. Contoh 3:
Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3
yang kurang dari 100.
Jawab:
Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah
3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh
a = 3, b = 3, dan U = 99.
Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;
U = a + (n – 1)b
99 = 3 + (n – 1)3
3n = 99
n = 33
Jumlah dari deret tersebut adalah
n
n
16. S = n (a + U )
S = x 33(3 + 99)
= 1.683
Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang
dari 100 adalah 1.683
n n
2
1
2
1
33
18. Kaidah barisan dan deret dapat digunakan untuk
memudahkan penyelesaian perhitungan, misalnya
bunga bank, kenaikan produksi, dan laba/rugi
suatu usaha.
Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, kita
harus dapat membedakan apakah persoalan
tersebut termasuk barisan aritmetika, barisan
geometri, deret aritmetika ataupun deret
geometri.
Kemudian, kita dapat menyelesaikan persoalan
tersebut menggunakan rumus-rumus yang berlaku.
19. Contoh 1:
Ketika awal bekerja, seorang karyawan sebuah
perusahaan digaji Rp700.000,00 per bulan. Setahun
berikutnya, gaji per bulannya akan naik sebesar
Rp125.000,00. Demikian seterusnya untuk tahun-tahun
berikutnya. Berapa gaji karyawan itu per bulan untuk
masa kerjanya sampai pada tahun ke-9?
Jawab:
Kasus ini adalah aplikasi dari barisan aritmetika.
Suku awal a = 700.000
Beda b = 125.000
n = 9
20. Jadi suku ke-9, dapat ditentukan sebagai berikut.
U = a + (n – 1)b
U = 700.000 + (9 – 1) 125.000
= 700.000 + 1.000.000
= 1.700.000
Jadi, gaji per bulan karyawan itu pada tahun ke-9
adalah Rp1.700.000,00.
n
9
21. Contoh 2:
Setiap awal bulan Nyoman menabung Rp50.000,00 di
suatu bank yang memberikan bunga 1% per bulan. Pada
tiap akhir bulan, bunganya ditambahkan pada
tabungannya. Berapakah uang Nyoman di bank itu pada
akhir tahun ke-1 jika ia tidak pernah mengambil
tabungannya sampai akhir tahun ke-1?
Jawab:
Misalkan tabungan awal adalah Rp50.000,00.
Pada akhir bulan ke-1
Jumlah uang Nyoman adalah sebagai berikut ;
Bunga yang ia peroleh = 50.000 × 1% = 50.000 × 0,01
Jumlah uang Nyoman = 50.000 + (50.000 × 0,01)
= 50.000(1 + 0,01)
= 50.000(1,01)
22. Pada akhir bulan ke-2
Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah
jumlah uang pada akhir bulan ke-1 ditambah bunga
sehingga diperoleh ;
= 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%)
= 50.000(1,01)(1 + 0,01)
= 50.000(1,01)
Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi
=50.000 + (50.000 × 1%)
= 50.000(1 + 0,01)
= 50.000(1,01)
Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-2 adalah
50.000(1,01) + 50.000(1,01) .
2
2
23. Pada akhir bulan ke-3
Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah
50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%)
= 50.000(1,01) (1 + 0,01)
= 50.000(1,01) (1,01)
= 50.000(1,01)
Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi
50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%)
= 50.000(1,01)(1 + 0,01)
= 50.000(1,01)(1,01)
= 50.000(1,01)
Uang yang sudah dimasukkan pada awal bulan ke-3 menjadi
50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 1%)
= 50.000(1,01)
2
2
2
3
2
2
24. Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-3 adalah
50.000(1,01) + 50.000(1,01) + 50.000(1,01)
Demikian seterusnya, sampai akhir bulan ke-12.
Dari hasil perhitungan sampai bulan ke-3, dapat disimpulkan
bahwa jumlah uang tabungan Nyoman adalah
50.000(1,01) + 50.000(1,01)2 + 50.000(1,01)3 + ... +
50.000(1,01)12
= 50.000{1,01 + (1,01)2 + (1,01)3 + ... + (1,01)12}
Deret 1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12 merupakan deret
geometridengan
a = 1,01, r = 1,01, dan n = 12.
2 3
12
1
01
,
1
1
)
01
,
1
((
01
,
1 12
S =
25. =
= 12,83
Oleh karena itu, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun
adalah 50.000 {1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12}
= 50.000 × 12,83
= 641.500
Jadi, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah
Rp641.500,00.
01
,
0
)
27
,
0
(
01
,
1