matematika kelas x

1. Standar Kompetensi:
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan
logaritma
Kompetensi Dasar:
 Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma.
 Melakukan manipulasi aljabar dalam hitungan yang melibatkan
pangkat, akar, dan logaritma.
BAB 1
Bentuk Pangkat, Akar,
dan Logaritma

2. 1-1 BENTUK PANGKAT NEGATIF
Perkalian bilangan-bilangan yang sama
disebut sebagai perkalian berulang.
Contoh:
2 × 2 × 2 = 23
5 x 5 x 5 = 53
9 x 9 x 9 = 93

3. A.Pangkat Bulat Positif
Definisi
Jika a adalah bilangan real (a2  R) dan n adalah
bilangan bulat positif lebih dari 1, maka a pangkat n
(ditulis an) adalah perkalian n buah bilangan a.
an = a × a × a × . . . × a × a × a
perkalian n buah bilangan
Bentuk an adalah bentuk bilangan berpangkat dengan
bulat positif.
a disebut bilangan pokok atau basis
n (bilangan asli 1) disebut pangkat atau eksponen

4. Catatan:
• Jika n = 1 maka an = a1 = a.
• Jika n = 0 maka:
• untuk a  0, maka a0 = 1,
• untuk a = 0, maka 00 tidak terdefinisi.
Contoh
a4 = a × a × a × a = a
a3 a × a × a
Jadi, a4 = a
a3
ap : aq = ap-q
dengan a  R, p dan q adalah bilangan-bilangan bulat positif.

5. B. Pangkat Bulat Negatif
Misalkan a  R dan a  0, maka a-n adalah kebalikan dari
an atau sebaliknya.
Definisi
1 1
an a-n
a-n= an=
atau
Contoh:
Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk
pangkat bulat positif!
3 × 5-2 3 ×
1
52
3
52
= = 3
b-6
= 4b6
a) b)

6. 1-2 BENTUK AKAR DAN PANGKAT PECAHAN
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional
yang hasilnya merupakan bilangan irasional.
1-2-1 Bentuk Akar
Contoh:
bukan bentuk akar, sebab = 3 (bilangan
rasional)
a)
bukan bentuk akar sebab = 0,5
(bilangan
rasional)
b)

7. Menyederhanakan Bentuk Akar
Untuk setiap a dan b bilangan positif, maka berlaku:
Dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam bentuk
kuadrat murni.
b
a
b
a 


(
Contoh:
  ab
a
ab
a
ab
a
b
a 2
4
4
4 2
2
3




3
6
3
36
)
3
36
(
108 




a.
b.

8. 1-2-2 Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif,
maka berlaku hubungan
dan
c
b
a
c
b
c
a )
( 


c
b
a
c
b
c
a )
( 


Contoh:
3
6
3
)
2
5
3
(
3
2
3
5
3
3 






9. A. Perkalian Bentuk Akar
a dan b masing-masing bilangan positif
)
( b
a
b
a 


Contoh:
3
4
48
8
6
8
6 





10. B. Menarik Akar Kuadrat
)
(
2
)
( b
a
ab
b
a 



)
(
2
)
( b
a
ab
b
a 



Menarik akar kuadrat dapat dilakukan dengan bentuk:
atau
Contoh:
2
3
2
.
3
2
)
2
3
(
6
2
5 





a.
b. 2
3
2
.
3
2
)
2
3
(
6
2
5 






11. 1-2-3 Merasionalkan Penyebut Sebuah Pecahan
A. Pecahan Berbentuk
b
a
b
b
a
b
b
b
a
b
a



Contoh:
3
2
3
3
6
3
3
3
6
3
6




b

12. B. Pecahan Berbentuk
b
a
c

atau
b
a
c

b
a
b
a
c
b
a
b
a
b
a
c
b
a
c









2
)
(
b
a
c

Pecahan diubah menjadi
b
a
b
a
c
b
a
b
a
b
a
c
b
a
c









2
)
(
b
a
c

Pecahan diubah menjadi
Contoh:
)
1
2
(
2
1
2
)
1
2
(
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2











)
3
2
3
(
4
3
)
2
3
(
3
2
3
2
3
2
3
3
2
3
3













13. C. Pecahan Berbentuk
b
a
c

atau
b
a
c

Penyebut pecahan yang berbentuk dapat dirasionalkan
dengan cara: b
a
c

b
a
b
a
c
b
a
b
a
b
a
c
b
a
c









)
(
Pecahan pembilang dan penyebut dikalikan dengan
menjadi
b
a
c

)
( b
a 
a.
Contoh:
)
2
3
(
3
2
3
)
2
3
(
3
2
3
2
3
2
3
3
2
3
3












14. b
a
b
a
c
b
a
b
a
b
a
c
b
a
c









)
(
Pecahan pembilang dan penyebut dikalikan dengan
menjadi
b
a
c

)
( b
a 
b.
Contoh:
)
15
5
(
2
1
3
5
)
3
5
(
5
3
5
3
5
3
5
5
3
5
5












15. 1-2-4 Pangkat Pecahan
Pangkat Pecahan
Misalkan n bilangan bulat positif, a dan b
bilangan-bilangan real sehingga berlaku
hubungan bn = a, maka b disebut akar pangkat
n dari a.
n
n
a
b
a
b 


1. Jika a  0 maka  0.
2. - Jika a  0 dan n ganjil, maka  0.
- Jika a  0 dan n genap, maka bukan
bilangan real.
n
a
n
a
n
a

16. Definisi Pangkat Pecahan
Misalkan a bilangan bilangan real tidak nol dan n bilangan
positif, maka pangkat pecahan sama akar pangkat n
dari bilangan a.
merupakan bilangan real.
n
a
1
n
n
a
a 
1
n
a
n
a
1
Contoh:
4
4
16
16
16 2
2
2
1





17. Definisi Pangkat Pecahan
Misalkan a bilangan bilangan real tidak nol dan n bilangan
asli ≥ 2, maka pangkat pecahan sama akar pangkat n
dari bilangan a.
merupakan bilangan real.
n
m
a
n m
n
m
a
a 
n m
a
n
m
a
Contoh:
2
)
2
(
64
16 6 6
6
6
1




18. 1-3 Sifat-sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif
Jika a dan b bilangan real serta n, p, dan q bilangan
bulat positif, maka berlaku:
a)
q
p
q
p
a
a
a 


dengan p  q
b)
q
p
q
p
a
a
a 

:
c)
q
p
q
p
a
a 

)
(
d)
n
n
n
b
a
b
a 

 )
(
dengan b  0
e) n
n
n
b
a
b
a







f) 0
0 
n

19. 1-3-2 Sifat-sifat Pangkat Rasional
Jika a dan b  R (a ≠ 0), p dan q bilangan rasional,
maka berlaku:
a)
q
p
q
p
a
a
a 


b)
q
p
q
p
a
a
a 

:
d)
q
p
q
p
a
a 

)
(
c)
p
p
p
b
a
b
a 

 )
(
e) p
p
p
b
a
b
a








20. Logaritma merupakan invers dari perpangkatan, yaitu
mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga
hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.
Misalkan a bilangan positif (a > 0) dan g bilangan positif
yang tidak sama dengan 1 (0 < g < 1)
glog a = x jika dan hanya jika gx = a
dengan:
• g disebut bilangan pokok atau basis logaritma
• a disebut numerus
• x disebut hasil logaritma
Pengertian Logaritma

21. 1. gLog gn = n
2. glog g = 1
3. glog 1 = 0
Sifat-sifat Logaritma
Contoh:
2
25
log
25
5 5
2



a)
2
36
1
log
36
1
6 6
2





b)

22. glog (a  b) = glog a + glog b
Contoh:
1. 2 log 4 + 2 log 8 = 2 log (4  8)
= 2 log 32
= 5
2. 5 log + 5 log 8 = 5 log (  50)
= 5 log 25
= 2
1
2
1
2
Sifat 1

23. glog ( ) = glog a  glog b
a
b
Contoh:
1. 7log 217 + 7log 31 = 7log ( )
= 7log 7
= 1
217
31
2. log 0,04  log 4 = log ( )
= log 0,01
= -2
0,04
4
Sifat 2

24. glog an = n  glog a
Contoh:
2log 25  3log 5 + log 20 = log 252  log 53 + log 20
= ( ) + log 20
= log (  20)
= log 100
= 2
252
52
52
252
Sifat 3

25. Mengubah bilangan pokok logaritma:
Jika p = a, sifat logaritma di atas menjadi:
g log a =
p log a
p log g
g log a = a log g
1
Sifat 4
Contoh:
a
3
1
3
log
3
1
2
log
3
log
3
1
2
log
3
log
8
log
3
log
3
log 2
3
8





a.
b.
a
1
3
log
1
2
log 2
3



26. Sifat 5
i)
ii)
b
b
a g
a
g
log
log
log 

a
n
m
a g
m
gn
log
log 
iii) a
a g
n
gn
log
log 
Contoh:
6
2
log
64
log
64
log
5
log 6
2
2
5
2




a.
b. i) a
2
3
log
2
4
3
log
81
log 2
4
2
4 2



ii) a


 3
log
3
log
27
log 2
3
2
8 3

27. Sifat 6
a
g a
g

log
Contoh:
a) 5
2 5
log
2

b) 10
5 10
log
5

c) 25
7 25
log
7
