Download to read offline
![http://beemp3.com/index.php?q=Ke%24ha_-_Tik_Tok_%28Kok Yer Egrisi - Document Transcript<br />Bölüm 7 - Kök- Yer Eğrisi Teknikleri Kök yer eğrisi tekniği kararlı ve geçici hal cevabı analizinde kullanılmaktadır. Bu grafiksel teknik kontrol sisteminin performans niteliklerini tanımlamamıza yardımcı olur. Kök yer eğrilerinden çoğunlukla ikinci dereceden daha yüksek dereceli sistemlerde faydalanırız. 7.1 Giriş Kök yer eğrisi sistemin kararlılığının ve kararlılığının sınırlarının grafiksel olarak gösterimidir. Kapalı Çevrim Şeklindeki Sistemler İçin ; KG ( s ) T (s) = (7.1) 1 + KG ( s ) H ( s ) G ( s) = N G ( s) ; H ( s) = N H ( s) (7.2) D G (s) D H ( s) K N G ( s) D H ( s) T (s) = (7.3) DG ( s ) D H ( s ) + K N G ( s ) N H ( s ) K Örnek: G ( S ) = fonksiyonu için açık ve kapalı çevrim transfer s ( s + 7)( s + 11) fonksiyonlarını yazınız, kök ve sıfırlarını belirtiniz. Çözüm: Açık çevrim transfer fonksiyonu: K G(s) = (7.4) s ( s + 7)( s + 11) Kapalı çevrim transfer fonksiyonu: K T (s) = (7.5) s 3 + 18s 2 + 77 s + K Kapalı çevrim transfer fonksiyonun kökleri K’ ya bağlı olduğundan bulunması daha zordur. Örnek: s +1 s+3 G ( s) = ; H ( s) = (7.6) s+2 s+4 1 <br />Açık çevrim kökleri; K ( s + 1)( s + 4) KG(s)H(s) = 0 ⇒ s = 0 ; s = -2 ; s = -4 (7.7) s ( s + 2)( s + 4) Açık çevrim sıfırları; s = -1; s = -4 Kapalı çevrim kökleri; K ( s + 1)( s + 4) T (s) = (7.8) s ( s + 2)( s + 4) + K ( s + 1)( s + 3) Kökler K’ya bağlı ve bulunmaları oldukça zor, sıfırları s = -1 ; s = -4 7.2 Kök-Yer Eğrilerinin Tanımlanması Köklerin konumları K’ nın farklı değerleri için geçici hal cevabındaki değişimleri gösterir. Kazanç her zaman pozitiftir Şekil 7.1 K 1.Kutup 2.Kutup Tablo 7.1 2 <br />Kapalı çevrim kökleri K 〈 25 için gerçektir ve sistem aşırı sönümlüdür. Kapalı çevrim kökleri K = 25 için çift kat köktür ve sistem kritik sönümlüdür. Kapalı çevrim kökleri K 〉 25 için komplekstir ve sistem az sönümlüdür. K ↑ ⇒ T ↓ ; %OS ↑ ; ω d ↑; Tp ↓ 7.2.1 Kök Yerlerinin Özellikleri Şekil 7.2 NG N G ( s) = ; H ( s) = H (7.10) DG DH KG ( s ) T (s) = (7.11) 1 + KG ( s ) H ( s ) Kök;karakteristik denklemi sıfır yapan s değeridir yada; ( 2 k +1)180 0 KG(s)H(s)= –1= 1 ; k= 0;±1;±2;±3... (7.12) Denkleminden bulunabilir. Bu denklem; KG ( s ) H ( s ) = 1 &KG ( s ) H ( s ) = (2k + 1)1800 (7.13) şeklinde de yazılabilir. Kapalı çevrim kutbu s için K değerini bulalım; 1 K= (7.14) G ( s) H ( s) Kapalı çevrim sistemlerin kökleri KG(s)H(s)’ in açısının değerini oluşturur veya basitçe G(s)H(s) çarpımı 1800 nin tek katını verir. 3 <br />KG(s)H(s)’ in büyüklüğü birim olmalıdır.Bu ilişkiyi ikinci dereceli bir sistemin üstünde görelim; Örnek olarak şekil 7.1’i ele alalım tablo 7.1’de ki verilerden yararlanarak aşağıdaki işlemleri gerçekleştirelim. K=5 için kökler s1,2= -9,47 ve -0,53 K 5 KG(s)H(s)= = = −1 (7.15) s ( s + 10) − 9,47(−9,47 + 10) Şimdi de açı koşuluna göre K’yı bulmayı deneyelim; S-Düzlemi Şekil 7.3 Kapalı çevrim transfer fonksiyonu: K ( s + 3)( s + 4) T (s) = (7.16) (1 + K ) s + (3 + 7 K ) s + (2 + 12 K ) 2 s1 = -2 + j3 olarak kabul edelim. 4 <br />S-Düzlemi Şekil 7.4 θ 1 + θ 2 − θ 3 − θ 4 = (2k + 1)1800 (7.17) 53.31o + 71.57o − 90o − 108.43o = −70.55o ≠ (2k + 1)180o Koşulu sağlamıyor. Dolayısıyla s1 = -2 + j3 noktası kök yer eğrisi üzerinde değildir, bir başka deyişle bu nokta hiçbir kazanç değeri için bir kapalı çevrim kutbu değildir. Aynı testi s = −2 + j 2 2 için uyguladığımızda açı koşulunun sağlandığını görürüz.Bu noktada ki kazanç değeri aşağıdaki gibi bulunur. . 1 1 Π Kutup uzunluğu L3 L4 K= = = = (7.18) G (s) H ( s) M Π Sıfır uzunluğu L1L2 2 2 × 1,22 K= = 0,33 2,12 × 1,22 7.3 Kök Yer Eğrilerinin Oluşturulması 1) Kol Sayısının Bulunması Kök yer eğrisinde ki kolların sayısı kapalı çevrim kökleri ile bulunur. 5 <br />2) Simetri Kök yer eğrisi reel eksene göre simetriktir. 3) Reel Eksen Üstündeki Bölümler s-düzlemi Şekil 7.5 Reel eksen üzerinde ki bölümler K 〉 0 için kök yer eğrisi tek sayılı açık çevrim köklerinin ve sonlu açık çevrim sıfırlarının sol tarafında oluşur. 4) Başlangıç Ve Bitiş Noktaları KG ( s ) K N G ( s) D H ( s) T (s) = = K 〉0 (7.19) 1 + KG ( s ) H ( s ) DG ( s ) D H ( s ) + K N G ( s ) N H ( s ) Düşük kazançlar için; K N G ( s) D H ( s) T (s) = (7.20) DG ( s ) D H ( s ) + ε Kapalı çevrim sistem kökleri küçük kazanç değerlerinde bileşik kutuplara yaklaşır (G(s)&H(s))yani kök yer eğrisi G(s)H(s) köklerinden başlar. Yüksek kazançlar için: K N G ( s) D H ( s) T (s) ≈ (7.21) ε + K N G ( s) N H ( s) Kapalı çevrim kökleri büyük kazançlarda G(s)&H(s) bileşkesinin sıfırlarına yaklaşır, kapalı çevrim G(s) H(s)’ in sıfırlarında sonlanır . Özetle Kök yer eğrisi G(s)H(s)’in sonlu ve sonsuz köklerinden başlar ve sonlu ve sonsuz sıfırlarında sonlanır. 6 <br />Şekil 7.6 5) Kök Yer Eğrilerinin Sonsuzdaki Davranışı K K K KG ( s ) H ( s ) = ≅ 3= ← ∞ ’da 3 sıfır vardır. s ( s + 1)( s + 2) s sss Eğer s -> ∞ iken fonksiyon sonsuza gidiyor ise bu durumda fonksiyonun sonsuzda kökü vardır. Eğer s -> ∞ iken fonksiyon sıfıra gidiyor ise bu durumda fonksiyonun sonsuzda sıfırı vardır Örnek: G(s)=s için s -> ∞ iken G(s) -> ∞ gidiyorsa G(s)’ in sonsuzda bir kökü vardır. 1 G(s)= için s -> ∞ iken G(s) -> 0 gidiyorsa G(s)’ in sonsuzda bir sıfırı vardır. s Kök yer eğrileri, kökleri sonsuza yaklaştıkça asimptotlar gibi düz çizgi halini alırlar. Bu asimptotların eşitlikleri σ a ve açısı θ a olarak aşağıdaki gibi belirlenir. ΣSonlu Kutuplar − ΣSonlu Sıfırlar σ a = #Sonlu Kutuplar − #Sonlu Sıfırlar (7.22) (2k + 1)π θa = (7.23) # Sonlu Kutuplar −# Sonlu Sııfırla 7 <br />Örnek: Şekil 7.7’ de ki sistem için kök yer eğrisini oluşturunuz. Şekil 7.7 Çözüm: Kutuplar: 0; -1; -2; -4 ; Sıfırlar: -3 − 1 − 2 − 4 − (−3) − 4 σa = = = −1,33 4 −1 3 (7.24) (2k + 1)1800 θa = = (2k + 1) 600 (7.25) 4 −1 k=0 -> θ a = 600 k=1 -> θ a = 1800 k=2 -> θ a = 3000 S-Düzlemi Asimptot Asimptot Asimptot Şekil 7.8 8 <br />K Örnek: G(s)= açık çevrim fonksiyonuna sahip birim geri beslemeli ( s + 2)( s + 4)( s + 6) sistem için kök yer eğrisini oluşturunuz. Çözüm:Kutuplar: -2 , -4 , -6 ; Sıfırlar: Tüm sıfırlar sonsuzda oluşacak. σ a = −4 θ a = (2k + 1) 600 olarak bulunur ve bu veriler doğrultusunda elde edilen kök yer eğrisi şekil 7.9’ de gösterilmiştir. Sanal eksen Reel eksen Şekil 7.9 7.4 Kök Yer Eğrilerinin Tasarlanışının İncelenmesi Eksenden Ayrılma Ve Birleşme Noktaları Şu ana kadar eğriyi oluştururken dikkate alacağımız şartları kısaca hatırlayalım ve şekil 7-10’ inceliyelim. 1. Kök yer eğrisine ait kol sayısı 2. Eğrinin reel eksene göre simetrik oluşu 3. Reel eksen üstündeki eğri parçaları 4. Eğrinin başlangıç ve bitiş noktaları 5. Eğrinin sonsuzdaki davranışı 9 <br />S-Düzlemi Şekil 7.10 0 180 σ 1 veya σ 2 ’ e kollar ’ lik bir açı oluşturur ki Burada ki “n” kol sayısıdır. n Şekil 7.11 Kök yer eğrilerinde eksenden ayrılma ve birleşme noktalarının bulunmasında kullanılan ilk yöntem K’ nın diferansiyel denklemi 0’a eşitlenerek denklemin minimum ve maksimum noktalarının bulunmasıdır. 0 KG(s)H(s)= -1= 1( 2 k +1) 180 (7.26) 10 <br />−1 K= (7.27) G ( s) H ( s) Kök yer eğrisinde reel eksenden ayrılma ve birleşme noktaları s = σ ’de oluşur, bu nedenle; −1 K= (7.28) G (σ ) H (σ ) alınabilir. Eksenden Ayrılma Ve Birleşme Noktalarının Bulunması K ( s − 3)( s − 5) K ( s 2 − 8s + 15) KG(s)H(s)= = (7.29) ( s + 1)( s + 2) ( s 2 + 3s + 2) Reel eksendeki tüm noktalar için; KG(s)H(s)= -1 ve reel eksen boyunca s = σ alındığında; K (σ 2 − 8σ + 15) = −1 (σ 2 + 3σ + 2) (7.30) − (σ 2 + 3σ + 2) K= (7.31) (σ 2 − 8σ + 15) dk (11σ 2 − 26σ − 61) = =0 (7.32) dσ (σ 2 −8σ +15)2 Denkleminin kökleri bize eksenden ayrılma birleşme noktalarını verir. Diferansiyel Denklemlerin Yardımı Olmaksızın Ayrılma Ve Birleşme Noktalarının Tespiti m −1 n 1 ∑ =∑ (7.33) σ =1σ + Z i 1 σ + Pi Zi ve Pi kök sıfır değerlerinin negatif işaretlileridir. Örnek: 1 1 1 1 + = + (7.34) σ − 3 σ − 5 σ +1 σ + 2 11 <br />11σ 2 − 26σ − 61 = 0 (7.35) Bu işlemler sonucunda σ 1 = −1,45 ve σ 2 = 3,82 olarak buunur. Sanal Eksen Kesim Noktaları Bir uygulamayla sanal eksenin kesim noktalarının nasıl hesaplandığını inceleyelim. Örnek: Şekil 7.7’ de ki sistemin kararlı olması için kazanç değerinin hangi aralıkta olması gerektiğini bulunuz. Çözüm: Özellikle bu tarz sorularda kazancın daima pozitif olduğu unutulmamalıdır. K ( s + 3) K ( s + 3) G(s)= ; buradan T(s)= bulunur s ( s + 1)( s + 2)( s + 4) s + s + 14 s + (8 + K ) s + 3K 4 3 2 ve Routh tablosu oluşturulur. Tablo 7.2 Sistemin sanal ekseni kestiği noktaları Routh tablosu yardımıyla buluruz. Tabloda K’ ya verilecek değerler ile “0” olabilecek satırı buluruz bu satırı”0” a eşitleyerek bir K değeri elde ederiz daha sonra bir üst satırı açarak elde edilen denklemin köklerini buluruz. Bu kökler bize sanal eksen kesim noktalarını verir. − K 2 − 65K + 720 = 0 (7.36) buradan K=9,65 bulunur ve aşağıdaki denklemde yerine konulur. (90 − K ) s 2 + 21K = 0 (7.37) K=9,65 kazancı için kök yer eğrisinin sanal eksen kesim noktaları s = ± j1,59 oluyor. Sanal eksen kesim noktalarının yada kök yer eğrisi üzerindeki herhangi bir noktayı bulmanın bir başka yolu da sanal eksenin kesildiği nokta için kutup ve sıfırlardan 12 <br />vektörler çizmektir. Bu çizilen vektörlerin açıları toplamı “0” yada “180” derecenin katı olmalı eğer bu şart sağlanıyorsa seçilen nokta kök yer eğrisinin üstündedir. Anlaşılacağı gibi bu yöntem ancak bilgisayar yazılımı yardımıyla gerçekleştirilebilir. Gidiş Ve Dönüş Açıları Kök yer eğrileri açık çevrim kutuplarında başlar ve yine açık çevrim sıfırlarında sonlanır. Burada başlangıç açısı gidiş, bitiş açısı ise dönüş açısı olarak tanımlanır. Şekil 7.12 (a,b) Şekil 7.12 için denklemler aşağıdaki gibi düzenlenir: Şekil 7.12(a) için −θ 1 + θ 2 + θ 3 − θ 4 − θ 5 + θ 6 = (2k + 1)1800 (7.38) Şekil 7.12(b) için −θ 1 + θ 2 + θ 3 − θ 4 − θ 5 + θ 6 = (2k + 1)1800 (7.39) 13 <br />Örnek: Aşağıdaki sistemin komplex kutbuna ait gidiş açısını bulunuz ve kök yer eğrisini çiziniz. Şekil 7.13 Kutuplar: -3 , -1 ± j1 ; Sıfırlar: -2 −θ 1 − θ 2 + θ 3 − θ 4 = 180 = − θ 1 − 90 + 45 − 26.56 0 (7.40) θ 1 = −251,6 = 108,4 0 s-Düzlemi Şekil 7.14 Kök Yer Eğrilerinin Kalibrasyonu Ve Grafiksel olarak Çizilmesi Kök yer eğrisinde noktaların daha hassas bir şekilde tayin edilmesinde ortak kazancın bulunması faydalı olacaktır. 14 <br />Yarı çap Açı (Derece) S Düzlemi Şekil 7.15 Örnek: Şekil 7.8’de ki ζ = 0,45 sönüm oranı çizgisindeki kesim noktayı ve bu noktadaki kazancı bulalım. Çözüm: Eğer ζ = 0,45 sönüm oranı çizgisinde ki noktaları kutuplardan ve sıfırlardan noktaya olan vektörlerin açılarının toplamlarını test ederek bulabiliriz. Açıları toplamı (2k+1) 1800 olmalıdır. 1 ΠKutup uzunlukları K= = (7.41) G ( s) H ( s) ΠSııfır uzunlukları K ( s + 2) Örnek: G ( s ) = fonksiyonuna sahip birim beslemeli sistem için ; ( s − 4s + 13) 2 1. Kök yer eğrisini çiziniz. 2. Sanal eksen kesim noktalarını ve bu noktalardaki kazancı bulunuz. 3. Reel eksenle birleşme noktalarını bulunuz. 4. Kompleks köklerin gidiş açısını bulunuz. Çözüm: Kutuplar: 2 ± j 3 ; Sıfırlar: -2 K ( s + 2) T (s) = (7.42) s + ( K − 4) s + (13 + 2 K ) 2 Tablo 7.3 15 <br />Routh tablosundan (Tablo 7.3): K=4 sanal eksen kesim noktalarında ki kazançtır. s + 13 + 2 K = 0 2 (7.43) s= ± j 21 = ± j 4.6 sanal eksen kesim noktalarıdır. s-Düzlemi Şekil 7.16 Reel eksen kesim noktaları ise; − (σ 2 − 4σ + 13) K= (7.44) (σ + 2) dk − σ 2 − 4σ + 21 = =0 (7.45) dσ (σ + 2) 2 7.45 nolu denklemin köklerini σ 1 = −7 σ 2 = 3 olarak bulunur.Kök yer eğrisinden dolayı grafiğin sol tarafındaki kökü alırız σ 1 = −7 ve bu kökü 7.44 nolu denklemde yerine koyarak bu noktadaki kazancı K=18 olarak bulabiliriz. 16 <br />s-Düzlemi Şekil 7.17 Gidiş açısı ise; θ 1 − θ 2 − θ 3 = 180 (7.46) −1 3 tg − 90 − θ 3 = 180 θ 3 = 233,1 olarak bulunur. (7.47) 4 Örnek: Şekil 7.18 için kök yer eğrisini çiziniz ve aşağıda istenenleri bulunuz. a) ζ = 0,45 ’ ten geçen eğrinin kesin noktasını ve bu noktanın kazancını bulunuz. b) Sanal eksen kesim noktalarını ve sistemin bu noktadaki kazancını bulunuz. c) Reel eksenden ayrılma noktasını bulunuz. d) Sistemi kararlı yapan K değer aralığını bulunuz. 17 <br />Şekil 7.18 Çözüm: Kutuplar: -2 ; -4 ; Sıfırlar: 2 ± j 4 K ( s 2 − 4s + 20) T (s) = (7.48) ( K + 1) s 2 + (6 − 4 K ) s + (8 + 20 K ) s2 K+1 8+20K + s1 (6-4K) 0 + s0 (8+20K) 0 + Tablo 7.4 6 Routh tablosundan sanal eksen kesim noktalarında ki kazanç K= = 1,5 bulunur. 4 ( K + 1) s 2 + 8 + 20 K = 0 (7.49) denkleminden sanal ekseni kestiği noktalar s= ± j 3,9 olarak bulunur. − (σ 2 + 6σ + 8) K= (7.50) (σ 2 − 4σ + 20) 18 <br />dK 10σ 2 − 24σ − 152 = =0 (7.51) dσ (σ 2 − 4σ + 20) 2 Buradan reel eksenden ayrılma noktası -2,88 olarak bulunur. Sorunun son şıkkının cevabı ise sanal eksen kesim noktaları bulunurken verilmiş oluyor. 0〈K 〈1,5 değerleri arasında sistem kararlıdır. Soru da kök yer eğrisinin ζ = 0,45 çizgisiyle kesiştiği noktayı sıfırları olmayan ikinci dereceli sistem olarak düşünürsek ve karakteristik denklemini yazarsak. s 2 + 2ζω n s + ω n 2 = 0 (7.52) s 2 + 2(0.45)ω n s + ω n 2 = 0 (7.53) Sistemin karakteristik denklemi ise; (1 + K ) s 2 + (6 − 4 K ) s + (20 K + 8) = 0 (7.54) 6 − 4K 20 K + 8 s + s+ =0 2 şeklinde yazılabilir (7.55) 1+ K 1+ K 7.53 ve 7.55 denklemlerinin eşitliğinden; 6 − 4K 2(0,45) ω n = (7.56) 1+ K 20 K + 8 ωn2 = (7.57) 1+ K 7.56 nolu denklemin karesini alıp 7.57 nolu denkleme eşitleyip elde ettiğimiz denklemin köklerini bulursak bu noktadaki kazanç değerini K=0,417 buluruz. Bu yöntem dışında bu noktaya ulaşabilmek için daha öncede bahsedilen açıların 0 yada (2k+1) 180 olan eşitliklerine bakılmalıdır. 19 <br />Kazanç Ayarına Göre Geçici Hal Cevabının Dizaynı Bu tür durumlarda ikinci derece yaklaşımı uygulanır. Şekil 7.19 Yüksek dereceli kutup baskın ikinci dereceli kutup çiftine göre s düzleminde ne kadar solda olursa etkisi o kadar az olur. Buna göre ikinci derece yaklaşımı Şekil 7.19 b’de a’ya göre daha geçerlidir. Kapalı çevrim sıfırı ikinci dereceli kutup çiftine ne kadar yakınsa kutup-sıfır sadeleştirmesi o kadar mümkün olur. Buna göre kutup-sıfır sadeleştirmesi şekil 7.19 d’de c’ye göre daha geçerlidir. Örnek: Şekil 7.20’deki sistemin % 1,52 üst aşıma sahip olduğu kazanç değerini ve Ts, Tp ve sürekli hal hatasını bulunuz. 20 <br />Şekil 7.20 K ( s + 1,5) T (s) = (7.58) s + 11 s + (10 + K ) s + 1,5 K 3 2 s3 1 10+K 0 s2 11 1,5K 0 s1 110 + 9,5 K 0 0 11 s0 1,5K 0 0 Tablo 7.5 Routh tablosundan K’ nın pozitif tüm değerleri için sistemin kararlı olduğu görülüyor. Ayrıca kök yer eğrisi sanal ekseni kesmiyor. Bunu takiben reel eksen üstündeki noktaları inceleyelim; KG(s)H(s)=-1 (7.59) K (σ + 1,5) = −1 (7.60) σ (σ + 10)(σ + 1) (σ 3 +11σ 2 + 10σ ) K =− (7.61) (σ + 1,5) dk 2 σ 3 + 15,5 σ 2 + 133σ + 15 = =0 (7.62) dσ (σ + 1,5) 2 eksenden ayrılama ve birleşme noktaları; σ 1 = −4,36 ; σ 2 = −2,77 ; σ 3 = −0,612 (7.63) 21 <br />Bu kökleri 7.61 no’ lu denklemlerde yerine koyduğumuzda bu noktalardaki kazanç değerlerini elde ederiz. K 1 = 28,89 ; K 2 = 27,91 ; K 3 = 2,51 (7.64) %OS=1,52% ζ = 0,8 ⇒ θ = 36,870 (7.65) 4 Ts = (7.66) ζ ωn π Tp = (7.67) ωn 1−ζ 2 K v = lim sG ( s ) s ->0 (7.68) 1 ess= (7.69) Kv KG(s)H(s)=-1=(2k+1)1800 (7.70) Durum Kapalı Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu Kazanç Üçüncü TS TP KV Kapalı Çev. Kutbu Tablo 7.6 Üçüncü durumda, üçüncü kapalı çevrim kutbu ile yine kapalı çevrim sıfırı birbirine oldukça yakın oldukları için ikinci derece yaklaşımı kullanılabilir. Bunu göstermek için, parçalı kesirler yardımıyla kapalı çevrim basamak cevabını üçüncü durum için bulalım. 39,64( s + 1,5) C 3 ( s) = (7.71) s ( s + 1,8)( s + 4,6 + j 3,45)( s + 4,6 − j 3,45) 1 0,3 1,3( s + 4,6) + 1,6(3,45) = + − (7.72) s s ( s + 1,8) ( s + 4,6) 2 3,452 22 <br />Üçüncü Derece K=12,79 İkinci Derece K=12,79 Zaman (a) Üçüncü Derece K=39,64 İkinci Derece K=39,64 Zaman (b) Şekil 7.21 7.5 Genelleştirilmiş Kök Yer Şu ana kadar incelediğimiz sistemlerin ileri yol kazancı K idi. Şimdi ise farklı parametrelere göre kapalı çevrim kutuplarında ki değişimleri inceleyelim. Örneğin şekil 7.22’ de açık çevrim kutbu –p1’ de yer alıyor. Böyle bir durumda kök yer eğrisini p1’ e göre aşağıdaki gibi oluşturmalıyız. Şekil 7.22 10 T(s)= (7.73) s + (2 + P1) s + (2 P1 + 10) 2 10 T(s)= (7.74) s + (2 + s ) P1 + 2s + 10 2 23 <br />10 s 2 + 2s + 10 T(s)= (7.75) P ( s + 2) 1+ 2 1 s + 2s + 10 ( s + 2) -> −2 KG(s)H(s)= P1 (7.76) s + 2s + 10 -> −1 ± j 3 2 Şekil 7.23 7.6 Pozitif Geri Beslemeli Sistemler İçin Kök Yer Eğrileri Pozitif geri beslemeli sistemler üstünde çalışırken sistemi negatif geri beslemeli sistem gibi düşünüp H(s)’ i negatif bir değer olarak kabul etmek, hem sistemi kavrayış hemde denklemleri anlamada oldukça yararlı olmaktadır. Şekil 7.24’ den hareketle pozitif geri belsemli sistemleri inceleyelim. Şekil7.24 K ( s) T(s)= (7.77) 1 − KG ( s ) H ( s ) 24 <br />KG ( s ) H ( s ) = 1 (7.78) KG(s)H(s)=1=1 k 360 0 (7.79) Pozitif geri beslemeli bir sistem için kuralları negatif geri beslemeli sistemle karşılaştırarak gözden geçirelim: 1. Kol sayısının bulunması negatif geri beslemeli sistemde olduğu gibi bulunur. 2. Simetri kuralı negatif geri beslemeli sistemde olduğu gibi geçerlidir. 3. Reel eksen üzerindeki parçalar negatif geri beslemeli sistemdekinin tersine tek değil de çift açık çevrim köklerinin ve sonlu açık çevrim sıfırlarının sol tarafında oluşur. 4. Başlama ve bitiş noktaları negatif geri beslemeli sistemde olduğu gibi bulunur. 5. Pozitif geri beslemeli sistemlerin sonsuzda ki davranışlarını inceleylim; ΣSonlu Kutuplar − ΣSonlu Sıfırlar σ a = # Sonlu Kutuplar − # Sonlu Sıfırlar (7.80) k 2π θa = (7.81) # Sonlu Kutuplar − # Sonlu Sıfırlar Örnek: Şekil 7.(a)’ da ki pozitif geri beslemeli sistemin kök yer eğrisini çiziniz. Şekil 7.25 25 <br />(−1 − 2 − 4) − (−3) 4 σa = =− (7.82) 4 −1 3 k 2π θa = (7.83) 3 k=0 için θ a = 0 0 ; k=1 için θ a = 120 0 ; k= 2için θ a = 240 0 elde edilir. 7.7 Matlab İle Kök Yer Eğrisi Oluşturulması: Transfer fonksiyonu 7.84 No’ lu denklemdeki gibi olan açık çevrimli bir sistem olduğunu varsayalım. Kök yer eğrisi metodu kullanarak geri beslemeli bir sistemi nasıl dizayn edebiliriz. Kriter olarak %5 üst aşımı ve 1 saniye yükselme zamanını alalım. s+7 T (s) = (7.84) s (s + 5)(s + 15)(s + 20) Bir Matlab dosyası oluşturulur, transfer fonksiyonu girilir ve kök yer eğrisi çizdirilir. num=[1 7]; den=conv(conv([1 0],[1 5]), conv([1 15],[1 20])); rlocus(num,den) axis([-22 3 -15 15]) Sanal eksen Reel Eksen Şekil 7.26 26 <br />7.8 Matlab İle Kök Yer Eğrisinden K Değeri Seçilmesi Şekil 7.27’ de oransal kontrol için olası tüm kapalı çevrim kökler gösterilmiştir. Doğal olarak bu kapalı çevrim köklerinin hepsi istediğimiz kriterlere uymayacaktır. İstenilen kritelere uygun noktalar sgrid (ζ , ω n) ile gerçekleştirilebilir. Bu soruda kriter olarak üst aşımın %5’ den az olmasını (Bu değerde ζ = 0,7 den büyük olması durumunda gerçekleniyor) ve yükselme zamanın 1 saniye (Bu değerde ω n = 1,8 den büyük olması durumunda gerçekleniyor). Matlab komut ekranına aşağıdakileri girerek programı çalıştırdığınızda şekil 7.27 elde ediliyor. zeta=0.7; Wn=1.8; sgrid(zeta, Wn) Şekil 7.27 Şekil 7.27’de ki noktalar halindeki çizgiler zeta’ nın 0,7 olduğu değer için oluşmuştur, bu çizgilerin arasında zeta 〉 0,7 ve çizgilerin dışında zeta 〈 0,7 değerindedir. Orta çember ise ω n = 1,8 değer için oluşmuştur, bu çemberin içinde ω n 〈1,8 ve çemberin dışında ω n〉1,8 değerindedir. Başta belirlediğimiz kriterlere dönecek olursak %5’ den daha az bir üst aşım için kutuplar zeta tarafından oluşturulan iki çizginin arasında yer almalı ve 1sn’ lik yükselme zamanı için kutuplar çemberin dışında bulunmalı. Şu durumda elde ettiğimiz bölge sanal eksenin sol tarafında dolayısıyla kapalı çevrim sistemimiz bu bölgede kararlı olacaktır. Grafikten gördüğümüz gibi kök yer eğrimiz istenilen bölgededir. Şimdi oransal kontrol uygulayarak kutupları istediğimiz bölgeye kaydırabiliriz. Matlab’ da istenilen kutupları rlocfind komotu ile yerlerini belirleyebiliriz. 27 <br />[kd,poles] = rlocfind(num,den) Grafikte kapalı çevrim kutbu istediğiniz yeri işaretleyebilirsiniz. Kriterlere uygun olarak kutupları şekil 7.28’ de ki seçebiliriz. Kök yer eğrisinin birden çok kolu olabilir ve bir kök seçildiğinde diğer kökün nerde olduğu istenebilir. Unutulmamalıdır ki bu durum cevabı da etkiler. Aşağıdaki grafikten de gördüğümüz gibi kutuplar uygun bölgelerde seçilmiştir. Şekil 7.28 7.9 Matlab İle Kapalı Çevrim Cevabının Elde Edilmesi Basamak cevabının bulunabilmesi için kapalı çevrim transfer fonksiyonun bilinmesi gerekmektedir. Blok diyagramları ile bu fonksiyonu bulabilirsiniz ancak Matlab’ la da direkt bulunabilir. [numCL, denCL] = cloop((kd)*num, den) “cloop” fonksiyonunun iki argümanı açık çevrim sistemin payı ve paydasıdır. Seçilen oransal kazanç eklenmelidir. Bunların birim geri besleme için geçerli olduğu unutulmamalıdır. Şayet birim olmayan bir geri besleme uygulanıyor ise Matlab’ ın yardım menüsünden “feedback” için bakın, bu şekilde geri besleme kazançlı kapalı çevrim transfer fonksiyonunu elde edebilirsiniz. Sonuçta beklediğimiz gibi cevap %5’ den daha az bir üst aşım ve 1 saniyeden az bir yükselme zamanına sahip. 28 <br />step(numCL,denCL) Şekil 7.29 29 <br />Bravo_Hits_68_%5BCD1%5D%29&st=all<br />](https://image.slidesharecdn.com/asrr-100508085329-phpapp01/85/Asrr-1-320.jpg)
Asrr
- 1. http://beemp3.com/index.php?q=Ke%24ha_-_Tik_Tok_%28Kok Yer Egrisi- Document Transcript<br />Bölüm 7 - Kök- Yer Eğrisi Teknikleri Kök yer eğrisi tekniği kararlı ve geçici hal cevabı analizinde kullanılmaktadır. Bu grafiksel teknik kontrol sisteminin performans niteliklerini tanımlamamıza yardımcı olur. Kök yer eğrilerinden çoğunlukla ikinci dereceden daha yüksek dereceli sistemlerde faydalanırız. 7.1 Giriş Kök yer eğrisi sistemin kararlılığının ve kararlılığının sınırlarının grafiksel olarak gösterimidir. Kapalı Çevrim Şeklindeki Sistemler İçin ; KG ( s ) T (s) = (7.1) 1 + KG ( s ) H ( s ) G ( s) = N G ( s) ; H ( s) = N H ( s) (7.2) D G (s) D H ( s) K N G ( s) D H ( s) T (s) = (7.3) DG ( s ) D H ( s ) + K N G ( s ) N H ( s ) K Örnek: G ( S ) = fonksiyonu için açık ve kapalı çevrim transfer s ( s + 7)( s + 11) fonksiyonlarını yazınız, kök ve sıfırlarını belirtiniz. Çözüm: Açık çevrim transfer fonksiyonu: K G(s) = (7.4) s ( s + 7)( s + 11) Kapalı çevrim transfer fonksiyonu: K T (s) = (7.5) s 3 + 18s 2 + 77 s + K Kapalı çevrim transfer fonksiyonun kökleri K’ ya bağlı olduğundan bulunması daha zordur. Örnek: s +1 s+3 G ( s) = ; H ( s) = (7.6) s+2 s+4 1 <br />Açık çevrim kökleri; K ( s + 1)( s + 4) KG(s)H(s) = 0 ⇒ s = 0 ; s = -2 ; s = -4 (7.7) s ( s + 2)( s + 4) Açık çevrim sıfırları; s = -1; s = -4 Kapalı çevrim kökleri; K ( s + 1)( s + 4) T (s) = (7.8) s ( s + 2)( s + 4) + K ( s + 1)( s + 3) Kökler K’ya bağlı ve bulunmaları oldukça zor, sıfırları s = -1 ; s = -4 7.2 Kök-Yer Eğrilerinin Tanımlanması Köklerin konumları K’ nın farklı değerleri için geçici hal cevabındaki değişimleri gösterir. Kazanç her zaman pozitiftir Şekil 7.1 K 1.Kutup 2.Kutup Tablo 7.1 2 <br />Kapalı çevrim kökleri K 〈 25 için gerçektir ve sistem aşırı sönümlüdür. Kapalı çevrim kökleri K = 25 için çift kat köktür ve sistem kritik sönümlüdür. Kapalı çevrim kökleri K 〉 25 için komplekstir ve sistem az sönümlüdür. K ↑ ⇒ T ↓ ; %OS ↑ ; ω d ↑; Tp ↓ 7.2.1 Kök Yerlerinin Özellikleri Şekil 7.2 NG N G ( s) = ; H ( s) = H (7.10) DG DH KG ( s ) T (s) = (7.11) 1 + KG ( s ) H ( s ) Kök;karakteristik denklemi sıfır yapan s değeridir yada; ( 2 k +1)180 0 KG(s)H(s)= –1= 1 ; k= 0;±1;±2;±3... (7.12) Denkleminden bulunabilir. Bu denklem; KG ( s ) H ( s ) = 1 &KG ( s ) H ( s ) = (2k + 1)1800 (7.13) şeklinde de yazılabilir. Kapalı çevrim kutbu s için K değerini bulalım; 1 K= (7.14) G ( s) H ( s) Kapalı çevrim sistemlerin kökleri KG(s)H(s)’ in açısının değerini oluşturur veya basitçe G(s)H(s) çarpımı 1800 nin tek katını verir. 3 <br />KG(s)H(s)’ in büyüklüğü birim olmalıdır.Bu ilişkiyi ikinci dereceli bir sistemin üstünde görelim; Örnek olarak şekil 7.1’i ele alalım tablo 7.1’de ki verilerden yararlanarak aşağıdaki işlemleri gerçekleştirelim. K=5 için kökler s1,2= -9,47 ve -0,53 K 5 KG(s)H(s)= = = −1 (7.15) s ( s + 10) − 9,47(−9,47 + 10) Şimdi de açı koşuluna göre K’yı bulmayı deneyelim; S-Düzlemi Şekil 7.3 Kapalı çevrim transfer fonksiyonu: K ( s + 3)( s + 4) T (s) = (7.16) (1 + K ) s + (3 + 7 K ) s + (2 + 12 K ) 2 s1 = -2 + j3 olarak kabul edelim. 4 <br />S-Düzlemi Şekil 7.4 θ 1 + θ 2 − θ 3 − θ 4 = (2k + 1)1800 (7.17) 53.31o + 71.57o − 90o − 108.43o = −70.55o ≠ (2k + 1)180o Koşulu sağlamıyor. Dolayısıyla s1 = -2 + j3 noktası kök yer eğrisi üzerinde değildir, bir başka deyişle bu nokta hiçbir kazanç değeri için bir kapalı çevrim kutbu değildir. Aynı testi s = −2 + j 2 2 için uyguladığımızda açı koşulunun sağlandığını görürüz.Bu noktada ki kazanç değeri aşağıdaki gibi bulunur. . 1 1 Π Kutup uzunluğu L3 L4 K= = = = (7.18) G (s) H ( s) M Π Sıfır uzunluğu L1L2 2 2 × 1,22 K= = 0,33 2,12 × 1,22 7.3 Kök Yer Eğrilerinin Oluşturulması 1) Kol Sayısının Bulunması Kök yer eğrisinde ki kolların sayısı kapalı çevrim kökleri ile bulunur. 5 <br />2) Simetri Kök yer eğrisi reel eksene göre simetriktir. 3) Reel Eksen Üstündeki Bölümler s-düzlemi Şekil 7.5 Reel eksen üzerinde ki bölümler K 〉 0 için kök yer eğrisi tek sayılı açık çevrim köklerinin ve sonlu açık çevrim sıfırlarının sol tarafında oluşur. 4) Başlangıç Ve Bitiş Noktaları KG ( s ) K N G ( s) D H ( s) T (s) = = K 〉0 (7.19) 1 + KG ( s ) H ( s ) DG ( s ) D H ( s ) + K N G ( s ) N H ( s ) Düşük kazançlar için; K N G ( s) D H ( s) T (s) = (7.20) DG ( s ) D H ( s ) + ε Kapalı çevrim sistem kökleri küçük kazanç değerlerinde bileşik kutuplara yaklaşır (G(s)&H(s))yani kök yer eğrisi G(s)H(s) köklerinden başlar. Yüksek kazançlar için: K N G ( s) D H ( s) T (s) ≈ (7.21) ε + K N G ( s) N H ( s) Kapalı çevrim kökleri büyük kazançlarda G(s)&H(s) bileşkesinin sıfırlarına yaklaşır, kapalı çevrim G(s) H(s)’ in sıfırlarında sonlanır . Özetle Kök yer eğrisi G(s)H(s)’in sonlu ve sonsuz köklerinden başlar ve sonlu ve sonsuz sıfırlarında sonlanır. 6 <br />Şekil 7.6 5) Kök Yer Eğrilerinin Sonsuzdaki Davranışı K K K KG ( s ) H ( s ) = ≅ 3= ← ∞ ’da 3 sıfır vardır. s ( s + 1)( s + 2) s sss Eğer s -> ∞ iken fonksiyon sonsuza gidiyor ise bu durumda fonksiyonun sonsuzda kökü vardır. Eğer s -> ∞ iken fonksiyon sıfıra gidiyor ise bu durumda fonksiyonun sonsuzda sıfırı vardır Örnek: G(s)=s için s -> ∞ iken G(s) -> ∞ gidiyorsa G(s)’ in sonsuzda bir kökü vardır. 1 G(s)= için s -> ∞ iken G(s) -> 0 gidiyorsa G(s)’ in sonsuzda bir sıfırı vardır. s Kök yer eğrileri, kökleri sonsuza yaklaştıkça asimptotlar gibi düz çizgi halini alırlar. Bu asimptotların eşitlikleri σ a ve açısı θ a olarak aşağıdaki gibi belirlenir. ΣSonlu Kutuplar − ΣSonlu Sıfırlar σ a = #Sonlu Kutuplar − #Sonlu Sıfırlar (7.22) (2k + 1)π θa = (7.23) # Sonlu Kutuplar −# Sonlu Sııfırla 7 <br />Örnek: Şekil 7.7’ de ki sistem için kök yer eğrisini oluşturunuz. Şekil 7.7 Çözüm: Kutuplar: 0; -1; -2; -4 ; Sıfırlar: -3 − 1 − 2 − 4 − (−3) − 4 σa = = = −1,33 4 −1 3 (7.24) (2k + 1)1800 θa = = (2k + 1) 600 (7.25) 4 −1 k=0 -> θ a = 600 k=1 -> θ a = 1800 k=2 -> θ a = 3000 S-Düzlemi Asimptot Asimptot Asimptot Şekil 7.8 8 <br />K Örnek: G(s)= açık çevrim fonksiyonuna sahip birim geri beslemeli ( s + 2)( s + 4)( s + 6) sistem için kök yer eğrisini oluşturunuz. Çözüm:Kutuplar: -2 , -4 , -6 ; Sıfırlar: Tüm sıfırlar sonsuzda oluşacak. σ a = −4 θ a = (2k + 1) 600 olarak bulunur ve bu veriler doğrultusunda elde edilen kök yer eğrisi şekil 7.9’ de gösterilmiştir. Sanal eksen Reel eksen Şekil 7.9 7.4 Kök Yer Eğrilerinin Tasarlanışının İncelenmesi Eksenden Ayrılma Ve Birleşme Noktaları Şu ana kadar eğriyi oluştururken dikkate alacağımız şartları kısaca hatırlayalım ve şekil 7-10’ inceliyelim. 1. Kök yer eğrisine ait kol sayısı 2. Eğrinin reel eksene göre simetrik oluşu 3. Reel eksen üstündeki eğri parçaları 4. Eğrinin başlangıç ve bitiş noktaları 5. Eğrinin sonsuzdaki davranışı 9 <br />S-Düzlemi Şekil 7.10 0 180 σ 1 veya σ 2 ’ e kollar ’ lik bir açı oluşturur ki Burada ki “n” kol sayısıdır. n Şekil 7.11 Kök yer eğrilerinde eksenden ayrılma ve birleşme noktalarının bulunmasında kullanılan ilk yöntem K’ nın diferansiyel denklemi 0’a eşitlenerek denklemin minimum ve maksimum noktalarının bulunmasıdır. 0 KG(s)H(s)= -1= 1( 2 k +1) 180 (7.26) 10 <br />−1 K= (7.27) G ( s) H ( s) Kök yer eğrisinde reel eksenden ayrılma ve birleşme noktaları s = σ ’de oluşur, bu nedenle; −1 K= (7.28) G (σ ) H (σ ) alınabilir. Eksenden Ayrılma Ve Birleşme Noktalarının Bulunması K ( s − 3)( s − 5) K ( s 2 − 8s + 15) KG(s)H(s)= = (7.29) ( s + 1)( s + 2) ( s 2 + 3s + 2) Reel eksendeki tüm noktalar için; KG(s)H(s)= -1 ve reel eksen boyunca s = σ alındığında; K (σ 2 − 8σ + 15) = −1 (σ 2 + 3σ + 2) (7.30) − (σ 2 + 3σ + 2) K= (7.31) (σ 2 − 8σ + 15) dk (11σ 2 − 26σ − 61) = =0 (7.32) dσ (σ 2 −8σ +15)2 Denkleminin kökleri bize eksenden ayrılma birleşme noktalarını verir. Diferansiyel Denklemlerin Yardımı Olmaksızın Ayrılma Ve Birleşme Noktalarının Tespiti m −1 n 1 ∑ =∑ (7.33) σ =1σ + Z i 1 σ + Pi Zi ve Pi kök sıfır değerlerinin negatif işaretlileridir. Örnek: 1 1 1 1 + = + (7.34) σ − 3 σ − 5 σ +1 σ + 2 11 <br />11σ 2 − 26σ − 61 = 0 (7.35) Bu işlemler sonucunda σ 1 = −1,45 ve σ 2 = 3,82 olarak buunur. Sanal Eksen Kesim Noktaları Bir uygulamayla sanal eksenin kesim noktalarının nasıl hesaplandığını inceleyelim. Örnek: Şekil 7.7’ de ki sistemin kararlı olması için kazanç değerinin hangi aralıkta olması gerektiğini bulunuz. Çözüm: Özellikle bu tarz sorularda kazancın daima pozitif olduğu unutulmamalıdır. K ( s + 3) K ( s + 3) G(s)= ; buradan T(s)= bulunur s ( s + 1)( s + 2)( s + 4) s + s + 14 s + (8 + K ) s + 3K 4 3 2 ve Routh tablosu oluşturulur. Tablo 7.2 Sistemin sanal ekseni kestiği noktaları Routh tablosu yardımıyla buluruz. Tabloda K’ ya verilecek değerler ile “0” olabilecek satırı buluruz bu satırı”0” a eşitleyerek bir K değeri elde ederiz daha sonra bir üst satırı açarak elde edilen denklemin köklerini buluruz. Bu kökler bize sanal eksen kesim noktalarını verir. − K 2 − 65K + 720 = 0 (7.36) buradan K=9,65 bulunur ve aşağıdaki denklemde yerine konulur. (90 − K ) s 2 + 21K = 0 (7.37) K=9,65 kazancı için kök yer eğrisinin sanal eksen kesim noktaları s = ± j1,59 oluyor. Sanal eksen kesim noktalarının yada kök yer eğrisi üzerindeki herhangi bir noktayı bulmanın bir başka yolu da sanal eksenin kesildiği nokta için kutup ve sıfırlardan 12 <br />vektörler çizmektir. Bu çizilen vektörlerin açıları toplamı “0” yada “180” derecenin katı olmalı eğer bu şart sağlanıyorsa seçilen nokta kök yer eğrisinin üstündedir. Anlaşılacağı gibi bu yöntem ancak bilgisayar yazılımı yardımıyla gerçekleştirilebilir. Gidiş Ve Dönüş Açıları Kök yer eğrileri açık çevrim kutuplarında başlar ve yine açık çevrim sıfırlarında sonlanır. Burada başlangıç açısı gidiş, bitiş açısı ise dönüş açısı olarak tanımlanır. Şekil 7.12 (a,b) Şekil 7.12 için denklemler aşağıdaki gibi düzenlenir: Şekil 7.12(a) için −θ 1 + θ 2 + θ 3 − θ 4 − θ 5 + θ 6 = (2k + 1)1800 (7.38) Şekil 7.12(b) için −θ 1 + θ 2 + θ 3 − θ 4 − θ 5 + θ 6 = (2k + 1)1800 (7.39) 13 <br />Örnek: Aşağıdaki sistemin komplex kutbuna ait gidiş açısını bulunuz ve kök yer eğrisini çiziniz. Şekil 7.13 Kutuplar: -3 , -1 ± j1 ; Sıfırlar: -2 −θ 1 − θ 2 + θ 3 − θ 4 = 180 = − θ 1 − 90 + 45 − 26.56 0 (7.40) θ 1 = −251,6 = 108,4 0 s-Düzlemi Şekil 7.14 Kök Yer Eğrilerinin Kalibrasyonu Ve Grafiksel olarak Çizilmesi Kök yer eğrisinde noktaların daha hassas bir şekilde tayin edilmesinde ortak kazancın bulunması faydalı olacaktır. 14 <br />Yarı çap Açı (Derece) S Düzlemi Şekil 7.15 Örnek: Şekil 7.8’de ki ζ = 0,45 sönüm oranı çizgisindeki kesim noktayı ve bu noktadaki kazancı bulalım. Çözüm: Eğer ζ = 0,45 sönüm oranı çizgisinde ki noktaları kutuplardan ve sıfırlardan noktaya olan vektörlerin açılarının toplamlarını test ederek bulabiliriz. Açıları toplamı (2k+1) 1800 olmalıdır. 1 ΠKutup uzunlukları K= = (7.41) G ( s) H ( s) ΠSııfır uzunlukları K ( s + 2) Örnek: G ( s ) = fonksiyonuna sahip birim beslemeli sistem için ; ( s − 4s + 13) 2 1. Kök yer eğrisini çiziniz. 2. Sanal eksen kesim noktalarını ve bu noktalardaki kazancı bulunuz. 3. Reel eksenle birleşme noktalarını bulunuz. 4. Kompleks köklerin gidiş açısını bulunuz. Çözüm: Kutuplar: 2 ± j 3 ; Sıfırlar: -2 K ( s + 2) T (s) = (7.42) s + ( K − 4) s + (13 + 2 K ) 2 Tablo 7.3 15 <br />Routh tablosundan (Tablo 7.3): K=4 sanal eksen kesim noktalarında ki kazançtır. s + 13 + 2 K = 0 2 (7.43) s= ± j 21 = ± j 4.6 sanal eksen kesim noktalarıdır. s-Düzlemi Şekil 7.16 Reel eksen kesim noktaları ise; − (σ 2 − 4σ + 13) K= (7.44) (σ + 2) dk − σ 2 − 4σ + 21 = =0 (7.45) dσ (σ + 2) 2 7.45 nolu denklemin köklerini σ 1 = −7 σ 2 = 3 olarak bulunur.Kök yer eğrisinden dolayı grafiğin sol tarafındaki kökü alırız σ 1 = −7 ve bu kökü 7.44 nolu denklemde yerine koyarak bu noktadaki kazancı K=18 olarak bulabiliriz. 16 <br />s-Düzlemi Şekil 7.17 Gidiş açısı ise; θ 1 − θ 2 − θ 3 = 180 (7.46) −1 3 tg − 90 − θ 3 = 180 θ 3 = 233,1 olarak bulunur. (7.47) 4 Örnek: Şekil 7.18 için kök yer eğrisini çiziniz ve aşağıda istenenleri bulunuz. a) ζ = 0,45 ’ ten geçen eğrinin kesin noktasını ve bu noktanın kazancını bulunuz. b) Sanal eksen kesim noktalarını ve sistemin bu noktadaki kazancını bulunuz. c) Reel eksenden ayrılma noktasını bulunuz. d) Sistemi kararlı yapan K değer aralığını bulunuz. 17 <br />Şekil 7.18 Çözüm: Kutuplar: -2 ; -4 ; Sıfırlar: 2 ± j 4 K ( s 2 − 4s + 20) T (s) = (7.48) ( K + 1) s 2 + (6 − 4 K ) s + (8 + 20 K ) s2 K+1 8+20K + s1 (6-4K) 0 + s0 (8+20K) 0 + Tablo 7.4 6 Routh tablosundan sanal eksen kesim noktalarında ki kazanç K= = 1,5 bulunur. 4 ( K + 1) s 2 + 8 + 20 K = 0 (7.49) denkleminden sanal ekseni kestiği noktalar s= ± j 3,9 olarak bulunur. − (σ 2 + 6σ + 8) K= (7.50) (σ 2 − 4σ + 20) 18 <br />dK 10σ 2 − 24σ − 152 = =0 (7.51) dσ (σ 2 − 4σ + 20) 2 Buradan reel eksenden ayrılma noktası -2,88 olarak bulunur. Sorunun son şıkkının cevabı ise sanal eksen kesim noktaları bulunurken verilmiş oluyor. 0〈K 〈1,5 değerleri arasında sistem kararlıdır. Soru da kök yer eğrisinin ζ = 0,45 çizgisiyle kesiştiği noktayı sıfırları olmayan ikinci dereceli sistem olarak düşünürsek ve karakteristik denklemini yazarsak. s 2 + 2ζω n s + ω n 2 = 0 (7.52) s 2 + 2(0.45)ω n s + ω n 2 = 0 (7.53) Sistemin karakteristik denklemi ise; (1 + K ) s 2 + (6 − 4 K ) s + (20 K + 8) = 0 (7.54) 6 − 4K 20 K + 8 s + s+ =0 2 şeklinde yazılabilir (7.55) 1+ K 1+ K 7.53 ve 7.55 denklemlerinin eşitliğinden; 6 − 4K 2(0,45) ω n = (7.56) 1+ K 20 K + 8 ωn2 = (7.57) 1+ K 7.56 nolu denklemin karesini alıp 7.57 nolu denkleme eşitleyip elde ettiğimiz denklemin köklerini bulursak bu noktadaki kazanç değerini K=0,417 buluruz. Bu yöntem dışında bu noktaya ulaşabilmek için daha öncede bahsedilen açıların 0 yada (2k+1) 180 olan eşitliklerine bakılmalıdır. 19 <br />Kazanç Ayarına Göre Geçici Hal Cevabının Dizaynı Bu tür durumlarda ikinci derece yaklaşımı uygulanır. Şekil 7.19 Yüksek dereceli kutup baskın ikinci dereceli kutup çiftine göre s düzleminde ne kadar solda olursa etkisi o kadar az olur. Buna göre ikinci derece yaklaşımı Şekil 7.19 b’de a’ya göre daha geçerlidir. Kapalı çevrim sıfırı ikinci dereceli kutup çiftine ne kadar yakınsa kutup-sıfır sadeleştirmesi o kadar mümkün olur. Buna göre kutup-sıfır sadeleştirmesi şekil 7.19 d’de c’ye göre daha geçerlidir. Örnek: Şekil 7.20’deki sistemin % 1,52 üst aşıma sahip olduğu kazanç değerini ve Ts, Tp ve sürekli hal hatasını bulunuz. 20 <br />Şekil 7.20 K ( s + 1,5) T (s) = (7.58) s + 11 s + (10 + K ) s + 1,5 K 3 2 s3 1 10+K 0 s2 11 1,5K 0 s1 110 + 9,5 K 0 0 11 s0 1,5K 0 0 Tablo 7.5 Routh tablosundan K’ nın pozitif tüm değerleri için sistemin kararlı olduğu görülüyor. Ayrıca kök yer eğrisi sanal ekseni kesmiyor. Bunu takiben reel eksen üstündeki noktaları inceleyelim; KG(s)H(s)=-1 (7.59) K (σ + 1,5) = −1 (7.60) σ (σ + 10)(σ + 1) (σ 3 +11σ 2 + 10σ ) K =− (7.61) (σ + 1,5) dk 2 σ 3 + 15,5 σ 2 + 133σ + 15 = =0 (7.62) dσ (σ + 1,5) 2 eksenden ayrılama ve birleşme noktaları; σ 1 = −4,36 ; σ 2 = −2,77 ; σ 3 = −0,612 (7.63) 21 <br />Bu kökleri 7.61 no’ lu denklemlerde yerine koyduğumuzda bu noktalardaki kazanç değerlerini elde ederiz. K 1 = 28,89 ; K 2 = 27,91 ; K 3 = 2,51 (7.64) %OS=1,52% ζ = 0,8 ⇒ θ = 36,870 (7.65) 4 Ts = (7.66) ζ ωn π Tp = (7.67) ωn 1−ζ 2 K v = lim sG ( s ) s ->0 (7.68) 1 ess= (7.69) Kv KG(s)H(s)=-1=(2k+1)1800 (7.70) Durum Kapalı Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu Kazanç Üçüncü TS TP KV Kapalı Çev. Kutbu Tablo 7.6 Üçüncü durumda, üçüncü kapalı çevrim kutbu ile yine kapalı çevrim sıfırı birbirine oldukça yakın oldukları için ikinci derece yaklaşımı kullanılabilir. Bunu göstermek için, parçalı kesirler yardımıyla kapalı çevrim basamak cevabını üçüncü durum için bulalım. 39,64( s + 1,5) C 3 ( s) = (7.71) s ( s + 1,8)( s + 4,6 + j 3,45)( s + 4,6 − j 3,45) 1 0,3 1,3( s + 4,6) + 1,6(3,45) = + − (7.72) s s ( s + 1,8) ( s + 4,6) 2 3,452 22 <br />Üçüncü Derece K=12,79 İkinci Derece K=12,79 Zaman (a) Üçüncü Derece K=39,64 İkinci Derece K=39,64 Zaman (b) Şekil 7.21 7.5 Genelleştirilmiş Kök Yer Şu ana kadar incelediğimiz sistemlerin ileri yol kazancı K idi. Şimdi ise farklı parametrelere göre kapalı çevrim kutuplarında ki değişimleri inceleyelim. Örneğin şekil 7.22’ de açık çevrim kutbu –p1’ de yer alıyor. Böyle bir durumda kök yer eğrisini p1’ e göre aşağıdaki gibi oluşturmalıyız. Şekil 7.22 10 T(s)= (7.73) s + (2 + P1) s + (2 P1 + 10) 2 10 T(s)= (7.74) s + (2 + s ) P1 + 2s + 10 2 23 <br />10 s 2 + 2s + 10 T(s)= (7.75) P ( s + 2) 1+ 2 1 s + 2s + 10 ( s + 2) -> −2 KG(s)H(s)= P1 (7.76) s + 2s + 10 -> −1 ± j 3 2 Şekil 7.23 7.6 Pozitif Geri Beslemeli Sistemler İçin Kök Yer Eğrileri Pozitif geri beslemeli sistemler üstünde çalışırken sistemi negatif geri beslemeli sistem gibi düşünüp H(s)’ i negatif bir değer olarak kabul etmek, hem sistemi kavrayış hemde denklemleri anlamada oldukça yararlı olmaktadır. Şekil 7.24’ den hareketle pozitif geri belsemli sistemleri inceleyelim. Şekil7.24 K ( s) T(s)= (7.77) 1 − KG ( s ) H ( s ) 24 <br />KG ( s ) H ( s ) = 1 (7.78) KG(s)H(s)=1=1 k 360 0 (7.79) Pozitif geri beslemeli bir sistem için kuralları negatif geri beslemeli sistemle karşılaştırarak gözden geçirelim: 1. Kol sayısının bulunması negatif geri beslemeli sistemde olduğu gibi bulunur. 2. Simetri kuralı negatif geri beslemeli sistemde olduğu gibi geçerlidir. 3. Reel eksen üzerindeki parçalar negatif geri beslemeli sistemdekinin tersine tek değil de çift açık çevrim köklerinin ve sonlu açık çevrim sıfırlarının sol tarafında oluşur. 4. Başlama ve bitiş noktaları negatif geri beslemeli sistemde olduğu gibi bulunur. 5. Pozitif geri beslemeli sistemlerin sonsuzda ki davranışlarını inceleylim; ΣSonlu Kutuplar − ΣSonlu Sıfırlar σ a = # Sonlu Kutuplar − # Sonlu Sıfırlar (7.80) k 2π θa = (7.81) # Sonlu Kutuplar − # Sonlu Sıfırlar Örnek: Şekil 7.(a)’ da ki pozitif geri beslemeli sistemin kök yer eğrisini çiziniz. Şekil 7.25 25 <br />(−1 − 2 − 4) − (−3) 4 σa = =− (7.82) 4 −1 3 k 2π θa = (7.83) 3 k=0 için θ a = 0 0 ; k=1 için θ a = 120 0 ; k= 2için θ a = 240 0 elde edilir. 7.7 Matlab İle Kök Yer Eğrisi Oluşturulması: Transfer fonksiyonu 7.84 No’ lu denklemdeki gibi olan açık çevrimli bir sistem olduğunu varsayalım. Kök yer eğrisi metodu kullanarak geri beslemeli bir sistemi nasıl dizayn edebiliriz. Kriter olarak %5 üst aşımı ve 1 saniye yükselme zamanını alalım. s+7 T (s) = (7.84) s (s + 5)(s + 15)(s + 20) Bir Matlab dosyası oluşturulur, transfer fonksiyonu girilir ve kök yer eğrisi çizdirilir. num=[1 7]; den=conv(conv([1 0],[1 5]), conv([1 15],[1 20])); rlocus(num,den) axis([-22 3 -15 15]) Sanal eksen Reel Eksen Şekil 7.26 26 <br />7.8 Matlab İle Kök Yer Eğrisinden K Değeri Seçilmesi Şekil 7.27’ de oransal kontrol için olası tüm kapalı çevrim kökler gösterilmiştir. Doğal olarak bu kapalı çevrim köklerinin hepsi istediğimiz kriterlere uymayacaktır. İstenilen kritelere uygun noktalar sgrid (ζ , ω n) ile gerçekleştirilebilir. Bu soruda kriter olarak üst aşımın %5’ den az olmasını (Bu değerde ζ = 0,7 den büyük olması durumunda gerçekleniyor) ve yükselme zamanın 1 saniye (Bu değerde ω n = 1,8 den büyük olması durumunda gerçekleniyor). Matlab komut ekranına aşağıdakileri girerek programı çalıştırdığınızda şekil 7.27 elde ediliyor. zeta=0.7; Wn=1.8; sgrid(zeta, Wn) Şekil 7.27 Şekil 7.27’de ki noktalar halindeki çizgiler zeta’ nın 0,7 olduğu değer için oluşmuştur, bu çizgilerin arasında zeta 〉 0,7 ve çizgilerin dışında zeta 〈 0,7 değerindedir. Orta çember ise ω n = 1,8 değer için oluşmuştur, bu çemberin içinde ω n 〈1,8 ve çemberin dışında ω n〉1,8 değerindedir. Başta belirlediğimiz kriterlere dönecek olursak %5’ den daha az bir üst aşım için kutuplar zeta tarafından oluşturulan iki çizginin arasında yer almalı ve 1sn’ lik yükselme zamanı için kutuplar çemberin dışında bulunmalı. Şu durumda elde ettiğimiz bölge sanal eksenin sol tarafında dolayısıyla kapalı çevrim sistemimiz bu bölgede kararlı olacaktır. Grafikten gördüğümüz gibi kök yer eğrimiz istenilen bölgededir. Şimdi oransal kontrol uygulayarak kutupları istediğimiz bölgeye kaydırabiliriz. Matlab’ da istenilen kutupları rlocfind komotu ile yerlerini belirleyebiliriz. 27 <br />[kd,poles] = rlocfind(num,den) Grafikte kapalı çevrim kutbu istediğiniz yeri işaretleyebilirsiniz. Kriterlere uygun olarak kutupları şekil 7.28’ de ki seçebiliriz. Kök yer eğrisinin birden çok kolu olabilir ve bir kök seçildiğinde diğer kökün nerde olduğu istenebilir. Unutulmamalıdır ki bu durum cevabı da etkiler. Aşağıdaki grafikten de gördüğümüz gibi kutuplar uygun bölgelerde seçilmiştir. Şekil 7.28 7.9 Matlab İle Kapalı Çevrim Cevabının Elde Edilmesi Basamak cevabının bulunabilmesi için kapalı çevrim transfer fonksiyonun bilinmesi gerekmektedir. Blok diyagramları ile bu fonksiyonu bulabilirsiniz ancak Matlab’ la da direkt bulunabilir. [numCL, denCL] = cloop((kd)*num, den) “cloop” fonksiyonunun iki argümanı açık çevrim sistemin payı ve paydasıdır. Seçilen oransal kazanç eklenmelidir. Bunların birim geri besleme için geçerli olduğu unutulmamalıdır. Şayet birim olmayan bir geri besleme uygulanıyor ise Matlab’ ın yardım menüsünden “feedback” için bakın, bu şekilde geri besleme kazançlı kapalı çevrim transfer fonksiyonunu elde edebilirsiniz. Sonuçta beklediğimiz gibi cevap %5’ den daha az bir üst aşım ve 1 saniyeden az bir yükselme zamanına sahip. 28 <br />step(numCL,denCL) Şekil 7.29 29 <br />Bravo_Hits_68_%5BCD1%5D%29&st=all<br />