Aritmetica in diferite baze

1. http://24secunde.com
Aritmetica in diferite baza
Introducere
Sa consideram toate cifrele care compun baza 10:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Dupa ce am epuizat toate numerele care pot fi reprezentate printr-o singura cifra, dupa 9
mai exact, reprezentarea numerelor se face pe doua cifre:
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …, 30, …, 40, …, 50, …, 99
Dupa 99, reprezentarea numerelor se face prin 3 cifre :
100, …., 200, …., 500, …., 999
Dupa 999, reprezentarea numerelor se face prin 4 cifre si asa mai departe.
Este bine de inteles ce reprezinta numarul 10 in grupul de numere de mai sus.
Putem spune ca 10 este un contor care reprezinta de cate ori am parcurs in intregime
ciclul de numere de la 0 la 9.
Astfel, putem scrie :
10 = 10 + 0 = 1 * 10 + 0 (un grup de 10 plus 0)
11 = 10 + 1 = 1 * 10 + 1 (un grup de 10 plus 1)
12 = 10 + 2 = 1 * 10 + 2 (un grup de 10 plus 2)
…………..
20 = 10 + 10 + 0 = 2 * 10 + 0 (doua grupuri de 10 plus 0)
21 = 10 + 10 + 1 = 2 * 10 + 1 (doua grupuri de 10 plus 1)
……………
60 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 0 = 6 * 10 + 0 (sase grupuri de 10 plus 0)
61 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 = 6 * 10 + 1 (sase grupuri de 10 plus 1)
……………
Hai sa vedem cum se poate scrie regula de mai sus pentru numere de 3 cifre :
111= 10+10+10+10+10+10+10+10+10+10+10+1= 11 * 10 + 1
Putem considera ca ciclurile sunt formate acum din doua cifre si 111 poate fi reprezentat
printr-un grup de 100, 2 grupuri de 10 si cifra 1.
11= 1*10+1. Atunci :
111= 11*10+1= (1*10+1)*10+1= (1*10+1)*10+1=1*10*10+1*10+1=1*102+1*10+1
Alte exemple :
1

2. http://24secunde.com
124 = 1*102+2*10+4
888= 8*102+8*10+8
1234= 1*103+2*102+3*10+4
Trebuie retinut ca puterea lui 10 reprezinta pozitia cifrei respective (cu care se
inmulteste) de la dreapta spre stanga. Astfel, pentru 1234 avem :
- 4 se afla pe pozitia 0 (100=1)
- 3 se afla pe pozitia 1 (101=10)
- 2 se afla pe pozitia 2 (102=100)
- 1 se afla pe pozitia 3 (103=1000)
Regula de mai sus poate fi aplicata calculelor in orice baza si astfel se poate afla
echivalentul in baza 10 a oricarui numar scris in alta baza.
Numerele octale (in baza 8) se reprezinta prin cifrele : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hai sa vedem
cum se aplica regula de mai sus in cazul numerelor in baza 8.
6758=6*82+7*81+5*80=6*64+7*8+5=44510
Numarul 675 in baza 8 este echivalent cu numarul 445 in baza 10.
4328=4*82+3*81+2*80=4*64+3*8+2=28210
Numarul 432 in baza 8 este echivalent cu numarul 282 in baza 10.
Numerele binare sunt reprezentate doar prin doua cifre: 0 si 1. Hai sa aplicam regula de
mai sus si in cazul numerelor binare.
102=1*2+0=210
Numarul 10 in baza 2 este echivalent cu numarul 2 in baza 10.
Se poate stabili astfel tabelul de echivalente intre numerele in baza 2 si cele in baza 10:
02 = 010
12 = 110
102 = 210
112 = 310
1002 = 410
1012 = 510
1102 = 610
1112 = 710
10002 = 810
10012 = 910
10102 = 1010
Este simplu de calculat ca:
10102 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = 1010
2

3. http://24secunde.com
Cate numere zecimale de 2 cifre pot fi reprezentate?
Raspunsul este 100 (0, 1, 2, 3, …, 97, 98, 99) si reprezinta domeniul de reprezentare a
numerelor din 2 cifre.
Exista o formula prin care se poate calcula domeniul de reprezentare pentru orice numar
de cifre.
D= BN, unde B este baza si N este numarul de cifre din care este format numarul.
D=10, B=10, N=1 (cate numere dintr-o cifra pot fi reprezentate: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
D=1000, B=10, N=3 (0, 1, 100, 200, …, 998, 999)
D=2, B=2, N=1 (0 sau 1)
D=4, B=2, N=2 (0, 1, 10, 11)
D=8, B=2, N=3 (0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111)
D=16, B=2, N=4
D=256, B=2, N=8
D=65 536, B=2, N=16
D=1 048 576 (1 MB), B=2, N=20
D=4 294 967296 (4 GB), B=2, N=32
Pentru un calcul rapid se poate folosi aproximarea.
Se stie ca 210 ≈ 1000 (aproximativ).
Care este domeniul de reprezentare a numerelor binare de 32 de cifre?
232 ≈ 210 * 210 * 210 * 22 ≈ 1000 * 1000 * 1000 * 4 ≈ 4 000 000 000 (4 GB cu aproximatie).
3

4. http://24secunde.com
Operatii in diferite baze
Fie urmatoarea tabla :
Ea reprezinta tabla adunarii pentru numerele zecimale.
Se observa ca rezultatul adunarii a doua numere se afla la intersectia coloanei si a
randului pe care se afla numerele respective. Astfel, 4+5 =9.
Fiecare coloana (sau rand) reprezinta o adunare cu 1 fata de coloana (sau randul)
precedent. Acest lucru este echivalent cu numaratul din 1 in 1. Trebuie sa adunam 1 la
valoarea curenta ca sa aflam valoarea urmatoarea din coloana sau rand.
In baza doi, tabla adunarii arata astfel :
Adunarea in baza doi respecta regulile adunarii in baza 10. Astfel, sa studiem urmatorul
calcul in baza doi:
Se observa ca 1+1 = 10; scriem 0 si tinem 1 in cap. Exact ca la calculele in baza 10.
4

5. http://24secunde.com
Tabla adunarii in baza 8. Baza 8 are toate cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Adunarea in baza 8 respecta aceleasi reguli ca si adunarea in baza 10. Astfel, 6+7= 15,
scriem 5 si tinem in cap 1.
Inmultirea poate fi reprezentata printr-o adunare multipla.
Astfel, 4 * 5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20.
Putem construi tabla inmultirii astfel:
4*0=0
4*1=4*0+4=4
4*2=4*1+4=8
4 * 3 = 4 * 2 + 4 = 12
4 * 4 = 4 * 3 + 4 = 16
4 * 5 = 4 * 4 + 4 = 20
4 * 6 = 4 * 5 + 4 = 24
4 * 7 = 4 * 6 + 4 = 28
4 * 8 = 4 * 7 + 4 = 32
4 * 9 = 4 * 8 + 4 = 36
Singura diferenta fata de adunare este cantitatea de adaugat la numerele precedente.
Putem construi tabla inmultirii in baza 2 foarte simplu :
5

6. http://24secunde.com
Inmultirea in baza 8 urmeaza aceleasi reguli :
Observam ca:
1 * 4 = 1 * 3 + 1 (1 este cantitatea de adaugat pe rand)
2 * 4 = 2 * 3 + 2 (2 este cantitatea de adaugat pe rand)
Inmultirea in baza doi (sau opt) urmeaza aceleasi reguli ca inmultirea zecimala.
Avem urmatoare inmultire in baza 10:
Sa vedem cum arata o inmultire binara:
6