Teks tersebut membahas tentang penerapan persamaan diferensial biasa orde kedua dalam konteks gerak pegas dan rangkaian listrik. Pada bagian pegas, persamaan diferensial digunakan untuk menggambarkan gerak partikel yang tergantung pada pegas setelah dilepaskan. Pada bagian rangkaian listrik, hukum Kirchhoff dijabarkan secara matematis menggunakan persamaan diferensial untuk menggambarkan hubungan antara arus, muatan

1. Penerapan Persamaan Differensial Biasa Orde II Pada Fisika
Pada Pegas dan Rangkain Listrik
Pada sebuahpegaslilityangpanjangnya l,tergantungpadasuatu bidang.HukumHooke
menyatakanbahwapanjang sakibatpegasitu di tarikatau di tekanolehgayavertikal Fadalah
berbandinglurusdengan|F|;yaitu
|F| = k.s (5.1)
dimana k adalahfaktor pembanding.Faktor kini unikuntuktiappegasdantergantungpadabahan.
Ketebalandansifatlaindari pegasitu.
MisalkansuatubendaA denganberat w diikatkanpadabagianbawahpegasdan di biarkansistem
ini mencapai keseimbangan.Andaikanadasuatusumbukoordinattegakharusyang searah
positifnyakebawahdantitikasalnyaterletakpadagarisdatar melalui titikpalingrendah Ppada
pegasitu. BendaA di tariksejauh x0 kemudiandi lepaskan.Selanjutnyagerakyangdi hasilkanoleh
titikyangpalingrendahpegasituakan di bicarakanpada bagianberikutini.
1. GerakHarmoni Sederhana
Andaikantidakadahambatanudara dan gesekanlainpadabendaA di lepaskan,maka
timbul gayake atas pada P yang terjadi akibatreganganpegasitu.Gayaini cenderung
mengembalikanPke posisi seimbang.Dari hukumHooke,besarnyagayaadalah –kr. Tetapi dari
hukumkeduaNewtongayaini samadengan m.a, dimanam= w/g (massabendaA), a percepatan
dan g percepatangravitasi.
(5.2) dan (5.3)
Dari persamaan(5.2) dan (5.18)
(5.4)
Persamaan(5.4) merupakanpersamaandifferensial yangmenyatakankeadaanbendaA padasaat t
setelahdi lepaskan.

2. (5.5)
Persamaan(5.5) adalah persamaandiffrensiallinierdengankoefisienyangmemounyaisolusiumum:
(5.6)
c1 dan c2 adalahkonstantasembarang.Untukmendapatkanc1dan c2 dalamkasus khususdapatdi
perolehdenganmenurunkanpersamaan(5.6).
(5.7)
Pada saat di lepaskant= 0.x = x0 dan v = dx/dt= 0. Denganmemasukkansyaratawal ini keadaan
persamaan(5.6) dan (5.7) di perolehc1 = 0 dan c2 = x0. Penyelesaianuntukpersamaan(5.4) dengan
syarat awal t = 0, x = x0 danv = dx/dt= 0 adalah:
(5.8)
Contoh 1
Bila sebuah benda 5 pon diikat pada sebuah pegas yang tergantung vertikal dititik yang
paling rendah P dan pe gas i tu be rtambah panj ang 6 i nchi . Be nda 5 pon
i tu diganti dengan benda 20 pon. Kemudian sistem ini dibiarkan mencapai
kesetimbangan.Bi l a be nda 20 pon i tu di tari k ke baw ah se j auh 1 kaki dan
ke mudi an di l e paskan, be ri kan gambarantentanggeraktitikpalingrendah P pada pegasitu
(andaikan tidak ada hambatan dan gesekan lain)
Jawab
Misalkang = 32 kaki/det2
.konstantaKdapatdi tentukandenganmensubstitusikan F = 5 dan
s = ½ kedalam |F| = ks, di dapat k =10. Dari persamaan (5.4) dan (5.5) di peroleh:

3. Solusi umumuntukpersamaandiatasadalah
[ x = c1 sin4t + c2 cos4t ]
2. GetaranYang Diredam
Dalamuraian diatasdiandaikantidakadagesekan.Padahal dalaamkenyataannyagesekan
selaluadayaitugesekanyangdi timbulkanolehhambatanudaraatauhambatanyang lainyang
menyebabkangerakyangdi maksudbukanlagi gerakharmoni sederhana.Gayapenghambatini
dapat di hampiri denganmengikutsertakandalamapersamaandiffrensialnya.Suatusukuyang
sebandingdengankecepatan.Gayapenghambathambatanudarabekerjaberlawananarahdengan
arah gerak partikel yangbergetar.SehinggapersamaanhukumHooke dapatdi tulismenjadi
F = -kx – qv (5.9)
Denganq suatukonstantapositif dan v kecepatanpartikel.Suku -qv dalampersamaan(5.9)
menyatakangayayang menghambat.Sehinggapersamaandifferensialyangmenyatakangetaranini
di tulissebagai
(5.10)
Denganmemisalkan β2
=kq/w danα = qq/w makapersamaan(5.10) dapat di tulissebagai
(5.11)

4. Persamaan(5.11) merupakanpersamaandiffrensial linierdengankoofesienkonstanyang
persamaankarakteristiknya
r2
+ αr + β2
= 0 (5.12)
3. Rangkaian Listrik
Banyakmasalahdalamrangkaianlistrikmerupakanpersamaandifferensial linier.Suatu
rangkaianlistrikadalahsuatulintastertutupsembarangpadasuatujaringanlisrtik. Tahanan
,kumparandankondensatormenggunakanenergi yangdi berikanolehsumbergayaelektromotif E.
Sebuahtahananenergi dalammenghambataruslistrik yangmelaluinya.Hal ini serupadengan
gesekanyangmenghambatarusairdi dalamsebuahpipa.Sebuahkumparancenderung
menstabilkanaruslistrikdenganmelawansembarangpenambahanataupenurunanarusdan
dengandemikianmenyimpandanmelepaskanenergi. Sebuahkondensator(kapasitor) terdiriatas
pelat-pelatyangdi pisah-pisahkandenganbahanisolator,iamenyimpanmuatanlistrik.Notasiyang
di gunakan
q muatanlistrik(coulomb) yangdi simpanataudi timbulkandalamsuatuunsurpadasuaturangkain
listrik.
t waktu(detik)
i arus listrik(ampere) yangmerupakanlajuperubahanmuatanlistrikterhadapwaktuketikamengalir
dari suatuunsurke unsuryanglainpada sebuahrangkaian,sehingga
i = dq/dt
E gaya elektromotif (volt)
C kapasitansi (farad); konstantpadatiapkondensator.
R tahanan atu resistan(ohm);konstanpadatiaptahanan(resistor)
L koefisienimbasataukoefisieninduktansi (henry);konstanuntuktiapkumparan(induktor)
DalamFisikadi tunjukkanbahwa:
1. Bedategangan(voltase) melaluisebuahkondensatoradalah:
1/C . q
dimanaq muatanlistrikpadakondensatortersebutpadasaat t.
2. Beda tegangan(voltase)melalui sebuahtahananadalah:
Ri

5. 3. Bedategangan(voltase) melaluisebuahkumparanadalah:
𝐿 =
𝑑𝑖
𝑑𝑡
MenuruthukumkeduaKirchoff bahwapadasuaturangkaianlistriksembrang,jumlahbeda-beda
teganagan(voltase) adalahsamadengangayaelektromotifE(t) padasaatitu.
Untuk rangkaianyangmengandungsebuahtahanan,sebuahkumparan,sebuah
kondensator,sebuahsumbergayaelektromotifdansebuahsaklar,hukumKirchoffdinyatakan
secara matematisdenganpersamaandifferensial
Contoh:
Suatujarinagnlistrikterdiri atas induktasi0,05 henry,tahanan20 ohm, kondesatoryang
berkapasitas100 mikroforad,dansuatugaya geraklistrik E = 100 volt.Carilah i dan q jikadi ketahui
awal muatan q = 0, arusi = 0 bilat = 0.

6. Jawab :