9 introduzione r

Una introduzione ad R
parte I

C. White, Part of “ Drops of Rain”, 1967
Riccardo Rigon, Matteo Dall’Amico

Tuesday, March 6, 12

“La potenza è nulla senza
controllo”
Pubblicità Pirelli


Una Introduzione ad R: parte I

Sommario

•R: un ambiente open source per l’analisi statistica dei dati

•Le funzionalità dell’ambiente R

•Creazione e importazione dei dati

Tratta dalle presentazioni di Corrado Caudek della facoltà di psicologia dell’università
di Firenze nel corso di Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati, A.A.
2007/2008 3




R: un ambiente opensource per l’analisi statistica dei dati
Che cos’è R?

Che cos’è R?
R è un software che permette di elaborare dati, eseguire
calcoli ed effettuare rappresantazioni graﬁche.
E’ distribuito gratuitamente ed disponibile per diversi
Corrado Caudek

sistemi operativi: Windows, MacOS, Unix, Linux.
Sul sito http://www.r-project.org è possibile
scaricare, oltre che il programma base, anche una serie di
moduli aggiuntivi (packages) e un’ampia manualistica.

4




Installazione

Installazione
Corrado Caudek

5



Una Introduzione ad R: parte II

6




Installazione

Installazione
Corrado Caudek

7




Installazione

Installazione
Corrado Caudek

8




Installazione
Pacchetti

Pacchetti
Il modulo base offre gli strumenti fondamentali per l’analisi
statistica.
Questo modulo base può essere integrato da una serie di
Corrado Caudek

altre librerie addizionali che possono essere installate
dall’utente dopo averle scaricate dal sito succitato.
Sul sito del The Comprehensive R Archive Network -
CRAN è possibile scaricare un grande numero di
packages che spaziano nei più disparati campi della
statistica applicata.

9




Installazione
Pacchetti

Pacchetti
Corrado Caudek

10




Interagire con R
La R-console

Interfaccia CUI
Come indicato dall’esempio precedente, R utilizza
un’interfaccia utente a carattere (CUI) in cui le funzioni e
le istruzioni vengono immesse da una linea di comando.
Corrado Caudek

Esiste un’interfacca GUI chiamata R Commander che è
equivalente a quella dei software commerciali.
Per motivi di ordine didattico, in questo corso impareremo
ad usare direttamente le funzioni di R attraverso la
R-console, senza ricorrere all’interfaccia graﬁca.

11




Interagire con R
La R-console

Perché R?
C’è un preciso motivo didattico per decidere di usare R
senza l’interfaccia graﬁca:
è inutile e dannoso svolgere una qualunque analisi dei dati
Corrado Caudek

senza capire che cosa si sta facendo;
l’utilizzo di R aiuta a rendere esplicite le operazioni che
stanno alla base delle analisi statistiche e quindi
rappresenta un efﬁcace strumento didattico.

12




Interagire con R
La R-console

Perché R?
Al di là dei suoi vantaggi didattici, il software R
fornisce uno strumento di lavoro professionale che
consente di svolgere la grande maggioranza delle analisi
dei dati psicologici;
Corrado Caudek

consente di svolgere con semplicità la visualizzazione e
l’analisi esplorativa dei dati – due operazioni che sono
specialmente importanti per l’analisi dei dati psicologici;
è corredato da un’ampia documentazione;
è gratuito.
•si possono lanciare script

13




Le funzionalità dell’ambiente R

Sommario
Elementi di sintassi
Iniziare e chiudere una sessione di R
Aritmetica
Corrado Caudek

Vettori
Gestione di vettori
La matrice dei dati
Deﬁnizione
Il dataframe
Lo spazio di lavoro
Workspace
La funzione search()
La funzione attach()
La funzione detach()
14





Per iniziare una sessione R fare un doppio click di mouse
sulla icona di R.
Per uscire da R, chiudere la ﬁnestra della R-console.
Corrado Caudek

Alla domanda rispondere “Registro un’immagine del
workspace?” rispondere “No”.
Se si risponde affermativamente, i dati e le variabili della
sessione corrente verranno salvati per la sessione
successiva.
Per liberarsi di questi dati, digitare
> unlink(".RData")

15




Aritmetica

Semplice aritmetica
In R, qualunque cosa venga scritta al prompt viene
valutata:
> 2+3
Corrado Caudek

[1] 5
> 2-3
[1] -1
> 2*3
[1] 6
> 2/3
[1] 0.6666667
> 2^3
[1] 8

16




Aritmetica

Semplice aritmetica
> 4^2-3*2
[1] 10
> (4^2)-(3*2)
Corrado Caudek

[1] 10
> 2^-3
[1] 0.125
> -2--3
[1] 1
> -2 - -3
[1] 1

17




Aritmetica

Assegnazione di valori
Si può salvare un valore assegnandolo ad un oggetto
mediante l’operatore “<-”:
> a <- 2
Corrado Caudek

> a
[1] 2

L’operatore “<-” si ottiene digitando “<” seguito da “-”
(senza spazi tra i due).

18




Aritmetica

Maiuscole e minuscole
Si faccia attenzione che R è sensibile alla distinzione tra
maiuscole e minuscole.
Di conseguenza l’oggetto “a” è diverso dall’oggetto “A”:
Corrado Caudek

> A
Errore: oggetto "A" non trovato
> a
[1] 2

19




Vettori

Vettori
Dal nostro punto di vista, i software statistici come R sono
utili perché consentono di manipolare, non soltanto gli
scalari (come fa qualunque calcolatrice portatile), ma
Corrado Caudek

direttamente i vettori di una matrice di dati.
Un vettore di dimensione n può essere deﬁnito come una
sequenza ordinata di n numeri.
Ad esempio (2, 5, 9.5, -3) rappresenta un vettore di
dimensione 4 in cui il primo elemento è 2 ed il quarto è -3.

20




Vettori

Vettori
Esistono molti modi per costruire un vettore
nell’ambiente R, il più comune è utilizzare la funzione c():
> x <- c(2, 5, 9.5, -3)
Corrado Caudek

> x
[1] 2.0 5.0 9.5 -3.0

Le variabili di una matrice di dati sono oggetti di questo tipo.

21




Vettori

Vettori
Abbiamo visto in precedenza come applicare le operazioni
aritmetiche agli scalari:
> a <- 2
Corrado Caudek

> a
[1] 2
> a + 2
[1] 4

Queste stesse le operazioni aritmetiche possono essere
applicate ai vettori.

22




Vettori

Operazioni sui vettori
Le operazioni aritmetiche applicate ai vettori sono eseguite
elemento per elemento:
> x
Corrado Caudek

[1] 2.0 5.0 9.5 -3.0
> x + 2
[1] 4.0 7.0 11.5 -1.0
> x / 2
[1] 1.00 2.50 4.75 -1.50
> a
[1] 2
> a * x
[1] 4 10 19 -6

23




Vettori

Operazioni sui vettori
Si noti come, nel caso di un’operazione algebrica compiuta
su un vettore e uno scalare, quello che facciamo è
semplicemente di ripetere l’operazione algebrica per
ciascuno degli elementi del vettore.
Corrado Caudek

Nel primo esempio, abbiamo eseguito 4 somme, una per
ciascuno degli elementi del vettore x.
Nel secondo caso, sono stati eseguiti 4 rapporti.

24




Vettori

Selezione degli elementi dei vettori
Come possono essere selezionati gli elementi di un
vettore?
Gli elementi di un vettore possono essere selezionati
Corrado Caudek

usando le parentesi quadre []:
> x
[1] 2.0 5.0 9.5 -3.0
>
> x[2]
[1] 5
>
> x[2] / x[1]
[1] 2.5

25




Gestione di vettori

Gestione di vettori
R offre varie funzioni per la manipolazione dei vettori.
Per i nostri scopi, sarà necessario conoscere le funzioni
che consentono di calcolare
Corrado Caudek

il numero di elementi contenuti in un vettore: length()
il valore massimo degli elementi di un vettore: max()
il valore minimo degli elementi di un vettore: min()
la somma degli elementi di un vettore: sum()

26




Gestione di vettori

Funzioni R
Le funzioni R richiedono uno o più argomenti che
vengono inseriti all’interno di parentesi tonde.
Per esempio, la funzione per calcolare la media di una
variabile, mean() richiede come argomento il nome della
Corrado Caudek

variabile, per esempio x, di cui si vuole calcolare la media:
> mean(x)
La funzione plot() utilizzata per creare un diagramma di
dispersione richiede due argomenti, separati da una
virgola, la variabile x posta in ascissa e la variabile y in
ordinata:
> plot(x, y)

27




Gestione di vettori

Gestione di vettori
> x
[1] 2.0 5.0 9.5 -3.0
> length(x)
Corrado Caudek

[1] 4
> min(x)
[1] -3
> max(x)
[1] 9.5
> sum(x)
[1] 13.5
> mean(x)
[1] 3.375

28




Gestione di vettori

Media
La media di x è n
i=1 xi
¯=
x
n
Corrado Caudek

> sum(x)
[1] 13.5
> length(x)
[1] 4
> sum(x)/length(x)
[1] 3.375
> mean(x)
[1] 3.375

n
Si noti che la funzione sum(x) esegue la somma i=1 xi .

29




Gestione di vettori

Varianza
Calcoliamo ora la varianza di x è
n
i=1 (xi ¯)2
x
s2 =
x
Corrado Caudek

n 1
Gli scarti di ciascun valore dalla media sono
> x - mean(x)
[1] -1.375 1.625 6.125 -6.375
Il quadrato degli scarti è
> ( x - mean(x) )^2
[1] 1.890625 2.640625 37.515625 40.640625

30




Gestione di vettori

Varianza
La somma del quadrato degli scarti è
> sum( ( x - mean(x) )^2 )
[1] 82.6875

Il numeratore della varianza è la devianza: n (xi ¯)2 .x
Corrado Caudek

i=1
La devianza divisa per i gradi di libertà (n 1) produce la
varianza:
> sum( ( x - mean(x) )^2 ) / (length(x)-1)
[1] 27.5625

Lo stesso risultato viene prodotto dalla funzione var():
> var(x)
[1] 27.5625

31




Gestione di vettori

Deviazione standard
La radice quadrata della varianza è la deviazione standard
⇥
n
i=1 (xi ¯)2
x
sx =
Corrado Caudek

n 1
> sqrt( sum( ( x - mean(x) )^2 ) / (length(x)-1) )
[1] 5.25
> sd(x)
[1] 5.25
> sqrt(var(x))
[1] 5.25

32




Gestione di vettori

summary()
La funzione summary() è molto utile per ottenere alcune
statistiche descrittive di una variabile:
il valore minimo, il massimo, il primo quartile, il terzo
Corrado Caudek

quartile, la mediana e la media.
> summary(x)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
-3.000 0.750 3.500 3.375 6.125 9.500

33




La matrice dei dati
Deﬁnizione

Matrice dei dati
Il ricercatore sceglie un certo insieme di oggetti (detti casi
– per es., soggetti) e registra il loro stato su alcune
proprietà (per es., intelligenza), che vengono trasformate in
Corrado Caudek

variabili mediante altrettante deﬁnizioni operative (per es.,
il punteggio di QI prodotto dalla WAIS-III).
Se la registrazione è sistematica (si registra lo stato di tutti
i casi su tutte le proprietà), è possibile organizzare
l’informazione raccolta in una matrice dei dati.

34




La matrice dei dati
Deﬁnizione

Matrice dei dati
La matrice dei dati ha tante righe quanti sono i casi e tante
colonne quante sono le variabili.
Nell’intersezione tra una riga e una colonna sta un dato,
Corrado Caudek

cioè il valore assegnato a un certo caso su una certa
proprietà.

35




La matrice dei dati
Deﬁnizione

Matrice dei dati
Corrado Caudek

Si noti che, a differenza da quanto indicato nella ﬁgura, R non
consente l’uso di spazi nelle etichette utilizzate per le modalità
delle variabili qualitative.

36




La matrice dei dati
Deﬁnizione

Matrice dei dati
Come indicato nella ﬁgura, la matrice dei dati contiene sia
variabili quantitative, sia variabili qualitative.
Le colonne della matrice dei dati che contengono variabili
Corrado Caudek

quantiative sono dette vettori.

37




La matrice dei dati
Il dataframe

La matrice di dati in R
La matrice di dati viene generata in R con la funzione
data.frame().
Supponiamo di avere tre variabili costituite dallo stesso
numero di elementi:
Corrado Caudek

> x <- c(1, 2, 3, 3, 5, 7)
> y <- c(2, 3, 1, 4, 6, 8)
> z <- factor( c(’a’,’b’,’c’,’a’,’b’,’c’) )

Le variabili x e y sono quantitative; la variable z è
qualitativa.

38




La matrice dei dati
Il dataframe

Funzione factor()
Si noti la particolare sintassi usata per creare una variabile
qualitativa.
In primo luogo, la funzione factor() speciﬁca che la
Corrado Caudek

variabile va intesa come una variabile qualitativa.
In secondo luogo, gli elementi passati alla fuzione c()
sono racchiusi da virgolette.
> z <- factor( c(’a’,’b’,’c’,’a’,’b’,’c’) )
> z
[1] a b c a b c
Levels: a b c

39




La matrice dei dati
Il dataframe

Funzione data.frame()
La matrice di dati che contiene le variabili x, y, z si
costruisce nel modo seguente:
> dat <- data.frame(x, y, z)
Corrado Caudek

> dat
x y z
1 1 2 a
2 2 3 b
3 3 1 c
4 3 4 a
5 5 6 b
6 7 8 c

Abbiamo così costruito un oggetto R di classe
data.frame.

40




La matrice dei dati
Il dataframe

Dimensioni del dataframe
Il numero di righe e di colonne di un dataframe viene
calcolato dalla funzione dim():
> dim(dat)
Corrado Caudek

[1] 6 3
>
> dat
x y z
1 1 2 a
2 2 3 b
3 3 1 c
4 3 4 a
5 5 6 b
6 7 8 c

41




La matrice dei dati
Il dataframe

Selezionare una parte del dataframe
Come nel caso dei vettori, gli elementi di un dataframe
possono essere selezionati utilizzando le parentesi
quadre, ovvero speciﬁcando il numero di riga (primo
Corrado Caudek

parametro) e il numero di colonna (secondo parametro):
> dat
x y z
1 1 2 a
2 2 3 b
3 3 1 c
4 3 4 a
5 5 6 b
6 7 8 c
> dat[3,2]
[1] 1
> dat[5,3]
[1] b

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La matrice dei dati
Il dataframe

Selezionare una parte del dataframe
Se uno dei due indici non viene speciﬁcato, si intendono
tutti gli elementi di quella/e riga/e o colonna/e:
> dat[,1]
Corrado Caudek

[1] 1 2 3 3 5 7
> dat[,2]
[1] 2 3 1 4 6 8
> dat[,3]
[1] a b c a b c
Levels: a b c
>
> dat[2,]
x y z
2 2 3 b
> dat[3,]
x y z
3 3 1 c

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La matrice dei dati
Il dataframe

Operatore :
L’operatore : viene usato per indicare la gamma di
variazione di un indice.
Per esempio, per selezionare le righe 3, 4, 5, 6 dal
Corrado Caudek

dataframe dat usiamo la seguente sintassi:
> dat[3:6, ]
x y z
3 3 1 c
4 3 4 a
5 5 6 b
6 7 8 c

44




Lo spazio di lavoro
Workspace

Lo spazio di lavoro
Gli oggetti presenti nello spazio di lavoro (workspace)
possono essere elencati usando la funzione ls():
> ls()
Corrado Caudek

[1] "dat" "x" "y" "z"
Eliminiamo ora dallo spazio di lavoro gli oggetti x, x, z:
> rm(x, y, z)
> ls()
[1] "dat"

45




Lo spazio di lavoro
Workspace

Lo spazio di lavoro
Si noti che l’oggetto x, per esempio, non è più presente
nello spazio di lavoro, pur essendo contenuto nel
dataframe dat:
Corrado Caudek

> x
Errore: oggetto "x" non trovato
> dat
x y z
1 1 2 a
2 2 3 b
3 3 1 c
4 3 4 a
5 5 6 b
6 7 8 c

46




Lo spazio di lavoro

Utilizziamo ora la funzione attach() a cui passiamo
come parametro il nome dell’oggetto dat avente classe
data.frame:
Corrado Caudek

> attach(dat)
> search()
[1] ".GlobalEnv" "dat"
[3] "tools:RGUI" "package:stats"
[5] "package:graphics" "package:grDevices"
[7] "package:utils" "package:datasets"
[9] "package:methods" "Autoloads"
[11] "package:base"

47




Lo spazio di lavoro

Ora dat è presente nel percorso di ricerca.
Quando digitiamo x, l’interprete R svolge una ricerca in
tutte le locazioni speciﬁcate dal percorso di ricerca, che
Corrado Caudek

ora comprende il dataframe dat, e recupera la variabile x
dal dataframe dat:
> x
[1] 1 2 3 3 5 7

48




Lo spazio di lavoro

Si tenga a mente che è pericoloso applicare la funzione
attach() a più di un dataframe simultaneamente.
Se due dataframe contengono due variabili diverse, ma
Corrado Caudek

aventi lo stesso nome, l’interprete R ne selezionerà quella
contenuta nel dataframe che precede l’altro nel percorso di
ricerca.
Questo può non essere quello che intende l’utente. Per
evitare pasticci, dunque, quando un dataframe non viene
più utilizzato, è opportuno eliminarlo dal percorso di
ricerca.

49




Lo spazio di lavoro

Dal momento che le variabili in un dataframe possono
“mascherare” le variabili in un altro dataframe, è buona
pratica usare la funzione attach() con un dataframe alla
Corrado Caudek

volta.
Un data frame può essere rimosso dal percorso di ricerca
mediante la funzione detach():
> detach(dat)
> x

50




Lo spazio di lavoro

Selezione di una variabile da un dataframe
In alternativa, senza utilizzare la funzione attach(), una
variabile può essere recuperata direttamente da un
dataframe utilizzando la seguente sintassi:
Corrado Caudek

> x
> dat$x
[1] 1 2 3 3 5 7

51




Creazione e importazione di dati
Importazione di dati
Funzione read.table()

Importazione dei dati
L’inserimento dei dati nello spazio di lavoro può essere
affrontato mediante la funzione data.frame().
Alternativamente, X<-data.frame() crea un dataframe
Corrado Caudek

che è poi possibile aprire con fix(X) per l’inserimento dei
dati direttamente nelle celle.
Un’altra possibilità è quella di importare i dati che sono
disponibili in un ﬁle ASCII creato da un qualsiasi altro
programma.

52





Importazione dei dati contenuti in un ﬁle ASCII
La funzione da utilizzare a tale scopo è read.table().
Si supponga che il ﬁle ASCII duncan.txt sia così
costituito:
Corrado Caudek

type income education prestige
prof 62 86 82
prof 72 76 83
prof 75 92 90
prof 55 90 76
prof 64 86 90

...

Si noti che la prima riga contiene il nome delle variabili.

53





La prima operazione da fare è quella di selezionare,
mediante il menu della R-console, l’opportuna cartella di
lavoro che contiene il ﬁle di dati.
Corrado Caudek

Fatto ciò, i dati possono essere importati nell’ambiente R
nel modo seguente:
> duncan <- read.table("duncan.txt", header=TRUE)

54





Si noti che
il nome del file deve essere racchiuso da virgolette doppie;
il nome del file deve contenere l’estensione .txt;
l’argomento header= TRUE specifica che la prima riga del
Corrado Caudek

file contiene il nome delle variabili;
i due argomenti (il nome del file "duncan.txt" e
l’argomento header= TRUE) devono essere separati da
una virgola;
mediante l’operatore “<-” abbiamo creato l’oggetto duncan
che conterrà la matrice dei dati.

55





Digitando il nome di un oggetto, il contenuto di
quell’oggetto viene stampato nella R-console.
Nel caso presente, digitando duncan otteniamo:
Corrado Caudek

> duncan
1 prof 62 86 82
2 prof 72 76 83
3 prof 75 92 90
4 prof 55 90 76
5 prof 64 86 90

...

56





Quello che abbiamo fatto ﬁno ad ora è di creare un oggetto
chiamato duncan che è disponibile nella memoria di
lavoro di R e che contiene le variabili type, income,
Corrado Caudek

education e prestige.
Ovviamente, siamo interessati alle variabili contenute in
duncan e non all’oggetto duncan nel suo complesso.

57





Dataframe nello spazio di lavoro
Se digitiamo il nome di una variabile, es. education,
notiamo che tale variabile non è presente nello spazio di
lavoro:
Corrado Caudek

> education
Errore: oggetto "education" non trovato

Per rendere disponibili nello spazio di lavoro le variabili
contenute nel data frame duncan usiamo la funzione
attach():
> education
[1] 86 76 92 90 86 84 93 100 87 86 74 98 97
[14] 84 91 34 45 56 44 82 72 55 71 50 23 39
[27] 28 32 22 25 29 7 26 19 15 20 26 28 17
[40] 22 30 25 20 47 32

58





Media
A questo punto, education è presente nello spazio di
lavoro e può essere manipolata usando le funzioni di R.
Contiamo il numero di casi:
Corrado Caudek

> length(education)
[1] 45

Calcoliamo la media di education:
> mean(education)
[1] 52.55556

59





Media
La media è uguale a
n
¯ i=1 Yi
Y=
Corrado Caudek

n
La somma degli elementi di una variabile si calcola nel
modo seguente:
> sum(education)
[1] 2365

Calcoliamo nuovamente la media di education:
> sum(education)/length(education)
[1] 52.55556

60





Varianza
Pn
i=1 (Yi Y)2
¯
La varianza di education è s2
Y = n 1
Gli scarti dei valori di education dalla media sono:
Corrado Caudek

> education - mean(education)
[1] 33.444444 23.444444 39.444444 37.444444
[5] 33.444444 31.444444 40.444444 47.444444
[9] 34.444444 33.444444 21.444444 45.444444
[13] 44.444444 31.444444 38.444444 -18.555556
[17] -7.555556 3.444444 -8.555556 29.444444
[21] 19.444444 2.444444 18.444444 -2.555556
[25] -29.555556 -13.555556 -24.555556 -20.555556
[29] -30.555556 -27.555556 -23.555556 -45.555556
[33] -26.555556 -33.555556 -37.555556 -32.555556
[37] -26.555556 -24.555556 -35.555556 -30.555556
[41] -22.555556 -27.555556 -32.555556 -5.555556
[45] -20.555556

61





Varianza
Gli scarti al quadrato sono:
> ( education - mean(education) )^2
[1] 1118.530864 549.641975 1555.864198 1402.086420
Corrado Caudek

[5] 1118.530864 988.753086 1635.753086 2250.975309
[9] 1186.419753 1118.530864 459.864198 2065.197531
[13] 1975.308642 988.753086 1477.975309 344.308642
[17] 57.086420 11.864198 73.197531 866.975309
[21] 378.086420 5.975309 340.197531 6.530864
[25] 873.530864 183.753086 602.975309 422.530864
[29] 933.641975 759.308642 554.864198 2075.308642
[33] 705.197531 1125.975309 1410.419753 1059.864198
[37] 705.197531 602.975309 1264.197531 933.641975
[41] 508.753086 759.308642 1059.864198 30.864198
[45] 422.530864

62





Varianza
La somma degli scarti al quadrato è:
> sum( ( education - mean(education) )^2 )
[1] 38971.11
Corrado Caudek

Dividendo per n 1 si ottiene la varianza
> sum((education - mean(education))^2)/(length(education) - 1)
[1] 885.707
> var(education)
[1] 885.707

63





Deviazione standard
La deviazione standard è la radice quadrata della varianza:
Pn
i=1 (Yi Y)2
¯
s= n 1
Corrado Caudek

> sd(education)
[1] 29.76083
> sqrt(var(education))
[1] 29.76083

64





summary()
Si noti che informazioni base sulle variabili contenute in un
dataframe si possono ottenere usando la funzione
summary():
Corrado Caudek

> summary(duncan)
bc :21 Min. : 7.00 Min. : 7.00 Min. : 3.00
prof:18 1st Qu.:21.00 1st Qu.: 26.00 1st Qu.:16.00
wc : 6 Median :42.00 Median : 45.00 Median :41.00
Mean :41.87 Mean : 52.56 Mean :47.69
3rd Qu.:64.00 3rd Qu.: 84.00 3rd Qu.:81.00
Max. :81.00 Max. :100.00 Max. :97.00

65




Sequenze
Creare una sequenza

Sequenze
R offre varie funzioni per per creare vettori che sono
sequenze di numeri.
Per i nostri scopi, utilizzeremmo
Corrado Caudek

l’operatore :
seq()
rep()

66




Sequenze
Creare una sequenza

Sequenze
Operatore :
L’operatore : consente di generare sequenze di numeri
interi:
Corrado Caudek

> 1:4
[1] 1 2 3 4

67




Sequenze
Creare una sequenza

Sequenze
Operatore :
Tale operatore può essere usato all’interno delle parentesi
quadre che per speciﬁcare i valori dell’indice che individua
Corrado Caudek

gli elementi di un vettore:
> y <- c(2, 3, 5, 1, 9)
> y
[1] 2 3 5 1 9
> y[2]
[1] 3
> y[2:4]
[1] 3 5 1

68




Sequenze
Creare una sequenza

Sequenze
Funzione seq()
La funzione seq() consente di generare sequenze di
numeri più complesse:
Corrado Caudek

> seq(2, 8, by=2)
[1] 2 4 6 8
> seq(0, 1, by=.1)
[1] 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
> seq(1, 30, length.out=10)
[1] 1.00 4.22 7.44 10.67 13.89 17.11 20.33
[8] 23.56 26.78 30.00

69




Sequenze
Creare una sequenza

Sequenze
Funzione rep()
Qui sono forniti alcuni esempi relativi alla funzione rep():
> rep(c(1, 2, 3), each=3)
Corrado Caudek

[1] 1 1 1 2 2 2 3 3 3
> f1 <- factor( rep(c(’a’, ’b’, ’c’), each=3) )
> f1
[1] a a a b b b c c c
Levels: a b c

70




Matrici numeriche
Creazioni di matrici numeriche

Matrici
Per creare una matrice di dati si utilizza il comando
matrix():
> X <- matrix(c(
+ 4, 3, 6,
Corrado Caudek

+ 1, 5, 2,
+ 3, 2, 7,
+ 9, 3, 1),
+ ncol=3, byrow=TRUE)
> X
[,1] [,2] [,3]
[1,] 4 3 6
[2,] 1 5 2
[3,] 3 2 7
[4,] 9 3 1

Bisogna speciﬁcare nrow o ncol per comunicare a R la
dimensione della matrice; byrow=TRUE signiﬁca che la
matrice è riempita seguendo le righe.

71




Matrici numeriche

Selezione degli elementi di una matrice
Per estrarre da una matrice un elemento, bisogna
speciﬁcarne le due coordinate (ovvero il numero della riga
e il numero della colonna) usando le parentesi quadre:
Corrado Caudek

> X
[,1] [,2] [,3]
[1,] 4 3 6
[2,] 1 5 2
[3,] 3 2 7
[4,] 9 3 1
>
> X[3,1]
[1] 3
> X[4,3]
[1] 1

72




Matrici numeriche

Se non si indica una delle coordinate, si ottiene un’intera
riga/colonna.
Per selezionare una colonna della matrice basta omettere
Corrado Caudek

l’indice delle righe:
> X
[,1] [,2] [,3]
[1,] 4 3 6
[2,] 1 5 2
[3,] 3 2 7
[4,] 9 3 1
>
> X[, 2]
[1] 3 5 2 3
> X[, 3]
[1] 6 2 7 1

73




Matrici numeriche

Per selezionare una riga basta omettere l’indice delle
colonne:
> X
Corrado Caudek

[,1] [,2] [,3]
[1,] 4 3 6
[2,] 1 5 2
[3,] 3 2 7
[4,] 9 3 1
>
> X[2, ]
[1] 1 5 2
> X[4, ]
[1] 9 3 1

74




Matrici numeriche

Dimensioni della matrice
La funzione dim() indica la dimensione (numero di righe
e numero di colonne) della matrice:
> X
Corrado Caudek

[,1] [,2] [,3]
[1,] 4 3 6
[2,] 1 5 2
[3,] 3 2 7
[4,] 9 3 1
>
> dim(X)
[1] 4 3

75



Un introduzione ad R
parte II




La potenza è nulla senza controllo
Pubblicità della Pirelli

Sommario

77




La potenza è nulla senza controllo
Pubblicità della Pirelli

Sommario

• Nella lezione presente si introduce l’uso di R, facendo alcune semplici
operazioni

77




Filosofando...
Ingenui, se fino a questo momento credevate che un buon software
possa risolvere tutti i vostri problemi di tipo statistico, ricordatevi
bene che in realtà non esiste un sostituto per l’esperienza e la
conoscenza di un esperto, anche se l’analisi statistica da eseguire può
sembrare semplice!

Né R né qualunque altro sistema statistico vi daranno l’esperienza
statistica necessaria per usare tecniche sofisticate, o per sapere
quando i metodi semplici non sono sufficienti.

In attesa di trovare un adeguato detto in Latino, accontentiamoci di
uno in Inglese:

"The data analyst knows more than the computer: failure
to use that knowledge produces inadequate data analysis."

“Toller-Confucio”
78




Un Caso:
l’analisi delle portate dell’Adige a Ponte S. Lorenzo

79




Prima di tutto bisogna sapere in quale directory (folder) è R

#per vedere i files della directory in cui si sta lavorando

list.files()

80




81




In seguito e’ senz'altro necessario cambiare directory, lo si puo’ fare con

setwd("Documents/AAA-Idrologia/LezioniIdrologia/R/
Dati_Comandi/")
questo perchè nel mio computer, il file 1990-2005.txt che contiene i dati di portata è
nella directory: "/home/riccardo/AAA-Idrologia/LezioniIdrologia/R/Dati_Comandi/".

> f<-"/Users/Matteo/Documents/costruz_idrauliche/6b-
R/Dati_Comandi/1990-2005.txt"
> dirname(f)
[1] "/Users/Matteo/Documents/costruz_idrauliche/6b-
R/Dati_Comandi"
> setwd(dirname(f)
82




Un nuovo

list.files()
permette di verificare quali files siano effettivamente presenti nella directory.
Il file 1990-2005.txt è un file di testo (o file ASCII) e non contiene nessuno dei
caratteri di controllo tipici di programmi di formattazione dei testi (come MS Word).

83




Questo file non è comunque un esempio da seguire. Un file di dati veramente usabile
deve essere accompagnato dagli appositi metadati che ne specificano i contenuti. 84




Il file può essere letto con vari metodi (per esempio) usando read.table(), ma
qui, usiamo un comando diverso che si trova nel pacchetto Zoo - Z’s ordered
obiservations. Innanzitutto bisogna caricare il pacchetto con il comando:

> library(zoo)

naturalmente, se nella cartella, library è presente, il pacchetto,
opportunamente scaricato e decompattato dal CRAN

> install.packages("zoo")

Una volta caricata la libreria, per leggere il file basta usare il comando:

> read.zoo(“1990-2005.txt”) -> prt

Per avere delle statistiche elementari sui dati, basta usare il comando

> summary(prt)

85




> summary(prt)
Index V1
Min. : 1 Min. : -1.0
1st Qu.:1462 1st Qu.: 109.2
Median :2922 Median : 156.4
Mean :2922 Mean : 188.8
3rd Qu.:4382 3rd Qu.: 235.9
Max. :5843 Max. :1447.7

summary ha alcuni “side effects” applicato sull’oggetto prt. Infatti produce
anche le media e i quantili dell’indice (che non ha alcun significato)

summary(coredata(prt))

la funzione coredata(prt) estrae, in effetti, dall’oggetto (zoo()) solo i dati
“nudi”. 86




Si può fare di meglio:

> read.zoo(“1990-2005.txt”, col.names=”Portate”) -> prt

da anche il nome corretto ai valori nella prima colonna

> summary(coredata(prt))
Portate
Min. : -1.0
1st Qu.: 109.2
Median : 156.4
Mean : 188.8
3rd Qu.: 235.9
Max. :1447.7

87




Si notino un paio di cose:

1 - Il valore minimo della portata è -1. Fatto che significa che i dati non sono
così corretti come si vorrebbe. Il dato -1, quasi sicuramente, è stato scritto per
significare CHE QUEL GIORNO non sono presenti misure. In R tale
informazione è marcata con il simbolo NA.

2 - Si vorrebbe che accanto ai dati, fossero presenti anche le date in cui tali
misure sono state prese.

88



=

Risolviamo:

1 - Il valore minimo della portata è -1. Fatto che significa che i dati non sono
così corretti come si vorrebbe. Il dato -1, quasi sicuramente, è stato scritto per
significare CHE QUEL GIORNO non sono presenti misure. In R tale
informazione è marcata con il simbolo NA.

> which.min(coredata(prt))
[1] 3674

> prt[3674][[1]] <- NA
> summary(coredata(prt))
Portate
Min. : 34.44
1st Qu.: 109.20
Median : 156.40
Mean : 188.86
3rd Qu.: 235.92
Max. :1447.70
NA's : 1.00

89





1400
1200
1000
800
prt

600
400
200
0

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Index
90





Il comando

> time(prt)

consente di capire quale sia il tempo nella variabile prt. La risposta,in questo
caso da una (lunga sequenza) di numeri interi. Significa che non è stata attribuita
alcuna associazione tra prt e una variabile “tempo”. Infatti il file iniziale
conteneva una sola colonna con i dati.

SAPENDO che i dati si riferiscono al periodo compreso tra il 1 Gennaio 1990 e il
31 Dicembre 2005, si opera nel modo seguente:

91




A - Si construisce una serie di dati di date:

>seq(from=as.Date("1990-01-02"),to=as.Date("2005-12-31"),by="days")
->ymd

B - Si assegna alla variabile “time” associata a “prt” il valore di ymd:

> time(prt) <-ymd

C - Se si disegna ora il grafico delle portate

92




C - Se si disegna ora il grafico delle portate:

>plot(prt,xlab="Anno",ylab="Portate m^3/s")

1400
1200
1000
Portate m^3/s

800
600
400
200
0

1990 1995 2000 2005

Anno

93



Interpretiamo ora i comandi contenuti in:

->ymd

- seq() genera una sequenza di dati.
I suoi campi indicano rispettivamente:

- from = .... il primo termine della sequenza
- to = l’ultimo termine della serie di dati
- by = lo “step”, ovvero l’intervallo che separa un dato dal successivo.

94




Interpretiamo ora i comandi contenuti in:

->ymd

- seq() genera una sequenza di dati.
I suoi campi indicano rispettivamente:

- from = .... il primo termine della sequenza
- to = l’ultimo termine della serie di dati
- by = lo “step”, ovvero l’intervallo che separa un dato dal successivo.

NOTA: SI OSSERVI CHE QUESTO COMANDO E’ UNA DIMOSTRAZIONE DELLA
STRUTTURA OBJECT ORIENTED (ORIENTATA AGLI OGGETTI) DEL LINGUAGGIO
R. INIZIO, FINE DELLA SEQUENZA SONO INFATTI DICHIARATI COME OGGETTI
“DATA” E, DI CONSEGUENZA ANCHE LO STEP E’ UNA UNITA’ DI TEMPO E LA
SERIE RISULTANTE E’ UNA SERIE DI DATE. SE seq() fosse stata applicata a dei
numeri, la sequanza generata sarebbe risultata una sequenza di numeri.
94




Vogliamo ora disegnare i dati relativi ad un solo anno. R ha il comando window()
che permette di selezionare una “finestra” temporale.

> data.1990 <-
window(prt,start=as.Date("1990-01-02"),end=as.Date("1990-12-01"))
> plot(data.1990,xlab="Anno",ylab="Portate m^3/s")

400
300
Portate m^3/s

200
100

Jan Mar May Jul Sep Nov

Anno 95




Istogramma delle portate tra il 1990 e il 2005:

Histogram of coredata(prt)

2500
2000
1500
Frequency

1000
500
0

0 500 1000 1500

coredata(prt)
96





> hist(coredata(prt),breaks=20)

1500
1000
Frequency

500
0

0 500 1000 1500

coredata(prt) 97





> hist(coredata(prt),breaks=80)

600
500
400
Frequency

300
200
100
0

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

coredata(prt)
98




BoxPlot delle portate tra il 1990 e il 2005

> as.factor(format(ymd,format="%Y"))->fyear
>boxplot(coredata(prt)~fyear)

1400
1200
1000
800
600
400
200
0

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004

99




Un altro Caso:
la lettura e l’analisi di dati provenienti dagli annali idrologici

100




Quello che ci proponiano è di leggere la tabella di dati contenuta nel file esterno

"PluviometriaPaperopoli. txt"

Assunto di avere istallato R e di averlo funzionante sul proprio computer, eseguiamo
allora i comandi:

101




#per vedere i files della directory in cui si sta lavorando

list.files()

102




Il comando per leggere il file è

data = read.table("PluviometriaPaperopoli.txt",header=TRUE,skip=1)

Nel caso in cui si voglia considerare -1 come un NA

data =
read.table("PluviometriaPaperopoli.txt",header=TRUE,skip=1,na.string
s=-1)

Per ottenere una completa spiegazione della sintassi del comando, si può usare:

?read.table()

Il risultato è immagazzinato nella variabile "data".

103




104




Esistono altri comandi per leggere informazioni da files, per esempio "scan()".
read.table() è tuttavia semplice e conveniente;
"data" è un oggetto che, in R, è chiamato "data frame" o "table frame", che corrisponde
ad una lista (list) di oggetti numerici e non numerici.
Tutti i comandi o le parole chiave di R di cui sopra possono essere interrogati con

?comando

L'oggetto "data" ha una struttura complessa e i suoi elementi possono essere estratti
come data[1], data[2], ecc. Questi pero' non sono vettori, ma a loro volta dei
data.frame. Per estrarre il vettore bisogna fare data1[[1]]. Infatti:

is.vector(data[[1]])
dà TRUE.

105




Osservando i dati contenuti in data, si vede che alcuni anni sono ripetuti. Questi
elementi vanno cancellati nelle successive analisi (gli elementi da cancellare sno
diversi da un intervallo temporale ad un altro). R è dotato di un editor dei dati che si
può invocare con il comando

edit(data)
o, nella maggior parte delle interfaccie ad R usando l'opportuno menu' a tendina.

106




107




Ci sono righe ripetute? Proviamo a controllare...

as.factor() mi dice quante sono le “etichette” dei dati di un vettore, length mi dice
quanti sono i dati totali in un vettore

> as.factor(data[,1])
[1] 1925 1925 1925 1928 1928 1929 1930 1930 1931 1932
[11] 1934 1935 1936 1937 1938 1939 1940 1941 1942 1943
[21] 1944 1950 1951 1952 1955 1955 1956 1957 1958 1959
[31] 1959 1960 1960 1961 1961 1962 1963 1964 1965 1966
[41] 1967 1968 1969 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977
[51] 1978 1979 1980 1984 1985 1986 1987 1988
50 Levels: 1925 1928 1929 1930 1931 1932 1934 ... 1988

> length(data[,1])
[1] 58

Ci sono dunque 8 righe che sono ripetute.
Quali sono?

108




duplic<-which(duplicated(data[,1])==TRUE)
> duplic
[1] 2 3 5 8 26 31 33 35
> data[duplic,1]
[1] 1925 1925 1928 1930 1955 1959 1960 1961

quindi 1925 è ripetuto per due volte, e poi ci sono altri record che
sono ripetuti una volta.
Quali cancellare? A noi interessa il massimo

max(data[duplic[1],]) dobbiamo dire di non
[1] NA considerare gli NA

109




> duplic
[1] 2 3 5 8 26 31 33 35
> data[duplic,1]
[1] 1925 1925 1928 1930 1955 1959 1960 1961


max(data[duplic[1],]) dobbiamo dire di non
[1] NA considerare gli NA
> max(data[duplic[1],],na.rm=TRUE) dobbiamo dire di
[1] 1925 escludere la prima
colonna

109




> duplic
[1] 2 3 5 8 26 31 33 35
> data[duplic,1]
[1] 1925 1925 1928 1930 1955 1959 1960 1961

max(data[duplic[1],])
[1] NA
> max(data[duplic[1],],na.rm=TRUE)
[1] 1925
> max(data[duplic[1],-1],na.rm=TRUE)
[1] 50
non considera gli NA
primo elemento del vettore
in tutte le colonne a parte la prima (Year)
110




> for (i in 1:length(duplic)) {
print(paste(data[duplic[i],1],":",sep="")) ;
print(max(data[duplic[i],-1],na.rm=TRUE))
}
[1] "1925:"
[1] 50
[1] "1925:"
[1] 25
[1] "1928:"
[1] 67.6
[1] "1930:"
[1] 53
[1] "1955:"
[1] 93.8
[1] "1959:"
[1] 22
[1] "1960:"
[1] 60.8
[1] "1961:"
[1] 20.2

111




> for (i in 1:length(duplic)) { stampa a video l’anno in cui
print(paste(data[duplic[i],1],":",sep="")) c’è un record ripetuto
;
print(max(data[duplic[i],-1],na.rm=TRUE)) mettendo alla fine i “:”
}
[1] "1925:"
[1] 50
[1] "1925:"
[1] 25
[1] "1928:"
[1] 67.6
[1] "1930:"
[1] 53
[1] "1955:"
[1] 93.8
[1] "1959:"
[1] 22
[1] "1960:"
[1] 60.8
[1] "1961:"
[1] 20.2

111




;
}
[1] "1925:"
stampa a video il massmo
[1] 50
[1] "1925:"
[1] 25
[1] "1928:"
[1] 67.6
[1] "1930:"
[1] 53
[1] "1955:"
[1] 93.8
[1] "1959:"
[1] 22
[1] "1960:"
[1] 60.8
[1] "1961:"
[1] 20.2

111




;
}
[1] "1925:"
stampa a video il massmo
[1] 50
[1] "1925:"
[1] 25
[1] "1928:"
[1] 67.6
[1] "1930:"
[1] 53
[1] "1955:"
[1] 93.8
[1] "1959:" COSA MANCA? dobbiamo
[1] 22 considerare che anche il
[1] "1960:" dato precedente a “duplic”
[1] 60.8
[1] "1961:"
[1] 20.2

111




Per quanto riguarda i dati orari, si osserva che gli elementi nella righe 1,3,5,7,25,30
sono delle ripetizioni e, non rappresentando i massimi annuali, vanno scartati.

In R questo si può fare con i seguenti comandi:

#Prima estraiamo i dati relativi agli anni validi e alle
precipitazioni orarie

yr=data[1]
#Costruendo un vettore con il numero delle righe da
eliminare

cut=c(1,3,4,8,25,31,32,35)
#Si possono poi eliminare i dati indesiderati

yrh1=yr[[1]][-cut]

data1h=data[2][[1]][-cut]

112




I comandi richiedono un minimo di spiegazione:

yr=data[1]
yr è una lista.

Pertanto i suoi elementi si possono accedere con le doppie parentesi quadre [[ ]].

Il comando yr[[1]] accede dunque il primo elemento della lista. Tale primo elemento,
si potrebbe verificare (con il comando is.vector(yr[[1]]), è in vettore. Gli elementi di un
vettore, contrariamente agli elementi di una lista, si accedono con le singole parentesi
quadre [ ]. Una lista di numeri interi negativi compresa tra le parentesi quadre,
elimina gli elementi corrispondenti del vettore. Dunque

yrh1=yr[[1]][-cut]
è un vettore contenente gli anni di misurazione, senza alcuna ripetizione.

data1h=data[2][[1]][-cut]
analogamente, contiene i valori di altezza di pioggia di durata oraria selezionati per
gli anni contenuti in yr1 113




114




Per fare l'istogramma (non normalizzato) dei dati:

hist(data1h)

L'istogramma può essere disegnato con un numero maggiore di barre usando la parola
chiave "breaks":

hist(data1h, breaks=10)

da 10 barre. Inoltre, possono essere cambiate i nomi degli assi e del grafico nel suo
insieme:

hist(data1h, breaks=10,xlab="h [mm]",ylab="Eventi", main="Dati
orari di precipitazione")

115




Istogramma precipitazioni massime 1 h

14
12
10
Frequenza

8
6
4
2
0

20 40 60 80

Precipitazioni Orarie
116




Un altro comando, che sarà riusato in seguito, è quello che fornisce la frequenza di non
superamento empirica (in inglese: empirical cumulative distribution function)

ecdf(data1h) -> x
plot(x,xlab="h[mm]",ylab="P[H<h]",main="Frequenza di non superamento")

117




Frequenza di non superamento

1.0
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

0.8
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.6

●
●
P[H<h]

●
●
●
●
●
●
●
0.4

●
●
●
●
●
●
●
●
0.2

●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.0

20 40 60 80

h[mm]
118



Distribuzioni in
R
Pal Mondrian -View of the dunes, 1909

Riccardo Rigon


Distribuzioni in R

Se c’e’ da rubare rubo
Pablo Picasso

Sommario

120

Riccardo Rigon


Distribuzioni in R

Se c’e’ da rubare rubo
Pablo Picasso

Sommario

• Nella lezione presente illustremo come calcolare alcune distribuzioni in R

120

Riccardo Rigon


Distribuzioni in R

Distribuzioni in R

> dnorm(1.645)
[1] 0.1031108
> pnorm(1.645)
[1] 0.950015
> pnorm(1.96)
[1] 0.9750021
> pnorm(2)
[1] 0.9772499
> qnorm(0.95,0,1)
[1] 1.644854
> rnorm(5,0,1)
[1] -0.0714020 0.3427821 -1.1009895 0.6383514 0.2380390

121

Riccardo Rigon

4

Distribuzioni in R

Distribuzioni in R

> runif(1,0,2) # time at light
[1] 1.088542 # also runif(1,min=0,max=2)
> runif(5,0,2) # time at 5 lights
[1] 0.8577781 1.4196343 1.5049239 1.9123655
0.6559980
> runif(5) # 5 random numbers in [0,1]
[1] 0.1717392 0.5073215 0.7584391 0.1981516
0.8141901

122

Riccardo Rigon


Distribuzioni in R

Distribuzioni in R
> x=runif(100) # get the random numbers
> hist(x,probability=TRUE,col=gray(.9),main="uniform on
[0,1]")
uniform on [0,1]

1.4
1.2
1.0
0.8
Density

0.6
0.4
0.2
0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x
123

Riccardo Rigon


Distribuzioni in R

Distribuzioni in R

> dnorm(1.645)
[1] 0.1031108
> pnorm(1.645)
[1] 0.950015
> pnorm(1.96)
[1] 0.9750021
> pnorm(2)
[1] 0.9772499
> qnorm(0.95,0,1)
[1] 1.644854
> rnorm(5,0,1)
[1] -0.0714020 0.3427821 -1.1009895 0.6383514 0.2380390

124

Riccardo Rigon


Distribuzioni in R

First make the log transform, and fit the normal density

> log.xlnorm = log(xlnorm)
> mu = mean(log.xlnorm)
> sd = stdev(log.xlnorm)
> hist(log.xlnorm,
probability = T, col = 0)
> x = seq(-1, 5, 0.1)
> lines(x, dnorm(x, mu, sd))
> mu
[1] 2.037
> sd
[1] 1.012
> title(main = "HISTOGRAM …

125

Riccardo Rigon


Distribuzioni in R

>curve(dnorm(x,m=10,sd=2),from=0,to=20,main="Distribuzione normale")

Distribuzione normale

0.20
0.15
dnorm(x, m = 10, sd = 2)

0.10
0.05
0.00

0 5 10 15 20

x 126

Riccardo Rigon


Distribuzioni in R

> curve(pnorm(x,m=10,sd=2),from=0,to=20,main="Distribuzione normale")


1.0
0.8
pnorm(x, m = 10, sd = 2)

0.6
0.4
0.2
0.0

0 5 10 15 20

x
127

Riccardo Rigon


Distribuzioni in R

> qnorm(0.6,m=10,sd=2)
[1] 10.50669

1.0
0.8
pnorm(x, m = 10, sd = 2)

0.6
0.4
0.2
0.0

0 5 10 15 20

x
128

Riccardo Rigon


Writing Functions in R




Obiettivi
• Perchè scriviamo funzioni in R ?
• Come scriviamo funzioni in R ? La sintassi di base
• Argomenti di una funzione
• Output di una funzione
• Alcuni esempi:
– Intervallo di confidenza per la deviazione assoluta media.
– Intervallo di confidenza per la frazione di due deviazioni medie assolute
– Il calcolo del periodogramma e del suo cumulato
– La stima delleo spettro di un segnale dalle autocorrelazioni

130

E. Seier



Why do we write functions?
The two main motivations are:
• Sometimes we need to calcuate the same thing for several data
sets.
• What we want to calculate is not in the commercial software yet.

131

E. Seier



Basic syntax
name<-function(x,y) { You decide the name of the function
Inside the parentheses you can write all the
commands input you want and give them the name
you want
; We need to type ; after every command
output} All the set of commands goes inside brackets
{ }
The name of whatever you want as output
goes at the end of the function
Any comment line starts with #
At the beginning usually we include a
description of the function starting with
##
132

E. Seier



Example 1: calculating a confidence interval
for the mean absolute deviation
In a sample, MAD is calculated as the average of the distances of
the values to the median.

In Bonett & Seier (2003), ‘Confidence Intervals for Mean Absolute
Deviations’ The American Statistical Association, Vol 57 # 4 the
following formula for the confidence interval for the
population mean absolute deviation was derived:
133

E. Seier



Function citau:

134

E. Seier



Function argument
We need to indicate where (x) are the observations and what is
the confidence we want to work with (z is the critical value).

So, citau is a function of x and z.

citau<-function(x,z){

135

E. Seier



Calculations:
md=median(x); We use the following commands:
m=mean(x) ; length: # number of observations
v=var(x); mean
tau=mean(abs(x-md)); median
Var: variance
del=(m-md)/tau;
log: natural log
n=length(x); exp(a) : e^a
c=n/(n-1); sqrt: square root
gam=v/(tau^2); ^*/+-
varlnt=(del+gam-1)/n;
setau=sqrt(varlnt);
forlow=log(c*tau)-
z*setau;
forup=log(c*tau)+z*setau;
lowerend=exp(forlow);
upperend=exp(forup); 136

E. Seier



The output
We need to create an object with the results we want as output. In
the example of the confidence interval we would like to have the
lower end , the point estimate, and upper end of the interval. So
we will create an object that we will call ci :
ci<- c(lowerend, tau,upperend);
We could put a name to each element of the output introducing a
vector of names such as:

a<-c(“lower-end”, “point-estimate”,”upper end”)
names(ci)=a
The last expression of the function should be the name of the
object we want as output, in this case:
ci} 137

E. Seier



Executing the function
Imagine we have a set of 100 observations from a random sample of
a population. The data are in the file WTAM1G.dat . First we
read the data with:
x<-scan(“a:wtam1g.dat”)
To calculate the 95% confidence interval, z=1.96
Once we have copied and pasted the function citau into R, we
simply write:
citau(x,1.96)
and obtain :
0.6204765 0.7347000 0.8876145
If we wanted 90% confidence we would write:
citau(x,1.645) 138

E. Seier



Example 2: confidence interval for the
ratio of two mean absolute deviation.
Two populations can be compared in terms of their variability by
comparing the variances ( Levene and Barlett tests) or their
mean absolute deviations. In Bonett & Seier (2003), ‘Confidence
Intervals for Mean Absolute Deviations’ The American Statistical
Association, Vol 57 # 4, a formula for the confidence interval of
the ratio of two MADs was derived. If the confidence interval
covers the value 1, that means we would reject the hypothesis
that the two population mean absolute deviations are equal.

139

E. Seier



rataus<-function(x,y,z){ gam1=v1/(tau1^2);
md1=median(x); gam2=v2/(tau2^2);
md2=median(y); varlnt1=(del1+gam1-1)/n1;
m1=mean(x) ; varlnt2=(del2+gam2-1)/n2;
m2=mean(y); forrat=log((c1*tau1)/
v1=var(x); (c2*tau2));

v2=var(y); serat=sqrt(varlnt1+varlnt2);
forlow=forrat-z*serat;
tau1=mean(abs(x-md1));
forup=forrat+z*serat;
tau2=mean(abs(y-md2));
ratau=exp(forrat);
del1=(m1-md1)/tau1;
lowerend=exp(forlow);
del2=(m2-md2)/tau2;
upperend=exp(forup);
n1=length(x);
ci<- c(exinf,ratau,exsup);
n2=length(y); ci}
c1=n1/(n1-1);
c2=n2/(n2-1);
140

E. Seier



Example 3: Plotting the periodogram of a
time series.
The main commponent of this program is the Fast Fourier Transform
fft
## funcion for calculating the periodogram
perioplot<-function(x){
adjx=x-mean(x); # substracts the mean of the series
tf=fft(adjx); # calculates finite Fourier transform
nf=length(tf); n2=nf/2+1; # decides the number of frequencies
pritf<-tf[c(1:n2)]; # takes the elements of the Fourier transform
intensity<-(abs(pritf^2))/nf; # calculates the ordinates of
periodogram
nyquist=1/2; pfreq<-seq(0,nf/2,by=1); # preparation for frequencies
freq<-pfreq/(length(pfreq)-1)*nyquist; # calculates frequencies
plot(freq,intensity,type="l")}

141

E. Seier



Using the function perioplot
First we need to copy and paste
the function perioplot into
R, read the data file and then
execute the function

tempmar<-
scan(“a:tempsea.dat”)
perioplot(tempmar)

142

E. Seier



Example 4: Use of the cusum function to
write the cumulative periodogram.
The function cusum calculates the cumulative sum of the elements
of a vector.

periocum<-function(x){
adjx=x-mean(x);
tf=fft(adjx); nf=length(tf); n2=nf/2+1;
pritf<-tf[c(1:n2)];
intensity<-(abs(pritf^2))/nf;
nyquist=1/2; pfreq<-seq(0,nf/2,by=1);
freq<-pfreq/(length(pfreq)-1)*nyquist;
cumint<-cumsum(intensity)/(max(cumsum(intensity)));
plot(freq,cumint,type="l")}

143

E. Seier


.

Assuming that we have previously read the data of the sea
temperature, to execute the function we just write
periocum(tempmar) to obtain the plot at the left. The one of the
right was obtained with a function that already comes with R.
cpgram(tempmar) 144

E. Seier



Example 5: Estimating the spectrum based
on the autocorrelations
We include this example to mention that generally it is better to
avoid the loops like ‘do while’ if we can substitute them by
matrix calculations
The formula we want to calculate is:

We will be using the operators outer and %*%.

145

E. Seier



The input ‘au’ contains the autocorrelations of the series. Notice
how matrix operations are used instead of loops.
estspec<-function(au){
M<-length(au); # counts how many autocorrelations (M) we read
j<-seq(1,M,by=1); # creates subindeces j:1…M
lam=0.5*(1+cos(j*pi/M)); # calculates Tukey’s weights
w<-seq(0,pi,by=pi/50); # calculates angular frequencies
lac=t(lam)*au; # multiplies each weight by the corresponding
autocorrelation
f<-function(j,w) cos(j*w) ;
z<-outer(j,w,f); # calculates cos j w for all values of w and j
sz<-lac%*%z; # obtains the sum of weights *correlations *cos jw
h<-(1/(2*pi))*(1+2*sz); # calculates h(w)
plot(w,h ,type="l",main=”Estimated spectral density” )
}

146

E. Seier



We read the first 30 autocorrelations
of the sea temperatures

au<-
c(0.827,0.537,0.241,0.003,-0.155,-
0.223, -0.196,
-0.087,0.075,0.253,,0.379,0.402,0.
306,0.124,-0.084,-0.256,-0.380,-0.
429,-0.382,-0.247,-0.055,0.141,0.2
88,0.352,0.289,0.123,-0.076,-0.261
,-0.390,-0.444)

Then we write
estspec(au)
to obtain the plot at the right.

NB:- R has also a function
specpgram that estimates the
spectrum using a different
147
method.
E. Seier



Practicing writing functions
a)Use the functions cuartil y maximo. max(), min(), median(), y quantile( , ) to write
a new function that calculates the 5 number summay for the data set x and
call c the new function ‘fivenum’ )

x<-c(0,2,9,1,8,7,5,5,6,2,5,1,9,4,8)

b) To check if the function is correctly written, write
fivenum(x) the results should be 0.0 2.0 5.0 7.5 9.0

c) There are functions already in R to calculate the 5 number summary: Quantile (x)
and summary(x) , use them with the previous data set and compare the
results with those of your function ‘fivenum’, what would you add to your
function to put labels as the function ‘summary’?

148

E. Seier


Bibliografia, Approfondimenti, Web

La madre di tutte le informazioni su R è il sito http://www.r-project.org

•Corrado Caudek, Appunti del “Corso di Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati”, A.A.
2007/2008

•Joseph Eschfaller, appunti di "Fondamenti di Informatica", http://felix.unife.it/++/ma-stat-rs, last accessed,
04/04/2010

•Vito Ricci, Analisi delle serie storiche con R, http://cran.r-project.org/doc/contrib/Ricci-ts-italian.pdf,
04/04/2010

•Vito Ricci, Principali tecniche di regressione con R, http://cran.r-project.org/doc/contrib/Ricci-regression-
it.pdf, last accessed, 04/04/2010

•Virtual R Workbench, http://biocep-distrib.r-forge.r-project.org/, last accessed 20-10-2009

•Zoo, http://cran.r-project.org/package=zoo, last accessed 20-10-2009

•In Bonett & Seier, Confidence Intervals for Mean Absolute Deviations, The American Statistical
Association, vol 57, n. 4, 2003

Riccardo Rigon


Grazie per l’attenzione!

G.Ulrici - 2000 ?

150

E. Seier


9 introduzione r

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