見逃しをしないため、また平均や標準偏差を実用的な精度で把握するためには、n=20程度では不足で、n=40くらいが妥当ということを説明する意図で作成しました。

1. 標本数が40または100が
望ましい場合についての
ある考察
2014-07-27 TS.
同じ分布に従う独立な多数の標本を一体何個とりだせば、
検出力 1- β = 90% で、得たいもの、見てみたいものを取り出すことが
出来るか、さまざまな例を紹介します。
一応、統計学は知らない人向けに作った資料ですが、統計学が分かっていれ
ば、最初の方は読み飛ばして気になるところを読んでも、意味がよく分かると
思います。
R言語のコマンドを記載することにより、やや複雑な数式を用いた計算がが必
要な場面でも、若干の値の変更により即座に得たい値を算出できます。

2. 標本抽出について
• 全体の性質を把握するには、適切なサンプリング
が必要
• ランキング方式など別方式は、見えて来る性質が実用
上問題を起こす程度に偏ることが多い。
• 「偏ったサンプルを取り出すほどなら、
n=3の方が本質を理解出来る。」(統計学者テューキー)
• 無作為抽出はさまざまな統計値を(抽出を繰り返すこと
で)偏りなく抽出することができる。
• 調査対象の件数が莫大でも、必要な精度に対して、n
はほとんど変わらない。(1000で40なら1億・1兆でも40)

3. 統計もしくは標本抽出の理解に
必要な概念
• 平均(μ ミュー) ← 合計を個数で割った値
• 標準偏差(σ シグマ) 分散(σ2)
← “各値が平均からどれだけ揺らぐか”
← `各値と平均の差の2乗の合計÷個数’ が σ2
• 確率分布 ← 「それぞれの値の出現確率」のこと
• 二項分布 ← 確率pで”当たる”ことをn回試して結果的に何
回当たるかの 分布
• 超幾何分布
← N個の玉が入った壺の中の内、
赤玉がm個入っていた場合に、
n回拾い出した内の赤玉の個数の分布
• ガウス分布 ← μ と σ が固定された時のある自然な分布

4. 二項分布の例
出現確率pが決まっていて
も、n=10回試したからと言っ
て、出現回数は確率的にし
か決まらない。
3割(p=0.3)の出現確率で10
回試しても、1回しか現れな
い確率は12%(右上グラフのオレ
ンジ色)ある。
二項分布についての公式
平均値 = n × p
分散 σ2 = n ×p × (1-p)
※ グラフ中のNは n と見なすこと。
この文書の他の部分との整合性のため

5. 超幾何分布と二項分布の違い
• 二項分布(n,p)
平均 = np
分散 = n × p × (1-p)
• 超幾何分布(N,m,n)
平均 = N (m/n)
分散 = n× m/N × (N-m)/N × (N-n)/(N-1)
超幾何分布の m/N を
二項分布のp と見なすと、
Nがnよりも何倍も大きい場合、
２つの分布はほぼ等しくなる。
※ ここから n=3～ 40程度、N=1000～ を考えるので、
超幾何分布のことは忘れて、二項分布で考えて良い。

6. 見逃しはどうして発生するか
～ 二項分布からの考察
知っている現象は１つでも発見して、その例を詳しく見たい。
未知の現象は2回以上見ないと、普通は気付かない。
そんな現象は3回以上目撃しないと何かの偶然と思い込むこともある。
では、全部で何回の観察が、未知の現象の探索に必要とするのだろうか・・?

7. 20回または40回の観察で得られるもの
未知の現象は、複数回観察しないと見逃してしまう、と仮定する。
20回観察して “見逃してしまう” 確率は
1回当たり 25% の確率で発生する現象は 2.43..%
1回当たり 15% の確率で発生する現象は 17.5..%
1回当たり 10% の確率で発生する現象は 39.1..%
1回当たり 5% の確率で発生する現象は 73.5..%
40回観察して “見逃してしまう” 確率は
1回当たり 25% の確率で発生する現象は 0.014..%
1回当たり 15% の確率で発生する現象は 1.21..%
1回当たり 10% の確率で発生する現象は 8.04..% ←
1回当たり 5% の確率で発生する現象は 39.9..%

8. 一定の出現確率の現象を90%以上の
確率で1回でも観察するための条件
• 出現確率 1/2 の現象は、4回以上の観察が必要
• 出現確率 1/3 の現象は、6回以上の観察が必要
• 出現確率 1/4 の現象は、9回以上の観察が必要
• 出現確率 1/10 の現象は、22回以上の観察が必要 ←
• 出現確率 1/20 の現象は、45回以上の観察が必要
• 出現確率 1/50 の現象は、114回以上の観察が必要
• 出現確率 1/100 の現象は、230回以上の観察が必要
• 出現確率 1/1000 の現象は、2302回以上の観察が必要
☞ 出現確率が1回につき 1/Dの現象は、Dの2倍半の回数の観察を重ねれば、
90%以上の確率(確実さ)で、その現象に出会うことが出来る。
この観察必要回数は log(10)×D = 2.30258..× D と近似できる。
☞ 確実さを 99%以上・99.9%以上にしたければ、さらにその2倍・3倍にすると良い。

9. 一定の出現確率の現象を90%以上の
確率で2回以上観察するための条件
• 出現確率 1/2 の現象は、7回以上の観察が必要
• 出現確率 1/3 の現象は、11回以上の観察が必要
• 出現確率 1/4 の現象は、15回以上の観察が必要
• 出現確率 1/10 の現象は、38回以上の観察が必要 ←
• 出現確率 1/20 の現象は、77回以上の観察が必要
• 出現確率 1/50 の現象は、194回以上の観察が必要
• 出現確率 1/100 の現象は、388回以上の観察が必要
• 出現確率 1/1000 の現象は、3889回以上の観察が必要
☞ 出現確率が1回につき 1/Dの現象は、Dの4倍の回数の観察を重ねれば、
90%以上の確率(確実さ)で、その現象に2回以上出会うことが出来る。
この観察必要回数は 3.8897..× D と近似できる。(係数 3.88.. は exp(k)/(1+k)=10の解)
☞ 確実さを 99%以上・99.9%以上にしたければ、さらにその1.7倍・2.4倍にすると良い。

10. 一定の出現確率の現象を90%以上の
確率で3回以上観察するための条件
• 出現確率 1/2 の現象は、9回以上の観察が必要
• 出現確率 1/3 の現象は、15回以上の観察が必要
• 出現確率 1/4 の現象は、20回以上の観察が必要
• 出現確率 1/10 の現象は、52回以上の観察が必要
• 出現確率 1/20 の現象は、105回以上の観察が必要
• 出現確率 1/50 の現象は、265回以上の観察が必要
• 出現確率 1/100 の現象は、531回以上の観察が必要
• 出現確率 1/1000 の現象は、5321回以上の観察が必要
☞ 出現確率が1回につき 1/Dの現象は、Dの5倍半の回数の観察を重ねれば、
90%以上の確率(確実さ)で、その現象に2回以上出会うことが出来る。
この観察必要回数は 5.3233..× D と近似できる。(係数 5.32.. は exp(k)/(1+k+k2/2)=10の解)

11. ある結論: 標本数20と40の比較
• 採集した標本数が20だと、
90%の確率で標本中2個以上検出できる現象は
出現確率が18.1%以上であることが必要。
90%の確率で標本中3個以上検出できる現象は
出現確率が30.4%以上であることが必要。
• 採集した標本数が20だと、
90%の確率で標本中2個以上検出できる現象は
出現確率が9.38%以上であることが必要。
90%の確率で標本中3個以上検出できる現象は
出現確率が15.9%以上であることが必要。
つまり、十分な検出力(90%)で出現頻度10%程度の未知の現象を探索するには、
N=20では足りない。しかし、N=40であれば、上記の通り十分である。1回あたり出
現確率1/10で2個以上, 1/6で3個以上の出現個数を90%の確率で確保できる。
ここで算出に使ったR言語のコマンドの例 : uniroot(function(p){pbinom(3,40,p)-0.1},c(0,1))$root

12. (参考) Rule of Three 3の法則
95%以上の確率で1回以上観察するための条件
• 出現確率 1/2 の現象は、5回以上の観察が必要
• 出現確率 1/3 の現象は、8回以上の観察が必要
• 出現確率 1/4 の現象は、11回以上の観察が必要
• 出現確率 1/10 の現象は、29回以上の観察が必要
• 出現確率 1/20 の現象は、59回以上の観察が必要
• 出現確率 1/50 の現象は、149回以上の観察が必要
• 出現確率 1/100 の現象は、299回以上の観察が必要
• 出現確率 1/1000 の現象は、2995回以上の観察が必要
☞ 出現確率が1回につき 1/Dの現象は、Dのほぼ3倍の回数の観察を重ねれば、
95%以上の確率で、その現象に会うことが出来る。
☞ 係数の3は -log(0.05) = 2.99573.. または exp(-3) = 1/20.0855.. に由来する。
☞ http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_three_(statistics) を参照
☞ 2 ≦ D ≦ 118 ならば その必要回数は丁度 3×D -1 である。
☞下記のようなR言語のコマンドで上記の値は求まる。
K=100;M=1;{N=1;while(pbinom(M-1,N,1/K)>0.05){N<-N+1};N} → 299

13. 分布をつかむのに必要な
観察数についての考察
では、平均や標準偏差を 推定したいと思った時に、高い確
率で精度良く求めるには、何回の観察が必要だろうか。

14. ガウス分布
• 多くの現象で現れる数の分布は、ガウス分布で近似できる。こ
のガウス分布は、平均μと分散σ2が与えられると形が決まる。

15. 推定した μ と σ はどれだけ揺らぐか?
• 平均の推定値と標準偏差の推定値を
2個ずつ接触した長方形で表している。

16. ガウス分布から μ+2σ以上の値を
90%の確実さで得るために
必要な観察回数は101回
R言語で下記のように計算する :
log(0.1)/log(pnorm(c(1, 1.5, 2) ) → 13.3 33.3 100.1
(ある値(上記の場合はμ+1σ, μ+1.5σ, μ+2σ)以上の観測値を
90%の確率で得るために必要な観察回数を算出している。)
逆に、ある回数(10, 20, 40, 100)観測したときに90%の確率で
zスコアで下記以上の値が得られる。
qnorm((0.1)^(1/c(10,20,40,100))) → 0.822 1.233 1.590 2.000

17. μ+1σ及びμ+2σ以上の値を
90%の確実さでK個以上得るのに
必要なガウス乱数の必要生成個数について
R言語で下記のように計算する :
> for(M in 1:12){N=2;while(pbinom(M-1,N,pnorm(1,,,F))>0.1){N<-N+1};cat(N, " ")}
14 24 32 41 49 57 65 72 80 87 95 102
> for(M in 1:12){N=2;while(pbinom(M-1,N,pnorm(2,,,F))>0.1){N<-N+1};cat(N, " ")}
101 170 233 292 350 406 461 516 569 622 675 727

18. 平均 μ からの逸脱が 1σ及び 2σ以上の値を
90%の確実さでK個以上得るのに
必要なガウス乱数の必要生成個数について
R言語で下記のように計算する :
> for(M in 1:12){N=2;while(pbinom(M-1,N,2*pnorm(1,,,F))>0.1){N<-N+1};cat(N, " ")}
7 11 15 20 24 27 31 35 39 42 46 50
> for(M in 1:12){N=2;while(pbinom(M-1,N,2*pnorm(2,,,F))>0.1){N<-N+1};cat(N, " ")}
50 85 116 145 174 202 230 257 284 310 336 362
上記から結論例 :
20個のガウス乱数を生成すると、90%以上の確率で、 [ μ – 1σ , μ + 1σ ] の
区間外の値を 4 個得ることが出来る。
[ μ – 2σ , μ + 2σ ] の区間の外にある乱数を1個でも90%の確率で
得るには、丁度50個のガウス乱数生成を要する。

19. この節での結論
• 変数の分布の範囲を大雑把に把握するために :
観察回数が10回や20回では、未知の変数の分布の範囲を大雑
把に求めるにしても不足気味のようである。40回ないし100回くら
いあると良さそうである。
• やや異常に大きな値を経験するために:
ある同じガウス分布に従う独立な変数を40回観察をすること
で、μ+1.6σ以上の値を約90%の確実さで得ることができる。丁
度50回の観察をすることで、90%の確実さで[μ-2σ, μ+2σ]の外の
値を得ることができる。100回の観察をすることで、μ+2σ以上
の値を約90%の確実さで得ることができる。

20. まとめ

21. 主張
• サンプリングをランダムにしないと、”偏り”が発生
して、さまざまな弊害(見逃しや稀少現象の大量補
足)などが起こる。
• 何かの現象を捉えるには、40回程度の観察が必
要で、20回程度では足りないことがある。
• しかし、人間(観察者/分析者)の主観による記憶は
数百の事例をきちんと記憶することは困難なので、
40回程度が妥当とも考えられる。