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![실수
실수 [實數, real number] 정수의 몫으로 정의되
는 유리수의 범위에서는 대소의 순서를 정할 수
있으며, 사칙연산을 자유로이 할 수 있다.
그러나 이 범위에서는 역시 불완전한 점이 많다.
이를테면, 단위의 길이를 가지는 정사각형의 대
각선의 길이(x＝2의 근)는 유리수로 나타낼 수 없
다.
이와 같은 결함을 보완하기 위하여 유리수에 무
리수를 첨가하여 수의 범위를 실수까지 확장한
것이다.
20](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-20-320.jpg)
![실수 1 : sympy
실수 [實數, real number]
42](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-42-320.jpg)
![연산자 우선순위
순위 구분 Operator Description
0 그룹 ( ) Parentheses (grouping)
1 함수 f(args...) Function call
2 참조 x[index:index] Slicing
3 참조 x[index] Subscription
4 참조 x.attribute Attribute reference
5 산술 ** Exponentiation(제곱)
6 비트 ~x Bitwise not
7 부호 +x, -x Positive, negative
8 산술 *, /, % Multiplication, division, remainder
9 산술 +, - Addition, subtraction
10 비트 <<, >> Bitwise shifts
11 비트 & Bitwise AND
12 비트 ^ Bitwise XOR
13 비트 | Bitwise OR
14 비트 in, not in, is, is not, <, <=, >, >=,<>, !=, == Comparisons, membership, identity
15 논리 not x Boolean NOT
16 논리 and Boolean AND
17 논리 or Boolean OR
18 함수 lambda Lambda expression
125](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-125-320.jpg)
![Mapping -dictionary 메소드
Method Description
dict.clear() Removes all elements of dictionary dict
dict.copy() Returns a shallow copy of dictionary dict
dict.fromkeys() Create a new dictionary with keys from seq and values set to value.
dict.get(key,
default=None)
For key key, returns value or default if key not in dictionary
dict.has_key(key) Returns true if key in dictionary dict, false otherwise
dict.items() Returns a list of dict's (key, value) tuple pairs
dict.keys() Returns list of dictionary dict's keys
dict.setdefault(key,
default=None)
Similar to get(), but will set dict[key]=default if key is not already in dict
dict.update(dict2) Adds dictionary dict2's key-values pairs to dict
dict.values() Returns list of dictionary dict's values
dict.iteritems() Iterable한 items를 만들기
227](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-227-320.jpg)
![dict.get/setdefault()사용
dict에 내의 원소를 추가하거나 갱신하고 이를 []
연산자나 get 메소드로 호출해서 처리
230](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-230-320.jpg)
![버전변경
keys,items 등이 메소드 결과가 리스트 타입에
서 객체타입으로 변경
Notes Python 2 Python 3
①
a_dictionary.keys() list(a_dictionary.keys())
②
a_dictionary.items() list(a_dictionary.items())
③
a_dictionary.iterkeys() iter(a_dictionary.keys())
④
[i for i in a_dictionary.iterkeys()] [i for i in a_dictionary.keys()]
⑤
min(a_dictionary.keys()) no change
234](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-234-320.jpg)
![벡터: 스칼라곱
벡터의 각 원소에 스칼라값만큼 곱하여 표시
벡터 m = [7,3]
A = 3m= [21,9]
296](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-296-320.jpg)
![외적 산식 : 2차원
벡터의 원소간의 cross 적을 처리
v = [a1,a2]
u = [b1,b2]
a1 a2
b1 b2
a1*b2 – a2*b1 Example: The cross product of a = (2,3) and b = (5,6)
c = a1b2 − a2b1 = 2×6− 3×5 = −3
Answer: a × b = -3
310](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-310-320.jpg)
![외적 산식 : 3차원
벡터의 원소간의 cross 적을 처리
v = [a1,a2,a3]
u = [b1,b2,b3]
a2 a3 a1 a2
b2 b3 b1 b2
x 축 : a2*b3 – a3*b2
y 축 : a3*b1 – a1*b2
z 축 : a1*b2 – a2*b1
Example: The cross product of a = (2,3,4) and b = (5,6,7)
cx = aybz − azby = 3×7 − 4×6 = −3
cy = azbx − axbz = 4×5 − 2×7 = 6
cz = axby − aybx = 2×6 − 3×5 = −3
Answer: a × b = (−3,6,−3)
311](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-311-320.jpg)
![inner 계산 방식
A = [[a1,b1] B = [[a2,b2]]
numpy.inner(A,B)
array([[a1*a2 + b1*b2]])
[[1*4+0*1]]
1 0 4 1
1 0
4 1
4=.
314](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-314-320.jpg)
![outer
A = [[a1,b1]] B = [[a2,b2]]
numpy.outer(A,B)
array([[a1*a2 , a1*b2][ b1*a2, b1*b2]])
[[1*4,1*1] [0*4+0*1]]
1 0 4 1 1
0
4 1
4 1
0 0
=
317](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-317-320.jpg)
![항등행렬
모든 행렬과 닷 연산시 자기 자신이 나오게 하는
단위행렬
import numpy as np
a = np.array([[1,0],[0,1]])
b = np.array([[4,1],[3,2]])
print(np.dot(b,a))
print(np.dot(a,b))
[[4 1]
[3 2]]
[[4 1]
[3 2]]
336](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-336-320.jpg)
![dot : 2차원
A = [[a1,b1],[c1,d1]] B = [[a2,b2],[c2,d2]]
numpy.dot(A,B)
array([[a1*a2 + b1*c2, a1*b2 + b1*d2], [c1*a2 +
d1*c2, c1*b2 + d1*d2])
[[1*4+ 0*2, 1*1+0*2],[0*4+1*2, 0*1+1*2]]
1 0
0 1
4 1
2 2
1 0
0 1
4 1
2 2
4 1
2 2
=.
349](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-349-320.jpg)
![역행렬(inv) – 2차원
역행렬은 수반행렬에 행렬식으로 나눗값이 됨
[[ 0.66666667 -0.33333333]
[-0.33333333 0.66666667]]
1/3 *
2 -1
-1 2
역행렬
2 1
1 2
-1
A−1=1/det(A) * CT
363](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-363-320.jpg)
![역행렬(inv) – 3차원
역행렬은 수반행렬에 행렬식으로 나눗값이 됨
[[ 0.5 -1. 1.5]
[-0.5 0. 1.5]
[ 0. 1. -2. ]]
- 0.5 *
-1 2 -3
1 0 -3
0 -2 4
역행렬3 1 3
2 2 3
1 1 1
-1
A−1=1/det(A) * CT
364](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-364-320.jpg)
![cross 계산 방식
A = [[a1,b1],[c1,d1]] B = [[a2,b2],[c2,d2]]
numpy.cross(A,B) = A.T * B
array([[a1*b2 - c1*a2 , b1*d2 – d1*c2])
[[1*1- 0*4,0*2-1*2]]
1 0
0 1
4 2
1 2
1 -2=
371](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-371-320.jpg)
![inner 계산 방식
A = [[a1,b1],[c1,d1]] B = [[a2,b2],[c2,d2]]
numpy.inner(A,B)
array([[a1*a2 + b1*b2, a1*c2 + b1*d2], [c1*a2 +
d1*b2, c1*c2 + d1*d2])
[[1*4+0*1,1*2+0*2],[0*4+1*1, 0*2+1*2]]
1 0
0 1
4 1
2 2
1 0
0 1
4 1
2 2
4 2
1 2
=.
374](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-374-320.jpg)
![Inner 예시 : 2차원
a(2,2) 행렬과 b(2,2)행렬의 마지막 차수가 같으
므로 계산결과는 out.shape = a.shape[:-1] +
b.shape[:-1]
375](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-375-320.jpg)
![Inner 예시 : 3차원
a(2,3,2) 행렬과 b(2,2)행렬의 마지막 차수가 같
으므로 계산결과는 out.shape = a.shape[:-1] +
b.shape[:-1]
376](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-376-320.jpg)
![outer: 1
Out는 두개의 벡터에 대한 행렬로 구성
out[i, j] = a[i] * b[j]
379](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-379-320.jpg)
![행렬
n개의 실수의 순서쌍에 성분별로 덧셈과 실수상수
곱을 주면[2] 이는 "nn차원" 벡터공간이라 할 수 있
고(, 벡터공간에서 벡터공간으로 가는 함수 중 덧셈
과 상수배를 보존하는 함수를 선형사상을 행렬이라
함
392](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-392-320.jpg)
![주요 함수
선형대수에 대한 함수들
함수 설명
dot(a, b[, out]) n차원 행렬 n*m m*l에 대한 production(결과는 n*l)
vdot(a, b) Vector에 대한 prodution
inner(a, b) N 차원 행렬에 대한 Inner product (행렬이 동일해야 함).
outer(a, b[, out]) 2개 벡터에 대해 계산 후 행렬로 표시.
matmul(a, b[, out]) 두 행렬에 대한 Matrix product (dot과 동일한 결과)
tensordot(a, b[, axes]) Compute tensor dot product along specified axes for arrays >= 1-D.
linalg.matrix_power(M, n) Raise a square matrix to the (integer) power n.
cross(a, b, axisa=-1, axisb=-1, axisc=-1, axis=None) 행렬에 대한 외적을 구함
einsum(subscripts, *operands[, out, dtype, ...]) Evaluates the Einstein summation convention on the operands.
kron(a, b) Kronecker product of two arrays.
410](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-410-320.jpg)
![주요 함수
선형대수에 대한 함수들
함수 설명
linalg.cholesky(a) Cholesky decomposition.
linalg.qr(a[, mode]) Compute the qr factorization of a matrix.
linalg.svd(a[, full_matrices, compute_uv]) Singular Value Decomposition.
412](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-412-320.jpg)
![주요 함수
선형대수에 대한 함수들
함수 설명
linalg.eig(a) Compute the eigenvalues and right eigenvectors of a square array.
linalg.eigh(a[, UPLO]) Return the eigenvalues and eigenvectors of a Hermitian or symmetric matrix.
linalg.eigvals(a) Compute the eigenvalues of a general matrix.
linalg.eigvalsh(a[, UPLO]) Compute the eigenvalues of a Hermitian or real symmetric matrix.
linalg.eig(a) Compute the eigenvalues and right eigenvectors of a square array.
414](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-414-320.jpg)
![주요 함수
선형대수에 대한 함수들
함수 설명
linalg.norm(x[, ord, axis, keepdims]) Matrix or vector norm.
linalg.cond(x[, p]) Compute the condition number of a matrix.
linalg.det(a) Compute the determinant of an array.
linalg.matrix_rank(M[, tol])
Return matrix rank of array using SVD method Rank of the array is the number of SVD sing
ular values of the array that are greater than tol.
linalg.slogdet(a) Compute the sign and (natural) logarithm of the determinant of an array.
trace(a[, offset, axis1, axis2, dtype, out]) Return the sum along diagonals of the array.
416](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-416-320.jpg)
![주요 함수
선형대수에 대한 함수들
함수 설명
linalg.solve(a, b) Solve a linear matrix equation, or system of linear scalar equations.
linalg.tensorsolve(a, b[, axes]) Solve the tensor equation a x = b for x.
linalg.lstsq(a, b[, rcond]) Return the least-squares solution to a linear matrix equation.
linalg.inv(a) Compute the (multiplicative) inverse of a matrix.
linalg.pinv(a[, rcond]) Compute the (Moore-Penrose) pseudo-inverse of a matrix.
linalg.tensorinv(a[, ind]) Compute the ‘inverse’ of an N-dimensional array.
418](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-418-320.jpg)
![인접행렬
인접 행렬(adjacency matrix)은 그래프 G = (V,E),
|V| = n(≥1)일 때 그래프를 이차원 행열에 다음과
같이 저장하는 방법이다.
adj_mat[i][j] =
“1” if (vi, vj)가 인접할 때(adjacent)
“0” 인접하지 않을 경우
470](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-470-320.jpg)
![등차급수
등차급수[ arithmetic series , 等差級數 ]
산술급수(算術級數)라고도 한다. 등차수열을 이
루고 있는 것을 말 함
급수 a1＋a2＋a3＋…＋an＋…에서
an＝an-1＋d(n＝2,3,…) 인 관계식
급수로 표시
610](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-610-320.jpg)
![String-operator
Operator Description Example
+
Concatenation - Adds values on either side of the operato
r
a + b will give HelloPython
*
Repetition - Creates new strings, concatenating multiple c
opies of the same string
a*2 will give -HelloHello
[]
Slice - Gives the character from the given index a[1] will give e
[ : ]
Range Slice - Gives the characters from the given range a[1:4] will give ell
in
Membership - Returns true if a character exists in the giv
en string
H in a will give 1
not in
Membership - Returns true if a character does not exist in
the given string
M not in a will give 1
r/R
Raw String
print r'n' prints n and print R'n'prints
n
%
Format - Performs String formatting See at next section
647](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-647-320.jpg)
![Sequence-String 메소드(3)
String 내장 메소드
Method Description
isspace() Returns true if string contains only whitespace characters and false
otherwise.
istitle() Returns true if string is properly "titlecased" and false otherwise.
isupper() Returns true if string has at least one cased character and all cased
characters are in uppercase and false otherwise.
join(seq) Merges (concatenates) the string representations of elements in
sequence seq into a string, with separator string.
len(string) Returns the length of the string
ljust(width[, fillchar]) Returns a space-padded string with the original string left-justified to a
total of width columns.
lower() Converts all uppercase letters in string to lowercase.
lstrip() Removes all leading whitespace in string.
maketrans() Returns a translation table to be used in translate function.
653](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-653-320.jpg)
![Sequence-String 메소드(4)
String 내장 메소드
Method Description
max(str) Returns the max alphabetical character from the string str.
min(str) Returns the min alphabetical character from the string str.
replace(old, new [, max]) Replaces all occurrences of old in string with new or at most max
occurrences if max given.
rfind(str, beg=0,end=len(stri
ng))
Same as find(), but search backwards in string.
rindex( str, beg=0,
end=len(string))
Same as index(), but search backwards in string.
rjust(width,[, fillchar]) Returns a space-padded string with the original string right-justified to
a total of width columns.
rstrip() Removes all trailing whitespace of string.
split(str="", num=string.cou
nt(str))
Splits string according to delimiter str (space if not provided) and
returns list of substrings; split into at most num substrings if given.
splitlines( num=string.count
('n'))
Splits string at all (or num) NEWLINEs and returns a list of each line with
NEWLINEs removed.
654](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-654-320.jpg)
![Sequence-String 메소드(5)
String 내장 메소드
Method Description
startswith(str,
beg=0,end=len(string))
Determines if string or a substring of string (if starting index beg and
ending index end are given) starts with substring str; returns true if so
and false otherwise.
strip([chars]) Performs both lstrip() and rstrip() on string
swapcase() Inverts case for all letters in string.
title() Returns "titlecased" version of string, that is, all words begin with
uppercase and the rest are lowercase.
translate(table, deletechars
="")
Translates string according to translation table str(256 chars), removing
those in the del string.
upper() Converts lowercase letters in string to uppercase.
zfill (width) Returns original string leftpadded with zeros to a total of width
characters; intended for numbers, zfill() retains any sign given (less one
zero).
isdecimal() Returns true if a unicode string contains only decimal characters and
false otherwise.
655](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-655-320.jpg)
![Sequence - List 기본 처리
List 타입에 대한 기본 처리
Python Expression Results Description
l=[1,2,3] l.append(4) [1, 2, 3, 4] 리스트에 원소 추가
del l[3] [1, 2, 3] 리스트에 원소 삭제
len([1, 2, 3]) 3 Length 함수로 길이 확인
[1, 2, 3] + [4, 5, 6] [1, 2, 3, 4, 5, 6] 리스트를 합치니 Concatenation
['Hi!'] * 4 ['Hi!', 'Hi!', 'Hi!', 'Hi!'] 리스트 내의 원소를 Repetition
3 in [1, 2, 3] True 리스트 내의 원소들이 Membership
for x in [1, 2, 3]: print x, 1 2 3 리스트의 원소들을 반복자 활용 - Iteration
680](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-680-320.jpg)
![Sequence-List 메소드
리스트 내장 메소드
Method Description
list.append(obj) Appends object obj to list
list.count(obj) Returns count of how many times obj occurs in list
list.extend(seq) Appends the contents of seq to list
list.index(obj) Returns the lowest index in list that obj appears
list.insert(index,obj) Inserts object obj into list at offset index
list.pop(obj=list[-1]) Removes and returns last object or obj from list
list.remove(obj) Removes object obj from list
list.reverse() Reverses objects of list in place
list.sort([func]) Sorts objects of list, use compare func if given
685](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-685-320.jpg)
![Sequence-List : insert
list 내의 위치를 지정해서 원소를 넣을 때 [index]
일 경우는 index 범위가 벗어나면 오류가 발생하지
만 insert는 벗어나면 append로 인식해서 처리
690](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-690-320.jpg)
![List Comprehension
리스트 정의시 값을 정하지 않고 호출 시 리스트
내의 값들이 처리되도록 구성
A = [ 표현식 for i in sequence if 논리식]
698](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-698-320.jpg)
![List Comprehension : 다중
리스트 내의 다중 for문을 이용해서 처리
A = [ 표현식 for i in sequence for j in sequence
if 논리식]
699](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-699-320.jpg)
![Accessing Values : index
Sequence Type(String, List, Tuple)은 변수명
[index]로 값을 접근하여 가져옴
변수에는 Sequence
Instance이 참조를 가
지고 있고 [index]를
이용하여 값들의 위치
를 검색
705](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-705-320.jpg)
![Updating Values: string
문자열은 immutable이므로 [index]로 접근해서
갱신이 불가하므로 별도 로직을 작성해서 변경
709](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-709-320.jpg)
![정적분: definite integral
리만 적분에서 다루는 고전적인 정의에 따르면 실수
의 척도를 사용하는 축도 공간에 나타낼 수 있는 연
속인 함수 f(x)에 대하여 그 함수의 정의역의 부분 집
합을 이루는 구간 [a, b] 에 대응하는 치역으로 이루
어진 곡선의 리만 합의 극한을 구하는 것이다. 이를
정적분(定積分, definite integral)이라 한다.
851](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-851-320.jpg)
![연속균등분포
연속균등분포(continuous uniform distribution)은
연속 확률 분포로, 분포가 특정 범위 내에서 균등하
게 나타나 있을 경우를 가리킨다. 이 분포는 두 개의
매개변수 a,b를 받으며, 이때 [a,b] 범위에서 균등한
확률을 가진다.
955](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-955-320.jpg)
![확률밀도함수
확률밀도함수(probability density function 약
자 PDF )f(x)는 일정한 값들의 범위를 포괄하는
연속확률변수의 확률을 찾는데 사용하고 연속데
이터에서의 확률을 구하기 위해서 확률밀도함수
의 면적을 구함
960
확률 밀도함수 f(x)와 구간[a,b] 에
대해 확률변수 X가 구간에 포함될
확률 P(a<= X<=b)는](https://image.slidesharecdn.com/20160730-160726074138/85/python-960-320.jpg)
![확률변수의 분산식 변형
분산식을 변형
975
분산 간편식
=-2E[XE[X]]
= -2E[X]E[X]
= -2E[X]2
를 이용해서 기대값 내의 기대값을
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python 수학이해하기
- 1.
- 2. 1. 대수 기초 2.함수기초 3. 선형대수 기초 4.관계 기초 목차 2
- 3. 5. 그래프 기초 6.삼각함수 7. 지수/로그 기초 8. 수열 기초 목차 3
- 4. 9. 집합 기초 10.미분/적분 기초 11. 확률과 통계 기초 목차 4
- 5.
- 6. 주요 기호 Moon YongJoon 6
- 7. 그리스 문자 Α/α(알파) Β/β(베타)Γ/γ(감마) Δ/δ(델타) Ε/ε(엡실론) Ζ/ζ(제타) Η/η(에타) Θ/θ(쎄타) Ι/ι(요타) Κ/κ(카파) Λ/λ(람다) Μ/μ(뮤) Ν/ν(뉴) Ξ/ξ(크시) Ο/ο(오미크론) Π/π(피) Ρ/ρ(로우) Σ/σ(씨그마) Τ/τ(타우) Υ/υ(윕실론) Φ/φ(휘) Χ/χ(키 또는 카이) Ψ/ψ(프시) Ω/ω(오메가) 7
- 8.
- 9.
- 10.
- 11.
- 12. 수 자연수, 정수, 유리수,무리수, 실수로 확장되는 수의 관계 12
- 13.
- 14. 정수 정수(整數, integer)는 자연수(1,2, 3, ...)와 이들 의 음수(−1, −2, −3, ...)와 0으로 이루어진 수 체계이다. 정수는 자연수와 마찬가지로 가산 무 한 집합이며, 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있 어 환을 이룬다. 14
- 15.
- 16. 유리수 유리수(有理數, rational number)는두 정수의 분수 형태(단 분모는 반드시 0이 아니다)로 나타 낼 수 있는 실수를 말한다. 유리수는 (0으로 나누는 것을 제외한) 사칙연산 (덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)에 대해 닫혀있는 '최소 의' 집합이기도 하다 16
- 17.
- 18. 무리수 무리수(無理數, irrational number)는두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 즉, 분수로 나타낼수없는 소수이다. 18
- 19.
- 20. 실수 실수 [實數, realnumber] 정수의 몫으로 정의되 는 유리수의 범위에서는 대소의 순서를 정할 수 있으며, 사칙연산을 자유로이 할 수 있다. 그러나 이 범위에서는 역시 불완전한 점이 많다. 이를테면, 단위의 길이를 가지는 정사각형의 대 각선의 길이(x＝2의 근)는 유리수로 나타낼 수 없 다. 이와 같은 결함을 보완하기 위하여 유리수에 무 리수를 첨가하여 수의 범위를 실수까지 확장한 것이다. 20
- 21.
- 22. 복소수 복소수(複素數, complex number)는다음 꼴로 나타낼 수 있는 수 이다. a+bi 이 때 a, b는 실수이고 i는 허수단위로 i2=-1을 만족한다. 실수 a를 그 복소수의 실수부, 실수 b 를 복소수의 허수부라고 부른다. 모든 실수는 복소수에 포함된다. 왜냐하면 모든 실수는 허수부가 0인 복소수로 표시할 수 있기 때 문이다. 22
- 23. 복소수 연산 복소수(複素數, complexnumber)는 다음 꼴로 23 나눗셈
- 24.
- 25. 항등원 항등원(恒等元)은 집합의 어떤원소와 연산을 취 해도, 자기 자신이 되는 원소를 말한다. 쉽게 말해 서, 1개의 양을 전혀 달라 보이는 다른 양과 같게 만드는 수학적 관계를 말한다고 생각하면 된다. 25
- 26. 반수: 덧셈 반수(反數)는 그수를 더했을 때 0이 되는 수를 말 한다. 예를 들면 7의 경우 -7에 7을 더하면 0이 되므로 7의 반수는 -7이다. 다르게 말하면 어떤 양수 n의 반수는 그와 절댓값 이 같은 음수라고 할 수 있으며 그 역도 성립한다. 정수, 유리수, 실수, 복소수는 음수가 있기 때문에 모두 반수가 있다. 26
- 27. 역수 : 곱셈 어떤수의 역수(逆數,reciprocal) 또는 곱셈 역원 (-逆元, 영어: multiplicative inverse)은 그 수와 곱해서 1, 즉 곱셈 항등원이 되는 수를 말한다. x의 역수는 1/x 또는 x -1로 표기한다. 곱해서 1이 되는 두 수를 서로 역수 27
- 28.
- 29. 절댓값은 거리의 개념이므로반드시 0또는 양수이어야하며, 만약 실수 a가 음수라면, a에 (-1)을 곱해 양수화 절대값 absolute value 어떤 실수 a를 수직선에 대응시켰을 때, 수직선의 원점에서 실수 a까지의 거리를 의미한다. 이것을 기호로 |a|로 표시. 29
- 30.
- 31. 비율 비(比, ratio)는 어떤수가 다른 한 수의 몇 배인지 를 나타내는 관계이다. 이 배수를 비율(比率, ratio)이라고 한다. 원주율 원의 지름에 대한 원주의 비율. 백분율 수를 100과의 비로 나타내는 것. 31
- 32. PYTHON SYMPY 수, 심벌, 전개식, 해구하기 처리 Moon Yong Joon 32
- 33.
- 34. sympy 모듈 이란 SymPy는symbolic mathematics을위한 python 라이브러리입니다. SymPy는 가능한 한 간단하게 코드를 유지하는 것은 이해하기 쉽게 확장 할 수있는 a full- featured computer algebra system (CAS)처리 34
- 35. sympy 구조 SymPy는 symbolicmathematics를 처리하기 위 해 다양한 객체들로 구성해서 평가해 수학처럼 문제를 푸는 체계 35 Sympy는 정의한 것은 pi도 하나의 인스턴스 객체 이므 로 이 값을 처리를 위해서는 평가(evalf)를 해야 함
- 36. sympy 객체 Sympy객체를 변수에할당해서 사용하지만 별도 의 객체로 역할 함 36 Symbol로 정의할 때 들어간 문자열의 실 제 name이고 할당 된 참조변수는 symbol 객체가 할당 된 변수라 이름이 달 라도 됨
- 37.
- 38. sympy 구조 SymPy는 symbolicmathematics를 처리하기 위 해 다양한 객체들로 구성되며 이를 평가해 수학 처럼 문제를 푸는 체계 38 Sympy는 정의한 것은 pi도 하나의 인스턴스 객체 이므 로 이 값을 처리를 위해서는 평가(evalf)를 해야 함
- 39.
- 40. 정수 : sympy 정수(整數,integer)는 자연수(1, 2, 3, ...)와 이들 의 음수(−1, −2, −3, ...)와 0으로 이루어진 수 체계이다. 40
- 41. 유리수 : sympy 유리수(有理數,rational number)를 분자(p)와 분모(q)로 관리 41
- 42. 실수 1 :sympy 실수 [實數, real number] 42
- 43. 실수 2 :sympy Sympify로 sympy 숫자 타입을 확인 43
- 44. 복소수 : sympy Sympify로sympy 숫자 타입을 확인 44
- 45.
- 46. 무한대/pi를 심벌 처리 sympy는oo로 무한대, pi로 파이 상수를 관리 46
- 47.
- 48. symbol 처리 Sympy 는명확히 수학적인 심벌을 표시 x = Symbol(’x’)는 심벌을 하나 정의 a, b, c = symbols(’a, b, c’)는 심벌을 여러 개 정의 48
- 49. symbol 처리 :변수에 타입주기 symbols 정의시 이 변수에 들어갈 데이터 타입 을 부여할 수 있음 49
- 50. symbol 처리 :함수명 symbols 정의시 cls 파라미터에 Function을 부 여하면 함수 변수가 됨 50
- 51.
- 52. expand 메소드 :전개식 처리 표현식도 별도의 타입을 가지므로 expand메소 드를 사용하면 표현식이 전개됨 52
- 53. expand 함수 :전개식 처리 표현식도 별도의 타입을 가지므로 expand메소 드를 사용하면 표현식이 전개됨 53 곱셈 전개시 동일 항에 대한 곱셈부 분도 전개가 필요 하며 force=True 처리
- 54.
- 55. Solve 함수 :해 구하기 표현식을 solve 함수에 넣으면 해를 구해 줌 55
- 56.
- 57.
- 58. 숫자타입 숫자에 대한 객체를관리하는 데이터 타입 Numberic Types int float long(2.x) complex 숫자타입도 하나의 객체이므로 1 이 생성 되면 동일한 context 내에서는 동일한 객체 id를 가지고 사용 58
- 59. 숫자타입 – 기본연산자 및 함수 숫자 타입에 기본으로 처리 되는 함수, operator Operation Result Notes x + y sum of x and y x - y difference of x and y x * y product of x and y x / y quotient of x and y x // y (floored) quotient of x and y x % y remainder of x / y -x x negated +x x unchanged abs(x) absolute value or magnitude of x int(x) x converted to integer long(x) x converted to long integer float(x) x converted to floating point complex(re,im) a complex number with real part re, imaginary part im. im defaults to zero. c.conjugate() conjugate of the complex number c divmod(x, y) the pair (x // y, x % y) pow(x, y) x to the power y x ** y x to the power y 59
- 60.
- 61. 숫자타입 - int int타입 내의 operator 처리 내장 메소드 및 속 성들 61
- 62. 숫자타입 – int예시 int 내부 속성에 대한 처리 real : int는 숫자를 관리하고 bit_length() : 이진수로 변환시 bit 길이 denominator : 분모 numerator : 분자 62
- 63. 숫자타입 – long타입 python3버전에서는 통합되어 관리 Notes Python 2 Python 3 ① x = 1000000000000L x = 1000000000000 ② x = 0xFFFFFFFFFFFFL x = 0xFFFFFFFFFFFF ③ long(x) int(x) ④ type(x) is long type(x) is int ⑤ isinstance(x, long) isinstance(x, int) 63
- 64.
- 65. 숫자타입 - float float타입 내의 operator 처리 내장 메소드 및 속성들 65
- 66. 숫자타입 – float예시 float 내부 속성에 대한 처리 • real : float는 숫자를 관리하고 • hex() : 16진수로 변환 • fromhex() : hex() 결과의 문자 열을 float로 전환 • is_integer() : 실수 중 소수점 이 하 값이 0일 경우 true • as_integer_ratio() : 현재 값을 denominator : 분모, numerator : 분자로 표시 66
- 67.
- 68. 숫자타입 - complex float타입 내의 operator 처리 내장 메소드 및 속성들 68
- 69. 숫자타입 – complex예시 complex 내부 속성에 대한 처리 • real : float는 숫자를 관리하고 • imag: 허수부문 • conjugate () : 켤레복소수 구 하기 69
- 70.
- 71. 숫자타입 – fractions표시 fractions 모듈을 이용해서 분수를 계산. Float 타입과 계산시에는 float 타입으로 전환 됨 71
- 72. 숫자타입 – fractions연산 fractions 모듈을 이용해서 분수를 계산. Float 타입과 계산시에는 float 타입으로 전환 됨 72
- 73.
- 74.
- 75. 거듭제곱 거듭제곱은 이항 연산으로,하나의 수를 여러 번 곱하는 연산을 의미한다. 기호로는 an 으로 표기 하며, 이때 a를 밑, n을 지수라고 한다. 75
- 76. 거듭제곱의 지수 표현 거듭제곱은지수가 음수이면 기존 거듭제곱이 역 수가 되가 분수인 경우는 제곱근 표현이 됨 지수가 음수인 경우 지수가 분수인 경우 76
- 77. 거듭제곱의 성질 거듭제곱은 반복적인곱하기와 나누기 처리를 하 므로 아래의 성질을 준수 77
- 78.
- 79. 제곱근 x의 제곱근(제곱根)은 제곱하여x가 되는 실수를 가리키며, 특히 이 가운데 양의 제곱근을 sqrt(x) 라고 표기하고 "제곱근 x"(루트 x)라고 읽는다. 79
- 80. 제곱근의 지수 표현 제곱근x를 수치적인 표현으로는 지수 표현을 분 수식으로 나타내면 됨 x1/2로 표현 80
- 81. 일반적으로 실수 x에대하여 값이 부호는 +/-를 가짐 제곱근의 부호 표현 제곱근의 부호 81
- 82. 제곱근 x에 대한수의 성질 제곱근의 값 표현 제곱근의 표현 제곱근의 값 자연수 x에 대해 결과값 은 자연수이거나 무리수이 다 음이 아닌 실수 x가 제곱 근 내부의 제곱은 x가 됨 82
- 83. 제곱근 두수 x,y에대한 곱셈과 나눗셈 처리 방식 제곱근의 성질 제곱근의 곱셈 제곱근의 나눗셈 83
- 84.
- 85.
- 86. 밑 a, 지수b에 대한 거듭 제곱을 구하는 것은 math.pow 함수와 연사자 **를 사용 거듭제곱 86
- 87.
- 88. 밑a이고 지수가 b일경우 math.sqrt함수는 root2에 대한 값만 처리 하므로 **/pow에서 분 수를 이용해서 제곱근을 구함 제곱근 88
- 89.
- 90.
- 91. 기수법 기수법(記數法, numeral system)은수를 시각적으 로 나타내는 방법으로, 기수법을 통해서 나타나는 각 각의 숫자는 다른 수들과 구별되는 표기 방식을 가진 다. 91
- 92.
- 93. 이진법 이진법(二進法, binary)은 두개의 숫자만을 이용 하는 기수법이다. 관습적으로 0과 1의 기호를 쓰 며 이들로 이루어진 수를 이진수라고 한다. 93
- 94. 팔진법 팔진법 (octal numbersystem , 八進法 ) 은 8을 밑으로 하는 기수법이다. 0부터 7까지의 숫자를 사용한다. 이진법 표기의 3자리와 팔진법 한 자리 가 일대일 대응 94
- 95. 십진법 십진법(十進法, 열올림법)은 10을기수로 한 기수 법이다. 자리수로 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9를 쓴다. 95
- 96. 십육진법 십육진법(十六進法, hexadecimal)은 16을밑으로 하는 기수법이다. 보통 0부터 9까지의 수와 A에서 F 까지의 로마 문자를 사용하고, 이때 대소문자는 구별 하지 않는다. 이진법 표기의 4자리와 십육진법 한 자 리가 일대일 대응하며, 2진수가 많이 쓰이는 컴퓨터 에서 2진수를 대신해 많이 쓰이고 있다. 96
- 97.
- 98.
- 99. 진법 표현 bin, oct,hex를 이용해서 이진법, 팔진법, 16진 법을 표현함 99
- 100.
- 101. 비트연산자 : and,or, xor Operator Description & Binary AND 서로 같은 비트가 있는 경우만 표시 | Binary OR 서로 같은 경우 또는 다른 경우도 전 부 표시 ^ Binary XOR 다른 경우만 표시 101
- 102. 비트연산자 : ~,<<, >> Operator Description ~ Binary Ones Co mplement 1의 보수 구하기 << Binary Left Shift 좌축으로 비트 이동. >> Binary Right Shi ft 우축으로 비트이동. 102
- 103. 대수의 법칙 Moon YongJoon 103
- 104.
- 105. 연산 우선순위 연산자에 대한우선순위는 PEMDAS로 처리 105
- 106.
- 107. 수학에서, 집합 S에 이항연산 * 이 정의되어 있을 때, S의 임의의 두 원소 a, b 에 대해 a * b = b * a가 성립하면, 이 연산은 교환법칙(交換法則, commutative law)을 만족한다고 한다 교환법칙을 만족하는 연산의 예를 들어보면 다음과 같다. 유리수, 실수, 복소수에서 덧셈과 곱셈. 행렬, 벡터의 덧셈 집합의 교집합, 합집합 연산 교환법칙 수학에서 순서와 상관없이 다른 항을 바꿔 계산 해도 동일한 값이 나오는 법칙 107
- 108. 교환법칙 : 덧셈과곱셈 수학에서 순서와 상관없이 다른 항을 바꿔 계산 해도 동일한 값이 나오는 법칙 108
- 109.
- 110. 수학에서 결합법칙(結合 法則,associated law)은 한 식에서 연산 이 두 번 이상 연속될 때, 앞쪽의 연산을 먼저 계산한 값과 뒤쪽의 연산을 먼저 계산한 결과가 항상 같을 경우 그 연산은 결합법칙을 만족한다고 한다. 결합법칙을 만족하는 연산의 예를 들어보면 다음과 같다. 실수와 복소수, 사원수의 덧셈과 곱셈은 결합법칙이 성립한 다. 최대공약수와 최소공배수 함수는 결합법칙을 만족한다. 행렬 곱셈은 결합법칙을 만족한다. 결합법칙 연산이 두 번 이상 연속될 때 연산을 묶어서 처리 110
- 111. 결합법칙 연산이 두 번이상 연속될 때 연산을 묶어서 처리 111
- 112.
- 113. 집합 S와 S에대해 닫혀있는 이항 연산 *가 정의되어 있을 때, S의 임의의 원소 a, b, c에 대해 a * (b + c) = (a * b) + (a * c)가 성립 하면 좌분배법칙이, (b + c) * a = (b * a) + (c * a)가 성립하면 우 분배법칙이 성립한다고 하며 양쪽모두 성립할 경우 집합 S에서 연 산 *에 대해 분배법칙이 성립한다고 한다. 분배법칙을 만족하는 연산의 예를 들어보면 다음과 같다. 임의의 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수의 곱셈 ×은 덧 셈 ＋에 대해 분배법칙이 성립한다. 합집합 연산 ∪은 교집합 연산 ∩에 대해 분배법칙이 성립하 고, 교집합 연산 ∩은 합집합 연산 ∪에 대해 분배법칙이 성 립한다. 또한, 교집합 연산은 대칭자 연산에 대해 분배법칙 이 성립한다. 분배법칙 수학에서 이항연산 *와 묶음이 있을 경우 분배하 면 동일한 처리값이 나오는 법칙 113
- 114. 분배법칙 수학에서 순서와 상관없이다른 항을 바꿔 계산 해도 동일한 값이 나오는 법칙 114
- 115.
- 116. 공약수/최대공약수 공약수, 최대공약수, 서로소용어 정의 공약수 두 개 또는 그 이상의 자연수가 있을 때 그 자연수들의 공통인 약수. 최대공약수 공약수들 중에서 가장 큰 수.12의 약수={1,2,3,6,12} 16의 약수={1,2,4,8,16} 18의 약수={1,2,3,6,9,18} 에서 12와 16의 공약수 → 1,2,4 → 최대공약수는 4 12, 16, 18의 공약수 → 1,2 → 최대공약수는 2 서로소 공약수가 1 하나 뿐인 두 자연수 사이의 관계 (예) 8의 약수={1,2,4,8}, 9의 약수={1,3,9}에서 8과 9의 공약수는 1 한 개 뿐이므로 8과 9는 서로소 116
- 117. 서로소 최대공약수가 1인, 둘이상의 양의 정수들은 서로 소(relatively prime)이라고 불린다. 두 정수가 1 이외에 양의 공약수를 가지지 않으면 서로소이다. 117
- 118.
- 119. 대입 대입(代入, substitution) 또는변수변환(變數變 換, change of variables)은 수식의 특정 변수를 일정한 값 또는 다른 수식으로 치환하는 행위 119
- 120.
- 121. 분모의 유리화 유리화(Rationalization)는 무리수가있는 분수에 서, 분모 부분을 유리수로 바꾸는 과정을 말한다 121 분모와 분자에 분모를 곱하면 무리수가 유리 수로 변경됨
- 122. PYTHON 연산자와 OPERATOR 모듈의 대수의 법칙 MoonYong Joon 122
- 123.
- 124. 연산자와 special method python문법의 연산자는 각 type class 내부에 대 응하믄 special method가 존재 연산자 Special Method 각 타입별로 연산자는 special method와 매칭 124
- 125. 연산자 우선순위 순위 구분Operator Description 0 그룹 ( ) Parentheses (grouping) 1 함수 f(args...) Function call 2 참조 x[index:index] Slicing 3 참조 x[index] Subscription 4 참조 x.attribute Attribute reference 5 산술 ** Exponentiation(제곱) 6 비트 ~x Bitwise not 7 부호 +x, -x Positive, negative 8 산술 *, /, % Multiplication, division, remainder 9 산술 +, - Addition, subtraction 10 비트 <<, >> Bitwise shifts 11 비트 & Bitwise AND 12 비트 ^ Bitwise XOR 13 비트 | Bitwise OR 14 비트 in, not in, is, is not, <, <=, >, >=,<>, !=, == Comparisons, membership, identity 15 논리 not x Boolean NOT 16 논리 and Boolean AND 17 논리 or Boolean OR 18 함수 lambda Lambda expression 125
- 126.
- 127. 부호연산 숫자 객체에 대한부호 변환하는 연산 Operation 연산자 Function Method Negation (Arithmetic) - a neg(a) x.__neg__() Positive + a pos(a) x.__pos__() 127
- 128. 부호변환 예시 숫자 타입의부호를 변환 128
- 129.
- 130. 산술연산 : 정방향 숫자객체들에 대한 수학적인 산술연산 Operation 연산자 Function Method addition x + y add(a, b) x.__add__(y) subtraction x - y sub(a, b) x.__sub__(y) multiplication x * y mul(a, b) x.__mul__(y) division x / y div(a, b) x.__div__(y) division x / y truediv(a, b) x.__truediv__(y) floor division x // y floordiv(a, b) x.__floordiv__(y) modulo (remainder) x % y mod(a, b) x.__mod__(y) floor division & modulo divmod(x, y) N/A x.__divmod__(y) raise to power x ** y pow(a, b) x.__pow__(y) 130
- 131. 산술연산 예시: operator모듈 Operator 모듈을 import해서 사용 131
- 132. 산술연산 예시: intmethod Int class 내의 special method 이용해 계산 132
- 133. 산술연산 예시: 연산자 python문법의 연산자 이용 133
- 134. 산술연산 : 역방향 수학적인산출연산에 대한 역방향 메소드 제공 계산 결과는 정방향과 동일 Operation 연산자 Function Method addition x + y add(a, b) y.__radd__(x) subtraction x - y sub(a, b) y.__rsub__(x) multiplication x * y mul(a, b) y.__rmul__(x) division x / y div(a, b) y.__rdiv__(x) division x / y truediv(a, b) y.__rtruediv__(x) floor division x // y floordiv(a, b) y.__rfloordiv__(x) modulo (remainder) x % y mod(a, b) y.__rmod__(x) floor division & modulo divmod(x, y) N/A y.__rdivmod__(x) raise to power x ** y pow(a, b) y.__rpow__(x) 134
- 135. 산술연산 역방향 예시 사칙연산이정방향이나 역방향이나 계산은 동일 135
- 136.
- 137. 비트연산 설명 비트연산에 대해서는실제 숫자의 비트를 가지고 연 산 Operation 연산자 설명 left bit-shift x << y y만큼 왼쪽으로 bit 이동 : 산식은 (x * (2** y) ) right bit-shift x >> y y만큼 오른쪽으로 bit 이동 : 산식은 (x // (2** y) ) bitwise and x & y x와 y이 동일한 비트값만(1 또는 0) 남고 동일하지 않으면 0 처리 bitwise xor x ^ y x와 y에서 서로 대응되지 않는 값만 남김 bitwise or x | y x와 y에서 1이 있는 값은 1로 처리 0이 동일한 경우 0 처리 Bitwise Inversion ~ a a의 비트를 반대로 표시 137
- 138. 비트연산 python 연산자,operator 모듈내의함수와 int 메소 드간의 관계 Operation 연산자 Function Method left bit-shift x << y lshift(a, b) x.__lshift__(y) right bit-shift x >> y rshift(a, b) x.__rshift__(y) bitwise and x & y and_(a, b) x.__and__(y) bitwise xor x ^ y xor(a, b) x.__xor__(y) bitwise or x | y or_(a, b) x.__or__(y) Bitwise Inversion ~ a invert(a) x.__invert__() 138
- 139.
- 140.
- 141. augmented operator python에서는 할당연산자와일반연산자를 축약해 서 사용 X += Y X = X+ Y 141
- 142. 사칙연산 사칙연산 Operation 연산자 FunctionMethod addition x += y iadd(a, b) x.__iadd__(y) subtraction x -= y isub(a, b) x.__isub__(y) multiplication x *= y imul(a, b) x.__imul__(y) division x /= y idiv(a, b) x.__idiv__(y) division x /= y itruediv(a, b) x.__itruediv__(y) floor division x //= y ifloordiv(a, b) x.__ifloordiv__(y) modulo (remainder) x %= y imod(a, b) x.__imod__(y) raise to power x **= y ipow(a, b) x.__ipow__(y) 142
- 143. 증가비트연산 비트연산과 할당연산을 같이사용 Operation 연산자 Function Method left bit-shift x <<= y ilshift(a, b) x.__ilshift__(y) right bit-shift x >>= y irshift(a, b) x.__irshift__(y) bitwise and x &= y iand_(a, b) x.__iand__(y) bitwise xor x ^= y ixor(a, b) x.__ixor__(y) bitwise or x |= y ior_(a, b) x.__ior__(y) 143
- 144.
- 145. 논리연산 논리연산은 boolean 값을비교해서 처리 Operation Syntax Function Method and Logical AND a and b NA NA or Logical OR a or b NA NA Negation (Logical) not a not_(a) NA 145
- 146.
- 147.
- 148.
- 149. 방정식 방정식(方程式, equation)은 식에있는 특정한 문 자의 값에 따라 참/거짓이 결정되는 등식이다. 이때, 방정식을 참이 되게 하는 특정 문자의 값을 해 또는 근이라 한다. 149 항등식 방정식 X의 해는 2,3
- 150. 상수항 상수항은 다항식이나 방정식에서변수 또는 미지 수를 포함하지 않은 항이다. 예를 들면, 다항식 a0xn＋a1xn-1＋…＋an-1x＋an 에서는 변수 x를 포함하지 않은 항 an을, 또 방정 식 a0xn＋a1xn-1＋…＋an-1x＋an＝0에서는 미지 수 x를 포함하지 않은 항 an을 상수항이라 한다. 150
- 151. 다항방정식 일차방정식, 이차방정식, 삼차방정식,고차방정 식 등과 같이 미지수에 대한 다항식으로만 이루 어진 방정식을 다항 방정식이라고 한다 151 다항 방정식 정의 다항 방정식 해
- 152.
- 153. 일차방정식 일차방정식(Linear equation) 또는선형 방정식 은 최고차항의 차수가 1인 방정식을 뜻한다. 153 a0x1+a1x0 a0 = a a1 = b n=1 일 경우
- 154. 일차방정식 풀이 일차방정식에서 상수를좌변으로 이항한 후에 변 수앞에 있는 계수로 양변을 나누면 x 값을 정함. 154
- 155.
- 156. 이차방정식 이차 방정식(二次方程式, quadraticequation)이 란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다 156 a0x2+a1x1+a2x0 a0 = a a1 = b a2 = c n=2 일 경우
- 157. 이차방정식의 해 이차 방정식은아래처럼 상수항을 이용해서 근의 공식으로 해를 구할 수 있음 157 근의공식
- 158.
- 159. 부등식 부등식(不等式, inequality)은 두수에 대한 크기 비교를 나타내는 식이다. 부등식은 두 수 및 그 사 이의 부등호(不等號, inequality sign)로 구성된 다. 159
- 160. 추이적관계 임의의 세 원소a, b, c에 대하여 정의된 이항관 계이 추이적 관계(推移的關係,transitive relation) 라 함 160
- 161.
- 162.
- 163. 수식평가 : +/- 수식을만들고 subs, evalf, replace로 평가하 기 163
- 164. 수식평가 : *,/ 수식을 만들고 subs, evalf, replace로 평가하 기 164
- 165.
- 166. 방정식 풀기 2차 방정식을전개는 expand 함수로 처리하고 해는 solve 함수로 구함 166
- 167.
- 168.
- 169. 관계연산 python 내의 객체간의 순서와 동등 관계를 처리하 는 연산자 Operation 연산자 Function Method Ordering a < b lt(a, b) x.__lt__(y) Ordering a <= b le(a, b) x.__le__(y) Equality a == b eq(a, b) x.__eq__(y) Difference a != b ne(a, b) x.__ne__(y) Ordering a >= b ge(a, b) x.__ge__(y) Ordering a > b gt(a, b) x.__gt__(y) 169
- 170.
- 171.
- 172. 곱셈 공식(-公式, multiplication) 다항식의곱셈을 할 때 빠르고 편리하게 계산할 수 있도록 한 공식이다. 곱셈 공식의 양변을 바꾸 면 인수분해 공식이 된다. 172
- 173. 피타고라스 정리 피타고라스 정리를이용해서 하나의 변수를 제곱 근 곱셈공식으로 전환해서 처리. 173
- 174. 제곱근 연산 제곱근 연산도곱셈 공식을 이용해서 결과를 처 리 174
- 175.
- 176. 인수분해 인수 분해(因數分解, factorization)는곱이 정의 된 집합내의 어떤 원소를 다른 원소들의 곱으로 표현하는 것을 가리킨다 176
- 177. 인수분해 공식 인수 분해주요 공식 177
- 178. 인수분해 예시 인수 분해주요 공식을 이용한 처리 예시 178
- 179.
- 180. 이항정리 이항정리(二項定理, binomial theorem)는이항 다항식 x+y의 거듭제곱 (x+y)n에 대해서, 전개 한 각 항 xkyn-k의 계수 값을 구하는 정리 180
- 181. 이항정리 : 전개 다항식(a+b)3의 전개식에서 각 항의 계수를 조 합의 수를 이용하여 나타내는 방법 (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb =a3+3a2b+3ab2+b3 =a3+3C1a2b+3C2ab2+b3 3C1 = 3P1/1! = 3!/2!/1! = 3 3C2 = 3P2/2! = 3!/1!/2! = 3 181
- 182. 이항정리 : 파스칼방식 다항식 (a+b)3의 전개식에서 각 항의 계수를 조 합의 수를 이용하여 나타내는 방법 182
- 183.
- 184.
- 185. cancel 함수 :공통요소 제거 분모와 분자의 공통요소를 제거하는 함수는 cancel로 처리 185
- 186.
- 187. factor 함수 인수분해는 factor함수를 사용하고 전개는 expand 함수를 사용하고 해는 solve함수를 사용 함 187
- 188. factor 함수 :modulus 인수분해를 위한 파라미터를 modulus로 사용하 면 인수분해 불가함 방정식을 조건에 따라 인수 분해 함 188
- 189. factor 함수 :가우시안정수 가우스정수(Gauß整數, Gaussian integer)는 실 수부와 허수부가 모두 정수인 수이다. (a+bi)(a-bi)=a2+b2 로 표현이 가능한 수 189 = (0+i)(0 –i) = -i*I = -(i)**2 = 1 X**2+1은 인수분 해가 안되어서 가 우시안 수로 인수 분해
- 190. factor 함수 :extension 인수분해를 위한 값을 배정해서 처리 190
- 191.
- 192.
- 193.
- 194. 사상 사상(寫像, 영어: morphism)은수학적 구조를 보 존하는 함수의 개념을 추상화한 것이다. 사상이라는 용어는 영어 map에 대응하기도 하는 데, 이 경우 맥락에 따라 함수(function)와 사상 (morphism) 모두의 의미로 사용될 수 있다. 194
- 195. 함수란? 함수(函數, function) f:X→Y란집합X와 집합 Y의 원소 사이에 주어진 다음 성질을 만족하는 대응 으로 정의된다. 195
- 196. 정의역 어떤 함수의 공역(共域,codomain) 또는 공변역 (共變域)은 이 함수의 값들이 속하는 집합이다. 196
- 197. 공역/치역 어떤 함수의 정의역(定義域,domain)은 그 함수의 값이 정의된 집합이다. 함수의 치역(値域, range)이라고 하는 것은 함수의 모든 "출력"값의 집합 197
- 198.
- 199. 단사 함수란? 단사(injective) 또는일대일(one-to-one)이라 하고 일대일인 함수를 단사함수(injection) 또는 일대일 함수(one-to-one function)이라 한다 199
- 200. 전사 함수란? 공역의 모든원소에게 정의역의 적어도 하나의 원소 를 대응시킨다면(즉, 치역이 공역과 같다면) 전사 (surjective) 또는 X에서 Y 로(onto)의 함수라 한다. 전사인 함수를 전사함수(surjection)이라 한다. 200
- 201. 전단사 함수란? f:X→Y가 전사이고단사일 때 f를 전단사(bijective) 라 한다. 전단사인 함수를 전단사함수(bijection) 또 는 일대일 대응(one-to-one correspondence)라 한 다. one-to-one & onto라고도 많이 사용한다. 201
- 202. 초월함수 초월함수(超越函數)란 대수함수와 대조적으로, 계수만으로이루어진 다항식을 만족시키지 않는 함수이다. 초월함수란 유한한 가감승제의 대수 연산으로 표 현할 수 없기 때문에 대수적인 것을 초월하는 함 수이다. 초월함수의 예로 로그함수, 삼각함수 등이 있다. 202
- 203.
- 204. 역함수 f:X→Y 함수에 대한대응관계가 반대로 되는 것을 역함수 즉 f -1: Y → X. 204
- 205. 항등함수 항등함수와 함수를 합성하면결과는 함수와 같다. 함수와 역함수를 합성하면 항등함수가 나옴 205 =
- 206.
- 207. 함수합성 function composition 함수의합성(函數의合成, function composition)은 한 함수의 공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경 우 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다. 이렇게 얻어진 함수를 합성 함수(合成函數 composite function)라고 한다. 207
- 208. 교환법칙 함수의 교환법칙은 반드시성립하지 않는다. 208
- 209.
- 210.
- 211.
- 212. Mapping 타입-dictionary Key/Value로 원소를관리하는 데이터 타입이며 요소들은 변경가능함 참조 container Name 1 값 Name 2 contain er 참조 참조 : : Dictionary Type 212
- 213. Mapping 타입 -dict dict 내의 속성과 메소드들 213
- 214. Mapping 타입 –사용자 클래스 정 의 사용자 클래스 내부에서 dict type 사용하기 214
- 215.
- 216. key 값은 hash mapping타입은 기본 hash 처리가 되는 경우 만 키값을 사용 tuple 내의 리스트 등 mutable이 들어오면 hash를 만들 수 없어 에 러 처리됨 216
- 217.
- 218. Map 타입 -생성 직접 만들거나 dict 생성자를 통해 생성. 항상 key/value 쌍을 구성해야 함 218
- 219.
- 220. Mapping - AccessingElements Key/Value로 원소를 관리하므로 Key를 index 로 원소를 검색 220
- 221. Mapping - UpdatingElements 새로운 key에 할당하면 추가하고 기존 key로 변 경하면 기존 값을 변경함 새로운 key에 할당: 기 존에 없으므로 추가 기존 key에 할당: 기존 에 있는 값을 변경 221
- 222. Mapping - DeleteElements 원소 하나만 삭제, 모든 원소들을 삭제, dict instance 삭제 기존 원소 하나 삭제 Dict 삭제 모든 원소 삭제 222
- 223.
- 224. Mapping– dict 지원내장함수 Dictionary 타입에 원소 하나만 삭제, 원소들을 삭제, dictionary instance 삭제 Function Description cmp(dict1, dict2) Compares elements of both dict. len(dict) Gives the total length of the dictionary. This would be equal to the number of items in the dictionary. str(dict) Produces a printable string representation of a dictionary type(dict) Returns the type of the passed variable. If passed variable is dictionary, then it would return a dictionary type. dict(mapping) Converts a map into list. 224
- 225. Mapping -dict class구조 확인 dict 내의 스페셜 메소드를 제외한 내장 속성 확 인 225
- 226.
- 227. Mapping -dictionary 메소드 MethodDescription dict.clear() Removes all elements of dictionary dict dict.copy() Returns a shallow copy of dictionary dict dict.fromkeys() Create a new dictionary with keys from seq and values set to value. dict.get(key, default=None) For key key, returns value or default if key not in dictionary dict.has_key(key) Returns true if key in dictionary dict, false otherwise dict.items() Returns a list of dict's (key, value) tuple pairs dict.keys() Returns list of dictionary dict's keys dict.setdefault(key, default=None) Similar to get(), but will set dict[key]=default if key is not already in dict dict.update(dict2) Adds dictionary dict2's key-values pairs to dict dict.values() Returns list of dictionary dict's values dict.iteritems() Iterable한 items를 만들기 227
- 228. dict.get() 사용 dict 내부의키가 없을 경우 KeyError가 발생하 므로 get()메소드로 읽어서 처리하면 오류발생을 막을 수 있음 Key 조회시 default 값을 설 정할 수 있음 228
- 229. dict.setdefault()사용 dict에 내의 원소를추가하거나 갱신할 때 default 값을 지정해서 처리 가능 229
- 230. dict.get/setdefault()사용 dict에 내의 원소를추가하거나 갱신하고 이를 [] 연산자나 get 메소드로 호출해서 처리 230
- 231. dict.update() 사용 dict에 dict을연결할때 사용하면 키값이 겹칠 경우는 인자로 전달 받은 값으로 갱신됨 231
- 232. iteritems/iterkeys/itervalues dict 타입을 iterable로전환해서 처리하는 메소 드 232
- 233.
- 234. 버전변경 keys,items 등이 메소드결과가 리스트 타입에 서 객체타입으로 변경 Notes Python 2 Python 3 ① a_dictionary.keys() list(a_dictionary.keys()) ② a_dictionary.items() list(a_dictionary.items()) ③ a_dictionary.iterkeys() iter(a_dictionary.keys()) ④ [i for i in a_dictionary.iterkeys()] [i for i in a_dictionary.keys()] ⑤ min(a_dictionary.keys()) no change 234
- 235. 메소드 결과 타입변경 keys, values, items 메소드 리턴타입이 list에 서 dict 타입으로 변경 235
- 236. dict.key/values/items() python 버전 변경에서list 타입이 dict_keys, values,items 타입으로 변경되어 동일한 결과를 인지하려면 list()로 변환 필요 버전에 따 른 변경 236
- 237. dict.key/values/items: for문 python 3.대에서도 for문에서는 실제 값만 처 리됨 237
- 238. dict.key: set 연산 python3. 대에서도 set 연산을 이용해서 처리 가능 238
- 239.
- 240. dict.viewitems() 사용 dict 타입내의 키와 값을 view 타입으로 처리하 는 객체 버전3에서 통합 됨 240
- 241. viewitems/viewkeys() dict 타입에서 viewitems/viewkeys메소드 처 리함 결과로 set 연산을 처리할 수 있음(3버전에 서는 keys()/items() 동일함) 241
- 242.
- 243. Dict Comprehension 사전 정의시값을 정하지 않고 호출 시 사전 내의 값들이 처리되도록 구성 A = {표현식 for (k,v) in sequence if 논리식} 243
- 244. Dict Comprehension :단순 dict 타입에 대한 comprehension 생성 A = {표현식 for i in sequence if 논리식} 244
- 245. dict Comprehension :다중 dict 내의 다중 for문을 이용해서 처리 A = {표현식 for i in sequence for j in sequence if 논리식} 245
- 246. PYTHON SYMPY 함수 그래프 Moon YongJoon 246
- 247.
- 248. 1차 함수 그래프 1차함수를 만들고 plot 함수로 그래프 그리기 248
- 249. 2차 함수 그래프 2차함수를 만들고 plot 함수로 그래프 그리기 249
- 250. 여러 개 그래프그리기250
- 251. 두개 함수 그래프 1차,2차함수를 만들고 plot 함수로 그래프 그 리기 251
- 252. 그래프 선 색상변경하기 plot 함수 결과에 line_color 변수에 색상을 할 당 252
- 253.
- 254. 1차 함수 그래프: x축 범위 1차 함수를 만들고 plot 함수에서 (x,-5,5)를 제 공해서 x축 범위를 제한 254
- 255. Plot 함수에서 그래프통합 축 제한 1차함수와 2차함수의 x축이 제한을 통합해서 제한하려면 튜플로 하나만 표시 255
- 256. Plot 함수에서 각그래프별 축 제한 1차함수와 2차함수의 x축이 제한이 다르게 표 시하려면 각 그래프별로 x축에 대한 제한을 별도 로 넣어줘야 함 256
- 257.
- 258. 1차 함수 그래프: y축 범위 1차 함수를 만들고 plot 함수에서 ylim=(y,-5,5) 를 제공해서 y축 범위를 제한 258
- 259.
- 260. 그래프 설명자료:legend 그래프에 대한설명자료 legend 260
- 261. 1차 함수 그래프꾸미기 그래프 내의 텍스트 정보(title, xlabel, ylabel) 를 제공해서 그래프 꾸미기 261
- 262.
- 263. 자동 그래프 표시제한 sympy는 plot함수만 작동해도 그래프가 그려진 다. show=False 파라미터를 제공해서 자동 그 리기를 제한 263
- 264.
- 265. show메소드 사용 sympy는 plot함수만작동해도 그래프가 그려진 다. show=False 파라미터를 제공해서 자동 그 리기를 제한 265
- 266.
- 267. 다중 plot 사용하기1 여러 plot 함수로 그래프를 그리면 각 plot별로 그래프가 그려짐 267
- 268. 다중 plot 사용하기: 2 여러 plot 함수로 그래프 그리기 268
- 269. 하나의 plot에 여러그래프 넣기 하나의 그래프에 산식을 여러 개 넣으면 하나의 plot에 그래프가 통합해서 그려짐 269
- 270.
- 271. append로 plot 추가 append메소드로 plot 처리를 하나로 합치기 271
- 272. extend로 plot 추가 extend메소드로 plot 처리를 하나로 합치기 272
- 273.
- 274.
- 275.
- 276. ndarray와 matrix 구분 다차원배열을 생성하지만 matrix는 MATLAB 기능 을 지원 구분 ndarray matrix 차원 다차원 가능 2 차원 * 연산자 요소간 곱 행렬곱 numpy.multiply() 요소간 곱 요소간 곱 numpy.dot() 행렬곱 행렬곱 276
- 277. 배열과 vector 구분: ndarray Array와 vector 구분 생성 277
- 278. ndarray와 matrix 연산비교 Matrix는 dot/* 처리가 동일, ndarry는 */multiply 가 동일 278
- 279.
- 280.
- 281. 스칼라/벡터/행렬 스칼라는 number, vector는숫자들의 list(row or column), matrix는 숫자들의 array( rows, columns) 그리고 vector는 Matrix 281
- 282. 배열과 vertor 구분 ndarray는 벡터 1xN, Nx1, 그리고 N크기의 1차원 배열이 모두 각각 다르며, 벡터는 그 자체로 특정 좌 표를 나타내기도 하지만 방향을 나타냄 scalar 배열 vector 양, 정적 위치 양, 정적 위치 변위, 속도, 힘(방향성) 1차원 N 차원 N 차원 단순 값 행,열 구분 없음 행벡터, 열벡터 282
- 283.
- 284. 벡터란 크기(magnitude)와 방향(direction)을 표시 벡터는tail부터 head까지의 유향선분으로 표시 284
- 285.
- 286. 벡터 크기 벡터의 크기는||v|| = sqrt(v0^2 + v1^2 + v2^2... + vn^2) 로 표현 벡터 b = (6,8) 의 크기 |b| = √( 62 + 82 ) = √( 36+64 ) = √100 = 10 286
- 287. Vector 크기 계산 벡터의크기(Magnitude)는 원소들의 제곱을 더 하고 이에 대한 제곱근의 값 벡터의 크기는 x축의 변위와 y축의 변위를 이용 하여 피타고라스 정리 287
- 288.
- 289. 단위벡터 단위벡터(unit vector)는 크기가1인 벡터 크기가 1인 벡터 표기법은 문자에 모자(hat)을 사용해서 표시 모든 벡터는 단위벡터에 대해 sclae 배수 만큼의 크기를 가진 벡 터 289
- 290. 단위벡터 정규화 해당 벡터를0 ~ 1의 값으로 정규화 290
- 291.
- 292. 벡터: + The vector(8,13) and the vector (26,7) add up to the vector (34,20) Example: add the vectors a = (8,13) and b = (26,7) c = a + b c = (8,13) + (26,7) = (8+26,13+7) = (34,20) a b a b c 292
- 293. Vector 연산: + 두벡터 평행 이동해 평행사변형을 만든 후 가운데 벡터가 실제 덧셈한 벡터를 표시 e d f e d 293
- 294. 벡터 : - 벡터의방향성을 반대로 이동한 실제 벡터를 처리 Example: subtract k = (4,5) from v = (12,2) a = v + −k a = (12,2) + −(4,5) = (12,2) + (−4,−5) = (12−4,2−5) = (8,−3) 294
- 295. Vector 연산: - 두벡터 반대 방향으로 평행 이동해 평행사변형을 만든 후 가운데 벡터가 실제 덧셈한 벡터를 표시 e d g -e -e 295
- 296. 벡터: 스칼라곱 벡터의 각원소에 스칼라값만큼 곱하여 표시 벡터 m = [7,3] A = 3m= [21,9] 296
- 297. Vector 연산: 스칼라곱 스칼라배수 만큼 벡터 내의 원소값이 커짐 d 3d 297
- 298.
- 299. 내적 vs 외적 구분내적 외적 명칭 Inner product, dot product, scalar product Outer product, vector product, cross product 표기 .(Dot) X(cross) 대상 벡터 n 차원 3 차원 공식 a1 b1 + a2 b2 + …. + an bn (a2 b3 – a3 b2, a3 b1 – a1 b3, a1 b2 – a2 b1) |a||b| cos 각도 |a||b| sin각도 n 결과 scalar vector 299
- 300. 벡터 내적과 외적 이해하기 Moon YongJoon 300
- 301.
- 302. 내적 산식 내적(Inner Product)산식은두벡터의 크기에 cos각 을 곱한 결과 또는 두벡터간의 원소들이 곱의 합산 과 같은 결과 a · b = |a| × |b| × cos(θ) Where: |a| : vector a 크기 |b| : vector b 크기 θ : a and b 사이의 각 a · b = ax × bx + ay × by 302
- 303. 내적 수학적 예시: 2 차원 두벡터에 내적 연산에 대한 수학적 처리 예시 a · b = |a| × |b| × cos(θ) a · b = 10 × 13 × cos(59.5°) a · b = 10 × 13 × 0.5075... a · b = 65.98... = 66 (rounded) a · b = ax × bx + ay × by a · b = -6 × 5 + 8 × 12 a · b = -30 + 96 a · b = 66 303
- 304. 3차원 내적 예시1 Dot 연산을 통한 계산 a · b = ax × bx + ay × by + az × bz a · b = 9 × 4 + 2 × 8 + 7 × 10 a · b = 36 + 16 + 70 a · b = 122 304
- 305. 3차원 내적 예시2 두벡터 사이의 각 구하기 a벡터의 크기 |a| = √(42 + 82 + 102) = √(16 + 64 + 100) = √180 b벡터의 크기 |b| = √(92 + 22 + 72) = √(81 + 4 + 49) = √134 내적 구하기 a · b = 9*4+ 2*8+ 7*10 = 36+16+70 = 122 각 구하기 a · b = |a| × |b| × cos(θ) 산식에 대입 122 = √180 × √134 × cos(θ) cos(θ) = 122 / (√180 × √134) cos(θ) = 0.7855... θ = cos-1(0.7855...) = 38.2...° 305
- 306. 내적(dot) 예시 두벡터에 대한내적(dot) 연산은 같은 위치의 원 소를 곱해서 합산함 두벡터의 곱셈은 단순히 원소를 곱해서 벡터를 유지 306
- 307. vdot: vector 벡터(2차원)일 경우도스칼라(dot)로 처리 307
- 308.
- 309. 외적 벡터 a 와b 의 외적은 a × b 로 정의된다. 외적의 결과로 나온 벡터 c 는 벡터 a 와 b 의 수직 인 벡터로 오른손 법칙의 방향 Vector product Cross product 309
- 310. 외적 산식 :2차원 벡터의 원소간의 cross 적을 처리 v = [a1,a2] u = [b1,b2] a1 a2 b1 b2 a1*b2 – a2*b1 Example: The cross product of a = (2,3) and b = (5,6) c = a1b2 − a2b1 = 2×6− 3×5 = −3 Answer: a × b = -3 310
- 311. 외적 산식 :3차원 벡터의 원소간의 cross 적을 처리 v = [a1,a2,a3] u = [b1,b2,b3] a2 a3 a1 a2 b2 b3 b1 b2 x 축 : a2*b3 – a3*b2 y 축 : a3*b1 – a1*b2 z 축 : a1*b2 – a2*b1 Example: The cross product of a = (2,3,4) and b = (5,6,7) cx = aybz − azby = 3×7 − 4×6 = −3 cy = azbx − axbz = 4×5 − 2×7 = 6 cz = axby − aybx = 2×6 − 3×5 = −3 Answer: a × b = (−3,6,−3) 311
- 312. 외적 산식예시 두벡터에 대한외적(cross) 연산은 다른 위치의 원소를 곱해서 뺄셈 2차원 벡터는 스칼라 값으로 나옴 3차원 벡터이 상 표시 됨 312
- 313.
- 314. inner 계산 방식 A= [[a1,b1] B = [[a2,b2]] numpy.inner(A,B) array([[a1*a2 + b1*b2]]) [[1*4+0*1]] 1 0 4 1 1 0 4 1 4=. 314
- 315. Inner 예시 벡터의 내부곱한 것을 더해서 값을 표현 315
- 316. dot/inner: 예시 벡터(2차원)일 경우2차원으로 표시 316
- 317. outer A = [[a1,b1]]B = [[a2,b2]] numpy.outer(A,B) array([[a1*a2 , a1*b2][ b1*a2, b1*b2]]) [[1*4,1*1] [0*4+0*1]] 1 0 4 1 1 0 4 1 4 1 0 0 = 317
- 318. outer 예시 벡터의 내부곱한 것을 더해서 값을 표현 첫번째 벡터의 전치와 두번째 벡터와의 Dot 연 산과 같은 결과 318
- 319. PYTHON MATRIX CLASS로 VECTOR 이해하기 MoonYong Joon 319
- 320.
- 321. Vector 연산: + 두벡터 평행 이동해 평행사변형을 만든 후 가운데 벡터가 실제 덧셈한 벡터를 표시 e d f e d 321
- 322. Vector 연산: - 두벡터 반대 방향으로 평행 이동해 평행사변형을 만든 후 가운데 벡터가 실제 덧셈한 벡터를 표시 e d g -e -e 322
- 323. Vector 연산: 스칼라곱 벡터를스칼라 곱 만큼 커짐 d 3d 323
- 324.
- 325. Vector 크기 계산 벡터의크기(Magnitude)는 원소들의 제곱을 더 하고 이에 대한 제곱근의 값 벡터의 크기는 x축의 변위와 y축의 변위를 이용 하여 피타고라스 정리 325
- 326.
- 327. Vector 연산: 내적(dot) 두벡터에대한 내적(dot) 연산은 같은 위치의 원 소를 곱해서 합산함 327
- 328.
- 329. Vector 연산: 외적(cross) 두벡터에대한 외적(cross) 연산은 다른 위치의 원소를 곱해서 뺄셈 2차원 벡터는 array로 나옴 3차원이상으 matrix로 표시 됨 329
- 330.
- 331.
- 332. 행렬 매트릭스라고도 하는데 행렬의가로 줄을 행, 세 로 줄을 열로 표시함 332
- 333.
- 334. 대각행렬 정사각행렬 A＝(aij)(i, j＝1,2, 3,…, n)의 원소 aij가 aij=0(i≠j)을 만족시키는 행렬 A의 주대각선 위에 있는 원소(대각선원소) aij(i＝j) 외의 원소 aij(i≠j)가 모두 0인 행렬 334
- 335.
- 336. 항등행렬 모든 행렬과 닷연산시 자기 자신이 나오게 하는 단위행렬 import numpy as np a = np.array([[1,0],[0,1]]) b = np.array([[4,1],[3,2]]) print(np.dot(b,a)) print(np.dot(a,b)) [[4 1] [3 2]] [[4 1] [3 2]] 336
- 337.
- 338. 삼각행렬 상삼각 행렬(Upper triangularmatrix) 과 하삼각 행렬(lower triangular matrix )을 총칭하여 일컫는 말. Upper triangular matrix lower triangular matrix 338
- 339.
- 340. 행렬 산술연산 두 행렬의원소별로 산술연산(+/-/*) 처리 + - * / = + - * / + - * / + - * / + - * / + - * / + - * / 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 + = 1+1 2+2 3+3 4+4 5+5 6+6 = 2 4 6 8 10 12 340
- 341. 행렬 산술연산 예시 행렬에대한 산술연식은 각 원소별로 +/-/* 처리 341
- 342.
- 343. 행렬 전치 전치: 행렬의행과 열을 서로 바꾸는 것. 수학책에서는 위첨자 T로 행렬 A의 전치를 나타 낸다. 121110 987 654 321 A 12963 11852 10741 T A 343
- 344. 행렬 전치 예시 python은기본 속성에서 T 변수를 제공하고 numpy 모듈에서 transpose 함수 제공 344
- 345.
- 346. dot vs inner차이점(2차원이상) Dot와 inner 함수는 계산시 축 기준이 차이가 있어 실제 계산된 값이 다름 dot inner 행과 열로 계산 행과 행으로 계산 행벡터와 열벡터 간의 원소를 곱한후 덧셈 행벡터와 행벡터간의 원소를 곱한후에 덧셈 N*M 과 M*N 즉, 첫번째 열과 두번째 행이 동일 N*M과 N*M에 마지만 차원이 같은 경우 N*M . M*N 은 결과가 N*N N*M과 N*M 은 결과가 N*N 346
- 347. dot 처리 기준1*p, p*1 두 행렬 A와 B의 행렬곱셈은 행렬 A의 각 행과 행 렬 B의 각 열끼리 곱해서 표시 AB 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 … 𝑎 𝑝 𝑏 𝑝 paaa 21A pb b b 2 1 B 1행*p열 P행1열 1행1열 347
- 348. dot 처리 기준 두행렬 A와 B의 행렬곱셈은 행렬 A의 각 행과 행 렬 B의 각 열끼리 곱해서 표시 pnpjpp inijii nj nj mpmjmm ipijii pj pj bbbb bbbb bbbb bbbb aaaa aaaa aaaa aaaa 21 21 222221 111211 21 21 222221 111211 AB pm np nm 2 3 3 3 348
- 349. dot : 2차원 A= [[a1,b1],[c1,d1]] B = [[a2,b2],[c2,d2]] numpy.dot(A,B) array([[a1*a2 + b1*c2, a1*b2 + b1*d2], [c1*a2 + d1*c2, c1*b2 + d1*d2]) [[1*4+ 0*2, 1*1+0*2],[0*4+1*2, 0*1+1*2]] 1 0 0 1 4 1 2 2 1 0 0 1 4 1 2 2 4 1 2 2 =. 349
- 350. dot 예시 Numpy.dot 메소드처리 350
- 351.
- 352. 행렬식(det) 정방행렬에 하나의 수를대응시킴으로써, - 연립방정식의 해를 구하거나, - 연립방정식 해의 존재성을 살피려고 할 때 쓰여짐 352
- 353. 행렬식(det) : 2차원 행렬식구하기 3 1 2 2 det = 3*2 – 1*2 = 4 353
- 354. 행렬식(det) : 3차원 행렬식을계산시 앞에 두 열을 뒤에 복사 후 계산 3 1 3 3 1 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 = 3*2*1 – 3*2*1 + 1*3*1 – 3*3*1 + 3*2*1 – 1*2*1 = 6 – 6 + 3 -9 + 6 -2 = 15 – 17 = -2 354
- 355.
- 356.
- 357. 소행렬식 2차원 i번째 행,j번째열을 제거한 부분행렬의 행렬식 : Mij 2 1 1 2 M11 2 M12 M21 -1 -1 2 1 1 부호 + 부호 – 부호 – 부호 +M22 22 357
- 358. 소행렬식 3차원 i번째 행,j번째열을 제거한 부분행렬의 행렬식 : Mij 3 1 3 2 2 3 1 1 1 M11 2*1 -3*1 -1 M12 M13 2*1 -3*1 -1 2*1 -2*1 0 2 3 1 1 2 3 1 1 2 2 1 1 = 3M11+(-1)* 1M12 + 3M13 = -3+1+0 = -2 부호 + 부호 – 부호 + 358
- 359. 소행렬식 예시 소행렬식을 구해서행렬식 값 비교 359
- 360.
- 361. 여인수(cofactor) 소행렬식을 이용한 값을여인수를 표시 3 1 3 2 2 3 1 1 1 소행렬식 부호 결과값 m11 2 3 1 1 2-3 -1 + -1 m12 2 3 1 1 2-3 -1 - 1 m13 2 2 1 1 2-2 0 + 0 m21 1 3 1 1 1-3 -2 - 2 m22 3 3 1 1 3-3 0 + 0 m23 3 1 1 1 3-1 2 - -2 m31 1 3 2 3 3-6 -3 + -3 m32 3 3 2 3 9-6 3 - -3 m33 3 1 2 2 6-2 4 + 4 361
- 362. 수반행렬(adj) 과 여인수행렬 소행렬식으로계산된 원소 즉 여인수로 구성된 행렬 의 전치행렬을 수반행렬이라 함 -1 2 -3 1 0 -3 0 -2 4 -1 1 0 2 0 -2 -3 -3 4 T 여인수행렬 의 전치 수반행렬 362
- 363. 역행렬(inv) – 2차원 역행렬은수반행렬에 행렬식으로 나눗값이 됨 [[ 0.66666667 -0.33333333] [-0.33333333 0.66666667]] 1/3 * 2 -1 -1 2 역행렬 2 1 1 2 -1 A−1=1/det(A) * CT 363
- 364. 역행렬(inv) – 3차원 역행렬은수반행렬에 행렬식으로 나눗값이 됨 [[ 0.5 -1. 1.5] [-0.5 0. 1.5] [ 0. 1. -2. ]] - 0.5 * -1 2 -3 1 0 -3 0 -2 4 역행렬3 1 3 2 2 3 1 1 1 -1 A−1=1/det(A) * CT 364
- 365.
- 366.
- 367. Dot 처리 기준 두행렬 A와 B의 행렬곱셈은 행렬 A의 각 행과 행 렬 B의 각 행끼리 곱한후 덧셈을 하여 표시 pnpjpp inijii nj nj mpmjmm ipijii pj pj bbbb bbbb bbbb bbbb aaaa aaaa aaaa aaaa 21 21 222221 111211 21 21 222221 111211 AB n*m n*m n*n 두행렬의 마지막 차원이 값으면 처리가 가능하고 결과는 마지막 차원을 제외해서 구성 367
- 368. dot 행렬 n*m 행렬일 경우 2차원으로 표시 368
- 369. dot 예시 :2차원 a(2,2) 행렬과 b(2,2)행렬의 마지막 차수가 같으 므로 계산결과는 n*m, m*n = n*n 369
- 370.
- 371. cross 계산 방식 A= [[a1,b1],[c1,d1]] B = [[a2,b2],[c2,d2]] numpy.cross(A,B) = A.T * B array([[a1*b2 - c1*a2 , b1*d2 – d1*c2]) [[1*1- 0*4,0*2-1*2]] 1 0 0 1 4 2 1 2 1 -2= 371
- 372. Cross 행렬 n*m 행렬일 경우 2차원으로 표시 372
- 373.
- 374. inner 계산 방식 A= [[a1,b1],[c1,d1]] B = [[a2,b2],[c2,d2]] numpy.inner(A,B) array([[a1*a2 + b1*b2, a1*c2 + b1*d2], [c1*a2 + d1*b2, c1*c2 + d1*d2]) [[1*4+0*1,1*2+0*2],[0*4+1*1, 0*2+1*2]] 1 0 0 1 4 1 2 2 1 0 0 1 4 1 2 2 4 2 1 2 =. 374
- 375. Inner 예시 :2차원 a(2,2) 행렬과 b(2,2)행렬의 마지막 차수가 같으 므로 계산결과는 out.shape = a.shape[:-1] + b.shape[:-1] 375
- 376. Inner 예시 :3차원 a(2,3,2) 행렬과 b(2,2)행렬의 마지막 차수가 같 으므로 계산결과는 out.shape = a.shape[:-1] + b.shape[:-1] 376
- 377.
- 378. outer 두개의 벡터를 가지고벡터 크기를 행과 열로 만드 는 함수 1차원이 이상일 경우 1차원으로 만든 후에 행렬로 만듬 1 0 4 1 1 0 4 1 4 1 0 0 = 2 2 2*2 378
- 379. outer: 1 Out는 두개의벡터에 대한 행렬로 구성 out[i, j] = a[i] * b[j] 379
- 380. outer: 2 첫번째 벡터가행이되고 두번째 벡터가 열이 되 어 5*5행렬을 만듬 380
- 381. outer: 3 벡터의 값이문자일 경우 문자 배수만큼 처리 381
- 382.
- 383. tensordot Tensordot 함수에 axes를0으로 줄 경우 tensor product을 연산 383
- 384. tensordot Tensordot 함수에 axes를0으로 줄 경우 tensor product을 연산 = 1 0 0 1 4 1 2 2 1 0 0 1 4 1 2 2 4 1 2 2 4 1 2 2 4 1 2 2 = 4 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 1 2 2,2 2,2 2,2,2,2 384
- 385. tensordot: 예시 1 2차원행렬 2개가 만나 4차원 행렬 구성 385
- 386. tensordot: 예시 2 axes= 0 tensor product, axes = 1 tensor dot product, axes = 2 tenser double contraction 즉 벡터연산 386
- 387.
- 388. Trace : 3차원행렬 3차원(2,2,2) 대각행렬의 합은 첫번째 차원의 1과 두번째의 마지막을 합산해서 출력 0 2 1 3 4 6 5 7 0 1 388
- 389.
- 390. PYTHON MATRIX CLASS로 행렬 이해하기 MoonYong Joon 390
- 391.
- 392. 행렬 n개의 실수의 순서쌍에성분별로 덧셈과 실수상수 곱을 주면[2] 이는 "nn차원" 벡터공간이라 할 수 있 고(, 벡터공간에서 벡터공간으로 가는 함수 중 덧셈 과 상수배를 보존하는 함수를 선형사상을 행렬이라 함 392
- 393. 행렬 생성 Numpy matrix를 이용해서 행렬 생성 393
- 394.
- 395. 행렬 : 내적dot(곱셈) N*M 과 M* N인 행렬에 대한 dot 연산 처리 결과는 M*M으로 나옴 ( xij )( yij )=(∑kxikykj) a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 a1*b1+a1*b3 a2*b2+a2*b4 a3*b1+a3*b3 a4*b2+a4*b4 = . 395
- 396. 행렬 : dot 행렬에대한 dot 연산 처리 396
- 397. 행렬 : 외적cross 행렬에대한 cross는 동등한 행렬일 경우 연산 처리 397
- 398. 행렬 : +/- N*M과 N*M인 행렬에 대한 +/- 연산 처리 결과는 N*M으로 나옴 a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 a1 +/- b1 a2 +/- b2 a3+/- b3 a4 +/- b4 = + / - 398
- 399. 행렬 : +/- 행렬에대한 +/- 연산 처리 399
- 400. 행렬 : 상수배 상수(k) 와 N*M 행렬에 대한 곱은 상수배만큼 증가 함 a1 a2 a3 a4 k* a1 k * a2 k* a3 k* a4 = k 400
- 401. 행렬 : 상수배 행렬에 대한 k 상수만큼 원소별로 곱하는 연산 처리 401
- 402. 행렬 : 전치(transpose) N*M행렬을 M*N을 변환하는 처리 a1 a2 a3 a4 a1 a3 a2 a4 = T 402
- 403. 행렬 : 전치(transpose) N*M행렬을 M*N을 변환하는 방식은 T변수, transpose 메소드가 있음 403
- 404. matmul Matrix 타입일 경우곱셈은 dot 연산과 동일한 결과를 생성함 404
- 405. Matmul: 차원계산 N*m, M*n행렬에 따라 계산이 되지만 1차원인 경우는 행렬 계산을 처리 405
- 406. matrix_power matrix_power는 정방행렬에 대해dot 연산을 제곱승만큼 계산하는 것 406
- 407. matrix_power: 예시 반복적인 dot연산을 처리 407
- 408. PYTHON NUMPY LINALG 함수 이해하기 MoonYong Joon 408
- 409. Matrix and vectorproducts409
- 410. 주요 함수 선형대수에 대한함수들 함수 설명 dot(a, b[, out]) n차원 행렬 n*m m*l에 대한 production(결과는 n*l) vdot(a, b) Vector에 대한 prodution inner(a, b) N 차원 행렬에 대한 Inner product (행렬이 동일해야 함). outer(a, b[, out]) 2개 벡터에 대해 계산 후 행렬로 표시. matmul(a, b[, out]) 두 행렬에 대한 Matrix product (dot과 동일한 결과) tensordot(a, b[, axes]) Compute tensor dot product along specified axes for arrays >= 1-D. linalg.matrix_power(M, n) Raise a square matrix to the (integer) power n. cross(a, b, axisa=-1, axisb=-1, axisc=-1, axis=None) 행렬에 대한 외적을 구함 einsum(subscripts, *operands[, out, dtype, ...]) Evaluates the Einstein summation convention on the operands. kron(a, b) Kronecker product of two arrays. 410
- 411.
- 412. 주요 함수 선형대수에 대한함수들 함수 설명 linalg.cholesky(a) Cholesky decomposition. linalg.qr(a[, mode]) Compute the qr factorization of a matrix. linalg.svd(a[, full_matrices, compute_uv]) Singular Value Decomposition. 412
- 413.
- 414. 주요 함수 선형대수에 대한함수들 함수 설명 linalg.eig(a) Compute the eigenvalues and right eigenvectors of a square array. linalg.eigh(a[, UPLO]) Return the eigenvalues and eigenvectors of a Hermitian or symmetric matrix. linalg.eigvals(a) Compute the eigenvalues of a general matrix. linalg.eigvalsh(a[, UPLO]) Compute the eigenvalues of a Hermitian or real symmetric matrix. linalg.eig(a) Compute the eigenvalues and right eigenvectors of a square array. 414
- 415. Norms and othernumbers415
- 416. 주요 함수 선형대수에 대한함수들 함수 설명 linalg.norm(x[, ord, axis, keepdims]) Matrix or vector norm. linalg.cond(x[, p]) Compute the condition number of a matrix. linalg.det(a) Compute the determinant of an array. linalg.matrix_rank(M[, tol]) Return matrix rank of array using SVD method Rank of the array is the number of SVD sing ular values of the array that are greater than tol. linalg.slogdet(a) Compute the sign and (natural) logarithm of the determinant of an array. trace(a[, offset, axis1, axis2, dtype, out]) Return the sum along diagonals of the array. 416
- 417. Solving equations and invertingmatrices 417
- 418. 주요 함수 선형대수에 대한함수들 함수 설명 linalg.solve(a, b) Solve a linear matrix equation, or system of linear scalar equations. linalg.tensorsolve(a, b[, axes]) Solve the tensor equation a x = b for x. linalg.lstsq(a, b[, rcond]) Return the least-squares solution to a linear matrix equation. linalg.inv(a) Compute the (multiplicative) inverse of a matrix. linalg.pinv(a[, rcond]) Compute the (Moore-Penrose) pseudo-inverse of a matrix. linalg.tensorinv(a[, ind]) Compute the ‘inverse’ of an N-dimensional array. 418
- 419.
- 420. 관계 기초 Moon YongJoon 420
- 421.
- 422. 관계 집합론에서 관계(關係)는 "자연수a가 b보다 작 다"와 같이 두 개의 대상으로 이루어진 튜플 사이 에 정의된 이항관계를 일반화한 것으로, 주어진 n-튜플에 대해 진리값을 부여한다. 앞의 경우와 같이 두 대상 사이에 주어지는 관계 는 이항관계라 하고, "점 a, b, c가 한 직선상에 놓 여있다"와 같이 세 대상 사이에 정의된 관계는 삼 항관계라 한다. 422
- 423. 관계 정의 a 는b 에 대해 R 의 관계가 있음은 두 집합 A, B 에 대하여 A 에서 B 로의 이항관계(binary relation)가 AxB의 부분집합일 때 a∈A 이고 b∈B 인 (a, b)∈R , a Rb 로 나타내기도 함 (a, b)R 일 경우 또는 로 나타내기도 함 정의역(domain) 관계 R 의 순서쌍에서 모든 첫 번째 원소의 집합: dom(R) 치역(range) 모든 두 번째 원소의 집합: ran(R) 423
- 424.
- 425. 관계 표현 :화살도표 화살도표(arrow diagram) 는 두 집합 A, B 가 있을 때 집 합 A 의 원소 a 와 집합 B 의 원소 b 사이에 관계가 성립 하는 경우 그 관계를 화살표로 그려서 나타내는 방법 425
- 426. 관계 표현 :좌표도표 좌표도표(coordinate diagram)는두 집합 A, B 가 있 을 때 집합 A 의 원소 a 를 x 축 위의 점으로 표시하 고, 집합 B 의 원소 b 를 y 축 위의 점으로 표시하여 두 점이 좌표상에서 만나는 점을 나타내는 방법 426
- 427. 관계 표현 :관계행렬 관계행렬(relation matrix)은 두 집합 A, B 에 대 한 관계를 행렬로 표현한 방법. 행렬 안의 모든 원 소들이 0 또는 1인 행렬을 부울행렬(boolean matrix)이라고 함 427
- 428. 관계 표현 :방향그래프 방향그래프(directed graph)는 집합 A의 관계에 대한 방향 그래프를 그리고자 할 때 먼저 A의 원소들을 나타내는 정점 (vertex)을 그리고, 원소 (a, b)가 관계에 속하면 a에서 b로 화살표 모양의 에지(edge)를 그림 428
- 429.
- 430. 관계 종류: 1 1)반사적 관계: 관계 R을 구성하는 집합 A에 대 해서 a ∈ A에 대해 (a,a) ∈ R이라면 관계 R은 반 사적 관계가 된다. 예) A = {a, b, c} R은 (a,a), (b,b), (c,c)의 원소를 모두 포함해야 지 반사적 관계가 성립된다. 2) 비반사적 관계: R을 집합 X에서의 어떤 이항 관계라고 하자. 만일 모든 x ∈ X에 대해 (x,x) !∈ R이면 R은 비반사적이라고 한다. 430
- 431. 관계 종류: 2 3)대칭적 관계: 관계 R을 구성하는 집합 A에 대 해서 a, b ∈ A에 대해 (a,b) ∈ R이고 (b,a) ∈ R 이라면 관계 R은 대칭적 관계가 된다. 예) A = {a, b, c} R에 (a,b)의 원소를 포함하고 있다면 (b,a)의 원소를 가지고 있어야 대칭적 관계가 성립된다. 431
- 432. 관계 종류: 3 4)반대칭적 관계: 관계 R을 구성하는 집합 A에 대해서 a, b ∈ A에 대해 (a,b) ∈ R, (b,a) ∈ R이고 a와 b가 같지 않 은 쌍이 한개이상 존재 하지 않을 경우 예) A = {a, b, c} R1 = { (a,b), (b,a) } 반대칭 관계가 아니다. R2 = { (a,b), (c,a) } 반대칭 관계이다. 5) 추이적 관계: 관계 R을 구성하는 집합 A에 대해서 a, b, c ∈ A에 대해 (a,b) ∈ R 그리고 (b,c) ∈ R 일때 (a,c) ∈ R 이라면 관계 R은 추이적 관계가 된다. 예) A = {a, b, c} R에 (a,b), (b,c)가 있다면 (a,c)가 R에 존재해야 추이적 관계가 된다. 432
- 433. 관계 종류: 4 6)동치 관계: 반사적, 대칭적, 추이적인 이항 관 계를 뜻한다. 즉, 어떤 집합 X과 관계 ~이 있을 때, 임의의 원소 a, b, c에 대해 반사관계: a ~ a 대칭관계: a ~ b => b ~ a 추이관계: a ~ b, b ~ c => a ~ c가 성립한다는 것을 의미한다. 433
- 434.
- 435. Sequence : TupleType435
- 436. Sequence - Tuple기본 처리 tuple타입에 immutable 타입으로 내부 원소에 대해 갱신이 불가능하여 리스트처리보다 제한적 Slicing은 String 처럼 처리가능 Python Expression Results Description T =(1,) (1,) 튜플의 원소가 하나인 경우 생성 꼭 한 개일 경우는 뒤에 꼼마(,)를 붙여야 함 T = (1,2,3,4) (1, 2, 3, 4) 튜플 생성 len((1, 2, 3)) 3 Length 함수로 길이 확인 (1, 2, 3) + (4, 5, 6) (1, 2, 3, 4, 5, 6) 튜플을 합치기 Concatenation ('Hi!‘) * 4 'Hi!Hi!Hi!Hi!' 튜플의 반복을 string으로 표시 3 in (1, 2, 3) True 튜플 내의 원소들이 Membership for x in (1, 2, 3): print x, 1 2 3 튜플의 원소들을 반복자 활용 - Iteration 436
- 437. Sequence- Tuple 용내장함수 내장함수 중에 tuple 타입을 처리 Function Description cmp(tuple1, tuple2) Compares elements of both tuples. len(tuple) Gives the total length of the tuple. max(tuple) Returns item from the tuple with max value. min(tuple) Returns item from the tuple with min value. tuple(seq) Converts a list into a tuple. str(tuple) Produces a printable string representation of a tuple type(tuple) Returns the type of the passed variable. If passed variable is tuple, then it would return a tuple type. 437
- 438. Tuple 속성처리 Tuple 내부속성은 동일한 원소수(count), 특정 값에 대한 위치(index)를 처리만 함 438
- 439.
- 440. Tuple : 동일한객체 처리 Tuple 을 동일한 객체로 처리하려면 별명을 사용 하거나 변수에 할당된 tuple을 copy 처리해야 동 일한 객체를 리턴함 list 특성을 가지고 있어 리터럴도 튜플 초기화시 다른 객체 로 인식 440
- 441.
- 442. Tuple 내의 mutable사용 내장 타입 tuple은 immutable 이지만 원소가 mutable일 경우 값이 변경 가능함. 단, 객체는 변 경되지 않음 442
- 443.
- 444. 그래프 기초 Moon YongJoon 444
- 445.
- 446. 그래프(Graph) 점을 선으로 연결한것이다. 그래프 G는 꼭짓점 (vertex or node)들의 집합 V와 변(edge or line) 들의 집합 E로 이루어졌다. 집합 V : 공집합이 아닌 정점(vertex)들의 집합 집합 E : 에지(edge)들의 집합 446
- 447. 그래프(Graph) : 예시 집합V, 집합 E의 그래프를 그리면 아래와 같다 447
- 448. 인접(adjacent) 인접(adjacent)은 무방향 그래프에서정점 a, b에 대하여 간선(a,b)가 있으면, 정점 a 는 정점 b에 인접(adjacent)하다고 한다 448
- 449.
- 450. 차수(Degree) 각 정점에 연결된간선의 수로 정점 v의 차수를 deg(v)로 표시하고 loop가 발생시 카운트는 2로 함 450
- 451. 전체 차수 그래프 G의 정점의 수가 n 개, 에지의 수가 e 개 면 아래의 산식으로 계산 451
- 452.
- 453. 경로와 길이 경로(Path) :정점과 에지의 연속으로 구성된 형 태 길이(length): 경로를 구성하는 에지의 개수 닫혀있다(closed) : 어떤 경로의 처음과 끝의 정 점이 같은 경우 순환(cycle): 닫혀있는 경로 453
- 454.
- 455. 무향(무방향)그래프 방향이 없으면 무방향그래프(undirected graph) 455
- 456. 무방향 그래프 표기법 구성요소는정점, 간선, 매핑으로 구성한다 456 무방향성
- 457. 무향(무방향)그래프 표기 예시 주어진그래프를 G 라고 하자. 그래프 G 는 무방향 그래프다. 457
- 458. 그래프 표현 Moon YongJoon 458
- 459.
- 460. 유향(방향)그래프 digraph/ directed graph(유향그래프)유향그 래프란 그것의 각 변이 방향을 갖고 있는 그래프 를 의미한다. 460
- 461. 유향변(arc) 유향그래프란 V라는 유한집합과 원소들이 V의 원 소들로 이루어진 순서쌍들인 집합 A로 이루어진 순 서쌍 (V,A)를 의미한다. V의 원소들을 꼭지점 (vertex)이라 부르고 A의 원소들을 유향변(arc)이 라고 부른다. 유향변 (a,b)이 주어졌을 때 a를 그 유 향변의 시작점(initial vertex), b를 종착점 (terminal vertex)이라고 부른다. 461
- 462. 무방향 그래프 표기법 구성요소는정점, 간선, 매핑으로 구성한다 462 방향성
- 463. 유향(방향)그래프 표기 예시 주어진그래프를 H 라고 하자. 그래프 H 는 방향 그래프므로 에지 순서에 유의해야 한다. 463
- 464.
- 465. 완전그래프 임의의 두 꼭짓점이모두 단 하나의 변으로 연결된 그래프를 완전(complete) 그래프 465
- 466. 완전그래프의 간선 수계산 정점이 3개인 그래프는 간선의 최대 갯수가 3개, 정점이 4개인 그래프는 간선의 최대 개수는 6개이 다. 466
- 467. 부분그래프 부분 그래프(subgraph 서브그래프)는어떤 그래프 의 꼭짓점과 변 가운데 일부로 이루어진 그래프이 다. 467 G1, G2, G3 모두 G의 부분 그래프이다.
- 468. 유도된 그래프 부분그래프가 주어질경우 정점집합과 간선집합이 주어졌을 때 그 그래프 내에서 유도된 그래프 468 G1, G2, G3 모두 G의 부분 그래프이다. G1 은 변 26을 포함하지 않으므로 유도 부분 그래프가 아니다. 반면, G2, G3 는 유도 부분 그래프이다. G3 는 G2, 의 유도 부분 그래프이다.
- 469.
- 470. 인접행렬 인접 행렬(adjacency matrix)은그래프 G = (V,E), |V| = n(≥1)일 때 그래프를 이차원 행열에 다음과 같이 저장하는 방법이다. adj_mat[i][j] = “1” if (vi, vj)가 인접할 때(adjacent) “0” 인접하지 않을 경우 470
- 471. 인접행렬 예시 :무방향 그래프 무방향 그래프는 대칭행렬로 표현됨 471
- 472. 방향 그래프는 연결된시작점에서 연결된 종착점만 표 시하는 행렬로 표현 472 인접행렬 예시 : 방향 그래프
- 473.
- 474. 삼각함수 기초 Moon YongJoon 474
- 475.
- 476. 각의 종류 각은 두선상의 사이를 말하며, 이 각에는 예각, 직각, 둔각 등이 종류가 있음 476
- 477.
- 478. 직각 삼각형을 이용 삼각형이존재할 경우 총 각이 합은 180도 이고 각 A의 값을 삼각비로 구할 수 있다 A sin(각도) 의 값은 빗변분에 높이 즉 b/c cos(각도) 의 값은 빗변분에 높이 즉 a/c tan(각도) 의 값은 빗변분에 높이 즉 b/a 478
- 479.
- 480. 삼각형을 이용 :빗변 구하기 밑변과 높이를 알면 피타고라스 정리에 따라 빗 변을 구할 수 있다. 480
- 481. 삼각형을 이용 :높이와 밑변 하나의 각과 빗변을 알고 있을 경우 빗변*sin()으 로 높이, 빗변*cos()으로 밑변을 구하기 481
- 482.
- 483. 피타고라스 정리 이용하기 밑변의제곱과 높이이 제곱은 빗변의 제곱과 동 일 A 대신 rcosø B 대신 rsinø r값을 1로 전환하면 483
- 484. 피타고라스 정리 밑변 3,높이 4 일 경우 빗변은 5가 됨 484
- 485.
- 486.
- 487. 원을 이용한 삼각함수정의 xy 좌표평면에서 반지름의 길이가 r인 원을 그리 고 임의의 점을 P일 경우 OP가 이루는 각에 대해 한가지 값을 결정 반지름이 1인 경우 487
- 488. 원을 이용한 정의예시 선분은 sqrt(3**2 + 4**2)=5가 나오고 이를 이 용해서 각 ø 에 대한 삼각함수 값을 하나로 산출 488
- 489.
- 490. 삼각함수 표 x축은 반지름*코사인각도, Y축은 반지름*사인 각도로 원위의 점의 좌표를 알 수 있음 490
- 491. RADIAN & DEGREE MoonYong Joon 491
- 492.
- 493. degrees와 radians 변환기준 단위원을 이용하여 degrees와 radians 변환 Degrees와 Radians 변환 규칙 493
- 494.
- 495. degrees와 radians 2π는 360도,1radian은 57.3도 495
- 496. degrees와 radians: 변환 90,pi/2를 변환해보면 아래와 같다 496
- 497. radians <-> degrees: numpy np.deg2rad, np.rad2deg를 이용해서 radians 또는 degree로 전환 Π와 180도에 대한 값 전환 497
- 498. radians -> degrees: numpy np.degrees를 이용해서 radians 값을 degree 로 전환 np.degrees(radian, 출력) 498
- 499. degrees-> radians :numpy np.radians를 이용해서 degree 값을 radian로 전환 np.radians(radian, 출력) 499
- 500. 기본 삼각함수 Moon YongJoon 500
- 501.
- 502. cosine 그래프 수평선의 길이를코사인 값을 표시. 502
- 503. cosine 그래프 수평선의 길이를코사인 값을 표시. 503
- 504. cosine 그래프 :numpy 수평선의 길이를 코사인 값을 표시. 504
- 505. cosine 그래프 수평선의 길이를코사인 값을 표시. 505
- 506.
- 507. sine함수 sine 함수에 radians을넣어 값을 계산 507
- 508. sine 그래프 수직선의 길이를코사인 값을 표시. 508
- 509. sine 그래프 :numpy 수직선의 길이를 코사인 값을 표시. 509
- 510. sine 그래프 수평선의 길이를사인 값을 표시. 510
- 511.
- 512. tan 함수 tangent 함수에radians을 넣어 값을 계산 512
- 513. tangent 그래프 수직선의 길이를tan 값을 표시. 513
- 514. tangent 그래프 :numpy 수직선의 길이를 tan 값을 표시. 514
- 515. tangent 그래프 수직선의 길이를tan 값을 표시. 515
- 516. 삼각함수 각의 변환 Moon YongJoon 516
- 517.
- 518. 각의 변화를 알아보기 각은n*π/2 + θ 또는 90n + θ으로 변환해서 각의 위치에 따라 삼각함수를 변환 1. 나오는 각을 n*π/2 + θ 또는 90n + θ, 이때 n은 정수 이면 0< θ < π/2 , 0 < θ <90 2. n이 짝수이면 변하지 않지만 홀수이면 sin-> cos, cos-> sin, tan-> cot로 변환 3. 몇 사분면의 각이냐 에 따라 부호가(+,-)로 변환됨 1사분면 2사분면 3사분면 4사분면 sin + + - - cos + - - + tan + - + - 518
- 519. 삼각함수 사분면 부호 삼각함수의사분면 위치에 따른 결과 값에 대한 부호 표시 519
- 520. 각의 변화 :짝수 각은 n*π/2 + θ 또는 90n + θ에서 n이 짝수일 때는 부호만 변함 n=0, 동일함수, 4사분면 n=2, 동일 함수, 2사분면 sin(-x) = -sin(x) sin(π -x) = sin(x) cos(-x) = cos(x) cos(π-x) = -cos(x) tan(-x) = - tan(x) tan(π-x) = -tan(x) 520
- 521. 각의 변화 :짝수예시 각은 n*π/2 + θ 또는 90n + θ에서 n이 짝수일 때는 부호만 변함 521
- 522. 각의 변화 :홀수 각은 n*π/2 + θ 또는 90n + θ으로 n이 홀수일 경우 삼각함수가 변함 n=1, 다른 함수, 1사분면 n=3, 동일 함수, 3사분면 sin(π/2 -x) = cos(x) sin(3π/2 -x) = -cos(x) cos(π/2-x) = sin(x) cos(3π/2-x) = -sin(x) tan(π/2-x) = cot(x) tan(3π/2-x) = cot (x) 1 522
- 523. 각의 변화 :홀수 예시 각은 n*π/2 + θ 또는 90n + θ으로 n이 홀수일 경우 삼각함수가 변함 523
- 524.
- 525. 삼각함수 변화 :π/2 각 A가 120도 일 경우는 π/2(90)+30의 값을 가지므로 sin일 경우 cos, cos일 경우는 –sin 으 로 바뀜 r a b A=120도 B=30도 525
- 526. 삼각함수의 변형 :90도 이내 직각 삼각형의 성질을 이용하면 직각을 빼면 나머지 각이 90도인 것을 감안하면, 각 B를 기준을 sin 함수 의 결과는 각 A를 기준으로 cos 함수 결과와 동일 A B cos(A) = sin(B), sin(B) = cos(A) , tan(B) = cot(A) 와 동일 각 A + 각 B = 90도 각 B로 삼각함수 처리 526
- 527. 삼각함수의 변형 예시 π/2– 예각에 대한 삼각함수 계산 527
- 528. 삼각함수의 변형 :180도 이내 180도 이내의 각으로 삼각함수를 계산할 경우 90도 + 나머지 각으로 삼각함수를 계산할 수 있 음 r a b A=120도 B=30도 sin(A) = cos(B) = b/r cos(A) = - sin(B) = - a/r tan(A) = - cot(B) = -b/a 528
- 529. 삼각함수의 변형 예시 π/2+ 예각에 대한 삼각함수 계산 529
- 530. π 와 예각연산530
- 531. Sin 주기 변화 sin그래프의 주기적인 pi 와 2pi 배수 단위로 동일한 값을 처리 성질을 이용 531
- 532. cos 주기 변화 cos그래프의 pi 와 2pi 배수 단위로 동일한 값 을 처리 성질을 이용 532
- 533. 삼각함수 변화 :π - 예각 180도 이내의 각으로 삼각함수를 계산할 경우 각 B에 대해 계산하는 것과 동일 r a b B=30도 sin(π-B) = sin(B) = b/r cos(π-B) = - cos(B) = - a/r tan(π-B) = - tan(B) = -b/a 533
- 534. 삼각함수 변화 :π + 예각 각 A가 120도 일 경우는 π(180)+30의 값을 가 지므로 sin일 경우 sin, cos일 경우는 –cos 으로 바뀜 r a b A=210도 B=30도 534
- 535. 2π 와 예각연산535
- 536. 삼각함수 변화 :2π - 각 A가 360도 일 경우는 2π(360)-30의 값을 가지므로 sin일 경우 -sin, cos일 경우는 –cos 으 로 바뀜 r a b A=360도 B=30도 536
- 537. 삼각함수 변화 :2π + 삼각함수가 2 π 단위로 변경시는 항상 기존 예 각을 구하는 것도 동일한 값을 같는다. r a bA=360도 B=30도 537
- 538. 삼각함수 덧셈과 뺄셈공식 Moon YongJoon 538
- 539.
- 540. Sin 함수 덧셈 두개의각을 sin으로 덧셈을 할 경우 sin함수별 로 덧셈과는 차이가 발생 r a b t s sin(α+ β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) = a/r * b/s + b/r * t/s sin(α) cos(β) = a/r * b/s cos(α) sin(β) = b/r * t/s sin(α) = a/r , sin(β) = t/s 540
- 541. Sin 함수 덧셈예시 sin 함수 두개의 각을 더할 경우 아래의 공식으 로 계산 541
- 542.
- 543. Sin 함수 뺄셈예시 sin 함수 두개의 각을 뺄 경우 아래의 공식으로 계산 Cos 90이 0값이 아니라도 아 주 작은 값이라 무시 543
- 544.
- 545. cos함수 덧셈 예시 cos함수 두개의 각을 더할 경우 아래의 공식으 로 계산 545
- 546. cos함수 뺄셈 예시 cos함수 두개의 각을 뺄 경우 아래의 공식으로 계산 546
- 547.
- 548.
- 549. 역수 어떤 수의 역수(逆數,영어: reciprocal) 또는 곱셈 역원(- 逆元, 영어: multiplicative inverse)은 그 수와 곱해서 1, 즉 곱셈 항등원이 되는 수를 말한다. x의 역수는 1/x 또는 x -1로 표기한다. 곱해서 1이 되는 두 수를 서로 역 수 549
- 550.
- 551. 역수 구하기 Python에는 역수에대한 함수가 없어 역수 공식 에 따라 계산 551
- 552. 삼각함수*역수 = 1 삼각함수* 역수 = 1인지 확인 552
- 553.
- 554.
- 555. 역함수 함수의 정의역과 치역을바꾸서 함수를 만드는 것을 역함수라고 함 555
- 556. 삼각함수의 역함수 삼각함수의 역함수가역삼각함수 이름 표기법 정의 정의역 치역 아크사인 y = arcsin x 또는 y = sin-1 x x = sin y −1부터 +1 −π/2 ≤ y ≤ π/2 아크코사인 y = arccos x 또는 y = cos-1 x x = cos y −1부터 +1 0 ≤ y ≤ π 아크탄젠트 y = arctan x 또는 y = tan-1 x x = tan y 모든 실수 −π/2 < y < π/2 아크코탄젠트 y = arccot x 또는 y = cot-1 x x = cot y 모든 실수 0 < y < π 아크시컨트 y = arcsec x 또는 y = sec-1 x x = sec y −∞부터 −1과 1부 터 ∞ 0 ≤ y < π/2 or π/ 2 < y ≤ π 아크코시컨트 y = arccsc x 또는 y = csc-1 x x = csc y −∞부터 −1과 1부 터 ∞ −π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2 556
- 557.
- 558. arcsine 삼각함수의 역함수가 역삼각함수 이름표기법 정의 정의역 치역 아크사인 y = arcsin x 또는 y = sin-1 x x = sin y −1부터 +1 −π/2 ≤ y ≤ π/2 558
- 559. arcsine : numpy 삼각함수의역함수가 역삼각함수 이름 표기법 정의 정의역 치역 아크사인 y = arcsin x 또는 y = sin-1 x x = sin y −1부터 +1 −π/2 ≤ y ≤ π/2 559
- 560. arcsine : numpy그래프 삼각함수의 역함수가 역삼각함수 560
- 561.
- 562. arccosine : numpy 삼각함수의역함수가 역삼각함수 이름 표기법 정의 정의역 치역 아크코사인 y = arccos x 또는 y = cos-1 x x = cos y −1부터 +1 0 ≤ y ≤ π 562
- 563. arccosine : numpy그래프 삼각함수의 역함수가 역삼각함수 563
- 564.
- 565. 삼각함수의 역함수 삼각함수의 역함수가역삼각함수 이름 표기법 정의 정의역 치역 아크탄젠트 y = arctan x 또는 y = tan-1 x x = tan y 모든 실수 −π/2 < y < π/2 565
- 566.
- 567.
- 568. Sin 함수 처리 sin함수 두개의 각을 더할 경우 아래의 공식으 로 계산 568
- 569. Sin 함수 뺄셈예시 sin 함수 두개의 각을 뺄 경우 아래의 공식으로 계산 569
- 570.
- 571. 지수함수 기초 Moon YongJoon 571
- 572.
- 573. 지수 함수란? x에 대한지수함수(exponential function). a>0 커야 실수 값으로 처리되며 a=1일 경우 항 상 1인 상수가 됨 임의의 실수 x에 대해 함수 573
- 574. 임의의 실수 x에대해 y = ex 5의 지수는 e5이고 약 148.413과 같습니다 자연지수함수 ex에서 e는 약 2.71828인 자연 로그의 밑이고, x는 입력하는 값으로 구성된 함수 574
- 575. 지수함수 그래프 지수함수는 a>0크면 우상향 그래프 0<a<1 이 면 우하향 그래프가 됨 575
- 576.
- 577. 지수 법칙 동일한 상수의곱일 경우 지수는 덧셈, 동일한 상수의 제곱에 제곱은 지수끼리 곱셈 처리 * =1 역수 577
- 578. 지수 법칙: 거듭제곱의곱 동일한 밑에 대한 거듭제곱에 대한 곱셈은 지수 간의 덧셈과 동일 578
- 579. 지수 법칙: 거듭제곱의거듭제곱 동일한 밑에 대한 거듭제곱의 거듭제곱은 지수 간의 곱셈처리 579
- 580. 지수 법칙 :python예시580
- 581. 지수 법칙 :exp 자연로그에 대한 제곱승 계산 581
- 582. 지수 법칙 :exp 그래프 복리 이자, 방사선 감소 또는 모집단 성장과 같 이 일정한 지수 요인에 의해 증가 또는 감소하는 양을 모형화하는 데 자주 사용 582
- 583. 로그함수 기초 Moon YongJoon 583
- 584.
- 585. 로그함수 정의 어떤 수를나타내기 위해 고정된 밑을 몇 번 곱하 여야 하는지를 나타내는 함수이면서 지수함수의 역함수가 로그함수 585
- 586. 로그함수 규칙 밑과 진수,로그함수의 관계 586
- 587. 상용로그 밑(Base)이 10 인로그를 상용로그(상용대수: Common Logarithm)라고 함 587
- 588. 상용로그 : log10 밑(Base)이10 인 로그를 상용로그(상용대수: Common Logarithm)라고 함 588
- 589. 자연로그 밑이 e (오일러상수: 약 2.718) 인 로그를 자연 로그(자연대수: Natural Logarithm) 정의 기초성질 589
- 590. 자연로그 : log 밑이e (오일러 상수: 약 2.718) 인 로그를 자연 로그(자연대수: Natural Logarithm) 590
- 591.
- 592. 로그함수의 성질 1 로그의진수가 1인 경우 는 0, 로그의 진수와 밑 이 같으면 1 양변에 밑을 a로 하는 log 로 곱하면 = 592
- 593. 로그함수의 성질1 :예시 Numpy.log10는 상용로그, numpy.log는 자연 로그로 처리 593
- 594. 로그함수의 성질 2: 지수의 곱 로그의 진수가 M*N일 경우 log의 덧셈으로 분리 log100 = log10+log10 = 2 594
- 595. 로그함수의 성질 2:지수의 나누기 로그의 진수가 M/N일 경우 log의 나누기으로 분 리 log100/100= log100- log100 = 1 ax =M, ay = N 이면 595
- 596. 로그함수의 성질 2:상수 배 로그의 진수가 M*N일 경우 log의 상수배를 밖으 로 분리 log10**2= 2 log10 = 2 596
- 597. 로그함수의 성질 2: 예시 Numpy.log10으로 사용로그를 처리 597
- 598. 밑의 변환 로그에 대해밑을 c로 하는 로그 함수로 변환이 가능 log 10 100 = log 10 100 / log 10 10 = 2/1 = 1 598
- 599. 8. 수열 기초 Moon YongJoon 599
- 600. 급수 기초 Moon YongJoon 600
- 601.
- 602. 급수(級數,series, ∑an) 수학에서의 급수는수열 a_1, a_2, a_3, ... , a_na1,a2,a3,...,an까지 주어졌을 때 이것들을 다 더 해 a_1+a_2+a_3+...+a_n, a1+a2+a3+...+an로 나타낸 것, 즉 수열의 합을 의미한다. 급수의 예는 등차수열, 등비수열의 합, 자연수의 거 듭제곱의 합 등이 있다 602
- 603. 급수의 표현 1 Σ는 일반항 식을 가지고 시작항과 마지막 항까 지의 합을 표시하는 수학식 603
- 604. 급수의 표현 2 급수는연속된 숫자들이 합을 구하는 것에 대한 일반식과의 비교 604
- 605.
- 606. 급수의 일반적인 성질 급수간의계산을 위해 필요한 산식 배분의 가능 상수는 n번 덧셈 상수는 Σ 밖으로 배출 606
- 607. 급수의 일반적인 성질 급수내에 곱과 나눗셈에 대해서는 Σ를 배분할 수 없음 급수의 나눗셈 급수의 곱 607
- 608. 유한급수 , 무한급수 수열의모든 항을 더한 것이다. 항의 개수가 유한 한 유한 급수(有限級數, finite series)와 항의 개수가 무한한 무한 급수(無限級數, infinite series)로 분류 됨 유한 급수(有限級數, finite series) 무한 급수(無限級 數, infinite series) 608
- 609.
- 610. 등차급수 등차급수[ arithmetic series, 等差級數 ] 산술급수(算術級數)라고도 한다. 등차수열을 이 루고 있는 것을 말 함 급수 a1＋a2＋a3＋…＋an＋…에서 an＝an-1＋d(n＝2,3,…) 인 관계식 급수로 표시 610
- 611.
- 612. 등비급수 기하급수(幾何級數)라고도 한다. 급수 a1＋a2＋a3＋…＋an＋…에있어 an＝arn-1 (n＝2,3,…)인 관계식 612
- 613. 수열 기초 Moon YongJoon 613
- 614.
- 615. 수열 수에 대해 일렬로구성하는 수열이 내부 구성 구 조는 합과 곱으로 처리 수열의 합 615 수열의 곱
- 616.
- 617. 등차수열 초기값을 가지고 동일한값으로 숫자가 증가되 는 수열 일반항 617
- 618. 공차 등차수열에서 연속하는 두수의 차이를 공차(公 差. Common difference)라고 한다. 보통 d로 표 시한다 618
- 619.
- 620. 등차 수열의 합: 등차급수 등차급수( arithmetic series)는 등차수열의 합이 다. 초항부터 n번째 항까지의 합Sn는 다음과 같은 공식으로 나타난다 620
- 621. 등차 수열의 합의산식 하나의 등차수열과 이 등차수열을 역으로 변환해 서 더하며 동일한 패턴이 값이 나오고 이를 다시 하나(2로 나눔)로 만들면 합산 값이 됨 등차수열을 역순으로 만들고 합산 하면 동일한 결과를 가진 패턴이 나옴 패턴 찾을 것을 2로 나누면 수열 의 합이 계산됨 621
- 622. 등차수열의 합 1 첫번째항과마지막 항을 알고 둘 사이의 개수를 알 경우 622
- 623. 등차수열의 합 2 첫째항과공차만 있을 경우 처리하는 방식 첫번째항(a), 마지막항( a*(n-1)*d)을 더해서 총 개수만큼 곱하고 이를 2로 나눈면 됨 623
- 624. 초기값이 중간부터 오는경우 초기값이 중간부터 올 경우 계산하는 급수 초기값 a= 11 이고 공차 d = 1이면서 개수 n = 5 인 급수를 계산하기 11+ 12 + 13 + 14+ 15 산식 = na + n/2(n-1)d = 5*11 + 5/2(5-1) *1 = 55 + 10 = 65 624
- 625.
- 626. 등비수열 초기값을 가지고 동일한값으로 곱해서 얻어지 는 수열 일반항 626
- 627. 공비 등비수열에서 연속하는 두수의 차이를 공비 ( Common ratio)라고 한다. 보통 r로 표시한다 627
- 628.
- 629. 등비 수열의 합: 등비급수 a1부터 an까지 더한 합인 등비급수( geometric series) 또는 기하급수 Sn은 다음과 같이 구할 수 있다. 629
- 630. 등비수열의 합 첫번째과 등비를알 경우 계산이 가능 단 등비가 1일 경우는 첫번째 항에 개수만큼 곱하면 됨 동일한 값으로 처리를 위해 등 비로 양변을 곱하고 빼면 630
- 631. 등비수열의 합 예시 등비수열의Sn합은 an(다음항) – a(초항)/(등비- 1)로 처리 S4 = 2+4+8+16 = 30 S5는 다음항 a5 = 32 S3 = 32 – 2/(2-1) r = 2 a1 = 2 a2 = 4 a3 = 8 a4 = 16 631
- 632. 등비수열의 합 예시 첫번째과등비를 알 경우 계산이 가능 단 등비가 1일 경우는 첫번째 항에 개수만큼 곱하면 됨 632
- 633. 수열의 극한 Moon YongJoon 633
- 634.
- 635. 수열의 극한 수열의 극한(數列-極限,limit of a sequence) 은 수열이 한없이 가까워지는 값이다. 직관적으로, 수열 (an)이 수렴(收斂, convergent) 한다는 것은 n이 커짐에 따라 an이 어떤 고정된 값 a에 한없이 가까워지는 것을 뜻한다. 이때 a를 수열 {an}의 극한이라고 한다. 수열이 수렴하지 않으면 발산(發散, divergent)한 다고 한다. 635
- 636. 부분합 급수 무한급수 중에특정 위치까지의 유한개의 항에 대한 합을 나타내는 급수 636
- 637. 무한수열과 극한 무한수열 {an}에서n이 무한히 커짐에 따라 an이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면, α를 그 수열 의 극한 또는 극한값(limit value) 부분합 n이 한없이 커진다: n-> 무한대 an 한없이 ά에 가까워진다 : an-> ά 무한수열의 극한값 ά이다 -> 637
- 638.
- 639. 수렴 한 점으로 모인다는뜻. 보통 의견 수렴이라든지 여론 수렴 등등으로 해서 한 점에 모인다는 의미 로 사용하는 경우가 많은데, 이 뜻을 수학으로 빌 려와서 여러 값이 기어코야 한 값으로 모이게 되 었다는 의미로 사용한다. 즉 x가 a에 한없이 가까워지거나 한없이 커지거 나 작아지면 f(x)도 어디로 한없이 가까워진다는 뜻. 639
- 640. 발산 수렴하지 않으면 발산한다.수열이 계속 커지는 양의 무한대로 발산, 수열이 계속 작아지는 음의 무한대로 발산이 있다. 640
- 641. 수열 극한의 기본성질641
- 642. 극한의 기본 성질 수열이수렴할 때 이 기본 성질이 사용됨 642
- 643.
- 644. Sequence : StringType644
- 645. Sequence 타입-str str 내의주요 속성과 메소드들 645
- 646. String 갱신: 새로만들기 문자열은 immutable이지만 + 연산자는 새로운 문자열 객체를 만들어 결과를 제공 646
- 647. String-operator Operator Description Example + Concatenation- Adds values on either side of the operato r a + b will give HelloPython * Repetition - Creates new strings, concatenating multiple c opies of the same string a*2 will give -HelloHello [] Slice - Gives the character from the given index a[1] will give e [ : ] Range Slice - Gives the characters from the given range a[1:4] will give ell in Membership - Returns true if a character exists in the giv en string H in a will give 1 not in Membership - Returns true if a character does not exist in the given string M not in a will give 1 r/R Raw String print r'n' prints n and print R'n'prints n % Format - Performs String formatting See at next section 647
- 648. Operator+ 함수 처리예시 Sequence 타입에 기본으로 처리 되는 함수, operator + : str, list, tuple만 처리 가능하 지만 str, tuple은 별도의 객체로 제 동 min(), max() : 문자열은 숫자값을 기준, list일 경우는 내부 list를 확인 해서 처리 648
- 649. String-escape 문자 Backslash notationHexadecimal character Description a 0x07 Bell or alert b 0x08 Backspace 000 널문자 cx Control-x C-x Control-x e 0x1b Escape f 0x0c Formfeed M-C-x Meta-Control-x n 0x0a Newline 은 라인피드 (Line Feed) 는 커서의 위치를 아랫줄로 이동 nnn Octal notation, where n is in the range 0.7 r 0x0d Carriage return은 현재 위치를 나타내는 커서 를 맨 앞으로 이동 s 0x20 Space t 0x09 Tab v 0x0b Vertical tab x Character x xnn Hexadecimal notation, where n is in the range 0.9, a.f, or A.F 문자 "" ' 단일 인용부호(') " 이중 인용부호(") 649
- 650. Sequence : Stringmethod650
- 651. Sequence-String 메소드(1) String 내장메소드 Method Description capitalize() Capitalizes first letter of string center(width, fillchar) Returns a space-padded string with the original string centered to a total of width columns. count(str, beg= 0,end=len(string)) Counts how many times str occurs in string or in a substring of string if starting index beg and ending index end are given. decode(encoding='UTF- 8',errors='strict') Decodes the string using the codec registered for encoding. encoding defaults to the default string encoding. encode(encoding='UTF- 8',errors='strict') Returns encoded string version of string; on error, default is to raise a ValueError unless errors is given with 'ignore' or 'replace'. endswith(suffix, beg=0, end=len(string)) Determines if string or a substring of string (if starting index beg and ending index end are given) ends with suffix; returns true if so and false otherwise. expandtabs(tabsize=8) Expands tabs in string to multiple spaces; defaults to 8 spaces per tab if tabsize not provided. 651
- 652. Sequence-String 메소드(2) String 내장메소드 Method Description find(str, beg=0 end=len(string)) Determine if str occurs in string or in a substring of string if starting index beg and ending index end are given returns index if found and -1 otherwise. index(str, beg=0, end=len(st ring)) Same as find(), but raises an exception if str not found. isalnum() Returns true if string has at least 1 character and all characters are alphanumeric and false otherwise. isalpha() Returns true if string has at least 1 character and all characters are alphabetic and false otherwise. isdigit() Returns true if string contains only digits and false otherwise. islower() Returns true if string has at least 1 cased character and all cased characters are in lowercase and false otherwise. partition () Split the string at the first occurrence of sep, and return a 3-tuple containing the part before the separator, the separator itself, and the part after the separator. 652
- 653. Sequence-String 메소드(3) String 내장메소드 Method Description isspace() Returns true if string contains only whitespace characters and false otherwise. istitle() Returns true if string is properly "titlecased" and false otherwise. isupper() Returns true if string has at least one cased character and all cased characters are in uppercase and false otherwise. join(seq) Merges (concatenates) the string representations of elements in sequence seq into a string, with separator string. len(string) Returns the length of the string ljust(width[, fillchar]) Returns a space-padded string with the original string left-justified to a total of width columns. lower() Converts all uppercase letters in string to lowercase. lstrip() Removes all leading whitespace in string. maketrans() Returns a translation table to be used in translate function. 653
- 654. Sequence-String 메소드(4) String 내장메소드 Method Description max(str) Returns the max alphabetical character from the string str. min(str) Returns the min alphabetical character from the string str. replace(old, new [, max]) Replaces all occurrences of old in string with new or at most max occurrences if max given. rfind(str, beg=0,end=len(stri ng)) Same as find(), but search backwards in string. rindex( str, beg=0, end=len(string)) Same as index(), but search backwards in string. rjust(width,[, fillchar]) Returns a space-padded string with the original string right-justified to a total of width columns. rstrip() Removes all trailing whitespace of string. split(str="", num=string.cou nt(str)) Splits string according to delimiter str (space if not provided) and returns list of substrings; split into at most num substrings if given. splitlines( num=string.count ('n')) Splits string at all (or num) NEWLINEs and returns a list of each line with NEWLINEs removed. 654
- 655. Sequence-String 메소드(5) String 내장메소드 Method Description startswith(str, beg=0,end=len(string)) Determines if string or a substring of string (if starting index beg and ending index end are given) starts with substring str; returns true if so and false otherwise. strip([chars]) Performs both lstrip() and rstrip() on string swapcase() Inverts case for all letters in string. title() Returns "titlecased" version of string, that is, all words begin with uppercase and the rest are lowercase. translate(table, deletechars ="") Translates string according to translation table str(256 chars), removing those in the del string. upper() Converts lowercase letters in string to uppercase. zfill (width) Returns original string leftpadded with zeros to a total of width characters; intended for numbers, zfill() retains any sign given (less one zero). isdecimal() Returns true if a unicode string contains only decimal characters and false otherwise. 655
- 656. 주요 메소드 처리예시656
- 657. String : count 문자열내의문자 값이 몇 개 존재한지를 확인하 는 메소드 657
- 658. String : find 문자열내의 원소가 어디에 위치한지를 찾는 메 소드 658
- 659. String : index 문자열내의 원소가 어디에 위치한지를 찾는 메 소드 659
- 660. 문자열 내의 구성 문자열이알파벳이나 숫자 역부 확인 660
- 661. String : partition 문자열을특정 문자로 분리해서 3개의 원소를 갖 는 tuple로 반환 661
- 662. String : join메소드 list를 특정 분리자에 의해 통합해서 문자열로 생 성. dict 타입일 경우는 문자열 키일 경우만 처리 662
- 663. String : split메소드 문자열을 특정 분리자에 의해 분리해서 list 타입 으로 생성 663
- 664. String : startswith 문자열에구성된 위치에 prefix 값이 존재한지를 확인하는 메소드 664
- 665. String : endswith 문자열에구성된 위치에 suffix 값이 존재한지를 확인하는 메소드 665
- 666.
- 667. String : translate 문자열을치환 및 삭제를 동시에 처리하는 메소 드 667
- 668. string.maketrans : help 변경을매핑할 테이블을 만들기 668
- 669. string.maketrans ; 정의 테이블을만들어 ‘c’를 ‘k’로, ‘s’를 ‘z’로 전환하 는 table 생성 abkdefghijklmnop qrztuvwxyz abcdefghijklmnop qrstuvwxyz 변환 669
- 670. String : translate: 치환 사례 1 문자열에 대한 치환 테이블에 정의된 대로 문자 열을 치환 처리 670
- 671. String : translate: 치환 사례 2 문자열에 대한 치환 테이블을 string.maketran 함수로 정의하고 translate 메소드를 이용해서 문 자를 숫자로 치환 671
- 672.
- 673. Translate : table만들기 3버전부터는 table을 dict 타입으로 정의해서 사 용을 함 dict{ ord(key) : valeue} 키/값으로 전환을 정의 하지만 ord(key)로 정 의해서 처리 673
- 674. Translate: 문자열 치환예시 Translate메소드는 변경된 테이블을 dict 타입으 로 정의하고 key값은 ord 타입으로 전환해야 함 674
- 675.
- 676. String : translate: 삭제 Translate 메소드에 두번째 인자에 문자열로 값을 넣 으면 문자열 내의 일치하는 것을 전부 삭제 처리 676
- 677.
- 678. Sequence : ListType678
- 679. Sequence-List list 내의 스페셜메소드를 제외한 내장 속성 확 인 list의 인스턴스를 생성하고 isinstance 함수를 이용하여 인스턴스 여부 확인 679
- 680. Sequence - List기본 처리 List 타입에 대한 기본 처리 Python Expression Results Description l=[1,2,3] l.append(4) [1, 2, 3, 4] 리스트에 원소 추가 del l[3] [1, 2, 3] 리스트에 원소 삭제 len([1, 2, 3]) 3 Length 함수로 길이 확인 [1, 2, 3] + [4, 5, 6] [1, 2, 3, 4, 5, 6] 리스트를 합치니 Concatenation ['Hi!'] * 4 ['Hi!', 'Hi!', 'Hi!', 'Hi!'] 리스트 내의 원소를 Repetition 3 in [1, 2, 3] True 리스트 내의 원소들이 Membership for x in [1, 2, 3]: print x, 1 2 3 리스트의 원소들을 반복자 활용 - Iteration 680
- 681. Sequence-List : +/extend list+ list는 다른 리스트를 생성하지만 list.extend메소는는 리스트 내의 원소를 확장함 681
- 682. Sequence-List 용 내장함수 내장함수중에리스트 타입을 처리 Function Description cmp(list1, list2) Compares elements of both lists. len(list) Gives the total length of the list. max(list) Returns item from the list with max value. min(list) Returns item from the list with min value. list(seq) Converts a tuple into list. str(list) Produces a printable string representation of a list type(list) Returns the type of the passed variable. If passed variable is list, then it would return a list type. 682
- 683. Sequence-List : compare 2개의리스트를 비교해서 같으면 0, 첫번째가 크면 1, 두번째가 크면 -1로 비교결과를 리턴 683
- 684. Sequence : Listmethod684
- 685. Sequence-List 메소드 리스트 내장메소드 Method Description list.append(obj) Appends object obj to list list.count(obj) Returns count of how many times obj occurs in list list.extend(seq) Appends the contents of seq to list list.index(obj) Returns the lowest index in list that obj appears list.insert(index,obj) Inserts object obj into list at offset index list.pop(obj=list[-1]) Removes and returns last object or obj from list list.remove(obj) Removes object obj from list list.reverse() Reverses objects of list in place list.sort([func]) Sorts objects of list, use compare func if given 685
- 686. Sequence-List : append list내의 마지막 index 다음에 원소를 추가하 는 메소드 686
- 687. Sequence-List : count list내의 value이 개수를 나타내는 메소드 687
- 688. Sequence-List : pop list내의 index 위치를 확인하고 삭제하는 메 소드임 default가 항상 last 위치이며 위치를 주 면 삭제함. 인덱스범위가 넘으면 오류 처리 688
- 689. Sequence-List : remove list내의 value를 기준으로 삭제하는 메소드로 써 중복된 값이 있을 경우 하나씩 삭제함 689
- 690. Sequence-List : insert list내의 위치를 지정해서 원소를 넣을 때 [index] 일 경우는 index 범위가 벗어나면 오류가 발생하지 만 insert는 벗어나면 append로 인식해서 처리 690
- 691. Sequence-List로 sort 처리 list.sort(key=함수명)은함수처리된 결과를 기준 으로 소트를 진행함(올림차순별이 기본) 리스트 구성에 따라 값을 계산처리 691
- 692. Sequence-List로 stack 처리 Stack은LIFO(last in first out)으로 List를 이용하 여 원소 추가(append메소드) 및 삭제(pop메소드) 로 간단하게 구성 692
- 693. Sequence-List로 queue 처리 queue은FIFO(first in first out)으로 List를 이용 하여 원소 추가(append메소드) 및 삭제 (reverse,pop메소드)로 간단하게 구성 pop() 인자에 0을 부 여하면 첫 원소가 제 거 693
- 694. Sequence-List: reverse list 내의원소들위 위치를 반대방향으로 바꾸는 메 소드 694
- 695. 문자열 삽입 위치확인695
- 696. Bisect 모듈 문자열 내의특정 원소가 삽입될 인덱스의 위치 를 확인하는데 사용. 696
- 697.
- 698. List Comprehension 리스트 정의시값을 정하지 않고 호출 시 리스트 내의 값들이 처리되도록 구성 A = [ 표현식 for i in sequence if 논리식] 698
- 699. List Comprehension :다중 리스트 내의 다중 for문을 이용해서 처리 A = [ 표현식 for i in sequence for j in sequence if 논리식] 699
- 700.
- 701. Sequence 타입 검색방법701
- 702. 검색 방법 Sequence 타입안에 들어있는 원소를 접근하는 법 index slice 실제 원소에 값을 직접 접근하는 법 특정 원소들을 가지는 부분 집합으 로 검색하는 방법 702
- 703.
- 704. Sequence 타입 검색 String타입을 제외하고 index는 원소의 타입이 고 slice는 시퀀스 타입으로 처리됨 704
- 705. Accessing Values :index Sequence Type(String, List, Tuple)은 변수명 [index]로 값을 접근하여 가져옴 변수에는 Sequence Instance이 참조를 가 지고 있고 [index]를 이용하여 값들의 위치 를 검색 705
- 706. Index와 slice 차이 Index는범위가 벗어나면 오류이지만 slice 접근 은 범위가 벗어나도 오류를 내지않음 706
- 707.
- 708. Updating Values :list 변수에는 Sequence Instance이 참조를 가지고 있고 index를 이용하여 값들의 위치를 검색하고 할당값을 변경. 708
- 709. Updating Values: string 문자열은immutable이므로 [index]로 접근해서 갱신이 불가하므로 별도 로직을 작성해서 변경 709
- 710.
- 711. index 와 값사용하기 Sequence 내장함수(enumerate)을 이용해서 index 값도 활용 711
- 712.
- 713. slice() 함수 이용 내장slice() 함수를 이용해서 slicing 조회 가능 713
- 714. slice() 함수 이용해서계산 내장 slice() 함수를 이용해서 slicing 조회 가능 714
- 715.
- 716. slicing 내부 조회/갱신/삭제 Sequence타입 에 대한 원소를 조회, 갱신, 삭제를 추가하는 메소드, 갱신과 삭제는 list 타입만 가능 (python 2.x에만 있음) object.__getslice__(self, i, j) object.__setslice__(self, i, j, sequence) object.__delslice__(self, i, j) 검색 생성/변경 삭제 716
- 717.
- 718. Container 내부 조회/갱신/삭제 List,dict에 대한 원소를 조회, 갱신, 삭제를 추가하 는 메소드, list는 index에 범위 내에서만 처리됨 (모든 버전에 사용) object.__getitem__(self, key) object.__setitem__(self, key, value) object.__delitem__(self, key) 검색 생성/변경 삭제 718
- 719. get/set/del item 예시 dict/list/tuple등 타입으로 생성된 자료에 대 해 검색하고 dict/list 등은 갱신과 삭제가 가능 한 내부 메소드 List는 index 로 참조 Dict은 key 값으로 참조 719
- 720. get/set/del slice 처리예시 python 2버전일 경우에만 Sequence타입에 대 한 slicing 처리(item으로 통합됨) 720
- 721. 9. 집합 기초 Moon YongJoon 721
- 722.
- 723.
- 724. 집합 정의 집합(集合, set)은어떤 조건이 주어졌을 때, 그 조건 이 가리키는 대상이 분명한 것들의 모임 집합은 서로 구별되는 대상들을 순서와 무관하게 모 은 것이다. 이때 집합에 속하는 각각의 대상들은 집 합의 원소라고 한다. 724
- 725. 집합 원소 집합을 이루는대상 하나하나를 그 집합의 원소 또는 원이라고 한다. 또 어떤 것이 집합의 원소일 때 그것은 그 집합에 속한다라고 한다. 725
- 726.
- 727. 원소나열법 집합에 들어있는 원소들을직접 나열하는 방식 727
- 728. 조건제시법 원소들을 구체적으로 설명하는대신에, 원소들의 논리적 관계를 기술 728
- 729.
- 730. 집합의 원소 집합의 원소유무를 확인하는 방법 730 집합의 원소일 경우 집합의 원소가 아닐 경우
- 731.
- 732. 부분집합 집합 B의 부분집합(部分集合,subset) A는, 모든 원소가 B에도 속하는 집합, 관계를 주로 A ⊆ B라 표기 732
- 733. 부분집합의 개수 집합에 대한부분집합의 개수 733
- 734.
- 735. 합집합 두 집합 A,B의 합집합 A ∪ B는, A에 속하거나 B 에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 735
- 736. 교집합 두 집합 A,B의 교집합은 A ∩ B로 표기하며, A에 도 속하고 B에도 속하는 원소들을 골라놓은 집합 을 뜻한다. 736
- 737.
- 738. 여집합 여집합(餘集合, 또는 보집합(補集合), complementset)은전체집합 U가 정의되었을 때, 그의 부분집합 집합 A의 여집합은 AC 표기 738
- 739. 두집합의 합집합의 여집합 전체집합에서 두 집합의 합집합의 여집합은 두 집합의 여집합의 교집합과 동일 739
- 740. 두집합의 교집합의 여집합 전체집합에서 두 집합의 교집합의 여집합은 두 집합의 여집합의 합집합과 동일 740
- 741.
- 742. 차집합 차집합(差集合, relative complement,set difference)은 집합 B에 대한 A의 차집합은 B ∖ A 또는 B - A로 표기 742
- 743.
- 744. 추이적 관계 집합 A,B, C 대하여 정의된 이항관계 추이적 관 계(推移的關係, transitive relation) 744
- 745.
- 746.
- 747. Set 타입 중복을 허용하지않고, 순서가 없음 (unordered) 교집합(&), 합집합(|), 차집합(-) 연산 처리 Set: mutable set Frozenset: immutable set 747
- 748. Set 타입 –생성시 주의 내부 원소가 리스트 등 mutable 값이 들어갈 수 없음 Set은 구조상 내부 요소 가 변경이 가능한 값으 로 구성할 수 없다 Set 생성은 파라미터가 1개만 가능 748
- 749. Set 타입 –생성 Set()으로 생성시 파라미터는 1개만 받는다. 리스 트 등 mutable 객체를 요소로 처리할 수 없음 749
- 750. Set 타입 –검색 Set 타입은 index/slice 검색을 제공하지 않으므 로 내부 원소는 for문을 통해 원소를 조회 Index 검색 오류 발생 750
- 751.
- 752. dict.keys() : 3버전 dict.keys()의결과인 dict_keys 객체도 set 연산 자를 지원 752
- 753.
- 754. FrozenSet 생성 및추가 FrozenSet type은 immutable 타입이므로 생성 후 원소를 추가나 삭제가 불가능 생성 이후 변경 불가 754
- 755.
- 756. Set 타입- 내장함수 Operation Equivalent Result len(s) cardinality of set s x in s test x for membership in s x not in s test x for non-membership in s 756
- 757. Set 타입- 메소드1 Operation Equivalent Result s.issubset(t) s <= t test whether every element in s is in t s.issuperset(t) s >= t test whether every element in t is in s s.union(t) s | t new set with elements from both s and t s.intersection(t) s & t new set with elements common to s and t s.difference(t) s - t new set with elements in s but not in t s.symmetric_difference(t) s ^ t new set with elements in either s or t but not b oth s.copy() new set with a shallow copy of s 757
- 758. Set 타입- 메소드2 Operation Equivalent Result s.update(t) s |= t update set s, adding elements from t s.intersection_update(t) s &= t update set s, keeping only elements found in bot h s and t s.difference_update(t) s -= t update set s, removing elements found in t s.symmetric_difference_update(t) s ^= t update set s, keeping only elements found in eithe r s or t but not in both s.add(x) add element x to set s s.remove(x) remove x from set s; raises KeyError if not present s.discard(x) removes x from set s if present s.pop() remove and return an arbitrary element from s; rais es KeyError if empty s.clear() remove all elements from set s 758
- 759.
- 760. Set 타입 –타입내부 점검 처리 object, type, int 내부의 special method에 대 해 override된 것을 비교 760
- 761. Set 타입 –기본 연산 처리 Set type은 mutable 타입이므로 생성 후 원소에 대한 연산 처리 761
- 762. Set 타입 –update 하나의 set에 다른 set을 추가하는 메소드 결과 값은 합집합한 결과와 동일 762
- 763. Set 타입 :intersection_update 하나의set에 다른 set간의 매칭되는 원소만 남 기는 메소드 결과값은 교집합한 결과와 동일 763
- 764. Set 타입 :difference_update 하나의set에 다른 set간의 매칭해서 첫번째 집합이 매치되지 않는 원소만 남기는 메소드 결과값은 차집 합한 결과와 동일 764
- 765. Set 타입 :symmetric_difference_update 하나의set에 다른 set간의 매칭되는 원소를 빼고 양 쪽 집합이 매치되지 않는 원소만 남기는 메소드 765
- 766. Set 타입 –add Set의 원소를 추가하는 메소드. 동일한 원소를 추 가해도 set 기준에 따라 변경되지 않음 766
- 767. Set 타입 –remove Set의 원소를 하나씩 삭제하는 메소드 767
- 768. Set 타입 –discard Set의 원소를 하나씩 삭제하는 메소드 768
- 769. Set 타입 –pop Set의 원소를 하나씩 hash 위치 별로 삭제하는 메소드. 769
- 770. Set 타입 –clear Set의 원소를 전부 삭제하는 메소드 770
- 771.
- 772. Set Comprehension Set 정의시값을 정하지 않고 호출 시 Set 내의 값 들이 처리되도록 구성 A = { 표현식 for i in sequence if 논리식} 772
- 773. set Comprehension :다중 set 내의 다중 for문을 이용해서 처리 A = {표현식 for i in sequence for j in sequence if 논리식} 773
- 774.
- 775. 함수의 극한 기초 Moon YongJoon 775
- 776.
- 777. 함수의 극한 함수의 극한(limit of a function)은 어떤 점에 가까이 다다름에 따른, 함수의 행태에 대한 개념 777
- 778. 좌극한값/우극한값 그래프에서 좌축과 우축에서접근하는 것에 따라 값을 구분 778 좌극한우극한
- 779. 함수의 연속 함수f(x)가 정의역의한점 a에 대해 다음 세 조건 을 만족하면 함수 f(x)는 x=a에서 연속되므로 연 속함수 779
- 780.
- 781. 함수의 극한의 수렴 함수의극한은 독립 변수가 일정한 값에 한없이 가까워질 때, 함숫값이 한없이 가까워지는 값이 존재하면 수렴한다고 함 781
- 782.
- 783. 함수 극한의 성질 수렴하는함수들이 존재할 때 함수들의 사칙연산 을 처리할 수 있음 783
- 784.
- 785. 지수함수 지수가 무한대로 갈때 밑이 1보다 크면 무한대이 고 밑이 1보다 작으면 –무한대로 갈때 무한대가 됨 785
- 786. PYTHON SYMPY 극한 기초 Moon YongJoon 786
- 787.
- 788. limit 함수 :극한 극한을 처리하는 함수limit 788
- 789.
- 790.
- 791. 할선 할선(割線, 가름선)은 원또는 곡선과 두 개 이상 의 점에서 만나 그 원이나 곡선을 자르는 직선 791
- 792. 접선 접선(接線)은 곡선 L의두 점 A와 B로 정의되는 할선AB에 서 점 B가 곡선을 따라 점 A에 한없이 가까워 질때, 이 새 로운 선을 곡선L의 A에서 만나는 접선이라 한다 792 A 점과 만나 는 점을 접선 이고 이 점을 접점이라고 함
- 793. 기울기 기울기(slope)는 직선이 기울어진정도를 나타내 는 수 793
- 794.
- 795. 평균변화율 : 할선 y=f(x)에서 A(a,f(a)), B(b,f(b))두 정점이 있을 때 두 점간의 변화를 계산하면 곡선 위의 두 점의 기울기를 의미 795 일때 라고 두면
- 796.
- 797.
- 798.
- 799. 순간변화율/미분계수 평균변화율의 극한을 취하여함수 f(x)의 특정 지 점 x 에서 변화량 Δx가 0으로 수렴할 때의 변화 율을 순간변화율 즉 미분계수 799
- 800. 순간변화율(미분계수) 흐름 접점의 기울기를구하기 위한 흐름 800 평균변화율 구하기 미분 순가변화율 구하기
- 801. 순간변화율(미분계수)의 그래프 B점에서 A점으로이동하면 한점에서 만나는 접선 이 됨 801
- 802.
- 803. 미분가능한 함수 :differentiable function 미분은 함수 f(x)의 순간변화율을 계산하는 과정 이다. f(x)에서 미분계수 f'(a) 가 존재할 때 미분 가능이 라고 한다. 정의역의 모든 점에서 미분가능한 함수이다. 즉, 모든 곳에서 수직이 아닌 접선을 그릴 수 있다 는 것이다 803
- 804. 미분가능 함수 f가 점x0에서 미분가능하다는 건 그 점에서 의 미분, 즉 평균변화율의 극한이 존재하는 것으 로 정의된다 804
- 805.
- 806. 미분계수와 도함수 차이 미분계수는특정한 점 (a, f(a))에서 접선의 기울기를 의미하고 도함수는 임의의 점(x, f(x))에서의 접선의 기울기를 의미 806 x=1에서 미분계수는 f’(1) = 6 f(x)의 도함수는 f’(x) = 3x+3 도함수에 특정값이 들어가면 미분계수를 구할 수 있음
- 807. 도함수 미분(微分)은 함수의 순간변화율을구하는 계산 과정 이고 함수를 미분하여 생성되는 함수를 도함수 즉 미분계수의 일반화 807 변화률에 대해 limit(극한) 을 지정하면
- 808.
- 809. 변곡점 변곡점(point of inflection)은위로 볼록인 곡선 상태에서 오목인 곡선 상태 또는 위로 오목인 곡 선상태에서 볼록인 곡선상태로 변하는 점 809
- 810. 변곡점의 판정 f’’(a) =0되고 x=a의 좌우에서 f’’(x)의 부호가 바뀌면 점(a,f(a))는 y=f(x)의 변곡점 810
- 811.
- 812. 극값 기울기가 양수에서 음수또는 음수에서 양수로 전환되는 점 즉 미적분에서 접선기울기가 0인 상 태 812
- 813. 그래프 이해하기 기울기가 양수이면위로 상승하는 그래프이고 기 울기가 음수이면 아래로 하강하는 그래프이다 813
- 814. 극대값, 극소값 증가 상태에서감소상태로 전환하는 극값을 극대 값, 감소상태에서 증가상태로 전환하는 극값을 극소값 814
- 815.
- 816. 이계 도함수 이계도함수란 도함수의도함수라는 의미로서, 본 함수를 2번 미분하여 얻은 도함수. 함수 f(x)의 도 함수 f’(x)가 미분이 가능하면 f’(x)의 도함수를 이 계도함수 f’’(x) 816
- 817. 미분 기본 공식1817
- 818. 미분의 기본 공식: 1 상수의 미분, 실수배 미분, 함수의 미분에 대한 일 반 공식 818
- 819. 상수미분 상수의 미분은 실제0이 됨 819
- 820. 상수미분 : sympy 상수의미분은 실제 0이 됨 820
- 821. 실수배 미분 c라는 실수배를가진 함수의 미분에서 실수배는 미분에 영향을 미치지 않는다 821
- 822. 실수배 미분 :sympy c라는 실수배를 가진 함수의 미분에서 실수배는 미분에 영향을 미치지 않는다 822
- 823. 함수의 미분 n 이자연수일 경우 xn의 미분은 nxn-1 823
- 824. 함수의 미분 :sympy n 이 자연수일 경우 xn의 미분은 nxn-1 824
- 825. 함수의 합과 곱미분825
- 826. 미분의 기본 공식: 2 합과 차의 미분, 곱의 미분 826
- 827. 합과차의 미분 :sympy 두 함수 합에 대한 미분은 각 함수의 미분에 합 과 같다 827
- 828. 곱의 미분 두 함수곱에 대한 미분은 f(x) 함수 미분과 g(x) 함수의 곱 + f(x)함수와 g(x)함수 미분의 곱과의 합과 같다 828
- 829. 곱의 미분 :sympy 두 함수 곱에 대한 미분은 f(x) 함수 미분과 g(x) 함수의 곱 + f(x)함수와 g(x)함수 미분의 곱과의 합과 같다 829
- 830.
- 831. 단순 함수의 미분1 : sympy 단순 함수의 미분 831
- 832. 단순 함수의 미분2 :sympy 단순 함수의 미분 832
- 833. 지수/로그 함수의 미분 지수/로그함수의미분 833
- 834.
- 835. 기울기(벡터) 미분 Moon YongJoon 835
- 836.
- 837. 기울기(gradient) 기울기(gradient 그래디언트)란 벡터미적분학에 서 스칼라장의 최대의 증가율을 나타내는 벡터장 을 뜻한다. 기울기를 나타내는 벡터장을 화살표로 표시할 때 화살표의 방향은 증가율이 최대가 되는 방향이며, 화살표의 크기는 증가율이 최대일 때의 증가율의 크기를 나타낸다. 837
- 838. 기울기(gradient)의 의미 어느 방안의공간 온도 분포가 스칼라장 φ로 주어졌다고 가정한 다. 이 때, 방안의 어느 한 점(x,y,z)에서의 온도는 φ(x,y,z)로 표 시할 수 있다. (온도는 시간에 의해 변화하지 않는다고 가정) 이 경우에 어느 한 지점에서의 기울기는 온도가 가장 빨리 증가하는 방향과 그 증가율을 나타낸다. 이번에는 산이나 언덕을 가정해보자. 어떤 지점(x,y)에서의 높이 를 H(x,y)로 표현하는 경우, 기울기는 가장 (위를 바라보는)경사 가 가파른 방향과 그 경사의 크기를 나타낸다. 기울기를 이용해 다른 방향의 증가율을 구하려면 기울기와 그 방 향의 단위 벡터의 내적을 취하면 된다. 기울기는 무회전성 벡터계이다. 즉, 기울기 벡터계에 대해 선적 분을 구하면 결과값은 경로와 상관없이 시작점과 끝점에 따라서 만 변화함을 뜻한다. 838
- 839.
- 840. PYTHON SYMPY 미분 기초 Moon YongJoon 840
- 841.
- 842. diff 함수 :미분 diff 함수로 미분을 풀이 842
- 843.
- 844.
- 845. 적분 : integral 적분이란부정적분이나 정적분의 값을 구하는 것이고 주어진 함수를 적분한다라고 표현하면 부 정적분을 구하는 것이고 구간을 주어 주어진 함 수를 적분한다고 하면 정적분이라고 함 845
- 846. 적분 기호의 의미 적분은미분된 함수에 대한 값들을 합하라는 뜻 846 예시
- 847.
- 848. 부정적분 부정적분(不定積分,indefinite integral)은 (모든) 역도함수를구하는 연산이다. 함수 f(x)가 F(x)의 미분이면, F(x)는 f(x)의 역도함수이다. 848
- 849. 부정적분과 미분의 관계 미분의역연산으로서 정의되는 것을 부정적분 이라 함 849
- 850.
- 851. 정적분: definite integral 리만적분에서 다루는 고전적인 정의에 따르면 실수 의 척도를 사용하는 축도 공간에 나타낼 수 있는 연 속인 함수 f(x)에 대하여 그 함수의 정의역의 부분 집 합을 이루는 구간 [a, b] 에 대응하는 치역으로 이루 어진 곡선의 리만 합의 극한을 구하는 것이다. 이를 정적분(定積分, definite integral)이라 한다. 851
- 852. 정적분: 식의 이해 x를a부터 b까지 변화시키면서 f(x)에 dx를 곱한 것을 전부 합쳐라 852
- 853.
- 854. 일반 적분 공식: sympy X에 대한 적분은 1/n+1*x**n+1로 처리 854
- 855. 상수와 함수: sympy 일반적분 공식 855
- 856. n차 함수: sympy 일반적분 공식 856
- 857. 함수의 곱: sympy 일반적분 공식 857
- 858. 도함수와 함수 곱:sympy 일반 적분 공식 858
- 859. 일반 적분 공식 일반적분 공식 859
- 860. 일반 적분 공식 일반적분 공식 860
- 861. 치환적분 공식 일반 적분공식 861
- 862. 분수 적분 공식 가분수를대분수로 바꾸고 적분 862
- 863. 무리함수 적분공식 무리함수 적분공식 863
- 864.
- 865.
- 866. 11.확률과 통계 기초 Moon YongJoon 866
- 867. 경우의 수 기초 Moon YongJoon 867
- 868.
- 869. 경우의 수 (numberof cases) 경우는 수는 사건에서 일어날 수 있는 경우의 가 짓수(원소의 개수)를 말하며, 합의 법칙과 곱의 법칙에 따라 경우의 수를 계산 같은 조건에서 여러 번 할 수 있는 실험이나 관찰로 얻어진 결과를 말한다. 즉, 어떤 실험이나 관찰에서 주어진 경우를 만족하는 경우의 집합 사건 시행 실험이나 관찰을 하는 행위 869
- 870.
- 871. ! 팩토리얼 1부터 자연수 n까지의 수를 차례대로 계산한다 는 뜻 기본 팩토리얼 계산 0! 계산 871
- 872.
- 873. 합의 법칙 합의 법칙은두 사건 A,B가 동시에 일어나지 않을 때 각각의 사건이 일어날 경우의 수를 서로 더해서 구하 는 경우 사건 A가 일어나는 경우의 수 : m 사건 B가 일어나는 경우의 수 : n 사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수 = m+n 873
- 874.
- 875. 곱의 법칙 곱의 법칙은두 사건 A,B가 동시에(연달아서) 일어날 때 각각의 사건이 일어날 경우의 수를 서로 곱해서 구하는 경우 사건 A 가 일어나는 경우의 수 : m 사건 B가 일어나는 경우의 수 : n 사건 A와 사건 b가 동시에 일어날 경우의 수 : m*n 875
- 876. 곱의 법칙:데카르트 곱 집합A의 원소와 집합 B의 원소인 순서쌍을 만드 는 집합 집합 A={a,b}, B= {1,2} 일때 A*B = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)} 즉 2*2 = 4 876
- 877.
- 878. 합/곱의 법칙 구별 동시에일어나는 사건을 경우 별개의 두 사건이 모두 발 생하는 것(곱의 법칙)이고, 별개의 두 사건이 있는 경우 둘다 일어나지 않아도 상관없는 것(합의 법칙)임 독립사건 A 또는 B가 일어나는 경우의 수를 구할 때에는 합의 법칙이 이용된다. 독립사건 A와 B가 동시에 일어나는 경우의 수 를 구할 때에는 곱의 법칙이 이용된다 878
- 879.
- 880.
- 881. 순열 서로 다른 n개에서r개를 택해 순서를 정해 일렬 로 나열하는 것을 순열이라고 함 서로 다른 n개 중복을 허락하지 않는 r 개를 선택 일렬로 나열하는 수 881
- 882. 순열 사용하는 경우 일렬로늘어서는 경우 순서를 생각해서 나열하는 방법의 수 직위가 다를 경우(회장, 부회장 등)을 뽑는 경우 상대적으로 다른 곳에 배열하는 경우 882
- 883. 순열 예시 서로 다른5개에서 3개를 택해 순서를 정해 일렬 로 나열하면 총 60가지의 경우의 수가 생김 1 2 3 4 5 5 4 3 5개 중에 하나 4개 중에 하나 3개 중에 하나 n 개 r 개 5P3 = 5!/2! = 5*4*3 = 60 883
- 884. 같은 조건을 가진순열884
- 885. 같은 조건을 가진것들이 순열 n개에서 서로 같은 것이 각각 p,q, …r개씩 있을 때 , 이들을 모두 택하여 일렬로 나열하는 순열의 수 885
- 886.
- 887. 중복순열 서로 다른 n개에서중복을 허용해서 r개를 택해 일렬로 나열하는 것을 중복순열이라고 함 887
- 888.
- 889. 조합 서로 다른 n개에서순서를 생각하지 않고 r개를 택하는 것을 조합(순열에서 중복을 제거하면 조 합이 됨) 889
- 890.
- 891.
- 892. 중복조합 조합과 마찬가지로 n개의원소에서 r개를 순서에 상관없이 뽑는데, 중복을 허락할 때의 가짓 수. 기호로는 (( n r))또는 nHr 로 사용 892
- 893. 확률 용어 Moon YongJoon 893
- 894.
- 895. 확률 확률현상은 불확실성에 대해좌우되는 현상이다. 확률현상에 대해 현실에서 실험하는 것을 확률실 험(ε)이라고 한다. 확률현상에서 얻어질 수 있는 모든 결과를 표본 공간(Ω) 이라고 한다. 또한 표본공간의 부분집합을 확률사건(E,Event) 라고 한다. 한 확률실험에서 ‘어떤 사건이 일어나 리라고 예축되는 정도를 나태내는 수치'를 그 사 건이 일어날 확률이라고 한다. 895
- 896. 통계적 확률 시행횟수 n이커짐에 따라 사건 A가 일어나는 횟 수를 r이라 하면 상대도수 r/n이 일정한 값 p에 가까워질 때, 이 일정한 p를 구함 896
- 897. 수학적 확률 어떤 시행의표본공간 S가 n개의 근원사건으로 이뤄져 있고 각 근원사건이 일어날 가능성이 모 두 똑같이 기대될 때, 사건 A가 r개의 근원사건으 로 이루어져 있으면 사건 r이 일어날 확률 P(A)를 P(A) = r/n으로 정의 897
- 898. 확률의 기본 특성 서로배타적인 결과를 갖는 실험에서 어떤 사상 이 일어날 확률은 음수가 아닌 숫자로 표시 898
- 899.
- 900. 실험 실험(實驗)은 가설이나 이론이실제로 들어맞는 지를 확인하기 위해 다양한 조건 아래에서 여러 가지 축정을 실시하는 일이다. 지식을 얻기 위한 방법의 하나이다. 실험은 관찰(축정도 포함)과 함 께 과학의 기본적인 방법의 하나이다. 다만 관찰 이 대상 그 자체를 있는 그대로 알려보는 일이라 면, 실험은 어떤 조작을 가해 그에 따라 일어나는 변화를 조사하고 결론을 내는 일이다. 900
- 901. 시행(trial) 모든 결과가 우연에의해서 지배가 되고 반복가 능하며 모든 결과가 예축이 가능한 실험이나 관 찰 확률실험(random experiment)즉 시행은 결과 가 우연에 좌우되는 현상을 실현시키는 행위는 실험, 관 찰, 조사 등으로써 몇 가지 특징을 가지 는 것을 시행 또는 확률실험이라고 한다. 901
- 902. 표본공간(sample space) 표본공간 또는전체 표본공간은 종종 S, Ω 또는 U로 표기되며, 실험 또는 임의 시도의 모든 가능 한 산출들의 집합이다. 902
- 903. 확률 기초 Moon YongJoon 903
- 904. 경우의 수를 이용한확률904
- 905. 경우의 수를 이용 모든경우의 수에 사건 A가 일어나는 경우의 수 로 확률을 표시 905
- 906.
- 907. 상대도수 특정 실험을 많이해서 이에 실제 발생한 빈도에 따라 확률을 계산하는 경우 907 상대도수 기반의 확률
- 908.
- 909. 사건 확률에서는 실험에서 발생할수 있는 결과들이 기본 사건 (elementary event) 이라고 불리는데 이것의 모음은 그 냥 사건이라고 일컫는다. 어떤 실험의 표본공간 S에 관한 사건(event)이란 S의 부 분 집 합을 뜻함. 즉, 실험의 가능한 결과로 이루어진 집 합을 사건 (event)이라 함 909 근원사건 사건 중에 표본공간의 전체집합에서 원소가 1개인 부분집합
- 910. 주요 사건들 주요 사건들. 910 여사건 complementary event 전사건 totalevent 공사건 empty event 어떤 사건 A가 일어나지 않는 사건 사건 event 시행의 결과로서 나타나는 것 일어날 수 있는 모든 경우의 사건 일어날 수 있는 모든 경우의 사건
- 911.
- 912. 독립 두 사건이 독립(獨立,independent)이라는 것은, 둘 중 하나의 사건이 일어날 확률이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 미치지 않는다는 것을 의 미한다. 예를 들어서, 주사위를 두 번 던지는 경우 첫 번째 에 1이 나오는 사건은 두 번째에 1이 나올 확률에 독립적이다. 912
- 913. 독립사건 독립사건( Independent Event)은서로 다른 사 건이 일어날 확률에 영향을 주지 않은 사건들 913 조건부 확률은 사건 B가 주어졌을 때 A가 일어 날 확률이지만 두 사건이 독립이라면독립사건의 조건
- 914.
- 915. 배반사건 배반사건(Exclusive Events)는 동시에일어날 수 없 는 두 사건, 두 사건의 교집합이 공집합이 되는 사건 915 배반인 경우 배반이 아닌 경우
- 916.
- 917. 종속사건 종속사건(Dependent Events)은 사건A가 일어 났을 경우에 사건 B가 일어날 확률을 말함 917
- 918. 확률의 기본 법칙 정리 MoonYong Joon 918
- 919.
- 920. 기본 1) A의 여사건A'의 확률은 P(A')=1-P(A) 2) 덧셈정리 : 두 사건 A, B에 대하여, P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) 3) 임의의 두 사건 A, B가 주어졌을 때, A와 B의 여사건이면 P(A∩B')= P(A)-P(A∩B) 4) 특히, A와 B가 서로 배반사건이면, P(A∪B)= P(A)+P(B) . 920
- 921. 확률의 덧셈정리 조건 •두 사건 중 적어도 하나의 사건이 일어날 확률 과 관련 • 좁은 의미의 덧셈법칙은 상호배반일 경우만 가 능 • 배반이 아닌 경우 중복 계산되는 부분을 제거해 야 한다. 921
- 922. 확률의 덧셈정리 식 사건A 또는 사건 B가 일어날 확률은 사건A가 일 어날 확률 과 사건 B가 일어날 확률을 더해서 구 함 922
- 923.
- 924. 기본 P(A and B):결합확률 (joint probability) • 두 사건이 함께 일어날 확률 P(A | B): 조건부확률 (conditional probability) • 사건 B가 주어진 조건 하에서 사건 A가 일어날 확률 P(A), P(B): 주변확률 (marginal probability) • 비조건부 확률 924
- 925. 곱셈법칙 조건 • 두사건이 함께 일어날 확률과 관련 • 좁은 의미의 곱셈법칙은 상호독립일 경우만 가 능 • 독립이 아닌 (종속의) 경우 하나의 주변확률과 다른 하나의 조건부확률을 곱해야 한다 925
- 926. 확률의 곱셈정리식 :조건부 사건 A 와 사건 B가 동시에 일어날 확률은 사건 A가 일어날 확률 과 사건 B가 일어날 결합확률은 확률의 곱으로 구함 926
- 927. 확률의 곱셈정리 :독립사건 두 사건이 서로 독립일 때, 두 사건이 모두 일어 날 확률은 각각의 비조건부 확률을 곱하여 얻는 다. 이를 좁은 의미의 곱셈법칙이라고 부른다. 927
- 928. 조건부 확률 Moon YongJoon 928
- 929.
- 930. 조건부 확률 조건부 확률(conditional probability)이란 사 건 B가 일어났다고 가정했을 때에 사건 A가 일어 날 확률을 가리켜, P(A┃B) 로 표시하고, 이를 사건 B를 조건으로 하는 A의 조건부 확률이 라 한다. 930
- 931.
- 932. 조건부 확률공식 :벤다이어그램 P(A|B) : 조건부확률 • 사건 B 가 주어진 조건 하에서 사건 A 가일어날 확률 • 사건 B 에만 포커스를 맞춤 • 사건 B의 확률에 대한 사건 A와 B 결합사건확률의 상대적 크기 932 P(B) 구하기: 벤다이어그램
- 933. 조건부 확률공식 :산식 | 기호의 의미는 어떤 사건이 다른 사건의 발생을 조건으로 일어나는 확률을 의미 933
- 934. 조건부 확률공식 :예시 주사위가 소수이면서 홀수가 나올 확률은 A:홀수= {1,3,5}, B:소수={2,3,5} A와 B이 교집합 = {3,5} 934
- 935. 독립시행 확률 Moon YongJoon 935
- 936.
- 937. 독립시행의 확률 동일한 시행이여러 번 반복되면 사건이 서로 독 립이므로 각 시행이 다른 시행에 영향을 미치지 않음 937
- 938.
- 939. 독립시행 예시 주사위를 3번던질 때 6의 눈이 2번 나올 확률 939
- 940. 독립시행 예시 주사위를 6번던질 때 1 또는 2의 눈이 2번 나올 확률을 구하여라. 940 1 2 3 4 5 6 1 or 2 o o x x x x 1 or 2 o o x x x x 1 or 2 o o x x x x 1 or 2 o o x x x x 1 or 2 o o x x x x 1 or 2 o o x x x x 1or 2 확률 = 2/6 = 1/3 = 6C2(1/3)2(1-1/3) 6-2 = 6!/2!4! (1/9)(4/81) = 15*(16/729) = 80/243
- 941. 확률변수와 확률분포 기초 Moon YongJoon 941
- 942.
- 943. 확률변수 확률 변수(確率變數, randomvariable)는 확률실 험)시행에서 나타낼 수 있는 모든 결과에 대해 수 치를 대응시키는 것이며, 확률적인 과정에 따라 값이 결정되는 변수 943
- 944. 확률분포 확률분포(確率分布, probability distribution)는 어떤확률변수가 취할 수 있는 모든 값들과 그 값 을 취할 확률의 대응관계(상대도수, 함수)로 표시 를 하는것 944
- 945.
- 946. 이산확률변수 이산확률변수(discrete probability variable)유 한개의 값, 또는 셀 수 있는 개수의 값으로 구성되 어 있는 확률변수 946
- 947. 이산확률분포 이산 확률분포는 이산확률변수가 가지는 확률분 포를 의미한다. 여기에서 확률변수가 이산 확률 변수라는 말은 확률변수가 가질 수 있는 값의 개 수가 가산 개 있다는 의미 947
- 948. 이산균등분표 이산 균등 분포함수인 random.randint : Discrete uniform distribution randint(low, high=None, size=None, dtype='l') 948
- 949.
- 950. 확률질량함수 확률질량함수(probability mass function)은이 상확률변수에서 특정한 값에 대한 확률을 나타내 는 함수 950 x x1 x2 x3 x4 … xn P(X=xi) p1 p2 p3 p4 … pn
- 951. 확률질량함수 예시 주사위를 한번 굴릴 때의 값을 나타내는 확률 변 수가 X일 때, 이 확률 변수에 대응되는 확률 질량 함수는 f(x)=1/6이다. 951 x 1 2 3 4 5 6 P(X=xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
- 952.
- 953. 연속확률변수 연속적인 범위의 값을지니는 확률변수, 연속량 으로 표기되어 가능한 변수값의 셀 수 없는 변수 953
- 954. 연속확률분포 연속 확률분포는 확률밀도 함수를 이용해 분포 를 표현할 수 있는 경우를 의미한다. 연속 확률분 포를 가지는 확률변수는 연속 확률변수라고 부른 다. 954
- 955. 연속균등분포 연속균등분포(continuous uniform distribution)은 연속확률 분포로, 분포가 특정 범위 내에서 균등하 게 나타나 있을 경우를 가리킨다. 이 분포는 두 개의 매개변수 a,b를 받으며, 이때 [a,b] 범위에서 균등한 확률을 가진다. 955
- 956. 연속균등분포 예시 Uniform 메소드를이용해서 연속균등분포를 표 시 uniform(low=-1, high=0, size=None) 956
- 957. 정규분포 정규분포(正規分布,normal distribution) 또는 가우스분포(Gauß分布,Gaussian distribution) 는 연속 확률 분포의 하나정규분포 957
- 958. 정규분포 예시 정규분포 :random.standard_normal 평균은 0 이고 표준편차가1 인 분포를 정규분포 standard_normal(size=None) 958
- 959.
- 960. 확률밀도함수 확률밀도함수(probability density function약 자 PDF )f(x)는 일정한 값들의 범위를 포괄하는 연속확률변수의 확률을 찾는데 사용하고 연속데 이터에서의 확률을 구하기 위해서 확률밀도함수 의 면적을 구함 960 확률 밀도함수 f(x)와 구간[a,b] 에 대해 확률변수 X가 구간에 포함될 확률 P(a<= X<=b)는
- 961. 확률밀도함수의 그래프 확률밀도함수 f(x)는적분을 이용해서 그래프의 면적으로 확률을 처리 961
- 962.
- 963.
- 964. 확률변수의 기대값 확률 변수의기댓값(期待값, expected value)은 각 사건이 벌어졌을 때의 이득과 그 사건이 벌어 질 확률을 곱한 것을 전체 사건에 대해 합한 값이 다. 이것은 어떤 확률적 사건에 대한 평균의 의미로 생각할 수 있다. 964
- 965. 이산확률변수의 기대값 각 사건이발생할 때의 결과와 그 사건이 벌어질 확 률을 곱한 것들을 전체 사건에 대해 합한 값입니다. 어떤 확률적 사건에 대한 평균의 의미로 생각할 수 있습니다. 확률변수(=랜덤변수)가 나타내는 확률분 포에서 중심 위치를 나타내는 척도이다. 965
- 966. 이산확률변수의 기대값 예시 기대값의예시 966 기대값
- 967. 연속확률변수의 기대값 연속확률변수의 기대값은확률밀도함수의 적분 967
- 968.
- 969.
- 970. 기대값의 연산법칙 예시 기대값E(5X+3) 에 대한 처리 970
- 971.
- 972.
- 973. 확률변수의 분산 분산(Variance)은 각확률변수들이 기대값(=확 률사건 평균)으로부터 얼마나 떨어져서 분산되어 있는지 가늠할 수 있는 하나의 척도, 즉 하나의 값 을 말한다. 사실 분산은 표준편차를 구하기 위한 과정이라고 보면 된다. 분산을 구하는 방법은 아 래와 같다. 분산은 소문자 시그마의 제곱으로 표현 σ2 한다 973
- 974. 확률변수의 분산식 분산은 소문자시그마의 제곱으로 표현 σ2 한다 974 편차의 제곱 편차의 제곱* 사건확률 분산
- 975. 확률변수의 분산식 변형 분산식을변형 975 분산 간편식 =-2E[XE[X]] = -2E[X]E[X] = -2E[X]2 를 이용해서 기대값 내의 기대값을 밖으로 배출
- 976. 확률변수의 분산식 분산은 소문자시그마의 제곱으로 표현 σ2 한다 976 기대값 분산
- 977.
- 978.
- 979.
- 980.
- 981. 확률변수의 표준편차 표준편차(Standard deviation)란,확률 사건의 평균인 기대값으로부터 일반적인 평균 차이로 인 식하면 된다. 표준편차는 적을 수록 기대값에 가 까이 위치하고 있다는 의미다. 표준편차는 소문자 시그마(sigma) σ 문자로 표현 981
- 982. 확률변수의 표준편차식 표준편차는 소문자시그마(sigma) σ 문자로 표현 982
- 983.
- 984.
- 985. 확률변수의 공분산 공분산은 두확률변수의 상관관계를 나타내는 것 이다. 만약 두 확률 변수중 하나의 변수 값이 상승 하는 경향을 보일 때, 다른 확률변수 값도 상승하 는 상관관계에 있다면, 공분산의 값은 양수가 된 다. 반대로 두 개의 확률 변수중 하나의 변수 값이 상승하는 경향을 보일 때, 다른 확률변수 값이 하 강하는 경향을 보인다면 공분산의 값은 음수가 된다. 공분산이 0에 가까우면 상관관계가 적다는 것을 의미한다. Xi와 Xj의 공분산 σij = 0 이면 Xi와 Xj 는 독립이다. 985
- 986. 확률변수의 공분산 식 공분산은하나의 사건에 대하여 발생하는 두 확 률변수의 각 기대값과의 차이를 곱한 것들의 합 이라고 보면 된다. 986
- 987.
- 988.
- 989.
- 990.
- 991. 통계 통계학(統計學, statistics)은 수량적비교를 기초로 하여, 많은 사실을 통계적으로 관찰하고 처리하는 방 법을 연구하는 학문이다. 991
- 992. 통계학의 종류 기술통계학(descriptive statistics)는모집단 전체 혹은 표본으로부터 얻은 데이터에 대한 숫자 요약9 평균, 분산 등)이나 그래표 요약을 통해 데이터가 가 진 정보를 정리하는 이론이나 방법론 추론통계학(inferential statistics)는 표본으로부터 얻은 정보를 이용해서 모집단의 특성(모 수:parameter)을 추론(추정, 검정)하거나 변수들간 의 적절한 함수관계(modeling)의 진위 여부를 판단 하는 일련의 과정에 관한 이론과 방법론 992
- 993. 확률과 통계 비교 확률적관점 : 이미 알고 있는 모집단에서 어떤 사 건이 일어날 확률에 관심이 있다. 통계적 관점 : 표본에서 얻은 정보를 이용하여 미 지의 모집단을 미루어 짐작하는 추론에 관심이 있다. 993
- 994.
- 995. 통계 분석 연구 목적이설정되면 그에 맞는 통계적 가설이나 모형을 설정하고, 관련 데이터 수집하여 정리하고 분석하여, 가 설 혹은 모형의 유의성을 검정하는게 통계 분석 995 통계 (Statistics)의 역할 모집단 );( xf 표본 1X 2X nX 1x 2x nx ),,,(ˆ 211 nxxx 데이터 수집 ; sampling 확률이론 확률 확률변수 확률분포 통계적 추론 데이터 처리 척도 계산, 분포 유추모수 추정, 가설검정 기술 통계학추리 통계학 기초 제공 Θ =μ,σ,‥ p, ‥ ),,,(ˆ 212 nxxxp ： ?0 ?0pp ：
- 996. 전수조사 전수 조사(全數調査)는 대상이되는 통계 집단의 단위를 하나하나 전부 조사하는 관찰 방법으로, 전부 조사(全部調査)라고도 부른다. 996
- 997.
- 998. 평균 표준편차 분산기호 평균 표준편차 분산 기호 998
- 999. 모집단과 표본의 관계 모집단에서표본을 뽑고 이를 통해 모집단의 특 성을 예축 999 모집단과 표본의 관계 모집단 표본 Data 추정 2 , 2 , sx 기술통계학 통계자료를 적절하게 그림, 도표 또 는 수치로 요약하고 그 특성을 기술 하는 方法論 추리통계학 모집단에서 뽑은 표본을 통하여 모집단의 특성을 예축 또는 추축 하는 方法論
- 1000. 모집단과 표본의 산식관계 모집단과표본집단에 대한 산식 관계 100 0
- 1001. 통계 데이터의 정리 MoonYong Joon 1001
- 1002.
- 1003. 모집단 모집단(母集團, population oruniverse)이란 정 보를 얻고자 하는 관심 대상의 전체집합을 말한 다. 모집단은 우리가 무엇을 알려고 하느냐에 따라 다르게 정의되기 때문에 모집단을 명확하게 정의 하는 것은 매우 중요하다. 100 3
- 1004.
- 1005. 표본 표본(sample)은 모집단(population)의 부분집합 이다.전형적으로, 모집단은 매우 크며, 모집단의 모든 값에 대해 전수조사(census)나 전부 조사 (complete enumeration)을 하는 것은 실용적이 지 않거나 불가능하다. 100 5
- 1006. 표집 :sampling 표본은 다룰수 있을만한 크기의 부분 집합을 나 타낸다. 표본이 얻어지면 모집단으로부터 얻은 표본에 대해 추론(inference) 또는 외삽법 (extrapolation)을 하기 위하여 통계적 계산이 수 행된다. 표본으로부터 이러한 정보를 얻기 위한 과정(process)을 표집(sampling)이라고 한다. 1006
- 1007.
- 1008. 모수 모수(parameter) : 모집단의특성을 나타내는 양 적인 값으로 고유한 상수로 나타낸다. 1008
- 1009. 통계량 통계량(Statistic)은 표본으로부터 계산되는표본 의 튻어값, 관축가능한 확률변수들의 실수값 함 수로 통계량은 확률변수 1009
- 1010. 표본분포 표본분포(Sampling Distribution)는 한모집단에 서 같은 크기로 뽑을 수 있는 모든 표본에서 통계 량을 계산할 때 이 통계량이 이루는 확률분포 101 0
- 1011. 신뢰수준 신뢰수준 어떤 모수가 신뢰구간에속할 확률 추정 구간에 그 모집단 특성값의 참값이 존재할 확률 구간 추정량이 모집단의 모수를 포함하게 될 확률 범위: 0% ~ 100%가 가능 보통 95%를 사용함 1011
- 1012. 신뢰구간 신뢰구간 신뢰수준의 확률로 모평균을포함하는 구간 모수가 어느 범위 안에 있는지를 확률적으로 보여주 는 방법 P(U<θ<V)=0.95P(U<θ<V)=0.95 → 신뢰구간: U ~ V→ 신뢰수준: 95% 1012
- 1013. 모수의 추정 추정(estimation) :미지의 모수의 값이 얼마인지, 또는 어떤 범위내에 있는지 표본결과로 부터 추 축하는 것 101 3
- 1014. 가설검증 가설의 검정(test ofhypotheses) : 모수의 값의 범 위를 규정하는 두개의 가설을 세우고, 이들 중 어느 것이 참인지를 표본의 결과로 부터 판단하는 것 1. 자연, 사회 현상을 관찰하여 이론을 세운다.(가설) 2. 실험, 조사를 통해 실제 현상을 관찰한다. (표본 추출) 3. 실제 관찰 결과가 이론에서 예축되는 것과 부합하는지 판단한다.(가설 검정) 4. 부합되면 1번의 이론을 사실로 판단하고, 아니면 탐구 를 반복한다. 101 4
- 1015.
- 1016. 수리적 통계 변수 이산형변수 (discrete variable) : 남/녀, 자동차 종류 등과 같이 연속성이 없는 변수 연속형 변수 (continuous variable) : 키, 몸무게 등 실수와 같이 쪼게면 쪼겔수록 무한히 쪼게지 는 연속된 변수 101 6
- 1017. 데이터 분석적 통계변수 축정형변수(metric) : 셀 수 있거나 축정 가능한 특성을 축정한 변수 분류형/범부형 변수(non-metric) : 개체를 분류 하기 위해 축정된 변수 명목형(nominal) : 범주의 크기 순서가 없는 경우 순서형(ordinal) : 범주의 크기 순서가 있는 경우 1017
- 1018.
- 1019. 도수분포표 (frequency table) 도수분포표(frequency table) : 빈도수 분포표라 고도 하는데, 연속형 변수의 경우 히스토그램 처 럼 구간을 나눠서 그래프가 아니라 테이블로 표 현한 거나, 이산형 변수의 경우 각 변수의 값을 테 이블로 표현한 것을 도수 분포표 라고 한다 1019
- 1020. 도수분포표 : 그리는단계 1. 관축치 중 최대값과 최소값을 찾는다. 2. 최대값과 최소값의 차이, 즉 범위를 구한다. 3. 몇 개의 구간으로 나눌 것이지 결정한다 (대략 6개-14개). 4. 구간이 중복되지 않도록 범위를 정한다. 5. 각 구간에 속하는 관축치의 수를 세어 도수를 구한다. 1020
- 1021. 도수분포표의 평균 각 계급값과도수를 곱해서 총합을 구하고 도수 의 총합으로 나누면 평균이 나옴 1021
- 1022. 히스토그램 히스토 그램 :연속형 변수는 히스토그램을 이용 하여 표현이 가능하다. 히스토그램이란, 연속된 변수의 X축을 일정 구간으로 나눠서, (5씩) 그 구 간에 들어가는 데이터를 표현하는 방법으로, 키 를 예를 들면 160~170,170~180에 각각 몇 명 이 있는지 그래프로 나타내면 히스토 그램이라고 한다. 1022
- 1023. 히스토그램 형태의 특징 도수분포표에대한 히스토그램 그래프 1023
- 1024. 중심위치의 척도 Moon YongJoon 1024
- 1025.
- 1026. 산출평균: arithmetic mean 주어진값들을 더해서 총 개수로 나누는 값 1026
- 1027. 기하평균: geometric mean 복수개의수치의 곱을 수치의 개수로 제곱근을 취해서 산 출되는 평균값 - 인구성장률, 투자이률 등 성장률 평균 산출시 사용 1027
- 1028. 조화평균 수학에서 조화 평균(調和平均)은주어진 수들의 역수의 산술 평균의 역수, 평균적인 변화율을 구 할 때에 주로 사용된다. 실수 a1, ..., an이 주어졌을 때, 조화 평균 H는 1028
- 1029.
- 1030. 중앙값: median 중앙에 위치하는값은 어떤 주어진 값들을 크기 의 순서대로 정렬했을 때 가장 중앙에 위치하는 값 n개의 값이 주어질 때 n이 홀수이면 (n＋1)/2 번째 값 n이 짝수이면 n/2 번째 값과 n/2+1번째 값의 평균 1030
- 1031.
- 1032. 최빈값: mode 가장 많이관축되는 수는 주어진 값 중에서 가장 자주 나오는 값 {1,2,3,4,4,4,5} 주어질 때 최빈값은 4이다 1032
- 1033.
- 1034.
- 1035. 평균/중간값/최빈값 : numpy 평균/중간값/최빈값구하기, scipy.stats 내의 mode 연산으로 최빈값을 찾아야 함 1035
- 1036. 산포/ 산포의 축도 MoonYong Joon 1036
- 1037.
- 1038. 산포 산포는 데이터가 흩어진정도를 나타내는 것 분산, 표준편차, 범위, 사분위수범위 ... 1038
- 1039. 산포의 척도 산포의 척도(Measureof dispersion) : 데이터가 흩어진 정도를 수치로서 축정하는 것으로 분산, 표준편차, 범위, 사분위범위 등이 많이 사용됨 1039
- 1040. 산포의 척도 : 사분위수와범위 Moon Yong Joon 1040
- 1041.
- 1042. 사분위수 데이터 표본을 4개의동일한 부분으로 나눈 값 1사분위수 2사분위수 3사분위수 4사분위수 중앙값 1042 그래프
- 1043.
- 1044.
- 1045. 산포의 척도 : 분산기초 Moon Yong Joon 1045
- 1046.
- 1047. 분산 평균을 중심으로 자료의흩어진 정도가 어느 정 도인지를 축정하는 것이며 평균에서 얼마나 벗어 났는지를 나타내는 것이다. 모분산과 표준분산이 있다. 1047
- 1048. 모분산 : populationvariance 분산은 편차(값 – 평균)을 제곱해서 n(전체 개수) 로 나누어서 값을 구함. 전체집단이라 가정할 경 우 계산 1048
- 1049. 표본분산 : variance 분산은편차(값 – 평균)을 제곱해서 n-1(전체 개 수)로 나누어서 값을 구함. 전체 중에 일부인 표 본공간이라 가정할 경우 계산 1049
- 1050.
- 1051. pvariance 평균에서 얼마나 떨어져있는지 구하기 1051
- 1052. variance 평균에서 얼마나 떨어져있는지 구하기 1052
- 1053. variance/pvariance 평균에서 얼마나 떨어져있는지 구하기 1053
- 1054.
- 1055.
- 1056. 산포의 척도 : 표준편차기초 Moon Yong Joon 1056
- 1057.
- 1058. 편차 통계학에서 편차(deviation)는 관축값과평균의 차이 를 말한다. 편차점수라고도 한다. 어떤 변인 y에서 특정 사례의 편차 d를 다음과 같이 나타낼 수 있다. 편차는 양수일수도 있고 음수일 수 있으며, 이는 평 균보다 크거나 작음을 나타낸다. 값의 크기는 관축값 이 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는가를 나타낸다. 편차는 오류 또는 잔차라고 할 수 있다. 모집단 평균 에서의 편차는 오류이며, 표집 평균에서의 편차는 잔 차이다.. 1058
- 1059.
- 1060.
- 1061. Standard deviation variance에 대한표준편차 1061
- 1062.
- 1063.
- 1064.
- 1065.
- 1066.
- 1067. std variance에 대한 표준편차이며 statistics.pstdev와동일한 결과 1067
- 1068. 산포의 척도 : 변동계수 MoonYong Joon 1068
- 1069.
- 1070. 변동계수 변동계수(Coefficient of Variation)은분포의 퍼 짐의 정도를 비교하게 해준다 자료 단위가 다르고, 표준편차와 평균이 상당히 다른 두 분포가 있을 때 그 두분포의 산포를 타당 하게 비교하기 위해 사용 1070
- 1071. 산포의 척도 : 왜도와첨도 Moon Yong Joon 1071
- 1072.
- 1073. 왜도 왜도(歪度; skewness)란, 데이터의 분포형태가 기울어진 정도를 의미한다. 분포의 형태는 좌우대칭이면 왜도는 0이 되고, 왜 도가 + 의 값을 가지면 오른쪽으로 긴 꼬리를 가 지는 형태, -의 값을 가지면 왼쪽으로 긴 꼬리를 가지는 형태를 보인다. 1073
- 1074. 첨도 첨도(尖度;kurtosis)란 분포가 평균치주변에 몰 려 있는 형태인지 멀리 퍼져 있는 형태인지 그 뾰 족한 정도를 의미한다. 표준정규분포의 첨도계수는 0이며, 0보다 크면 표준정규분포에 비해 더 뾰족하게 몰려 있는 형 태를 가지고, 0보다 작으면 보다 넓게 퍼져 있는 형태의 데이터라고 할 수 있다. 1074
- 1075. 두개 이상의 연속 변수정리 - 공분산 기초 Moon Yong Joon 1075
- 1076.
- 1077. 공분산(Covariance) 공분산이라 하면 분산과는다르게 하나의 변수 가 아닌 두 변수 사이의 관계를 나타냄 1077
- 1078. 공분산 : numpy 두변량간의 공분산을 구하는 함수인 cov를 이 용 파라미터에 ddof =0 을 인수를 넣고 처리 1078
- 1079. 두개 이상의 연속 변수정리 - 상관계수 기초 Moon Yong Joon 1079
- 1080.
- 1081. 상관계수 공분산이라 하면 분산과는다르게 하나의 변수가 아 닌 두 변수 사이의 관계를 나타냄 -1<= r <= 1 사이의 값 1081
- 1082. 상관관계 정도 -1<= r<= 1 사이의 값으로 상관관계 정도를 나타냄 1082
- 1083. 상관계수 : numpy 두변량간의 상관 관계를 나타내는 계수 python은 기본이 n으로 처리되므로 (n-1)로 처리하 려면 ddof =1 을 인수로 넣어야 n-1로 처리된다. 1083