1. 第二章 确定信号处理
彭涛
pengtao@bupt.edu.cn

2. 2.12 希尔伯特变换
 定义
 希尔伯特变换
1  f  
f t   H  f t  
   d
  t 
 希尔伯特反变换
1  g  
 g t   
1
H  
   t 
d

3. 2.12 希尔伯特变换
 希尔伯特变换的等效线性系统
 该系统的单位冲激响应和传递函数为
1
h t  
t
 1 
H     F     j sgn   
 t 
 1,  0
其 中 ，    
sgn
  1,  0

4. 2.12 希尔伯特变换
 1,  0
sgn       lim  e u     e u     
 
  1,   0  0  
 1  1  
 sgn      lim  u   e u    e
1  j t  j t
F    0
 2
 
e d 
2
 
e d 

1  1 1  1 2 jt j
 lim      0
lim 
  0 2
    jt   jt  2   t t
2 2
1
   j sgn   
t

5. 2.12 希尔伯特变换
 希尔伯特变换的等效线性系统
 传递函数
  j,  0
H      j sg n     
 j,  0
 可见，希尔伯特变换等效于一个理想移相器

  0时 ， 相 移 为 - ；
2

  0时 ， 相 移 为
2

6. 2.12 希尔伯特变换
 希尔伯特反变换的等效线性系统
 单位冲激响应 h  t    1
t
传递函数  1 
H    F     j sgn   

 t 
 也等效于一个理想移相器

  0时 ， 相 移 为 ；
2

  0时 ， 相 移 为 -
2

7. 2.12 希尔伯特变换
 例2.12.1
f  t   cos  t , 其 中   0, 求 f  t  , f  t  和 H
1
 f t 
 
  
f  t   cos   t    sin  t
 2
  
f  t   sin   t     cos  t
 2
  
 f  t    sin  t 
  cos  t  f  t 
1
H 
   2

8. 2.12 希尔伯特变换
 希尔伯特变换的性质
1  H
1
 f t   f t 
 
2 H  f t   f t    f t 
 
  2
3  
f
2
 t  dt   
f  t  dt
4 若 f t 为 偶 函 数 ， 则 f t 为 奇 函 数 ；
若 f t 为 奇 函 数 ， 则 f t 为 偶 函 数

5  
f  t  f  t  dt  0

9. 2.12 希尔伯特变换
 希尔伯特变换的性质（证明）
1  F  H
1
  
 f  t    F  f  t     j sgn      j sgn      F  f  t  
     
H
1
 f t   f t 
 
3 f t   F     F      j sgn    
 
 2 1  2 1  2
 f  t  dt   F   d    F      j sgn     d 
 
 2  2 
1  
F   d    t  dt
2
  
2
f
2  

10. 2.12 希尔伯特变换
 希尔伯特变换的性质（证明）
5  若 f  t   f t  ,则
1  f   1  f   
f  t    d   d
  t     t  
令  ' 
1  f  ' 
   d '   f  t 
  t  '

11. 2.13 解析信号
 定义
 实信号f(t)的解析信号为复信号
z t   f t   j f t 

12. 2.13 解析信号
 解析信号的性质
1  f t   Re  z t 
 
1
2 f t    z t   z* t 
2 
3 令 f  t   F   , z  t   Z   , 则
 2 F   ,  0
Z    2 F   u    
 0,  0
1  1 
4 z t    2 F   e
j t
d   F   e
j t
d
2 0  0

13. 2.13 解析信号
 解析信号的性质
 0,  0
5  z  t    2 F    u     

*

 2 F   ,  0
6 令 z1  t  和 z 2  t  为 解 析 信 号 ， 则
z1  t  * z 2  t   0； z1  t  * z 2  t   0
* *
7 解析信号的能量是实信号能量的两倍

14. 2.13 解析信号
 解析信号的性质（证明）
3 Z     F  f  t   j f  t    F     jF      j sgn    
   
 F    1  sgn      2 F    u   
 
6 z1  t   2 F1    u    ; z 2  t   2 F2    u    
*
z1  t  * z 2  t   2 F1    u    2 F2    u      0
*
 z1  t  * z 2  t   0
*
 
7 z  t  dt   f  t   j f  t    f  t   j f  t   dt
2
Ez       

  f
2
 dt  2  f
 
2
t   f t  
2
 t  dt  2E f
 

15. 2.13 解析信号
 判断复信号z(t)=x(t)+jy(t)是否为解析信
号的方法
方 法 1： 若 y  t  是 x  t  的 希 尔 伯 特 变 换 ，
则 z t 是 解 析 信 号
方 法 2： 若 满 足 性 质  3  ， 即 Z     2 X    u    ，
则 z t 是 解 析 信 号
方 法 3： 若 z  t  的 傅 氏 变 换 只 在   0时 取 非 零 值 ，
则 z t 是 解 析 信 号

16. 2.13 解析信号
 例2.13.1
确定e
j 0 t
 0  0是否为解析信号
 cos  0 t  j sin  0 t， 且 sin  0 t  H  cos  0 t 
j 0 t
方 法 1： e
j 0 t
e 是解析信号
 2      0  ，  0 t         0        0  
j 0 t
方 法 2： e cos  
j 0 t
e 是解析信号
 2      0 
j 0 t
方 法 3： e
j 0 t
e 是解析信号

17. 2.13 解析信号
 求已知实信号f(t)的解析信号的方法
方 法 1： 求 f  t  的 希 尔 伯 特 变 换 f  t  ， 再 构 造 解 析 信 号
z t   f t   j f t 
方 法 2： 求 f  t  的 傅 立 叶 变 换 F    ， 再 由 性 质  4  求 出
1 
z t   F   e
j t
  0
d

18. 2.13 解析信号
 例2.13.2
求 f  t   cos  0 t   0  0  的 解 析 信 号
  
方 法 1：  t   cos   0 t    sin  0 t
f
 2
 z  t   cos  0 t  j sin  0 t  e
j 0 t
方 法 2：  0 t         0        0  
cos  
1 
 z t          0        0   d 
 
 0
1 
2      0  d   e
j 0 t

2
 

19. 2.14 频带信号与带通系统
 频带信号的定义
 若信号频谱集中在某一频率的附近，如下图，
则此信号即为频带信号或带通信号
 若 c 2W ， 则 此 频 带 信 号 为 窄 带 信 号

20. 2.14 频带信号与带通系统
 频带信号的解析信号
z  t   f  t   j f  t   Z    2 F   u  

21. 2.14 频带信号与带通系统
 频带信号的复包络信号（复基带信号）
fL t   z t  e
 j t
c
f L  t   FL     Z     c   2 F     c  u     c 

22. 2.14 频带信号与带通系统
 用复包络信号表示频带信号
 用同相分量、正交分量表示
令 f L  t   f c  t   jf s  t 
则 f t   Re  z t   Re  fL t  e c 
j t
   
 
 R e  f c  t   jf s  t    co s  c t  j sin  c t 
 
 f c  t  co s  c t  f s  t  sin  c t

23. 2.14 频带信号与带通系统
 用复包络信号表示频带信号
 用包络分量、相位分量表示
j  t 
令 fL t   a t  e
则 f t   Re  z t   Re  fL t  e c 
j t
   

 Re a t  e
j  c t    t  
 
  a  t  cos  t    t  
c

24. 2.14 频带信号与带通系统
 用复包络信号表示频带信号
 从上面两种表示法均可看出，复包络信号包
含了频带信号中除了载波频率外的所有信息
 频域表示：
1
f 
*
f t   Re  z t   t  e   fL t  e
j c t j c t
  
2
L  
1
 F     F L     c   F L*      c  
2 
易 见 ： FL     c  是 正 频 部 分 ，
FL      c  是 负 频 部 分
*

25. 2.14 频带信号与带通系统
 例2.14.1
基 带 信 号 m  t 的 带 宽 为 W 。
求 s t   m t  e
j 0 t
是解析信号的条件；
求 m  t  cos  0 t的 希 尔 伯 特 变 换
S    M    0 
当 W   0时 ， S    只 在   0时 取 非 零 值 ， 即 s  t  是 解 析 信 号
s t   m t  e  m  t  cos  0 t  jm  t  sin  0 t
j 0 t
当 W   0时 ， s  t  是 解 析 信 号
 m  t  cos  0 t的 希 尔 伯 特 变 换 是 m  t  sin  0 t

26. 2.14 频带信号与带通系统
 带通系统
 若系统的通频带位于某一频率附近，其传递
函数如下图，则此系统为带通系统
 若 2W  0， 则 称 此 系 统 为 窄 带 系 统

27. 2.14 频带信号与带通系统
 带通系统的单位冲激响应
h  t   H  ， h  t  是 一 频 带 信 号

 其解析信号
z  t   h  t   j h  t   Z    2 H   u  

28. 2.14 频带信号与带通系统
 带通系统的等效低通系统
1
 等效低通冲激响应 h L  t   z t  e
 j 0 t
2
 等效低通传递函数
1
hL  t   H L     Z    0   H    0  u    0 
2
 注意：这里引入系数1/2是为了方便分析后
面的频带信号通过带通系统

29. 2.14 频带信号与带通系统
 带通系统用等效低通系统表示
 单位冲激响应用等效低通单位冲激响应表示
h t   Re  z t   Re 
   2 h L  t  e j 0 t 

*
 hL  t  e   hL  t  e
j 0 t j 0 t

 
 传递函数用等效低通传递函数表示
H    H L    0   H     0 
*
L

30. 2.14 频带信号与带通系统
 频带信号通过带通系统
输 入 信 号 x t 、 系 统 单 位 冲 激 响 应 h t 
和 输 出 信 号 y t 都 是 频 带 信 号 ， 即
1
x  t   R e  x L  t  e 0  ， X      X L     0   X L     0  
j t *
  2 
h  t   R e  2 hL  t  e 0  ， H     H L     0   H L     0 
j t *
 
1
y  t   R e  y L  t  e 0  ， Y     Y L     0   Y L      0  
j t *
  2 
我 们 知 道 ： y  t   x  t  * h  t ， Y    X   H  
问 题 ： y L  t  和 x L  t  、 hL  t  ， 以 及 YL    和 X L    、 H L    有 什 么 关 系 ？

31. 2.14 频带信号与带通系统
 频带信号通过带通系统
Y    X   H  
1
  X L    0   X L     0    H L    0   H L     0  
* *
2  
1
  X L     0  H L    0   X L     0  H L     0  
* *
2 
1
Y     Y L     0   Y L*      0  
2 
 YL     0   X L     0  H L     0 
 y L  t   x L  t  * hL  t 

32. 2.14 频带信号与带通系统
 由上面推导可见，频带信号通过带通系
统的性能完全可以用对应的复包络信号
通过等效低通系统代替
 以上结论是通信仿真的基础
 以上结论也为求频带信号通过带通系统
的输出提供了另一种方法

33. 2.14 频带信号与带通系统
 例2.14.2  cos  0 t , 0tT
带 通 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 h t    ， 且  0T 1
 0 其他t
输 入 窄 带 信 号 x  t   m  t  cos  0 t， 求 输 出 y  t 
1 1 1
hL  t   z t  e
 j 0 t j 0 t  j 0 t
 e e  ， 0tT
2 2 2
x L  t   m  t  sin  0 t
1 t 1 t
y L  t   x L  t  * hL  t    x L   d    m   d 
2 t T 2 t T
1 t
y t   Re  yL t  e   cos  0 t  m    d 
j 0 t
  2 t T