Vektor

1. PERKALIAN SKALAR DUA
VEKTOR
( Dot Product)

2. Perkalian Skalar Dua Vektor
Definisi :

Cos
b
a
b
a





.
a
b


3. Tentukanlah perkalian skalar vektor a dan b
Jawab :
a = 4
45o
b = 6
θ
Cos
b
a
b
.
a





2
12
2
2
1
24.
b
.
a 



0
4.6.Cos45
b
.
a 


Contoh:

4. Jika a = x1i + y1j + z1k
b = x2i + y2j + z2k
a.b = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2
Maka Perkalian Skalar a dan b adalah :

5. Bukti :
a.b = (x1i+y1j+z1k).(x2i +y2j +z2k)
= x1.x2.i.i + x1.y2.i.j + x1.z2.i.k +
y1.x2.j.i + y1.y2.j.j + y1.z2.j.k +
z1.x2.k.i + z1.y2.k.j + z1.z2.k.k
= x1.x2. 1 + x1.y2. 0 + x1.z2. 0 +
y1.x2. 0 + y1.y2. 1 + y1.x2. 0 +
z1.x2. 0 + z1.y2. 0 + z1.x2. 1
a.b = x1.x2. + y1.y2. + z1.z2.

6. Keterangan :
i.i = 1.1. Cos oo = 1.1.=1
j.j = 1.1. Cos oo = 1.1.=1
k.k= 1.1. Cos oo = 1.1.=1
i.j = 1.1. Cos 90o = 1.0 = 0
i.k = 1.1. Cos 90o = 1.0 = 0
j.k = 1.1. Cos 90o = 1.0 = 0

7. Diketahui a = 2i + 4j + 6k dan
b = 3i – 5j + 8k
Tentukan perkalian skalar a dan b
Jawab :
a.b = 2.3 + 4.(-5) + 6.8
a.b = 6 – 20 + 48
a.b = 34.
Contoh:

8. Perkalian Silang Dua Vektor
( CROSS PRODUCT )

9. Perkalian Silang Dua Vektor
e
.
Sin
b
a
b
x
a ˆ
θ





Definisi : a x b
a
b

ê Vektor satuan yang tegak lurus a dan b
ê


10. Jika a = x1i + y1j + z1k
b = x2i + y2j + z2k
Maka Perkalian Silang Vektor a dan b adalah :
a x b = (y1.z2.- z1.y2.)i - (x1.z2. - z1.x2) j +
(x1.y2 - y1.x2) k
Atau secara determinan matrik sebagai berikut
2
2
2
1
1
1
z
y
x
z
y
x
k
j
i
b
x
a 



11. Bukti:
a x b = (x1i+y1j+z1k) x (x2i +y2j +z2k)
= x1.x2. ixi + x1.y2. ixj + x1.z2. ixk +
y1.x2. jxi + y1.y2. jxj + y1.z2. jxk +
z1.x2. kxi + z1.y2. kxj + z1.z2. kxk
= x1.x2. 0 + x1.y2. k + x1.z2. (-j) +
y1.x2. (-k) + y1.y2. 0 + y1.z2. i +
z1.x2. j + z1.y2. (-i) + z1.x2. 0

12. a x b = x1.y2. k + x1.z2. (-j) + y1.x2. (-k) +
y1.z2. i + z1.x2. j + z1.y2. (-i)
= x1.y2. k + y1.x2. (-k) + x1.z2. (-j) +
z1.x2. j + y1.z2. i + z1.y2. (-i)
= y1.z2. i + z1.y2. (-i) +
x1.z2. (-j) + z1.x2. j +
x1.y2. k + y1.x2. (-k)

13. a x b = (y1.z2.- z1.y2.)i - (x1.z2. - z1.x2) j + (x1.y2 - y1.x2) k
2
2
2
1
1
1
z
y
x
z
y
x
k
j
i
b
x
a 



14. Keterangan :
i x i = 1.1. Sin oo . e = 1.0 .e = 0
j x j = 1.1. Sin oo . e = 1.0.e =0
k x k= 1.1. Sin oo .e = 1.0.e =0
i x j = 1.1. Sin 90o .k = 1. k = k
k x i = 1.1. Sin 90o .j = 1. j = j
j x k = 1.1. Sin 90o . i = 1. i = i
j x i = 1.1. Sin 90o (.-k)= 1.( -k )= -k
i x k = 1.1. Sin 90o .(-j) = 1. (-j )= -j
k x j = 1.1. Sin 90o . (-i ) = 1. (-i ) = -i
i
j
k
e

15. Diketahui a = 2i + j – 4k ,
b = 5i – 6j + 3k
Tentukan a x b
Jawab:
3
6
5
4
1
2



k
j
i
b
x
a


= (1.3 - (-4)(-6))i - ( 2.3 - (-4).5)j + (2.(-6) - 1.5)k
= ( 3 - 24) i - ( 6 + 20 ) j + (-12 - 5) k
= -21i - 26j - 17k
Contoh :