I QUADRILATERI

A cura del prof. Panza Roberto
II
QQUUAADDRRIILLAATTEERRII

DDEEFFIINNIIZZIIOONNEE DDII PPOOLLIIGGOONNOO
PPOOLLIIGGOONNII
E D
LATO
UN PPOOLLIIGGOONNOO È UNA PORZIONE DI PIANO DELIMITATA DA UNA SPEZZATA
CHIUSA SEMPLICE
ANGOLO
ESTERNO
B
ANGOLO
INTERNO
A
F
C
DIAGONALE
VERTICE

TTIIPPII DDII PPOOLLIIGGOONNOO
&& PPEERRIIMMEETTRROO
C
POLIGONO CCOONNVVEESSSSOO POLIGONO CCOONNCCAAVVOO
IL PPEERRIIMMEETTRROO DI UN POLIGONO È LA LUNGHEZZA DELLA SPEZZATA CHE LO
DEFINISCE. ESSO SI CALCOLA SOMMANDO LA LUNGHEZZA DEI LATI DEL
POLIGONO.
D
A
F
E
B
C
D
A
F
E
B
PER I POLIGONI IN ALTO AVREMO:
p = AB + BC + CD + DE + EF + FA
PPOOLLIIGGOONNII

PPOOLLIIGGOONNII PPAARRTTIICCOOLLAARRII
UN POLIGONO SI DICE EEQQUUIILLAATTEERROO SE HA
TUTTI I LATI CONGRUENTI.
UN POLIGONO SI DICE EEQQUUIIAANNGGOOLLOO SE
HA TUTTI GLI ANGOLI CONGRUENTI.
UN POLIGONO SI DICE RREEGGOOLLAARREE SE È
CONTEMPORANEAMENTE EQUILATERO ED
EQUIANGOLO
A
B
C
D
D C
90°
90°
90°
90°
A B
D C
90°
90°
90°
90°
A B
PPOOLLIIGGOONNII

IL QUADRILATERO È UN POLIGONO CHE HA QUATTRO LATI E
QUATTRO ANGOLI
A
LATO
LATO
LATO
ELEMENTI DI UN QUADRILATERO:
I VERTICI → A , B , C , D
DUE VERTICI CHE NON APPARTENGONO ALLO
STESSO LATO, B e D, A e C, SONO DETTI OPPOSTI;
I LATI →
AB , BC , CD , DA
DUE LATI NON CONSECUTIVI, AB e CD, BC e DA,
SONO DETTI OPPOSTI;
GLI ANGOLI INTERNI →
Â , B̂ , Ĉ , D̂
̌B
Č
̌A
GLI ANGOLI ESTERNI → Ǎ , B̌ , Č , Ď
B
C
D
Ď
LATO
LE DIAGONALI → AC , BD
Ĉ
̂B
̂A
D̂
PPOOLLIIGGOONNII

PPRROOPPRRIIEETTÀÀ GGEENNEERRAALLII
ANGOLI
INTERNI
LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI IN UN QUADRILATERO
È SEMPRE 360°:
S I =(n−2)× 180° = (4−2)× 180° = 2 × 180 ° = 360 °
ANGOLI
ESTERNI
LA SOMMA DEGLI ANGOLI ESTERNI IN UN QUALSIASI
POLIGONO È SEMPRE 360°;
LATI IN UN QUADRILATERO OGNI LATO È MINORE DELLA
SOMMA DEGLI ALTRI TRE;
I QUADRILATERI HANNO DUE DIAGONALI; DIAGONALI
PPOOLLIIGGOONNII

CCLLAASSSSIIFFIICCAAZZIIOONNEE
DDEEII QQUUAADDRRIILLAATTEERRII
QUADRILATERI CON
QUATTRO LATI
GENERICI
SCALENI
TRAPEZI
QUADRILATERI CON
DUE LATI OPPOSTI
PARALLELI
QUADRILATERI
CON I LATI
OPPOSTI
PARALLELI
PARALLELOG
RAMMI
DELTOIDI
QUADRILATERI CON
DUE COPPIE DI LATI
CONSECUTIVI
CONGRUENTI
IL TRAPEZIO PUÒ
ESSERE:
ISOSCELE
RETTANGOLO
SCALENO
A TALE FAMIGLIA DI
QUADRILATERI
APPARTENGONO:
RETTANGOLO
QUADRATI
ROMBI
IL DELTOIDE PUÒ
ESSERE:
CONVESSO
CONCAVO
PPOOLLIIGGOONNII

II TTRRAAPPEEZZII
PPOOLLIIGGOONNII
I TRAPEZI SONO QUADRILATERI AVENTI DUE SOLI LATI OPPOSTI
PARALLELI
A
D
Base minore
Base maggiore
Lato obliquo
Lato obliquo
B H K
C
→ I LATI PARALLELI PRENDONO IL NOME DI BASE MAGGIORE (BC) E
BASE MINORE (AD); GLI ALTRI DUE LATI PRENDONO IL NOME DI
LATI OBLIQUI (AB e CD);
→ IL SEGMENTO PERPENDICOLARE CHE VA DA UN VERTICE DELLA
BASE MINORE ALLA BASE MAGGIORE SI CHIAMA ALTEZZA (AH e
DK);
→ I SEGMENTI BH E KC PRENDONO IL NOME DI PROIEZIONI DEI
LATI OBLIQUI AB e CD SULLA BASE MAGGIORE BC;
→ I SEGMENTI AC e BD SONO LE DIAGONALI CHE DIVIDONO IL
TRAPEZIO IN DUE TRIANGOLI;
IL TRAPEZIO PUÒ ESSERE:
TRAPEZIO
SCALENO
TRAPEZIO
RETTANGOLO
TRAPEZIO
ISOSCELE
➔ UN TRAPEZIO SI DICE ISCOSCELE SE I DUE LATI OBLIQUI SONO CONGRUENTI;
➔ UN TRAPEZIO SI DICE RETTANGOLO SE UNO DEI DUE LATI OBLIQUI È PERPENDICOLARE ALLE DUE BASI
E QUINDI HA DUE ANGOLI RETTI;
➔ UN TRAPEZIO SI DICE SCALENO I LATI OBLIQUI SONO DISUGUALI;

PPRROOPPRRIIEETTÀÀ DDEEII TTRRAAPPEEZZII
E
IN UN QUALSIASI TRAPEZIO GLI ANGOLI ADIACENTI A CIACUN LATO OBLIQUO SONO SUPPLEMENTARI,
OVVERO LA LORO SOMMA È UN ANGOLO PIATTO (180°).
→ GLI ANGOLI ADIACENTI ALLA BASE MAGGIORE SONO ACUTI E CONGRUENTI;
C
NEL TRAPEZIO ABCD È STATO DISEGNATO IL SEGMENTO EF,
PERPENDICOLARE ALLE DUE BASI, CHE DIVIDE IL POLIGONO IN DUE
TRAPEZI RETTANGOLI.
TALI TRAPEZI HANNO RISPETTIVAMENTE DUE ANGOLI RETTI.
IN CIACUNO DEI DUE QUADRILATERI ADFE e BCFE COSÌ OTTENUTI AVREMO
CHE LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI È 360°.
PER IL TRAPEZIO ADFE ABBIAMO:
̂E = ̂F = 90 ° → ̂A+ ̂ B = 360 ° − (90°+90 °)= 180°
STESSO RAGIONAMENTO È POSSIBILE FARE PER IL TRAPEZIO CDEF.
F C
B
A D
SI CONCLUDE CHE:
A D
B H K
C
IN OGNI TRAPEZIO IISSOOSSCCEELLEE:
→ GLI ANGOLI ADIACENTI ALLA BASE MINORE SONO OTTUSI E CONGRUENTI;
B̂ ≅ Ĉ
̂A ≅ ̂D
AC ≅ BD
→ LE DUE DIAGONALI SONO CONGRUENTI;
→ LE DUE PROIEZIONI DEI LATI OBLIQUI SULLA BASE MAGGIORE SONO CONGRUENTI;
BH ≅ CK ESSE SI CALCOLANO → BH ≅ CK = (BC − AD) : 2
A D
K
B
IN OGNI TRAPEZIO RREETTTTAANNGGOOLLOO:
→ IL LATO AB È ANCHE ALTEZZA DEL TRAPEZIO;
→ LA PROIEZIONE DEL LATO OBLIQUO CD SULLA BASE MAGGIORE È IL
SEGMENTO CK, CHE SI DETERMINA CALCOLANDO LA DIFFERENZA DELLE DUE
BCAKSI:= BC − AD
PPOOLLIIGGOONNII

II PPAARRAALLLLEELLOOGGRRAAMMMMII
I PARALLELOGRAMMI SONO QUADRILATERI AVENTI I LATI
OPPOSTI A DUE A DUE PARALLELI E CONGRUENTI
→ QUALSIASI LATO DEL PARALLELOGRAMMA PUÒ ESSERE
CONSIDERATO BASE.
→ OGNUNO DEI SEGMENTI CHE UNISCE UN VERTICE CON IL LATO
OPPOSTO È DETTO ALTEZZA:
ESISTONO QUINDI DUE ALTEZZE, AH, DETTA ALTEZZA RELATIVA
AL LATO BC, e AK, DETTA ALTEZZA RELATIVA AL LATO CD;
IN PRATICA L'ALTEZZA È LA DISTANZA TRA DUE LATI OPPOSTI;
A
B C
D
H
K
A
B C
D
O
IN UN QUALSIASI PARALLELOGRAMMA:
→ DUE ANGOLI OPPOSTI SONO CONGRUENTI;
→ GLI ANGOLI ADIACENTI AD UNO STESSO LATO SONO
SUPPLEMENTARI (CIOÈ LA LORO SOMMA È 180°):
Â ≅ Ĉ ; B̂ ≅ D̂
Â + B̂ = 180° , B̂ + Ĉ = 180 ° , Ĉ + D̂ = 180° , D̂ + Â = 180 °
→ OGNI DIAGONALE DIVIDE IL PARALLELOGRAMMA IN DUE
TRIANGOLI CONGRUENTI;
→ LE DIAGONALI SI INCONTRANO NEL LORO PUNTO MEDIO
DIVIDENDOSI SCAMBIEVOLMENTE A METÀ:
AO ≅ OC , BO ≅ OD
PPOOLLIIGGOONNII

II PPAARRAALLLLEELLOOGGRRAAMMMMII
PPOOLLIIGGOONNII
I PPAARRAALLLLEELLOOGGRRAAMMMMII VENGONO CLASSIFICATI IN BASE AI LATI E AGLI ANGOLI:
RETTANGOLI ROMBI QUADRATI
→ QUALSIASI LATO DEL RETTANGOLO PUÒ ESSERE CONSIDERATO BASE;
IL LATO PERPENDICOLARE ALLA BASE È DETTO ALTEZZA; BASE ED
ALTEZZA SONO LE DUE DIMENSIONI DEL RETTANGOLO;
→ I LATI OPPOSTI SONO PARALLELI E CONGRUENTI A DUE A DUE:
RREETTTTAANNGGOOLLOO
D C
O
A B
IL RETTANGOLO È UN PARTICOLARE PARALLELOGRAMMA
CON QUATTRO ANGOLI RETTI QUINDI CONGRUENTI;
AB ∥CD; BC ∥ AD AB ≅ CD; BC ≅ AD
→ I QUATTRO ANGOLI SONO RETTI: IL RETTANGOLO È QUINDI UN QUADRILATERO EQUIANGOLO;
→ LE DIAGONALI SONO CONGRUENTI E SI DIMEZZANO SCAMBIEVOLMENTE: AC ≅ BD AO ≅ OC ≅ BO ≅ OD

→ I LATI SONO CONGRUENTI, IL ROMBO È QUINDI UN POLIGONO EQUILATERO.
I LATI OPPOSTI SONO PARALLELI:
→ GLI ANGOLI OPPOSTI SONO CONGRUENTI; DUE ANGOLI SONO ACUTI E DUE OTTUSI:
RROOMMBBOO
D
O C
A
B
IL ROMBO È UN PARTICOLARE PARALLELOGRAMMA CHE HA I QUATTRO LATI
CONGRUENTI;
AB ≅ BC ≅ CD ≅ DA AB ∥CD; BC ∥ AD
Â ≅ Ĉ > 90 ° B̂ ≅ D̂ < 90 °
→ LE DIAGONALI, UNA MAGGIORE E L'ALTRA MINORE, SONO PERPENDICOLARI E SI DIMEZZANO
SCAMBIEVOLMENTE:
AC ⊥ BD AO ≅ OC
BO ≅ OD
PPOOLLIIGGOONNII
QQUUAADDRRIILLAATTEERRII II PPAARRAALLLLEELLOOGGRRAAMMMMII

PPOOLLIIGGOONNII
QQUUAADDRRIILLAATTEERRII II PPAARRAALLLLEELLOOGGRRAAMMMMII
→ I LATI SONO CONGRUENTI E A DUE A DUE PARALLELI E PERPENDICOLARI:
→ GLI ANGOLI SONO CONGRUENTI E RETTI:
QQUUAADDRRAATTOO
D C
O
A B
IL QUADRATO È UN PARTICOLARE PARALLELOGRAMMA CHE HA QUATTRO
LATI CONGRUENTI E QUATTRO ANGOLI RETTI QUINDI CONGRUENTI;
AB ≅ BC ≅ CD ≅ DA AB ∥CD; BC ∥ AD
→ LE DIAGONALI SONO CONGRUENTI E SI DIMEZZANO SCAMBIEVOLMENTE:
AC ≅ BD AO ≅ OC ≅ BO ≅ OD
AB ⊥ BC ; CD ⊥ AD
Â ≅ B̂ ≅ Ĉ ≅ D̂ = 90 °
→ IL QUADRATO È UN POLIGONO CONTEMPORANEAMENTE EQUIANGOLO ED EQUILATERO; POSSIAMO
CONCLUDERE CHE IL QUADRATO È UN POLIGONO REGOLARE.

PPEERRIIMMEETTRROO
DDEEII QQUUAADDRRIILLAATTEERRII
COME PER I TRIANGOLI ANCHE PER I QUADRILATERI:
IL PERIMETRO DI UN QUADRILATERO È DATO DALLA SOMMA DELLE LUNGHEZZE DEI SUOI
QUATTRO LATI;
DATO IL QUARILATERO SCALENO ABCD, IL SUO PERIMETRO SI CALCOLA
A
B
C
D
p= AB + BC + CD + DA
PER ALCUNI DEI QUADRILATERI CHE ABBIAMO STUDIATO, LA FORMULA DEL PERIMETRO PUÒ ASSUMERE ANCHE
LE SEGUENTI FORME:
b
h
l1
l2
p= (b + h) × 2
b=
p
2 − h
h=
p
2 − b
p= (l1 + l2) × 2
l1=
p
2 − l2
l2=
p
2 − l1
p= l × 4
l= p: 4
l
l p= l × 4
l= p: 4
RREETTTTAANNGGOOLLOO
QQUUAADDRRAATTOO
PPAARRAALLLLEELLOOGGRR..
RROOMMBBOO
PPOOLLIIGGOONNII

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