1. TAOCP1.2.3 합과 곱 아꿈사스터디 윤대영

2. 합의 기호 수열 ( a1, a2, a3, ⋯, an - 1, an ) 이 있을 때, 이 수열의 합 ( a1 + a2 + a3 + ⋯ + (an - 1) + an ) 을 간단하게 나타낼 때, 𝑗=1𝑛𝑎𝑗 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛𝑎𝑗 또는 𝑅( 𝑗 )𝑎𝑗 기호는 일반적으로, R( j )가 j가 관여하는 어떠한 관계라고 할 때, R( j )를만족하는 모든 정수 j에 대한 모든 aj들의 합을 뜻한다.

3. 의 성질 𝑗=1𝑛( 𝑎𝑗±𝑏𝑗 ) 𝑗=1𝑛𝑎𝑗 𝑗=1𝑛𝑏𝑗 ( 복부호 동순 ) = ± (a1 ± b1) + (a2 ±b2) + ( a3 ±b3 ) ⋯ ( an ±bn ) = ( a1 + a2 + a3 + ⋯ an ) ± ( b1 + b2+ b3 + ⋯bn ) 𝑗=1𝑛𝐶𝑎𝑗 𝑗=1𝑛𝑎𝑗 = C ( 단, C는 상수 ) Ca1 + Ca2 + Ca3 + ⋯ + Can = C ( a1 + a2 + a3 + ⋯ an )

4. 의 성질 𝑗=1𝑛𝐶 ( 단, C는 상수 ) = Cn 𝑗=1𝑛( 0∙𝑎𝑗+𝐶 ) = ( 0∙ a1 + C ) +( 0∙ a2 + C ) + ⋯ ( 0∙ an + C ) = C + C + C + ⋯

5. 간단한대수 연산 네 가지 - a) 합들의 곱셈에 대한 배분 법칙 𝑅( 𝑖 ) 𝑎𝑖 𝑆( 𝑗 ) 𝑎𝑗 𝑅( 𝑖 ) 𝑆( 𝑗 ) 𝑎𝑖𝑏𝑗 𝑅( 𝑖 ) 𝑆( 𝑗 ) 𝑎𝑖𝑏𝑗 ( ( ) ) ) ( = = (괄호는 생략하는 것이 관례) 아주 간단한 예를 들어, 𝑖=12𝑎𝑖 𝑗=13𝑏𝑗 𝑖=12 𝑗=13𝑎𝑖𝑏𝑗 ) ( ( ( ) ) = 𝑖=12𝑎𝑖𝑏1+𝑎𝑖𝑏2+𝑎𝑖𝑏3 ( a1 + a2 ) ( b1 + b2 + b3 ) = ( a1b1 + a1b2 + a1b3 ) + ( a2b1 + a2b2 + a2b3 ) = = ( a1b1 + a1b2 + a1b3 ) + ( a2b1 + a2b2 + a2b3 )

6. 간단한대수 연산 네 가지 - b) 변수 바꾸기 𝑅( 𝑖 )𝑎𝑖 𝑅( 𝑝 𝑗 )𝑎𝑝( 𝑗 ) 𝑅( 𝑗 )𝑎𝑗 = = 첫 째의 경우, - 색인변수 이름을 i에서 j로 바꾼 것. 둘 째의 경우, - p( j )는 해당 값들의 한 순열을 뜻하는 하나의 함수. - 관계 R( i )를 만족하는 각각의 정수 i에 대해, 관계 p( j ) = i를 만족하는 정수 j가정확히 하나 존재해야 한다. - p( j ) = C ±j 의 경우에 대해 항상 만족된다. ( 가장 흔히 쓰이는 경우 ) 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛𝑎𝑗 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 + 1𝑎𝑗−1 1 ≤ 𝑗 − 1 ≤ 𝑛𝑎𝑗−1 = = 모든 무한 합산에서 j를 p( j )로 대체 할 수 있는 것은 아니다. M. Apostol, Mathematical Analysis( Reading, Mass. : Addison – Wesley, 1957 ) 12장

7. 간단한대수 연산 네 가지 - c) 합의 교환법칙( 순서 바꾸기 ) 𝑅( 𝑖 ) 𝑆( 𝑗 )𝑎𝑖𝑗 𝑆( 𝑗 ) 𝑅( 𝑖 )𝑎𝑖𝑗 = 아주간단한 사례, 𝑗=12𝑎𝑖𝑗 𝑅( 𝑖 ) 𝑅( 𝑖 )( 𝑎𝑖1+𝑎𝑖2 ) = 𝑗=12 𝑅( 𝑖 )𝑎𝑖𝑗 𝑅( 𝑖 )𝑎𝑖1 𝑅( 𝑖 )𝑎𝑖2 = +

8. 간단한대수 연산 네 가지 - c) 합의 교환법칙( 순서 바꾸기 ) 𝑅( 𝑖 )𝑎𝑖1 𝑅( 𝑖 )𝑎𝑖2 𝑅( 𝑖 )( 𝑎𝑖1+𝑎𝑖2 ) = + bi = ai1, ci = ai2로 둔다면 다음과 같은 관계가 나온다. 𝑅( 𝑖 )( 𝑏𝑖 +𝑐𝑖 ) 𝑅( 𝑖 )𝑏𝑖 𝑅( 𝑖 )𝑐𝑖 + = 𝑅( 𝑖 )𝑎𝑖𝑗 𝑆( 𝑗 )𝑎𝑖𝑗 의 간단한 형태는 알고 있지만, 의 간단한 형태를 알지 못하는 경우, 매우 유용하다.

9. 간단한대수 연산 네 가지 - c) 합의 교환법칙( 순서 바꾸기 ) 𝑅( 𝑖 ) 𝑆( 𝑖, 𝑗 )𝑎𝑖𝑗 𝑆′( 𝑗 ) 𝑅′( 𝑖, 𝑗 )𝑎𝑖𝑗 = S’( j )는 “R( i )와 S(i, j )가 모두 참인 정수 i가 존재한다”는 관계. R’( i, j )는 “R( i )와 S( i, j )가 모두 참이다” 라는 관계. 예를 들어, 𝑗 = 1𝑖𝑎𝑖𝑗 𝑖 = 1𝑛 𝑗 = 1𝑛 𝑖 =𝑗𝑛𝑎𝑖𝑗 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑖𝑎𝑖𝑗 = = S’( j )는 “1 ≤ i ≤ n 이고 1 ≤ j ≤ i인 정수 i 가 존재한다.” 는 관계. 즉, 1 ≤ j ≤ n R’( i, j )는 “1 ≤ i ≤ n 이고 1 ≤ j ≤ i” 인관계. 즉, j ≤ i≤ n

10. 간단한대수 연산 네 가지 - d) 정의역 조작 ( R(j)와 S(j)가 임의의 관계 일 때) 𝑅( 𝑗 )𝑎𝑗 𝑆( 𝑗 )𝑎𝑗 𝑅 𝑗 𝑜𝑟 𝑆( 𝑗 )𝑎𝑗 𝑅 𝑗 𝑎𝑛𝑑 𝑆( 𝑗 )𝑎𝑗 = + + 예를 들어, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚𝑎𝑗 𝑚 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛𝑎𝑗 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛𝑎𝑗 = + + am R( j ) orS( j )는 1 ≤ m ≤ j ≤ n 이므로, : 1 ≤ j ≤ n R( j ) andS( j )는 j = m, 그래서둘 째 합은 : am. 대부분의 응용 식에서 나타나는 경우. 1. R( j )와 S( j )가 하나 또는 두 개의 j 값들만 동시에 만족하는 경우. 2. 동일한 j에 대해 R( j )와S( j )가 모두 만족하는 것이 불가능한 경우.

11. 예3. 등비 수열의 합 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛𝑎𝑥𝑗 a + a𝑥 + … + a𝑥𝑛 = 정의 (2)에 의해 𝑎+ 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛𝑎𝑥𝑗 = 규칙 (d)에 의해 𝑎+𝑥 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛𝑎𝑥𝑗−1 = (a)의 매우 특별한 경우 𝑎+𝑥 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 −1𝑎𝑥𝑗 = 규칙(d)에 의해[식 6 참고] 𝑎+𝑥 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛𝑎𝑥𝑗 −𝑎𝑥𝑛+1 규칙 (d)에 의해 = 1−𝑥0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛𝑎𝑥𝑗 =𝑎−𝑎𝑥𝑛 + 1 첫 번째 관계를 마지막 것과 비교 하면, 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛𝑎𝑥𝑗 =𝑎(1−𝑥𝑛+11 −𝑥) 이로부터 다음과 같은 기본 공식을 얻는다.

12. 자주 나오는 공식 𝑗=1𝑛𝑗 𝑛( 𝑛+1 )2 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + n = 𝑗=1𝑛𝑗2 𝑛( 𝑛+1 )( 2𝑛+1 )6 = 12 + 22 + 32 + 42 + ⋯ + 𝑛2 = 𝑗=1𝑛𝑗3 𝑛( 𝑛+1 )2 = 13 + 23 + 33 + 43 + ⋯ + 𝑛3 = ( )2

13. 곱의 기호 𝑅(𝑗)𝑎𝑗 R( j )를 만족하는 정수 j에대한 모든 aj들의 곱. 그런 j가 존재하지 않으면 그 곱은 1을 가지는 것으로( 0이 아님 ) 정의된다.

14. 끝. 감사합니다… ^ ^