Peridioticità, limiti, limiti notevoli, polinomi di Taylor

1.  Insieme di definizione per funzioni di una variabile
 
 















0)(
0)(
ed0)(perdefinitaè)(
1)(1perdefinitaè)(arccos),(arcsin
1)(
0)(
perdefinitaèlog
0)(perdefinitaè)(log
0)(perdefinitaèpari)(
0)(perdefinitaè
)(
)(
)(
)(
xg
xf
xfxf
xfxfxf
xf
xf
a
xfxf
xfnxf
xg
xg
xf
xg
xf
a
n
 Periodicità
Una funzione si dice periodica di periodo T se sussiste la relazione,
   Txfxf 
- Possiamo avere funzioni periodiche solo in presenza di funzioni trigonometriche e naturalmente le inverse non lo
sono.
( Dalla trigonometria sappiamo che sin(x) e cos(x) hanno periodo T =2π, mentre tan(x) ha periodo T = π. Mentre per definizione stessa non
hanno periodicità le funzioni arcsin(x), arccos(x), arctan(x) )
- Se le funzioni trigonometriche appaiono come argomento di logaritmi o esponenziali la periodicità va studiata
normalmente.
- Se nella funzione appaiano prodotti e/o somme di polinomi della x la funzione è non periodica.
- Se nell’argomento delle funzioni trigonometriche appaiano polinomi della x non lineari (grado > 1 ) la funzione è non
periodica.
Lo studio della periodicità si effettua impostando semplici equazioni, consideriamo casi generici:
      b,abasin xxf
          
a
2
2a
2babaa
esame,infunzionedellaàperiodicitdellacontotenendo
basinbaasinbasin
scriviamo,edefinizionDalla






TT
xTx
xxfTxTxTxf
     xxgxxf cossin2

In tal caso la periodicità delle due funzioni si riduce a T = π , poiché il quadrato ed il modulo rendono
positivi i valori al di sotto dell’asse delle ascisse che diventano identici a quelli dell’intervallo  ;0x .
N.B.: ha periodicità immutata T = π .  xxh 2
tan
 Limiti
Forme Indeterminate
00
01
0
0
0 


 
ma NON sono indeterminate          
 0
0
0
0
0
00









a
a
a
a
a
N.B.: Per risolvere la forma indeterminata  , data la formula
  122321
... 
 nnnnnnn
babbabaababa

2. già conosciuta nei casi
  
  2233
22
3
2
babababan
bababan


si risolve sostituendo al termine  ba  gli addendi che nel limite vanno a  e  .
Limiti Notevoli
o Successioni
























0bse0
0bse1
0bse
lim
1seillimitataoscilla
1selimitataoscilla
11se0
1ase1
1ase
lim b
n
n
n
n
a
a
aa
01limlim01limlim
1


bnnaaa n
b
n
n b
n
n
n
n
n
 




















 
e1e
1
1e
1
1lim
nn a
n
n
a
n
n
n
n a
a
a
a
n
Le seguenti identità tra limiti valgono solo se esiste (finito o infinito) il limite a secondo membro,
  





 



n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n a
a
aaa
n
a 1
1 limlimlimlim
o Ordini di infinito
      nn
b nnaanbbn  !101,0log 
o Formula di Stirling
    2lnln
2
1
ln~!ln2e~!  
nnnnnnnnn nn
o Funzioni

































































 
10
1
loglim
10
1
loglim
10
10
lim
100
1
lim
00
0
lim
0
00
lim
00
ase
ase
x
ase
ase
x
ase
ase
a
ase
ase
a
se
se
x
se
se
x
a
x
a
x
x
x
x
x
x
x






   1,0lim1,0lim 

axaa
a
x x
xxx



    





,1,0,00loglim1,0,0,0
log
lim
0
bbxxbb
x
x
b
x
b
x
 













b
xx
b
bx
x
x
x
,e1lime
1
1lim 
 

3.    
 










,00lnlim
1,0
ln
1)1(log
lim1
)1ln(
lime1lim
0
00
1
0
xx
aa
ax
x
x
x
x
x
a
xx
x
x
1
1e
lim0ln
1
lim
1)1(
lim
000






 x
aa
x
a
x
x x
x
x
xx


1
arctan
lim1
arcsin
lim1
tan
lim
2
1cos1
lim1
sin
lim
000200



 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxxx
2
11cosh
lim1
tan
lim1
tanh
lim1
sinh
lim 200200



 xx
x
x
x
x
x
xxxx
 Polinomio di Taylor
 
 
 
 k
n
k
k
n xx
k
xf
xT 0
0
0
!
 
 di grado n di di centrof 0x
o Sviluppi di Mac Laurin delle principali funzioni (cioè gli sviluppi di Taylor di centro l’origine)
    0
!
1
!
1
...
!4
1
!3
1
!2
1
1
0
432
 
xperxox
k
xox
n
xxxxe n
n
k
knnx
          0
11
...
4
1
3
1
2
1
1ln
1
11
432




 

xperxox
k
xox
n
xxxxx n
n
k
k
k
nn
n
 
 
   
 
  0
!12
1
!12
1
...
!5
1
!3
1
sin 22
0
12221253






 


 xperxox
k
xox
n
xxxx n
n
k
k
k
nn
n
 
 
   
 
  0
!2
1
!2
1
...
!4
1
!2
1
1cos 12
0
212242




 


 xperxox
k
xox
n
xxx n
n
k
k
k
nn
n
  0
2835
62
315
17
15
2
3
1
tan 109753
 xperxoxxxxxx
 
  
   
   
 
 0
22
0
12
2212753
12!!2
!!12
122...642
12...753
...
112
5
40
3
6
1
arcsin

















 
xper
n
n
k
k
nn
xo
k
x
k
k
xox
nn
n
xxxxx
 
  
   xdisviluppolovedi
nn
xperxox
nn
n
xxxxx
arcsin
2212753
0
122...642
12...753
...
112
5
40
3
6
1
2
arccos 







 
        0
12
1
12
1
...
5
1
3
1
arctan 22
0
12221253






 


 xperxox
k
xox
n
xxxx n
n
k
k
k
nn
n
 
   
  0
!12
1
!12
1
...
!5
1
!3
1
sinh 22
0
12221253




 


 xperxox
k
xox
n
xxxx n
n
k
knn
 
   
  0
!2
1
!2
1
...
!4
1
!2
1
1cosh 12
0
212242
 


 xperxox
k
xox
n
xxx n
n
k
knn
  0
2835
62
315
17
15
2
3
1
tanh 109753
 xperxoxxxxxx

4.      
   
 


































 
n
nnn
n
n
dove
xperxox
k
xox
n
xxxx n
n
k
knn
,
!!
!
!
11
0...
32
11
0
32






Alcuni casi particolari dell’ultimo sviluppo precedente sono dati da,
      0
2!
327531
...
16
1
8
1
2
1
11
2
1
1
32




xperxox
n
n
xxxxper nn
n
n


       
    0...1
1
1
011...1
1
1
1
0
32
0
32









xperxoxxoxxxx
x
xperxoxxoxxxx
x
per
n
n
k
knn
n
n
k
kknnn
