20081019 auctions nikolenko_lecture03

Ñâîéñòâà ìåõàíèçìîâ è ïðèíöèï âûÿâëåíèÿ
Àíàëèç äâóõ ìîäåëåé àóêöèîíîâ

Àóêöèîíû è ïðèíöèï âûÿâëåíèÿ

Ñåðãåé Íèêîëåíêî

Òåîðèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ìåõàíèçìîâ ÈÒÌÎ, âåñíà 2008

Ñåðãåé Íèêîëåíêî Àóêöèîíû è ïðèíöèï âûÿâëåíèÿ

Ïðàâäèâûå è íåïðàâäèâûå ìåõàíèçìû
Ïðèíöèï âûÿâëåíèÿ
Ïåðåôîðìóëèðîâêà ïðèíöèïà âûÿâëåíèÿ

Outline

1 Ñâîéñòâà ìåõàíèçìîâ è ïðèíöèï âûÿâëåíèÿ

2 Àíàëèç äâóõ ìîäåëåé àóêöèîíîâ
Ìèíè-ëèêáåç
Êàêèå áûâàþò àóêöèîíû
Àíàëèç àóêöèîíîâ ïåðâîé è âòîðîé öåíû



Ìåõàíèçìû

Âñïîìíèì îïðåäåëåíèå ìåõàíèçìà.

Îïðåäåëåíèå
Ìåõàíèçì M = (Σ1 , . . . , ΣN , g ) ñîñòîèò èç íàáîðà ñòðàòåãèé Σi
äëÿ êàæäîãî àãåíòà è ôóíêöèè èñõîäîâ g : Σ1 × . . . × ΣN → O,
êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò èñõîä, ïðåäóñìîòðåííûé ìåõàíèçìîì äëÿ
äàííîãî ïðîôèëÿ ñòðàòåãèé s = (s1 , . . . , sN ).



Ìåõàíèçì



Ìåõàíèçìû â êîíòåêñòå àóêöèîíîâ: ñòàâêè

Â êîíòåêñòå àóêöèîíîâ ìîæíî êîíêðåòèçèðîâàòü îáùèå
ïîíÿòèÿ ñòðàòåãèè è ôóíêöèè èñõîäîâ .
Òåïåðü ó àãåíòîâ áóäóò âìåñòî ìíîæåñòâ ñòðàòåãèé Σi
ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ñòàâîê Bi .
Êàæäûé àãåíò äîëæåí ñäåëàòü ñòàâêó bi ∈ Bi ; èòîãî
ïîëó÷èòñÿ âåêòîð ñòàâîê
b = (b1 , . . . , bN ) ∈ B = B1 × . . . × BN .



Ìåõàíèçìû â êîíòåêñòå àóêöèîíîâ: ðàçìåùåíèå è
ïëàòåæè

Ìîæíî êîíêðåòèçèðîâàòü è ïîíÿòèå ôóíêöèè èñõîäîâ . Îíà
ðàçäåëèòñÿ íà äâå ôóíêöèè.
Ïðàâèëî ðàçìåùåíèÿ (allocation rule) π : B → ∆
îïðåäåëÿåò, êîìó äîñòàíåòñÿ ïðåäìåò (∆ ìíîæåñòâî
ðàñïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòåé íàä ìíîæåñòâîì àãåíòîâ).
πi (b ) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî i -é àãåíò ïðè òàêèõ ñòàâêàõ
ïîëó÷èò ïðåäìåò.



ïëàòåæè

Ìîæíî êîíêðåòèçèðîâàòü è ïîíÿòèå ôóíêöèè èñõîäîâ . Îíà
ðàçäåëèòñÿ íà äâå ôóíêöèè.
Ïðàâèëî ïëàòåæåé (payment rule) µ : B → RN îïðåäåëÿåò,
ñêîëüêî êàæäûé àãåíò äîëæåí áóäåò çàïëàòèòü.
µi (b ) öåíà, êîòîðóþ äîëæåí çàïëàòèòü i -é àãåíò ïî
èòîãàì àóêöèîíà.



ïëàòåæè

Íàïðèìåð, äëÿ rst-price àóêöèîíà

bi , åñëè bi maxj =i bj ,
µi (b ) =
0, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.

À äëÿ second-price

maxj =i bj , åñëè bi maxj =i bj ,
µi (b ) =
0, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.

Ïðàâèëî ðàçìåùåíèÿ áóäåò îäèíàêîâûì: πi (b ) = 1, åñëè
bi maxj =i bj , è 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå (ñ òî÷íîñòüþ äî
íè÷üèõ).


ïëàòåæè

Ñòðàòåãèè â ýòîì êîíòåêñòå òîæå íåìíîãî
êîíêðåòèçèðóþòñÿ; òåïåðü ñòðàòåãèè ýòî ôóíêöèè
βi : [0, ωi ] → Bi , ãäå ωi ìàêñèìàëüíàÿ âîçìîæíàÿ äëÿ
i -ãî àãåíòà ñòîèìîñòü (âîçìîæíî, ωi = ∞).
Ðàâíîâåñèå ñòðàòåãèé (β1 , . . . , βN ) äîñòèãàåòñÿ, åñëè äëÿ
êàæäîãî i è êàæäîãî xi îòêëîíåíèå îò ñòðàòåãèè βi
óìåíüøàåò îæèäàåìûé âûèãðûø i -ãî àãåíòà:

E [m(βi (xi ))] ≤ E [m(βi (xi ))],
ãäå âåðîÿòíîñòü áåð¼òñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèÿì Xj äðóãèõ
àãåíòîâ, ïðèäåðæèâàþùèõñÿ ñòðàòåãèè βj .



Ïðÿìûå ìåõàíèçìû

Ìû íèêàê íå îãðàíè÷èâàëè ìíîæåñòâî ñòðàòåãèé Σ (äëÿ
àóêöèîíîâ ìíîæåñòâî ñòàâîê B ): â ïðèíöèïå, ïðîòîêîë
ìîã áû áûòü äîâîëüíî ñëîæíûì.
Îäíàêî âïîëíå äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü ïðÿìûå (direct,
direct revelation) ìåõàíèçìû, â êîòîðûõ ó êàæäîãî àãåíòà
ïðîñòî ñïðàøèâàþò åãî òèï, ò.å. Σi = θi (â ñëó÷àå
àóêöèîíîâ åãî èñòèííóþ ñòîèìîñòü xi ).
Íî, êàê ìû óæå âûÿñíÿëè, àãåíòû ìîãóò íàì âðàòü.




Âñïîìíèì îïðåäåëåíèå òîãî, ÷òî ìåõàíèçì ðåàëèçóåò
ñîöèàëüíóþ ôóíêöèþ.

Ìåõàíèçì M = (Σ1 , . . . , ΣN , g ) ðåàëèçóåò ôóíêöèþ
ñîöèàëüíîãî âûáîðà f (θ), åñëè äëÿ âñåõ
θ = (θ1 , . . . , θN ) ∈ Θ1 × . . . × ΘN

g (s1 (θ1 ), . . . , sN (θN )) = f (θ),
∗ ∗

ãäå ïðîôèëü ñòðàòåãèé (s1 , . . . , sN ) íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè ïî
∗ ∗

îòíîøåíèþ ê èãðå, èíäóöèðîâàííîé M.




Òåïåðü ìîäèôèöèðóåì åãî òàê, ÷òîáû ìåõàíèçì áûë
ïðàâäèâûì.

Ïðÿìîé ìåõàíèçì M = (θ1 , . . . , θN , g ) ðåàëèçóåò ôóíêöèþ
ñîöèàëüíîãî âûáîðà f (θ), åñëè äëÿ âñåõ
θ = (θ1 , . . . , θN ) ∈ Θ1 × . . . × ΘN

g (θ1 , . . . , θN ) = f (θ),

ãäå ïðîôèëü ñòðàòåãèé (θ1 , . . . , θN ) íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè ïî
îòíîøåíèþ ê èãðå, èíäóöèðîâàííîé M.



Ðåàëèçàöèÿ ïðàâäèâûì ìåõàíèçìîì

Ìîæíî è åù¼ ïðîùå, òàì âåäü ïðîñòî ïîëó÷àëîñü, ÷òî
g =f.

Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f (θ) ïðàâäèâî ðåàëèçóåìà
(truthfully implementable, incentive compatible), åñëè ïðîôèëü
ñòðàòåãèé (s1 , . . . , sN ), ãäå si∗ (θi ) = θi , íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè
∗ ∗

â èãðå, èíäóöèðîâàííîé ïðÿìûì ìåõàíèçìîì
M = (θ1 , . . . , θN , f ).



Ïðàâäèâûå ìåõàíèçìû

Êîíå÷íî, áûëî áû çäîðîâî, ÷òîáû ìîæíî áûëî
ðåàëèçîâûâàòü âñ¼ íà ñâåòå ïðàâäèâûìè ìåõàíèçìàìè.
Òîãäà àãåíòàì íå íàäî áûëî áû äóìàòü, à ¾öåíòð¿ ìîã áû
òâ¼ðäî óçíàòü èõ òèïû.
Äà è ïðîñòî îãðàíè÷èòüñÿ ïðàâäèâûìè ìåõàíèçìàìè â
àíàëèçå áûëî áû î÷åíü çàìàí÷èâî, âåäü ýòî ãîðàçäî áîëåå
óçêèé êëàññ.
(Íà ñàìîì äåëå äóìàòü âñ¼ ðàâíî íàäî: àãåíòû äîëæíû
ïîíèìàòü, ÷òî ìåõàíèçì ïðàâäèâûé.)




Ê ñ÷àñòüþ, âñ¼ òàê è åñòü!
Ìàéåðñîí äîêàçàë ïðèíöèï âûÿâëåíèÿ , êîòîðûé
ãàðàíòèðóåò, ÷òî åñëè êàêóþ-òî ñîöèàëüíóþ ôóíêöèþ
ìîæíî ðåàëèçîâàòü, å¼ ìîæíî è ïðàâäèâî ðåàëèçîâàòü.
Êàê âû äóìàåòå, êàê ýòî ìîæíî äîêàçàòü?
Hint: ýòî î÷åíü ïðîñòî. :)



Âñïîìíèì îïðåäåëåíèÿ

Ñòðàòåãèÿ si íàçûâàåòñÿ äîìèíàíòíîé, åñëè îíà (ñëàáî)
ìàêñèìèçèðóåò îæèäàåìóþ ïðèáûëü àãåíòà äëÿ âñåõ
âîçìîæíûõ ñòðàòåãèé äðóãèõ àãåíòîâ:

∀si = si , s −i ∈ Σ−i ui (si , s −i , θi ) ≥ ui (si , s −i , θi ).




Ìåõàíèçì M = (Σ1 , . . . , ΣN , g ) ðåàëèçóåò ôóíêöèþ
ñîöèàëüíîãî âûáîðà f (θ) â äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõ, åñëè äëÿ
âñåõ θ = (θ1 , . . . , θN ) ∈ Θ1 × . . . × ΘN

g (s1 (θ1 ), . . . , sN (θN )) = f (θ),
∗ ∗

è êàæäàÿ èç ñòðàòåãèé si∗ ÿâëÿåòñÿ äîìèíàíòíîé äëÿ àãåíòà i.




Ìîæíî åù¼ ñîâìåñòèòü îïðåäåëåíèÿ ïðàâäèâîé
ðåàëèçóåìîñòè è äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèé.

Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f (θ) ïðàâäèâî ðåàëèçóåìà â
äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõ (truthfully implementable in dominant
strategies, dominant strategy incentive compatible, strategy-proof,
straightforward), åñëè ïðîôèëü ñòðàòåãèé (s1 , . . . , sN ), ãäå
∗ ∗

si i
∗ (θ ) = θ , íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèé â
i
èãðå, èíäóöèðîâàííîé ïðÿìûì ìåõàíèçìîì
M = (θ1 , . . . , θN , f ), ò.å. ∀θi , θi ∈ θi , θ−i ∈ Θ−i

ui (f (θi , θ−i ), θi ) ≥ ui (f (θi , θ−i ), θi ).



×åì õîðîøè äîìèíàíòíûå ñòðàòåãèè

Âî-ïåðâûõ, ìîæíî áûòü áîëååìåíåå óâåðåííûì, ÷òî àãåíò
èçáåð¼ò äîìèíàíòíóþ ñòðàòåãèþ: îíà íå çàâèñèò îò åãî
ïðîãíîçîâ íà äåéñòâèÿ äðóãèõ àãåíòîâ.
Âî-âòîðûõ, ïî ýòîé æå ïðè÷èíå ìîæíî îòêàçàòüñÿ îò
ïðåäïîëîæåíèé íà ðàñïðåäåëåíèå òèïîâ ó àãåíòîâ
(ïîìíèòå, áûëî ó íàñ F (θ)?) è âîîáùå ýòî ñàìîå F (θ) íå
ðàññìàòðèâàòü. ×òî ïðèÿòíî.



Ïðèíöèï âûÿâëåíèÿ äëÿ äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèé

Òåîðåìà
Ïóñòü äëÿ äàííîé ñîöèàëüíîé ôóíêöèè f ñóùåñòâóåò ìåõàíèçì
M = (Σ1 , . . . , ΣN , g ), êîòîðûé å¼ ðåàëèçóåò â äîìèíàíòíûõ
ñòðàòåãèÿõ. Òîãäà f ïðàâäèâî ðåàëèçóåìà â äîìèíàíòíûõ
ñòðàòåãèÿõ.



Äîêàçàòåëüñòâî

M = (Σ1 , . . . , ΣN , g ) ðåàëèçóåò f , çíà÷èò, åñòü ïðîôèëü
ñòðàòåãèé s ∗ = (s1 , . . . , sn ), äëÿ êîòîðîãî ∀θ
∗ ∗

g (si∗ (θ)) = f (θ), è ∀i , θi , si , s −i

ui (g (si∗ (θi ), s −i ), θi ) ≥ ui (g (si , s −i ), θi ).

Â ÷àñòíîñòè (ïîäñòàâèì êîíêðåòíîå s è s −i ), ∀i , θi
ui (g (si∗ (θi ), s ∗ i ), θi ) ≥ ui (g (si∗ (θi ), s ∗ i (θ−i )), θi ).
− −

Íî ýòî çíà÷èò, ÷òî (ò.ê. g (si∗ (θ)) = f (θ)) ∀i , θi


À ýòî â òî÷íîñòè îïðåäåëåíèå ïðàâäèâîé ðåàëèçóåìîñòè.


Èíòóèöèÿ

Èíòóèòèâíî ýòî î÷åíü ïðîñòàÿ êîíñòðóêöèÿ.
Ïóñòü åñòü ìåõàíèçì, â êîòîðîì àãåíòû íàõîäÿòñÿ â
ðàâíîâåñèè, íî ïðè ýòîì âðóò ïîêàçûâàþò íå ñâîè òèïû,
à äðóãèå, si∗ (θi ).
Äàâàéòå òîãäà ðàññìîòðèì òàêîé æå ìåõàíèçì, íî ñ
äîïîëíèòåëüíûìè ¾ïîñðåäíèêàìè¿ äëÿ êàæäîãî àãåíòà.
Ìîë, òû ìíå ñâîé òèï θi ñêàæåøü, à ÿ çà òåáÿ â ïðîøëîì
ìåõàíèçìå ñòàâêó ñäåëàþ íà si∗ (θi ).
Î÷åâèäíî, â òàêîé ñèòóàöèè âðàòü âûãîäíî óæå áûòü íå
ìîæåò.



Â äðóãèõ êîíòåêñòàõ

Êîíå÷íî, ýòà òåîðåìà âåðíà íå òîëüêî äëÿ äîìèíàíòíûõ
ñòðàòåãèé.
Ñîâåðøåííî òî æå ðàññóæäåíèå òàê æå ðàáîòàåò è äëÿ
ðàâíîâåñèé Íýøà, è äëÿ ðàâíîâåñèé ïî Áàéåñó-Íýøó.
Ìû áóäåì èì ïîëüçîâàòüñÿ, êîãäà äîéä¼ò äåëî äî òåõ
êîíòåêñòîâ.



Íåðàâåíñòâà

Âñïîìíèì îïðåäåëåíèå ïðàâäèâîé ðåàëèçóåìîñòè:


Ðàññìîòðèì àãåíòà i è ëþáóþ ïàðó âîçìîæíûõ òèïîâ θi è
θi . Åñëè ïðàâäèâîñòü äîìèíàíòíàÿ ñòðàòåãèÿ, òî
∀θ−i ∈ Θ−i

ui (f (θi , θ−i ), θi ) ≥ ui (f (θi , θ−i ), θi ) è




Ñâîéñòâî ñëàáîãî îáðàùåíèÿ ïðåôåðåíöèé

Ò.å. ïðåäïî÷òåíèÿ àãåíòà i â ñìûñëå ðàíæèðîâàíèÿ
f (θi , θ−i ) è f (θi , θ−i ) äîëæíû èçìåíèòüñÿ, êîãäà åãî òèï
ìåíÿåòñÿ ñ θ íà θ èëè îáðàòíî.
Ýòî íàçûâàåòñÿ ñâîéñòâî ñëàáîãî îáðàùåíèÿ ïðåôåðåíöèé
(weak preference reversal property).



Ñâîéñòâî ñëàáîãî îáðàùåíèÿ ïðåôåðåíöèé

Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè ñâîéñòâî ñëàáîãî îáðàùåíèÿ
ïðåôåðåíöèé âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ θ−i ∈ Θ−i è äëÿ âñåõ
ïàð θ , θ ∈ Θi , òî ãîâîðèòü ïðàâäó äîìèíàíòíàÿ
ñòðàòåãèÿ äëÿ àãåíòà i .

Óïðàæíåíèå. Äîêàæèòå ýòî.



Ìíîæåñòâà íèæíèõ êîíòóðîâ

Âñ¼ ýòî ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü â òåðìèíàõ òàê
íàçûâàåìûõ ìíîæåñòâ íèæíèõ êîíòóðîâ.
Ìíîæåñòâî íèæíåãî êîíòóðà (lower contour set)
âîçìîæíîãî èñõîäà o ïðè àãåíòå i òèïà θi ýòî

Li (o , θi ) = {o ∈ O : ui (o , θi ) ≥ ui (o , θi )}.



Ìíîæåñòâà íèæíèõ êîíòóðîâ

Òåîðåìà
Ñîöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ f ïðàâäèâî ðåàëèçóåìà â äîìèíàíòíûõ
ñòðàòåãèÿõ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ âñåõ i, âñåõ
θ−i ∈ Θ−i è âñåõ ïàð òèïîâ àãåíòà i θ , θ ∈ Θi âåðíî

f (θi , θ−i ) ∈ Li (f (θi , θ−i ), θi ), f (θi , θ−i ) ∈ Li (f (θi , θ−i ), θi ).



Outline

1 Ñâîéñòâà ìåõàíèçìîâ è ïðèíöèï âûÿâëåíèÿ

2 Àíàëèç äâóõ ìîäåëåé àóêöèîíîâ




Íà âñÿêèé ñëó÷àé ïðîâåä¼ì ìèíè-ëèêáåç ïî íåïðåðûâíîé
òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.
Ó ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X åñòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

F (x ) = Pr[X ≤ x ].

F (x ) íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ, F (0) = 0, F (ω) = 1.
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî F íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà.




Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü ïëîòíîñòü

d
f (x ) = F (x ).
dx
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ýòî
ω
E [X ] = xf (x )dx .
0




Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íåêîòîðîé ôóíêöèè γ(X ) ýòî
ω ω
E [γ(X )] = γ(x )f (x )dx = γ(x )dF (x ).
0 0

Óñëîâíîå îæèäàíèå âåëè÷èíû X ïðè óñëîâèè X x ýòî
1 x
E [X |X x] = tf (t )dt .
F (x ) 0




Åñëè X è Y äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî ó íèõ åñòü
ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü f : [0, ωX ] × [0, ωY ] → R+ , åñëè äëÿ
âñÿêèõ x x è y y
y x
Pr[x ≤X ≤x ∧y ≤Y ≤y ]= f (x , y )dxdy .
y x

Òîãäà ìàðãèíàëüíàÿ ïëîòíîñòü ïîëó÷àåòñÿ ïðîåêöèåé:
ωY
fX (x ) = f (x , y )dy ,
0
ωX
fY (x ) = f (x , y )dx .
0




Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íåçàâèñèìû , åñëè

f (x , y ) = fX (x ) × fY (y ).

Óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü Y ïðè óñëîâèè X = x :
f (x , y )
fY (y | X = x ) = .
fX (x )
Óñëîâíîå îæèäàíèå Y ïðè óñëîâèè X = x :
ωY
E [Y | X = x] = yfY (y | X = x )dy .
0



Ââåäåíèå

Ñåé÷àñ ìû ïðîâåä¼ì (áîëüøå äëÿ ïðèìåðà) ïîäðîáíûé
àíàëèç äâóõ ìîäåëåé àóêöèîíîâ, êîòîðûõ ìû óæå ðàíüøå
êàñàëèñü.
Çàîäíî ïîéì¼ì, ÷òî íå âñ¼ òàê î÷åâèäíî â ýòîé íàóêå, êàê
äîêàçàòåëüñòâî ïðàâäèâîñòè àóêöèîíà Âèêðè. :)



Àóêöèîíû ñ îòêðûòûìè ñòàâêàìè

Êîíå÷íî, ïåðâîé íà óì ïðèõîäèò ìîäåëü, êîãäà â çàëå
ñèäÿò ëþäè è íàáàâëÿþò öåíó.
Êîãäà î÷åðåäíóþ öåíó íåêîìó ïåðåáèòü, ëîò óõîäèò òîìó,
êòî å¼ ïðåäëîæèë.
Òàêîé àóêöèîí íàçûâàåòñÿ àíãëèéñêèì .
Íà ñàìîì æå äåëå, êîíå÷íî, ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé àóêöèîíîâ
ãîðàçäî áîëüøå.



Ãîëëàíäñêèé àóêöèîí

Äðóãàÿ êëàññè÷åñêàÿ ìîäåëü òàê íàçûâàåìûé
ãîëëàíäñêèé àóêöèîí .
Ïî ýòîé ìîäåëè ïðîâîäÿòñÿ êëàññè÷åñêèå ãîëëàíäñêèå
àóêöèîíû, íà êîòîðûõ ïðîäàþò öâåòû.
Àóêöèîíåð íà÷èíàåò òîðãè ñ çàâåäîìî ñëèøêîì âûñîêîé
öåíû, ïîñëå ÷åãî ïîíèæàåò å¼ äî òåõ ïîð, ïîêà íå
ïîäíèìåòñÿ ïåðâàÿ ðóêà (òî åñòü ïîêà ïåðâûé àãåíò íå
çàõî÷åò êóïèòü ëîò ïî îáúÿâëåííîé öåíå).
Ëîò óõîäèò òîìó, êòî çàõîòåë åãî ïðèîáðåñòè, è ïî òîé
öåíå, êîòîðàÿ áûëà îáúÿâëåíà.



Àóêöèîíû ñ çàêðûòûìè ñòàâêàìè

Àíãëèéñêèé è ãîëëàíäñêèé àóêöèîíû ñ îòêðûòûìè
ñòàâêàìè: êàæäûé àãåíò ïîëíîñòüþ âèäèò ïðîöåññ òîðãîâ,
âêëþ÷àÿ ñòàâêè äðóãèõ àãåíòîâ (õîòÿ â ãîëëàíäñêîì
àóêöèîíå êàê ðàç íå âèäèò).
Íàøè àóêöèîíû áóäóò ñ çàêðûòûìè ñòàâêàìè : ó÷àñòíèêè
ïîäàþò çàÿâêè â êîíâåðòàõ, à ïîòîì èõ âñêðûâàþò è
ðåøàþò, êîìó îòäàòü èñêîìûé îáúåêò.
Èõ ïðîùå àíàëèçèðîâàòü, è ìû âñ¼ ðàâíî ïîòîì äîêàæåì,
÷òî îòêðûòûå àóêöèîíû èì ýêâèâàëåíòíû.



Ïåðâàÿ öåíà è âòîðàÿ öåíà

Ìû äëÿ íà÷àëà ïðîàíàëèçèðóåì äâå ìîäåëè.
Ïåðâàÿ àóêöèîí Âèêðè, second-price sealed-bid auction
(ïðåäìåò äîñòà¼òñÿ òîìó, êòî áîëüøå ïðåäëîæèë, ïî öåíå
âòîðîãî ñâåðõó).
Âòîðàÿ ñàìàÿ åñòåñòâåííàÿ, rst-price sealed-bid auction
(ïðåäìåò äîñòà¼òñÿ òîìó, êòî áîëüøå ïðåäëîæèë, ïî åãî
ñîáñòâåííîé öåíå).



Ïîñòàíîâêà çàäà÷è: àãåíòû

Èòàê, òåïåðü âñ¼ ïî-âçðîñëîìó. Åñòü N ïîêóïàòåëåé,
êîòîðûå ñðàæàþòñÿ çà îäèí îáúåêò.
Ó êàæäîãî ïîêóïàòåëÿ ñâîÿ öåíà Xi (äëÿ äðóãèõ ýòî
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà!), ïðè÷¼ì ýòà öåíà ðàñïðåäåëåíà íà
[0, ω] ïîñðåäñòâîì íåóáûâàþùåé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
F : [0, ω] → [0, 1].
Â ïðèíöèïå âîçìîæíî, ÷òî ω = ∞, íî â ëþáîì ñëó÷àå
E [Xi ] ∞.



Ïîñòàíîâêà çàäà÷è: èíôîðìàöèÿ

Êàæäûé ó÷àñòíèê i çíàåò ñâî¼ çíà÷åíèå xi (êîòîðîå åìó
áûëî âûáðîøåíî ïî ðàñïðåäåëåíèþ âåëè÷èíû Xi ).
Êðîìå òîãî, îí îáëàäàåò ïîëíîé èíôîðìàöèåé: çíàåò âñå
îñòàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ Xj .
Íå çíàåò îí òîëüêî êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé xj , ìîäåëü îí
çíàåò ïîëíîñòüþ.



Ïîñòàíîâêà çàäà÷è: ñèììåòðèÿ

Âàæíî: ó êàæäîãî ó÷àñòíèêà Xi îäíà è òà æå ôóíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ F .
È îíè ýòî çíàþò; ýòî íàçûâàåòñÿ ìîäåëüþ ñ
ñèììåòðè÷íûìè ó÷àñòíèêàìè.



Ìîäåëü àóêöèîíà âòîðîé öåíû

Àóêöèîí Âèêðè êàæåòñÿ ñëîæíåå, íî äëÿ àíàëèçà îí
ïðîùå. Íà÷í¼ì ñ íåãî.
Êàæäûé ó÷àñòíèê ïîäà¼ò çàêðûòóþ çàÿâêó bi , ïîñëå ÷åãî
êàæäûé ïîëó÷àåò òàêóþ ïðèáûëü:

xi − maxj =i bj , åñëè bi maxj =i bj ,
Πi =
0, åñëè bi maxj =i bj .

Â ñëó÷àå íè÷üåé áóäåì âûáèðàòü ïîêóïàòåëÿ
ðàâíîâåðîÿòíî.



Äîìèíàíòíàÿ ñòðàòåãèÿ

Âñïîìíèì, ÷òî ìû óæå äîêàçûâàëè ðàíüøå.

Òåîðåìà
Â second-price sealed-bid àóêöèîíå ñòðàòåãèÿ äåëàòü ñòàâêó
b(x ) = x ÿâëÿåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóþùåé.




Îæèäàåìàÿ ïîëåçíîñòü ñòðàòåãèè bi (xi ) = xi ðàâíà

xi − b , åñëè xi b ,
ui (bi , b , xi ) =
0, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå,

ãäå b ýòî íàèâûñøàÿ ñòàâêà ñðåäè âñåõ îñòàëüíûõ
àãåíòîâ.
Åñëè b xi , òî îïòèìàëüíà ëþáàÿ ñòàâêà bi ≥ b (âåùü
âåäü âñ¼ ðàâíî ïðîäàäóò ïî öåíå b ).
Åñëè b ≥ xi , òî, îïÿòü æå, îïòèìàëüíà ëþáàÿ ñòàâêà
bi ≤ xi (âñ¼ ðàâíî íå ïðîäàäóò).
Ñòàâêà bi = xi ïîäõîäèò â îáà ñëó÷àÿ è ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ
äîìèíàíòíîé ñòðàòåãèåé.


Ñêîëüêî ïðèä¼òñÿ çàïëàòèòü

Äîêàçàòåëüñòâî íè÷åãî íå èñïîëüçîâàëî: íè îæèäàíèé
àãåíòà î äðóãèõ àãåíòàõ, íè ïðåäïîëîæåíèé î
ðàñïðåäåëåíèÿõ... ýòî õîðîøî.
Ñëåäóþùèé âîïðîñ: ñêîëüêî àãåíò îæèäàåò çàïëàòèòü (è,
êàê ñëåäñòâèå, êàêóþ ïîëó÷èòü ïðèáûëü)?




Ôèêñèðóåì àãåíòà X1 è ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó
Y1 ïåðâóþ ïîðÿäêîâóþ ñòàòèñòèêó X2 , . . . , XN
(ìàêñèìóì èç íèõ).
Î÷åâèäíî, Y1 ðàñïðåäåëåíà êàê G (y ) = F (y )N −1 (âàì íå
î÷åâèäíî? äîêàæèòå!).




Èòîãî àãåíò X1 îæèäàåò â ñëó÷àå âûèãðûøà ñâîåé ñòàâêè x
çàïëàòèòü

m(x ) =
= Pr[Âûèãðûø àãåíòà 1] × E [2-ÿ ñòàâêà | x ìàêñ. ñòàâêà] =
= Pr[Âûèãðûø àãåíòà 1]×E [2-ÿ öåííîñòü | x ìàêñ. öåííîñòü] =
= G (x )E [Y1 | Y1 x ] = F (x )N −1 E [Y1 | Y1 x ].

Âîò è âåñü àíàëèç äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ.



Ìîäåëü àóêöèîíà ïåðâîé öåíû

Â îáû÷íîì àóêöèîíå êàæäûé ó÷àñòíèê ïîäà¼ò çàêðûòóþ
çàÿâêó bi , ïîñëå ÷åãî êàæäûé ïîëó÷àåò òàêóþ ïðèáûëü:

xi − bi , åñëè bi maxj =i bj ,
Πi =
0, åñëè bi maxj =i bj .

Â ñëó÷àå íè÷üåé áóäåì âûáèðàòü ïîêóïàòåëÿ
ðàâíîâåðîÿòíî.



Î ïðàâäèâîñòè

Ïåðâîå çàìå÷àíèå: òàêîé àóêöèîí íå ïðîñòî îêàæåòñÿ íå
ïðàâäèâûì, à è íå ìîæåò áûòü ïðàâäèâûì ïðèíöèïèàëüíî.
Åñëè ó÷àñòíèê ñîîáùèò ñâîþ íàñòîÿùóþ öåíó, äëÿ íåãî
ýòî ðàâíîñèëüíî îòêàçó îò ó÷àñòèÿ â àóêöèîíå: îí â ëþáîì
ñëó÷àå ïîëó÷èò íóëåâóþ ïðèáûëü.
Ïîýòîìó òåïåðü ó íàñ áóäóò ïîëíîöåííî ó÷àñòâîâàòü
ôóíêöèè β(x ) âîçìîæíûå ñòðàòåãèè ó÷àñòíèêîâ â
çàâèñèìîñòè îò èõ ñêðûòîé öåííîñòè x .



Âûâîä îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè

Ðàññìîòðèì ïåðâîãî ó÷àñòíèêà. Îí ïðåäïîëàãàåò, ÷òî
îñòàëüíûå ñëåäóþò ñòðàòåãèè β, è õî÷åò îïðåäåëèòü ñâîþ
ñòàâêó.
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ: îí, êîíå÷íî, íå ñòàíåò ñòàâèòü áîëüøå
β(ω), ò.å. b ≤ β(ω), è, êðîìå òîãî, î÷åâèäíî, ÷òî β(0) = 0.
Ïåðâûé ó÷àñòíèê âûèãðûâàåò, êîãäà maxi =1 β(Xi ) b.




Ïåðâûé ó÷àñòíèê âûèãðûâàåò, êîãäà maxi =1 β(Xi ) b.
β íåóáûâàåò, ïîýòîìó
maxi =1 β(Xi ) = β(maxi =1 Xi ) = β(Y1 ).
Çíà÷èò, ïåðâûé ó÷àñòíèê âûèãðûâàåò, êîãäà Y1 β−1 (b).




Çíà÷èò, ïåðâûé ó÷àñòíèê âûèãðûâàåò, êîãäà Y1 β−1 (b).
Åãî îæèäàåìàÿ ïðèáûëü:

G (β−1 (b))(x − b),

ãäå G ðàñïðåäåëåíèå Y1 .




Íàéä¼ì ìàêñèìóì G (β−1 (b))(x − b) ïî b.
Ïîëó÷èòñÿ, ÷òî

G (β−1 (b))
(x − b) − G (β−1 (b)) = 0.
β (β−1 (b))

Íî ìû èùåì ðàâíîâåñíóþ îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ, ò.å.
b = β(x ). Ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå:

G (x )β (x ) + G (x )β(x ) = xg (x ).




G (x )β (x ) + G (x )β(x ) = xG (x ).
d
Çàìåòèì ÷òî ýòî íà ñàìîì äåëå dx (G (x )β(x )) = xG (x ).
Èòîãî, ñ ó÷¼òîì β(0) = 0, ïîëó÷àåì îòâåò:

1 x
β(x ) = yG (y )dy = E [Y1 |Y1 x ]
G (x ) 0
ïî îïðåäåëåíèþ óñëîâíîãî ìàò. îæèäàíèÿ.
Òî åñòü îæèäàåìàÿ âûïëàòà ó÷àñòíèêà ðàâíà
m(x ) = G (x )E [Y1 |Y1 x ].



Ðàâíîâåñíàÿ ñòðàòåãèÿ

Ìû âûâåëè ôîðìóëó äëÿ β, íî åù¼ íå äîêàçàëè, ÷òî äëÿ
ó÷àñòíèêà ñ öåííîñòüþ x äåéñòâèòåëüíî îïòèìàëüíî
ñòàâèòü β(x ), åñëè îñòàëüíûå ñëåäóþò ñòðàòåãèè β.
Ó íàñ áûëî òîëüêî íåîáõîäèìîå óñëîâèå, íî íå
äîñòàòî÷íîå.

Òåîðåìà
Ñòðàòåãèÿ
β(x ) = E [Y1 |Y1 x ]
äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñíîé â rst-price sealed-bid
àóêöèîíå.




Èòàê, ïóñòü âñå, êðîìå àãåíòà 1, ñëåäóþò

1 x
β(x ) = yG (y )dy = E [Y1 |Y1 x ].
G (x ) 0
β(x ) âîçðàñòàþùàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, çíà÷èò, â
ðàâíîâåñèè âûèãðûâàåò òîò, ó êîãî x áûë áîëüøå.
Åñëè àãåíò 1 ïîñòàâèò b β(ω), îí ïîëó÷èò
îòðèöàòåëüíóþ ïðèáûëü â ëþáîì ñëó÷àå.




Èòàê, îí ñòàâèò b ≤ β(ω).
Îáîçíà÷èì z = β−1 (b) çíà÷åíèå, äëÿ êîòîðîãî b
ðàâíîâåñíàÿ ñòàâêà. Ó÷àñòíèê 1 ïîëó÷èò

Π(b, x ) = G (z )(x − β(z )) =
z
= G (z )x − G (z )E [Y1 |Y1 z ] = G (z )x − yg (y )dy =
0
z z
= G (z )x − G (z )z + G (y )dy = G (z )(x − z ) + G (y )dy .
0 0




z
Π(b, x ) = G (z )(x − z ) + 0 G (y )dy .
Òî åñòü ïîëó÷èòñÿ, ÷òî
z
Π(β(x ), x ) − Π(β(z ), x ) = G (z )(z − x ) − G (y )dy ≥ 0
x

âíå çàâèñèìîñòè îò z (ò.ê. G íåóáûâàåò).
Âîò è äîêàçàëè îïòèìàëüíîñòü.



Ïåðåôîðìóëèðîâêà

Ìîæíî ïåðåïèñàòü β â âèäå, â êîòîðîì áóäåò î÷åâèäíî,
÷òî ó÷àñòíèêàì íàäî ñòàâèòü ìåíüøå èõ öåííîñòè:
x G (y )
β(x ) = x − dy .
0 G (x )
Êàê ýòî äîêàçàòü?



Ïåðåôîðìóëèðîâêà

Ïðîèíòåãðèðóåì ïî ÷àñòÿì:

1 x
β(x ) = yG (y )dy =
G (x ) 0
1 x x G (y )
= xG (x ) − G (y )dy =x− dy
G (x ) 0 0 G (x )
(îäíà ÷àñòü y , äðóãàÿ ÷àñòü G (y )).



Îáñóæäåíèå

x G (y )
β(x ) = x − dy .
0 G (x )
N −1
Ò.ê. G (y ) = F (y )
G (x
)
F (x
)
, âèäíî, ÷òî ÷åì áîëüøå ó÷àñòíèêîâ,
òåì áëèæå íóæíî ñòàâèòü ê ñâîåé èñòèííîé öåííîñòè.



Ïðèìåð

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî öåííîñòè ðàñïðåäåëåíû ðàâíîìåðíî íà
[0, 1].
Òîãäà F (x ) = x , G (x ) = x N −1 .
Êàê â ýòîì ñëó÷àå áóäåò âûãëÿäåòü îïòèìàëüíàÿ
ñòðàòåãèÿ?



Ïðèìåð

Ïðîèíòåãðèðóåì âûðàæåíèå, ïîëó÷åííîå â ïðåäûäóùåì
ñëåäñòâèè:
x G (y )
β(x ) = x − dy =
0 G (x )
x y N −1
=x− dy =
0 x N −1
xN N −1
=x− N −1 = N x .
Nx



Ðàçíèöà ìåæäó äâóìÿ àóêöèîíàìè

Â second-price àóêöèîíå âñå ãîâîðÿò ñâîè íàñòîÿùèå
öåííîñòè íî ïîëó÷àþò âåùü çà ìåíüøóþ öåíó, çà öåíó
âòîðîãî ñâåðõó ó÷àñòíèêà.
Â rst-price àóêöèîíå êàæäûé ïëàòèò ñêîëüêî ñêàçàë íî
âñå ãîâîðÿò ìåíüøå, ÷åì èñòèííàÿ ñòîèìîñòü.
×òî æå âûãîäíåå äëÿ ïðîäàâöà?



Second-price

Â second-price àóêöèîíå âñ¼ ïîíÿòíî ïðîäàâåö ïîëó÷àåò
îæèäàåìóþ ñòîèìîñòü âòîðîãî ó÷àñòíèêà:

E [Revenue] = E [Y2 ].



Âòîðàÿ ïîðÿäêîâàÿ ñòàòèñòèêà

Ëåììà
Äëÿ E [Y2 ] âåðíà ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà:
ω
E [Y2 ] = N y (1 − F (y ))g (y )dy .
0

Êàê ýòî äîêàçàòü?




Â ôîðìóëå ïðîñòî çàïèñàíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü y áûòü
âòîðîé ñâåðõó ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ýòî ïðîèçâåäåíèå
âåðîÿòíîñòåé äâóõ ñîáûòèé:
îäíî èç N ÷èñåë áîëüøå y (âåðîÿòíîñòü 1 − F (y ));
y ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìóìîì ñðåäè îñòàëüíûõ N − 1 ÷èñåë
(âåðîÿòíîñòü g (y )).




Ïðè ýòîì ïîðÿäêîâûé íîìåð ÷èñëà, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ
ïåðâûì ìàêñèìóìîì, ìîæíî ìåíÿòü îòñþäà ìíîæèòåëü
N.
Ýòî æå ìîæíî ñêàçàòü äðóãèìè ñëîâàìè:
ω
y (1 − F (y ))g (y )dy
0

ÿâëÿåòñÿ îæèäàåìîé âûïëàòîé îäíîãî àãåíòà â àóêöèîíå
âòîðîé öåíû ñî ñäåëàííûìè íàìè ïðåäïîëîæåíèÿìè.
Îæèäàíèå äîõîäà ïðîäàâöà ñêëàäûâàåòñÿ èç îæèäàåìûõ
âûïëàò âñåõ àãåíòîâ.



Second-price

Èòàê, â ñëó÷àå àóêöèîíà âòîðîé öåíû
ω
E [Revenue] = E [Y2 ] = N y (1 − F (y ))g (y )dy .
0



First-price

Òåïåðü ðàññìîòðèì àóêöèîí ïåðâîé öåíû.
Ïåðåéä¼ì ê ñóììå îæèäàåìûõ âûïëàò m(x ) âñåõ
ó÷àñòíèêîâ:

ω
E [Revenue] = N m(x )f (x )dx = ...
0



First-price

ω
E [Revenue] = N m(x )f (x )dx = ...
0
Ïîäñòàâèì óæå íàéäåííîå íàìè â ïðåäûäóùåì ïóíêòå
m(x ):
ω x
... = N yG (y )dy f (x )dx = ...
0 0



First-price

ω x
... = N yG (y )dy f (x )dx = ...
0 0
Èçìåíèì ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ íà òðåóãîëüíîé îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå (x , y ) è ïåðåéä¼ì îò
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ G (y ) ê å¼ ïëîòíîñòè g (y ):

ω ω
... = N f (x )dx yg (y )dy = ...
0 y



First-price

ω ω
... = N f (x )dx yg (y )dy = ...
0 y
È, íàêîíåö, ïî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè ïëîòíîñòè
âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû,
ω
... = N y (1 − F (y ))g (y )dy .
0



First-price

Â èòîãå âûøëî, ÷òî
ω
E [Revenue] = N y (1 − F (y ))g (y )dy .
0



Èòîãè

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îæèäàåìûé äîõîä ïðîäàâöà â îáîèõ
àóêöèîíàõ îäèíàêîâ!
Áóäåò ëè îí ñîâïàäàòü â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå (â
êàæäîé êîíêðåòíîé ðåàëèçàöèè òèïîâ àãåíòîâ)?



Èòîãè

Íåò, íå áóäåò.
Íàïðèìåð, ïóñòü öåííîñòè ðàñïðåäåëåíû ðàâíîìåðíî íà
[0, 1].
Òîãäà, åñëè x1 = 0, à x2 = 1, òî äîõîä â àóêöèîíå ïåðâîé
öåíû ðàâåí 1, à âòîðîé öåíû íóëþ.



Ñïàñèáî çà âíèìàíèå!

Lecture notes è ñëàéäû áóäóò ïîÿâëÿòüñÿ íà ìîåé
homepage:
http://logic.pdmi.ras.ru/∼sergey/index.php?page=teaching
Ïðèñûëàéòå ëþáûå çàìå÷àíèÿ, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé,
íîâûå ÷èñëåííûå ïðèìåðû è ïðî÷åå ïî àäðåñàì:
sergey@logic.pdmi.ras.ru, snikolenko@gmail.com
Çàõîäèòå â ÆÆ smartnik.


20081019 auctions nikolenko_lecture03

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (15)

Similar to 20081019 auctions nikolenko_lecture03

Similar to 20081019 auctions nikolenko_lecture03 (20)

More from Computer Science Club

More from Computer Science Club (20)

20081019 auctions nikolenko_lecture03