1. Ñëîæíîñòíàÿ êðèïòîãðàôèÿ
Ýäóàðä Àëåêñååâè÷ Ãèðø
http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch
ÏÎÌÈ ÐÀÍ
24 ôåâðàëÿ 2008 ã.
1 / 18

2. Êðèïòîñèñòåìû ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
. . . êîäèðóþùèå 1 áèò
Îïðåäåëåíèå
δ -êîððåêòíàÿ êðèïòîñèñòåìà ñ îòêðûòûì êëþ÷îì (δ -PKCS) ýòî
ïîëèíîìèàëüíûé ïî âðåìåíè àëãîðèòì G: r ed
(1n , g ) → ( , ),
(ïîðîæäàþùèé áóëåâû ñõåìû íàä¼æíîñòè n), ò.÷.
e: {0, 1}1+r (n) → {0, 1}c (n) ,
d: {0, 1}c (n) → {0, 1},
∀msg ∈ {0, 1} e g {d (e (msg, re )) = msg} ≥ δ .
Prr ,r
Îïðåäåëåíèå
δ -PKCS íàä¼æíà, åñëè ∀ ÂÏÌÒ A ∀k ∈ N ∃N ∀n N
Pr{A(e (msg, re ), 1 , e ) = msg} + k ,
n 1 1
2 n
ãäå G (1 , rg ) = (e , d ), à âåðîÿòíîñòü áåð¼òñÿ ïî ñëó÷àéíûì ÷èñëàì,
n
èñïîëüçóåìûì A, è ïî (ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåë¼ííûì) rg , re è msg.
2 / 18

3. Êðèïòîñèñòåìû ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
. . . êîäèðóþùèå 1 áèò
Îïðåäåëåíèå
δ -êîððåêòíàÿ êðèïòîñèñòåìà ñ îòêðûòûì êëþ÷îì (δ -PKCS) ýòî
ïîëèíîìèàëüíûé ïî âðåìåíè àëãîðèòì G: r ed
(1n , g ) → ( , ),
(ïîðîæäàþùèé áóëåâû ñõåìû íàä¼æíîñòè n), ò.÷.
e : (msg, re ) → code,
d : code → msg.
∀msg ∈ {0, 1} e g {d (e (msg, re )) = msg} ≥ δ .
Prr ,r
Îïðåäåëåíèå
δ -PKCS íàä¼æíà, åñëè ∀ ÂÏÌÒ A ∀k ∈ N ∃N ∀n N
Pr{A(e (msg, re ), 1 , e ) = msg} + k ,
n 1 1
2 n
ãäå G (1 , rg ) = (e , d ), à âåðîÿòíîñòü áåð¼òñÿ ïî ñëó÷àéíûì ÷èñëàì,
n
èñïîëüçóåìûì A, è ïî (ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåë¼ííûì) rg , re è msg.
2 / 18

4. Òðóäíûé áèò
Òðóäíî îáðàòèòü = òðóäíî óçíàòü âñå áèòû.
×òî, åñëè ïðîñòî óçíàòü ïåðâûé áèò? Âñå íå÷¼òíûå áèòû?
Îïðåäåëåíèå
B : {0, 1}n → {0, 1} òðóäíûé áèò (hardcore predicate) äëÿ f , åñëè
k A N ∀n N
∀ ∀ ∃ Pr{ A(f (x )) = B (x )} 2 + n1k ,
1
ãäå A âåðîÿòíîñòíûé ïîëèíîìèàëüíûé ïî âðåìåíè ïðîòèâíèê;
âåðîÿòíîñòü áåðåòñÿ ïî ñëó÷àéíûì áèòàì A è ïî x ∈ {0, 1}n .
Òåîðåìà (Ãîëäðåéõà-Ëåâèíà)
Åñëè f 1
f˜(x , r ) = (f (x ), r ) òîæå ÿâëÿåòñÿ owp
ÿâëÿåòñÿ owp (tdpf ) , òî
(tdpf ) è èìååò òðóäíûé áèò B (x , r ) = x , r = x r ⊕ x r ⊕ . . . .
1 1 2 2
1
p: permutation = èíúåêòèâíàÿ ôóíêöèÿ
3 / 18

5. €ugƒ from tr—pdoor with h—rd™ore predi™—te
e (m, r ) = (e (s (r )), B (s (r )) ⊕ m),
Òåîðåìà
Åñëè G eds B
: . . . → ( , , ) tdpf, à åå òðóäíûé áèò, òî
G e d
: . . . → ( , ) íàäåæíàÿ êðèïòîñèñòåìà.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü A G . Óãàäàåì B (s (r )) ïî e (s (r ))!
ëîìàåò
Áåðåì ñëó÷àéíóþ ñòðîêó b , è ïàðó (e (s (r )), b ) äàåì A
(ýòî êîä êàêîãî-òî ñîîáùåíèÿ!).
Åñëè åãî îòâåò m âåðåí, òî m ⊕ b èñêîìûé òðóäíûé áèò.
Îñòà¼òñÿ óáåäèòüñÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòü êàê íàäî.
Ñëåäñòâèå
∃ tdpf ⇒∃ íàäåæíàÿ êðèïòîñèñòåìà (1-PKCS).
4 / 18

6. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ÃîëäðåéõàEËåâèíà
Ïåðâàÿ ïîïûòêà
B óãàäûâàåò òðóäíûé áèò ⇒ âçëîìàåì f :
˜
xi = x , r ⊕ x , r ⊕ ei
= B (x , r ) ⊕ B (x , r ⊕ ei )
= B (f (x ), r ) ⊕ B (f (x ), r ⊕ ei )
? ˜ ˜ ¯
(r ⊕ ei îçíà÷àåò, ÷òî ìû ïîìåíÿëè i -é áèò â r ).
¯
5 / 18

7. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ÃîëäðåéõàEËåâèíà
Ïåðâàÿ ïîïûòêà
B óãàäûâàåò òðóäíûé áèò ⇒ âçëîìàåì f :
˜
xi = x , r ⊕ x , r ⊕ ei
= B (x , r ) ⊕ B (x , r ⊕ ei )
= B (f (x ), r ) ⊕ B (f (x ), r ⊕ ei )
? ˜ ˜ ¯
B (. . .) íå âñåãäà B (. . .);
˜ ======
óñïåõ â âû÷èñëåíèè B (x , r ) è B (x , r ⊕ ei ) çàâèñèìûå ñîáûòèÿ!
¯
Ïîýòîìó B (f (x ), r ) íå âçëàìûâàåì
˜
ïåðåáèðàåì 2 çíà÷åíèÿ (äëÿ âñåõ i îòâåò îäèíàêîâ).
Óìåíüøàåì îøèáêó (n îøèáîê!) ∼
∼ ïîâòîðÿåì äëÿ ðàçíûõ r , ñëèøêîì ìíîãî ïåðåáèðàòü!
Ñêîíñòðóèðóåì ìíîãî ðàçíûõ r ñ èçâåñòíûìè îòâåòàìè.
5 / 18

8. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ÃîëäðåéõàEËåâèíà
Ïåðâàÿ ïîïûòêà
B óãàäûâàåò òðóäíûé áèò ⇒ âçëîìàåì f :
˜
xi = x , r ⊕ x , r ⊕ ei
= B (x , r ) ⊕ B (x , r ⊕ ei )
= B (f (x ), r ) ⊕ B (f (x ), r ⊕ ei )
? ˜ ˜ ¯
B (. . .) íå âñåãäà B (. . .);
˜ ======
óñïåõ â âû÷èñëåíèè B (x , r ) è B (x , r ⊕ ei ) çàâèñèìûå ñîáûòèÿ!
¯
Ïîýòîìó B (f (x ), r ) íå âçëàìûâàåì
˜
ïåðåáèðàåì 2 çíà÷åíèÿ (äëÿ âñåõ i îòâåò îäèíàêîâ).
Óìåíüøàåì îøèáêó (n îøèáîê!) ∼
∼ ïîâòîðÿåì äëÿ ðàçíûõ r , ñëèøêîì ìíîãî ïåðåáèðàòü!
Ñêîíñòðóèðóåì ìíîãî ðàçíûõ r ñ èçâåñòíûìè îòâåòàìè.
5 / 18

9. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ÃîëäðåéõàEËåâèíà
Small sample space
Áóäåì ïðîäåëûâàòü íå ñîâñåì íåçàâèñèìûå ýêñïåðèìåíòû:
ëîãàðèôìè÷åñêîå ÷èñëî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ñòðîê rj;
ëîãàðèôìè÷åñêîå ÷èñëî îòâåòîâ B (x , r j ) ìîæíî ïåðåáðàòü;
βj =
èç íèõ ïîñòðîèì ìíîãî íå âïîëíå íåçàâèñèìûõ r
J
ñ óæå èçâåñòíûìè îòâåòàìè.
Äëÿ êàæäîãî íåïóñòîãî J ⊆ {1, . . . , } l
r J ⊕ j,
=
j ∈J
r
β J = ⊕ βj .
j ∈J
Ïîëîæèì l = (2k + 2) log n
2 (åñëè
1
2
+ n1k âåðîÿòíîñòü óñïåõà B ).
˜
Èòîãî,
xiJ Bfx r
= β J ⊕ ˜ ( ( ), J ⊕ ¯i ), e
xi
˜ = maj iJ . x
J
6 / 18

10. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ÃîëäðåéõàEËåâèíà
Ïîäñ÷¼ò âåðîÿòíîñòè
Ëåììà
Ïóñòü B ëîìàåò òðóäíûé áèò ñ âåðîÿòíîñòüþ +
˜ 1
2
. Ïóñòü
Sn = {x | Pr{B (f (x ), r ) = B (x , r )} ≥
˜ 1
2
+ 2 }.
Òîãäà |Sn | ≥ · 2n .
2
Ëåììà
rJ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû è ïîïàðíî íåçàâèñèìû.
Ðàññìîòðèì x x
ζiJ = { i = iJ }(∈ {0, 1}) óñïåõ (äà/íåò) äëÿ îäíîãî J.
Âñåãî èõ m = 2l − 1.
Ëåììà
Äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n Pr ζiJ ≤ m
2
21 .
n
J
7 / 18

11. Ëåììà
Ïóñòü B ëîìàåò òðóäíûé áèò ñ âåðîÿòíîñòüþ +
˜ 1
2
. Ïóñòü
Sn = {x | Pr{B (f (x ), r ) = B (x , r )} ≥
˜ 1
2
+ 2 }.
S (x )
Òîãäà |Sn | ≥ ·2 n.
2
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû.
S
| n | = 2n Prx 2
Sx
( ) 1 + 2 = 2n Prx 1 Sx
− ( )≥ 1
2
− 2
;
Sx 1
E(1 − ( )) = 1 − 2 + =1− .
2
Íåðàâåíñòâî Ìàðêîâà: Pr{α α } ≤ Eα ,
α ãäå α ≥ 0.
1 1
Ó íàñ Eα = 2
− , α = 2
− 2
.
1
n − 1−2
Èòàê, 2
2
1
= 2n ≤ 2n 1 − .
−2 1− 2
2
8 / 18

12. Ëåììà
r J ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû è ïîïàðíî íåçàâèñèìû.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Òî, ÷òî îíè ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû, î÷åâèäíî. Åñëè K ⊆ J, òî
P{r J = t , r K = t } = P{r JK = t ⊕ t , r K = t } (JK = K =∅
)∩
ðàâíîìåðíî
P{r JK = t ⊕ t } · P{r K = t } P{r J = t } · P{r K = t }.
ðàñïðåäåëåíû!
=
Çíà÷èò, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî J K = ∅ è K J = ∅. Òîãäà
P{r J = t , r K = t } = P{r J = t , r K = t , r J∩K = t } =
t
P{r JK = t , r K J = t , r J∩K = t }=
t
ðàâí.
P{r JK = t }·P{r K J = t }· P{r J∩K = t }
ðàñïð.!
= P{r J = t }·P{r K = t }.
t
1
9 / 18

13. Ëåììà
Äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n Pr J ζi ≤ 2 2n , ãäå
J m 1
ζiJ = {xi = xiJ } (∈ {0, 1}).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Âåðîÿòíîñòü óñïåõà â îäíîì èñïûòàíèè ðàâíà 1 + 2 , åñëè x ∈ Sn
2
(íà Pr{x ∈ Sn } ïîòîì äîìíîæèì îíà ïîëèíîìèàëüíà).
Èñïûòàíèÿ ïîïàðíî íåçàâèñèìû, ïîýòîìó
1
E ζiJ = m 2 + 2 ⇒ m = E . . . − m
2 2
Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî ×åáûø¼âà (Pr {α Eα − δ} Dα ):
δ 2
Pr ζiJ E . . . −
m 4D ζiJ 4 4
J 2
m2 2
m 2
≤
n2
äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n (çäåñü èñïîëüçîâàíî, ÷òî áëàãîäàðÿ ïîïàðíîé
íåçàâèñèìîñòè D ζiJ = mDζiJ m).
10 / 18

14. Óïðàæíåíèÿ
Óïðàæíåíèå
Èñïîëüçóåò ëè äîêàçàòåëüñòâî òîò ôàêò, ÷òî |f (x )| = |f (x )|, åñëè
|x | = |x |?
Óïðàæíåíèå
Êîíñòðóêöèÿ èñïîëüçóåò èçâåñòíóþ åé âåðîÿòíîñòü óñïåõà ïðîòèâíèêà;
êàê îò ýòîãî èçáàâèòüñÿ?
Óïðàæíåíèå
Óáåäèòüñÿ, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû âûïîëíåíî è äëÿ íåèíúåêòèâíîé
owf.
11 / 18

15. Âû÷èñëåíèÿ ñ îðàêóëîì
Îðàêóë ÷¼ðíûé ÿùèê:
ñëó÷.áèòû
↓
âõîä −→ Îðàêóë −→ âûõîä
Ìàøèíà T • ñ îðàêóëîì T • ìîæåò îáðàùàòüñÿ ê îðàêóëó è
ïîëó÷àòü îòâåò çà 1 øàã. Ìîæíî ïîäñòàâëÿòü â T ðàçíûå îðàêóëû,
•
ïîëó÷àÿ âû÷èñëèòåëüíûå óñòðîéñòâà T
A, T B , . . .
12 / 18

16. Âû÷èñëåíèÿ ñ îðàêóëîì
Îðàêóë ÷¼ðíûé ÿùèê:
ñëó÷.áèòû
↓
âõîä −→ Îðàêóë −→ âûõîä
Ìàøèíà T • ñ îðàêóëîì T • ìîæåò îáðàùàòüñÿ ê îðàêóëó è
ïîëó÷àòü îòâåò çà 1 øàã. Ìîæíî ïîäñòàâëÿòü â T ðàçíûå îðàêóëû,
•
ïîëó÷àÿ âû÷èñëèòåëüíûå óñòðîéñòâà T
A, T B , . . .
12 / 18

17. Âçëîìùèêè
Îïðåäåëåíèå
Ôóíêöèÿ f : {0, 1}∗ → {0, 1}∗ ñëàáî îäíîñòîðîííÿÿ ôóíêöèÿ, åñëè
f âû÷èñëèìà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ íà ÄÏÌÒ
è k
∃ ∈ N ∀ ÂÏÌÒ A ∃ N ∀n N
Pr{ A(f (x ), 1n ) ∈ f − (f (x ))} 1− n1k ,
1
ãäå âåðîÿòíîñòü áåð¼òñÿ ïî ñëó÷àéíûì ÷èñëàì, èñïîëüçóåìûì A,
è ðàâíîìåðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïî âõîäíûì ñòðîêàì x ∈ {0, 1}n .
Îïðåäåëåíèå
Îðàêóë A âçëàìûâàåò ôóíêöèþ f ñ âåðîÿòíîñòüþ q(n), åñëè äëÿ
áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëèí ni
Pr {A(f (x ), 1 ) ∈ f (f (x ))} ≥ q (ni ).
n − 1
|x |=n
i 13 / 18

18. Ñâåä¡íèÿ
å
Îïðåäåëåíèå
f g , åñëè ∃T • ∀kf ∃kg ∀ îðàêóëà A
A âçëàìûâàåò g ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − n1g
k ⇒
T A âçëàìûâàåò f ñ âåðîÿòíîñòüþ 1
n
1
− k .
f
Çäåñü T ïîëèíîìèàëüíûé âåðîÿòíîñòíûé àëãîðèòì, A èñïîëüçóåòñÿ
êàê âåðîÿòíîñòíûé îðàêóë (åãî ñëó÷àéíûå áèòû ó÷èòûâàþòñÿ ïðè
çàïóñêå T A).
Îïðåäåëåíèå
u óíèâåðñàëüíàÿ [îäíîñòîðîííÿÿ] ôóíêöèÿ, åñëè ∀f (ïîëèíîìèàëüíî
âû÷èñëèìàÿ, ÷åñòíàÿ) f u.
u ñàìàÿ òðóäíàÿ: ∃owf =⇒ u owf 14 / 18

19. Óíèâåðñàëüíàÿ ‘îäíîñòîðîííÿÿ“ ôóíêöèÿ
Êîíñòðóêöèÿ
Òåîðåìà
Ïóñòü u(M , x ) = (M , M (x )), ãäå M îïèñàíèå ìàøèíû, x âõîä äëÿ
ýòîé ìàøèíû, M (x ) âûõîä ìàøèíû íà âõîäå x , ïðè÷åì ìîäåëèðóåì
ìû â òå÷åíèå âðåìåíè |x | , à åñëè íå óñïåâàåì çàâåðøèòü ðàáîòó,
2
âûäàåì x . Òîãäà u óíèâåðñàëüíàÿ.
Óïðàæíåíèå
À êàêîå óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ñèëüíîé owf?
15 / 18

20. Ëåììà
∀ ñëàáîé owf f ∃f˜, âû÷èñëèìàÿ çà âðåìÿ |x | , ò.÷. f
2
f˜.
Äîêàçàòåëüñòâî.
f˜(x x ) = f (x )x ,
1 2 1 2 ãäå x
n, |x | = m = m(n).
| 1| = 2
Ìû ìîæåì äîáèòüñÿ âðåìåíè ðàáîòû tf (n ) ≤ (m + n ) − m âûáîðîì
2
ïîäõîäÿùåãî ïîëèíîìà m (n ), ò.ê. tf (n ) òàêæå ïîëèíîì.
Âçëîì f :
íàì äàëè f (x ); 1
äîïèñûâàåì ê íåìó ñëó÷àéíóþ ñòðîêó x ; 2
ëîìàåì îðàêóëîì äëÿ f ;
˜
îòáðàñûâàåì ñóôôèêñ.
fëîìàåì ñ òîé æå âåðîÿòíîñòüþ, ÷òî è îðàêóë äëÿ f˜.
k
Âûáîðîì ˜ äîáèâàåìñÿ
1
1
nk
m + n )k
.
˜
(
16 / 18

21. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
Ñâåä¼ì âçëîì f ∗, âû÷èñëÿåìîé ìàøèíîé M ∗ çà âðåìÿ n , ê âçëîìó u. 2
Äëÿ äîñòàòî÷íî äëèííûõ âõîäîâ u âû÷èñëÿåò ðåçóëüòàò èìåííî M íà
∗
äîëå âõîäîâ µ = 2|M ∗ ·1const| = const.
Åñëè ìû íå âçëàìûâàåì ëèøü äîëþ
1
nk îò âñåõ âõîäîâ u, òî äîëæíû
âçëàìûâàòü çíà÷èòåëüíóþ äîëþ âõîäîâ èç ñåêòîðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî
ìàøèíå M ∗; èìåííî, ìû âçëàìûâàåì äîëþ µ − nk , ÷òî ñîñòàâëÿåò
1
1
1 −
n
µ k
(1)
ïî îòíîøåíèþ êî âñåì âõîäàì ìàøèíû M ∗ äëèíû n − |M ∗|. ßñíî, ÷òî
äëÿ ëþáîé òðåáóåìîé âåðîÿòíîñòè âçëîìà M ìû ìîæåì ïîäîáðàòü
∗
äîñòàòî÷íî áîëüøèå k è n , äëÿ êîòîðûõ (1) áóäåò áîëüøå èñêîìîé.
17 / 18

22. Óïðàæíåíèÿ
Óïðàæíåíèå
×òî ïðîèçîéäåò â ñëó÷àå ñåìåéñòâ îäíîñòîðîííèõ ôóíêöèé (ñèëüíûõ
ëèáî ñëàáûõ)?
Óïðàæíåíèå
×òî ïðîèçîéäåò, åñëè ñîïåðíèê äåòåðìèíèðîâàííûé? Åñëè îí çàäàí
ñõåìàìè?
18 / 18