презентация к лекции

1. 2.Модуль 2.Модуль
Математика древнихМатематика древних
цивилизацийцивилизаций
история математикиистория математики

2. ПланПлан
1.1. Общая характеристика математической культурыОбщая характеристика математической культуры
древних цивилизацийдревних цивилизаций
2.2. Математика Древнего ЕгиптаМатематика Древнего Египта
3.3. Древневавилонская математикаДревневавилонская математика [[Малаховский. С.Малаховский. С.
25-2825-28]]
4.4. Математика Индии и Китая в древностиМатематика Индии и Китая в древности [[Стройк. С.Стройк. С.
46-5046-50]]
5.5. Математическая культура индейцев МезоамерикиМатематическая культура индейцев Мезоамерики
Литература
1. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967
2. Депман И.Я. История арифметики. М., 1959
3. Кольман Э. История математики в древности. М., 1961

3. 1. Общая характеристика математики1. Общая характеристика математики
древних цивилизацийдревних цивилизаций
ХронологияХронология
Совпадает с хронологией периодаСовпадает с хронологией периода
зарождения математики –зарождения математики –
додо VII-VVII-Vв. до н.э.в. до н.э.
Математика зарождалась в
рамках культуры древних
цивилизаций

4. Источники информации (?)
Молчат могилы, мумии и кости
Лишь слову жизнь дана
Сквозь мглу веков, на мировом погосте
Звучат лишь письмена
И. Бунин
Ржавеет золото и истлевает сталь
Крошится мрамор – к смерти все готово.
Всего прочнее на земле печаль
И долговечней – царственное слово
А. Ахматова

5. 1. Общая характеристика математики1. Общая характеристика математики
древних цивилизацийдревних цивилизаций
ЕгипетЕгипет ВавилонВавилон ИндияИндия КитайКитай Индейцы Мезоамерики:
майя, ацтеки, инки
Индейцы Мезоамерики:
майя, ацтеки, инки

6. Древние цивилизацииДревние цивилизации
ЕгипетЕгипетЕгипетЕгипет ВавилонВавилон ИндияИндия КитайКитай
Индейцы Мезоамерики
майя, ацтеки, инки
Индейцы Мезоамерики
майя, ацтеки, инки
Нил
Материальный носитель информации:Материальный носитель информации:
Система знаков:Система знаков:
папируспапируспапируспапирус
иероглифыиероглифыиероглифыиероглифы

7. 1. Общая характеристика математики1. Общая характеристика математики
древних цивилизацийдревних цивилизаций
ЕгипетЕгипет ВавилонВавилонВавилонВавилон ИндияИндия КитайКитай Майя, ацтеки, инкиМайя, ацтеки, инки
Тигр
Евфрат
Материальный носитель информации:Материальный носитель информации:
Система знаков:Система знаков:
керамикакерамикакерамикакерамика
клинописьклинописьклинописьклинопись

8. Древние цивилизацииДревние цивилизации
ЕгипетЕгипет ВавилонВавилон
ИндияИндияИндияИндия КитайКитай Майя, ацтеки, инкиМайя, ацтеки, инки
Материальный носитель информации:Материальный носитель информации:
Система знаков:Система знаков:
листья, коралистья, коралистья, коралистья, кора
символысимволысимволысимволы
Инд
Ганг

9. Древние цивилизацииДревние цивилизации
ЕгипетЕгипет ВавилонВавилон ИндияИндия
КитайКитайКитайКитай Майя, ацтеки, инкиМайя, ацтеки, инки
Инд
Ганг
Материальный носитель информации:Материальный носитель информации:
Система знаков:Система знаков:
бамбук, бумагабамбук, бумагабамбук, бумагабамбук, бумага
иероглифыиероглифыиероглифыиероглифы
Хуанхэ
Янцзы

10. Древние цивилизацииДревние цивилизации
ЕгипетЕгипет ВавилонВавилон ИндияИндия КитайКитай Майя, ацтеки, инкиМайя, ацтеки, инкиМайя, ацтеки, инкиМайя, ацтеки, инки
Материальный носитель информации:Материальный носитель информации:
Система знаков:Система знаков:
Камень, бумагаКамень, бумагаКамень, бумагаКамень, бумага
символысимволысимволысимволы
Миссисипи
Амазонка

11. Особенности математики древнихОсобенности математики древних
цивилизацийцивилизаций
• содержание математических знаний
примерно одинаково, форма резко
отличается;
• наши знания зависят от сохранившихся
памятников письменности;
• отсутствие возможности точного
определения времени того или иного
математического открытия;
• практический характер математики;
• отсутствие попыток обоснования.

12. Особенности математики древнихОсобенности математики древних
цивилизацийцивилизаций
Рецептурная,
бесформульная,
безымянная
математика древних
цивилизаций
С.Е. Белозеров

13. 2. Математика Древнего Египта2. Математика Древнего Египта
земледелие
архитектура
отчетность
≈ 4 . . .тыс лет до н э
Основа математики Древней Греции -
основа современной математики.
Египтоцентризм
(Владимир Игоревич Арнольд)
Хронология?

14. 2. Математика Древнего Египта2. Математика Древнего Египта
Письменные источники
Наиболее ценными для истории математики являются:
Московский папирус [≈ 1850 г. до н.э.];
Папирус Райнда (писца Ахмеса) [≈ 1550 г. до н.э.];

15. Московский папирусМосковский папирус
Самый древний памятник египетской
.математики
1893 .Приобретен в г русским
собирателем Владимиром
.Семеновичем Голенищевым
1912 ,С года хранится в Москве в
.Музее изобразительных искусств им
.Пушкина
544 8 .Размер см на см
25 .Содержит решения задач
.Пример ,В задаче
приведенной на фрагменте
14,№ правильно вычислен V
.усеч пирамиды с квадратным
основанием

16. Папирус РайндаПапирус Райнда
Приобретен английским собирателем Генрихом
1858 .Райндом в г
. 544Хранится в Британском музее Размеры
32 .на см
84 .Содержит задачи
Представляет собой
конспект
-писца учителя
.Ахмеса

17. Папирус РайндаПапирус Райнда
Название папируса Райнда:
«Наставление, как достигнуть знания всех
темных вещей … (вырван кусок папируса) …
всех тайн, которые скрывают в себе вещи.
Сочинение это написано в 33-м году и 4-м
месяце времени вод в царствование фараона
Ра-А-Ус со старых рукописей времен фараона
… () … ат. Писец Ахмес написал это».
Цит. по тексту дисс. В.В.Бобынина
«Математика древних египтян по папирусу
Ринда» (М., 1880).

18. Фрагмент папируса РайндаФрагмент папируса Райнда
В верхней части папируса
«дается пример расчета
площади прямоугольного
участка земли размером
10 2 ».хетов на хета
–Вторая задача сверху
вычисление площади
« »круглого поля с
9 .периметром хетов
Другие задачи
,показывают как вычислять
,площади полей имеющих
,форму треугольника
,трапеции частей

19. Особенности математики Древнего ЕгиптаОсобенности математики Древнего Египта
1. –Система счисления
-древне египетская
иероглифическая десятичная
.непозиционная Числа вида
10k
(k=1..7) изображались
-индивиду альными
:символами
Египетская полихромная
скульптура эпохи Эль-Амарны,
изображающая Нефертити –
жену фараона Эхнатона

20. Особенности математики Древнего ЕгиптаОсобенности математики Древнего Египта
2. Аддитивный характер арифметики:
«+» присчитывание с заменой десяти символов
одного разряда символом следующего разряда;
«-»отыскание числа, которое надо прибавить к
вычитаемому, чтобы в сумме получить данное
уменьшаемое;
«х(:)» сводилось к удвоению и сложению
нужных результатов; Пример: 18х14
1 - 14
2 - 28
4 - 56
8 - 112
16 - 224
Вместе 252
« : » выполнялось как действие,
обратное умножению

21. Особенности математики Древнего ЕгиптаОсобенности математики Древнего Египта
3. Обозначение и действия с дробями.
Все дроби сводятся к так называемым
основным - аликвотные дроби и дроби
½, 2/3, ¼, ¾, которые изображались
специальными знаками:
В папирусе Райнда дана специальная таблица
разложения дробей на сумму аликвотных [см.
Выгодский М.Я., С.29].
Заимствована греками и применялась не только в
эпоху эллинизма, но и в средние века.
Удобна ли такая система?

22. Особенности математики Древнего ЕгиптаОсобенности математики Древнего Египта
4. Алгебра древних египтян
Часть задач сводится к решению линейного
уравнения с одним неизвестным.
Неизвестное - специальный иероглиф,
обозначавший «кучу» (хау).
Алгебра – хау-исчисление
Папирус Райнда - 15 задач, Московский - 3.
Пример. Найти число, если известно, что от
прибавления к нему 2/3 его и вычитания от
полученной суммы ее трети получается
число 10.
Ответ: 9.

23. Особенности математики Древнего ЕгиптаОсобенности математики Древнего Египта
4. Алгебра древних египтян
Папирус Райнда, №79
Задача-путешественница?
Задача. У семи лиц по семи кошек, каждая
кошка съедает по семи мышей, каждая мышь
съедает по семи колосьев, из каждого
колоса может вырасти по семь мер ячменя.
Как велики числа этого ряда и их сумма?
Ответ: геометрическая прогрессия из пяти
членов с первым членом 7 и знаменателем 7.

24. Леонардо Пизанский,
начало XIIIв
Задача. 7 старух направляются в Рим. У каждой
старухи по 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков,
в каждом из которых по 7 хлебов, при каждом из
которых по семи ножей, каждый из которых в 7 ножнах.
Сколько всего предметов?
Средневековые русские рукописи
Задача. Идет 7 баб. У всякой бабы по 7 посохов, на
всяком посохе по 7 сучков, на всяком сучке по 7 кошелей,
во всяком кошеле по 7 пирогов,
во всяком пироге по 7 воробов,
во всяком воробе по 7 пупков.
И всего?

25. Особенности математики Древнего ЕгиптаОсобенности математики Древнего Египта
5. Геометрия древних египтян
( )22
3
1
babahV ++=
Самый замечательный результат – формула
объема усеченной пирамиды с квадратным
основанием.
Многие задачи геометрические:
формулы площади треугольника, …,
круга ⇒ π≈3,1605
Не имеет аналогов в математике древних
Является одной из загадок великой
египетской цивилизации.

26. 3. Древневавилонская математика3. Древневавилонская математика

27. 3. Древневавилонская математика3. Древневавилонская математика

28. 3. Древневавилонская математика3. Древневавилонская математика

29. 3. Древневавилонская математика3. Древневавилонская математика

30. 3. Древневавилонская математика3. Древневавилонская математика

31. 3. Древневавилонская математика3. Древневавилонская математика

32. Математическая культураМатематическая культура
индейцев Мезоамерикииндейцев Мезоамерики
1.1. Особенности математики индейцев мезоамерикиОсобенности математики индейцев мезоамерики
2.2. Математическая культура МайяМатематическая культура Майя
3.3. Математическая культура АцтековМатематическая культура Ацтеков
4.4. Математическая культура ИнковМатематическая культура Инков
Литература
1. Ершова Г.Г. Майя: тайны древнего письма. М., 2004
2. Депман И.Я. История арифметики. М., 1959
3. Диего де Ланда. Сообщение о делах в Юкатане. 1566. М., 1955
4. Малаховский В.С. Числа знакомые и незнакомые. Калининград, 2004
5. Математика в современном мире. М., 1967
6. Эрдёди Янош. Эпоха великих географических открытий. Будапешт, 1985.

33. Математическая культура МайяМатематическая культура Майя

34. Математическая культура МайяМатематическая культура Майя
Хронология:
Зарождение - ок. 4000 до н.э.
Расцвет цивилизации - IV-VI в н.э.
Конец цивилизации - XVI-XVII в.н.э.
(испанские завоевания)
Основная деятельность:
возделывание кукурузы (маис)
Иероглифическая лестница

35. Математическая культура МайяМатематическая культура Майя
Основные письменные
источники:
- Дрезденский кодекс;Дрезденский кодекс;
- Мадридский Кодекс;Мадридский Кодекс;
- Парижский кодекс.Парижский кодекс.
Основные монументаль-
ные источники:
Стеллы и колонны майяСтеллы и колонны майя

36. Математическая культура МайяМатематическая культура Майя
Дрезденский кодекс майяДрезденский кодекс майя

37. Математическая культура МайяМатематическая культура Майя
Мадридский кодекс майя.Мадридский кодекс майя. Они писали свои книги на большом листе,
согнутом складками, который сжимали между двумя дощечками,
сделанными очень красиво. Они писали с одной и с другой стороны
столбцами, следуя порядку складок; эту бумагу они делали из корней
дерева копо и покрывали её белым лаком, на котором можно хорошо
писать

38. Математическая культура МайяМатематическая культура Майя
Парижский кодекс майяПарижский кодекс майя

39. Математическая культура МайяМатематическая культура Майя

40. Математическая культура МайяМатематическая культура Майя
Из «Сообщения о делах в Юкатане»Из «Сообщения о делах в Юкатане»Диего де ЛандаДиего де Ланда
«Эти люди употребляли также определенные знаки,
которыми они записывали в своих книгах свои древние дела и
свои науки. По ним они узнавали свои дела, сообщали их и
обучали.
Мы нашли у них большое количество книг (написанных)
этими буквами и, так как в них не было ничего, в чем не имелось
бы суеверия и лжи демона, мы их все сожгли; это их
удивительно огорчило и причинило им страдание».
Никаких прямых свидетельств о
математической культуре майя не
сохранилось.
Они варварски уничтожены
испанскими конкистадорами.
Диего де Ланда «Сообщение о
делах в Юкатане»: записан
алфавит майя

41. МатематическаяМатематическая
культура Майякультура Майя
Никаких прямых свидетельств о
математической культуре майя не
сохранилось.
Косвенные свидетельства:
1)астрономические расчеты
превышают по точности
вавилонские,
2)календарные расчеты (доведенные до 2012
г.) превышают точность юлианского календаря.
Вывод – высочайшее развитие математической
культуры!

42. Математическая культураМатематическая культура
МайяМайя
Дешифровка письма майя -Дешифровка письма майя -
неразрешимая проблеманеразрешимая проблема
«То, что создано одним
человеческим умом, не может
не быть разгадано другим»
Юрий
Валентинович
Кнорозов
Российский лингвист и
этнограф, доктор исторических
наук. Государственная премия
СССР (1975).
Дешифровал письменность древних майя.
Основатель российской школы майянистики.

43. Математическая культура МайяМатематическая культура Майя
Из «Сообщения о делах в Юкатане»Из «Сообщения о делах в Юкатане»
«Науки, которым они обучали,
были: счет лет, месяцев и дней,
праздники и церемонии, управ-
ление их святынями, несчаст-
ные дни и времена, их способы
предсказания и их пророчества,
события, лекарства против
болезней, памятники древнос-
ти, умение считать, читать и
писать буквами и знаками, кото-
рыми они писали, и фигурами,
которые объясняли письмена.
Диего де ЛандаДиего де Ланда

44. Нумерация МайяНумерация Майя
Лицевые варианты цифр Майя по сводке КнорозоваЛицевые варианты цифр Майя по сводке Кнорозова
11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010
1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919 2020
У майя были две системы записи чисел:
1) лицевая, применявшаяся в повседневной жизни;
2) Двадцатиричная , позиционная(!), система счисления с нулем (!!!) (за
X веков до Европы). Она употреблялась для календарных расчетов.

45. 00 11 22 33 44 55 66 77 88 99
00
11
22
33
44
Позиционное написание чисел
осуществлялось вертикальным
столбцом и предполагало, что
единицы меньшего порядка
находились снизу, а высшего –
сверху.
16х20 + 5 = 325
Наибольшее записанное число:
1 841 641 600
СС: майяская, двадцатиричная, символическая,
позиционная, с нулем.
Для записи чисел спользовались лишь 3 символа:
точка, черточка и полузакрытый глаз (ракушка) для 0

46. Математическая культура МайяМатематическая культура Майя
Таблица умножения майяТаблица умножения майя Запись чисел майяЗапись чисел майя
4·(18·204
)3
6·(18·203
)
14·(18·202
)
13·(18·20)
15·20
1
12 489 781
325 260 195 130 65
[65x5] [65x4] [65x3] [65x2] [65 x1]
Встречающиеся в рукописях
(Дрезденский кодекс) «таблицы
умножения» лишний раз
подтверждают существование у
майя позиционного написания
чисел. Относительно дробей
никаких сведений до нас не
дошло.

47. Математическая культура МайяМатематическая культура Майя
Числа Нового СветаЧисла Нового Света
На обнаруженной в штате Вераскус
(Мексика) плите с помощью точек и
черточек записаны числа майя.
После реставрации плиты удалось
прочесть, что эти числа означают 77
периодов по 400 «лет», плюс 16периодов по 400 «лет», плюс 16
периодов по 20 «лет», плюс 6 «лет» попериодов по 20 «лет», плюс 6 «лет» по
360 дней каждый, плюс 16 «месяцев» по360 дней каждый, плюс 16 «месяцев» по
20 дней каждый, плюс 18 дней.20 дней каждый, плюс 18 дней.
Все суммарное время (1 841 641 600 дн.)
составляет приблизительно 3127 года
от начала данной системы
летоисчисления. В сопоставлении с
христианским календарем эта дата
соответствует ноябрю 4291 г. до н.э. –4291 г. до н.э. –
это вторая по древности запись даты вэто вторая по древности запись даты в
западном полушарии!западном полушарии!

48. Календарь МайяКалендарь Майя
Запись даты «длинного счета»Запись даты «длинного счета»
А Вводный иероглиф обозначающий дату
В1 9 бактунов (9 х 144 000 дней = 1 296 000 дней) ≈ 400 лет
С1 17 катунов (17 х 7 200 дней = 122 400 дней) ≈ 200 лет
В2 0 тунов (0 х 360 дней = 0 дней)
С2 13 Ахав – на эту дату приходится число, отстоящее от начала эры
майя на полученную общую сумму дней
В3 Иероглиф, приходящийся на последний 9-й день 9-дневной недели
С3 Вводный иероглиф 9-дневной недели
В4 Иероглиф, обозначающий день новолуния
С4 Иероглиф, обозначающий второй месяц в лунном полугодии
В5 Буквально: «Делит отрезок
С5 Его большого пути»
В6 Иероглиф, обозначающий текущий лунный 29-дневный месяц
С6 18 Кумху – месяц, получаемый в результате суммирования всех
дней с начальной даты майя
В результате мы получаем дату, приходившуюся на
новолуние 24 января 771 г. н.э.
Майя проводили точнейшие календарные расчеты: точность их
календаря превышает точность юлианского. Астрономические
расчеты Майя превышают по точности вавилонские.
Стелла из
Киригуа

49. Математическая культура АцтековМатематическая культура Ацтеков
Мексика. Расцвет цивилизацииМексика. Расцвет цивилизации XIIXII в. н.э.в. н.э.

50. Математическая культура АцтековМатематическая культура Ацтеков
пирамида Солнцапирамида Солнца

51. Математическая культура АцтековМатематическая культура Ацтеков
пирамида Луны, храм Кетцалькоатля

52. Математическая культура АцтековМатематическая культура Ацтеков
Пиктографическая рукопись
ацтеков времен завоевания
Мексики.
Под пиктографическими
рисунками испанский
пояснительный текст того
времени.

53. Нумерация АцтековНумерация Ацтеков
СС:СС: Ацтекская, двадцатиричная, символическая, непози-
ционная
11 22 33 44 55 66 77 88 99
единицы
десятки
сотни
тысячи
… … … … … … …
Ацтеки имели солнечный календарь, не уступающий по точности современному

54. Математическая культура ИнковМатематическая культура Инков

55. Математическая культура ИнковМатематическая культура Инков
Инки вели запись чисел при помощи
узелкового счета «квипу» (расчет
податей, хронологические записки,
бухгалтерский учет).
Веревки связывались по четыре
вместе и к ним присоединялась пятая
веревка, на которой с помощью узлов
выражалось число, являющееся суммой
чисел на первых четырех веревках.
Узлы для 1, 10, 100 – различной
формы.
Узловой счет инков
(Нью-Йорк, Американский музей естественной истории)
Для производства
арифметических опе-
раций употреблялись
камешки или зерна
маиса