1. Differentiating Inverse Trig

2. Differentiating Inverse Trig
y  sin 1 x

3. Differentiating Inverse Trig
y  sin 1 x
x  sin y

4. Differentiating Inverse Trig
y  sin 1 x
x  sin y
dx
 cos y
dy

5. Differentiating Inverse Trig
y  sin 1 x
x  sin y
dx
 cos y
dy
dy 1

dx cos y

6. Differentiating Inverse Trig
y  sin 1 x
x  sin y
dx
 cos y
dy
dy 1

dx cos y
1

cos 2 y
1

1  sin 2 y
1

1 x2

7. Differentiating Inverse Trig
y  sin 1 x y  cos 1 x
x  sin y
dx
 cos y
dy
dy 1

dx cos y
1

cos 2 y
1

1  sin 2 y
1

1 x2

8. Differentiating Inverse Trig
y  sin 1 x y  cos 1 x
x  sin y x  cos y
dx
 cos y
dy
dy 1

dx cos y
1

cos 2 y
1

1  sin 2 y
1

1 x2

9. Differentiating Inverse Trig
y  sin 1 x y  cos 1 x
x  sin y x  cos y
dx dx
 cos y   sin y
dy dy
dy 1

dx cos y
1

cos 2 y
1

1  sin 2 y
1

1 x2

10. Differentiating Inverse Trig
y  sin 1 x y  cos 1 x
x  sin y x  cos y
dx dx
 cos y   sin y
dy dy
dy 1 dy 1
 
dx cos y dx sin y
1

cos 2 y
1

1  sin 2 y
1

1 x2

11. Differentiating Inverse Trig
y  sin 1 x y  cos 1 x
x  sin y x  cos y
dx dx
 cos y   sin y
dy dy
dy 1 dy 1
 
dx cos y dx sin y
1 1
 
cos 2 y sin 2 y
1 1
 
1  sin 2 y 1  cos 2 y
1 1
 
1 x2 1 x2

12. Differentiating Inverse Trig
y  sin 1 x y  cos 1 x y  tan 1 x
x  sin y x  cos y
dx dx
 cos y   sin y
dy dy
dy 1 dy 1
 
dx cos y dx sin y
1 1
 
cos 2 y sin 2 y
1 1
 
1  sin 2 y 1  cos 2 y
1 1
 
1 x2 1 x2

13. Differentiating Inverse Trig
y  sin 1 x y  cos 1 x y  tan 1 x
x  sin y x  cos y x  tan y
dx dx
 cos y   sin y
dy dy
dy 1 dy 1
 
dx cos y dx sin y
1 1
 
cos 2 y sin 2 y
1 1
 
1  sin 2 y 1  cos 2 y
1 1
 
1 x2 1 x2

14. Differentiating Inverse Trig
y  sin 1 x y  cos 1 x y  tan 1 x
x  sin y x  cos y x  tan y
dx dx dx
 cos y   sin y  sec 2 y
dy dy dy
dy 1 dy 1
 
dx cos y dx sin y
1 1
 
cos 2 y sin 2 y
1 1
 
1  sin 2 y 1  cos 2 y
1 1
 
1 x2 1 x2

15. Differentiating Inverse Trig
y  sin 1 x y  cos 1 x y  tan 1 x
x  sin y x  cos y x  tan y
dx dx dx
 cos y   sin y  sec 2 y
dy dy dy
dy 1 dy 1 dy 1
  
dx cos y dx sin y dx sec 2 y
1 1
 
cos 2 y sin 2 y
1 1
 
1  sin 2 y 1  cos 2 y
1 1
 
1 x2 1 x2

16. Differentiating Inverse Trig
y  sin 1 x y  cos 1 x y  tan 1 x
x  sin y x  cos y x  tan y
dx dx dx
 cos y   sin y  sec 2 y
dy dy dy
dy 1 dy 1 dy 1
  
dx cos y dx sin y dx sec 2 y
1 1 1
  
cos 2 y sin 2 y 1  tan 2 y
1 1 1
  
1  sin 2 y 1  cos 2 y 1 x2
1 1
 
1 x2 1 x2

17. In general;
x
y  sin 1
a

18. In general;
x
y  sin 1
a
dy 1

dx a2  x2

19. In general;
x x
y  sin1
y  cos 1
a a
dy 1

dx a2  x2

20. In general;
x x
y  sin1
y  cos 1
a a
dy 1 dy 1
 
dx a2  x2 dx a2  x2

21. In general;
x x x
y  sin1
y  cos 1 y  tan 1
a a a
dy 1 dy 1
 
dx a2  x2 dx a2  x2

22. In general;
x x x
y  sin1
y  cos 1 y  tan 1
a a a
dy 1 dy 1 dy a
   2
dx a2  x2 dx a2  x2 dx a  x 2

23. In general;
x x x
y  sin 1
y  cos 1 y  tan 1
a a a
dy 1 dy 1 dy a
   2
dx a2  x2 dx a2  x2 dx a  x 2
y  sin 1 f  x 

24. In general;
x x x
y  sin 1
y  cos 1 y  tan 1
a a a
dy 1 dy 1 dy a
   2
dx a2  x2 dx a2  x2 dx a  x 2
y  sin 1 f  x 
dy f  x 

1   f  x 
2
dx

25. In general;
x x x
y  sin 1
y  cos 1 y  tan 1
a a a
dy 1 dy 1 dy a
   2
dx a2  x2 dx a2  x2 dx a  x 2
y  sin 1 f  x  y  cos 1 f  x 
dy f  x 

1   f  x 
2
dx

26. In general;
x x x
y  sin 1
y  cos 1 y  tan 1
a a a
dy 1 dy 1 dy a
   2
dx a2  x2 dx a2  x2 dx a  x 2
y  sin 1 f  x  y  cos 1 f  x 
dy f  x  dy  f  x 
 
1   f  x  1   f  x 
2
dx 2 dx

27. In general;
x x x
y  sin 1
y  cos 1 y  tan 1
a a a
dy 1 dy 1 dy a
   2
dx a2  x2 dx a2  x2 dx a  x 2
y  sin 1 f  x  y  cos 1 f  x  y  tan 1 f  x 
dy f  x  dy  f  x 
 
1   f  x  1   f  x 
2
dx 2 dx

28. In general;
x x x
y  sin 1
y  cos 1 y  tan 1
a a a
dy 1 dy 1 dy a
   2
dx a2  x2 dx a2  x2 dx a  x 2
y  sin 1 f  x  y  cos 1 f  x  y  tan 1 f  x 
dy f  x  dy  f  x  dy f  x 
  
dx 1   f  x 
2 dx 1   f  x 
2
dx 1   f  x 2

29. In general;
x x x
y  sin 1
y  cos 1 y  tan 1
a a a
dy 1 dy 1 dy a
   2
dx a2  x2 dx a2  x2 dx a  x 2
y  sin 1 f  x  y  cos 1 f  x  y  tan 1 f  x 
dy f  x  dy  f  x  dy f  x 
  
dx 1   f  x 
2 dx 1   f  x 
2
dx 1   f  x 2
e.g. i  y  sin 1 5 x

30. In general;
x x x
y  sin 1
y  cos 1 y  tan 1
a a a
dy 1 dy 1 dy a
   2
dx a2  x2 dx a2  x2 dx a  x 2
y  sin 1 f  x  y  cos 1 f  x  y  tan 1 f  x 
dy f  x  dy  f  x  dy f  x 
  
dx 1   f  x 
2 dx 1   f  x 
2
dx 1   f  x 2
e.g. i  y  sin 1 5 x
dy 5

dx 1  25 x 2

31. In general;
x x x
y  sin 1
y  cos 1 y  tan 1
a a a
dy 1 dy 1 dy a
   2
dx a2  x2 dx a2  x2 dx a  x 2
y  sin 1 f  x  y  cos 1 f  x  y  tan 1 f  x 
dy f  x  dy  f  x  dy f  x 
  
dx 1   f  x 
2 dx 1   f  x 
2
dx 1   f  x 2
e.g. i  y  sin 1 5 x ii  y  cos 1 e x
dy 5

dx 1  25 x 2

32. In general;
x x x
y  sin 1
y  cos 1 y  tan 1
a a a
dy 1 dy 1 dy a
   2
dx a2  x2 dx a2  x2 dx a  x 2
y  sin 1 f  x  y  cos 1 f  x  y  tan 1 f  x 
dy f  x  dy  f  x  dy f  x 
  
dx 1   f  x 
2 dx 1   f  x 
2
dx 1   f  x 2
e.g. i  y  sin 1 5 x ii  y  cos 1 e x
dy 5 dy  ex
 
dx 1  25 x 2 dx 1 e 2 x

33.  x
iii  y  sin  
1
3

34.  x
iii  y  sin  
1
3
dy 1

dx 9  x2

35.  x
iii  y  sin   y  sin 1  
1 x
OR  
3 3
dy 1

dx 9  x2

36.  x
iii  y  sin   y  sin 1  
1 x
OR  
3 3
dy 1 1
 dy
dx 9  x2  3 2
dx x
1
9

37.  x
iii  y  sin   y  sin 1  
1 x
OR  
3 3
dy 1 1
 dy
dx 9  x2  3 2
dx x
1
9
1
 3
1
9  x2
3
1

9  x2

38.  x
iii  y  sin   y  sin 1  
1 x
OR  
3 3
dy 1 1
 dy
dx 9  x2  3 2
dx x
1
9
1
 3
1
9  x2
3
1

iv  y  e cos 1 x
9  x2

39.  x
iii  y  sin   y  sin 1  
1 x
OR  
3 3
dy 1 1
 dy
dx 9  x2  3 2
dx x
1
9
1
 3
1
9  x2
3
1

iv  y  e cos 1 x
9  x2
dy  1 cos 1 x
 e
dx 1 x 2

40.  x
iii  y  sin   y  sin 1  
1 x
OR  
3 3
dy 1 1
 dy
dx 9  x2  3 2
dx x
1
9
1
 3
1
9  x2
3
1

iv  y  e cos 1 x
9  x2
dy  1 cos 1 x
 e
dx 1 x 2
cos 1 x
e

1 x2

41. v  y  tan x 
1 3

42. v  y  tan x 
1 3
 3tan x  
dy 1 2 1
dx 1 x2

43. v  y  tan x 
1 3
 3tan x  
dy 1 2 1
dx 1 x2
3tan x 
1 2

1 x2

44. v  y  tan x 
1 3
 3tan x  
dy 1 2 1
dx 1 x2
3tan x 
1 2

1 x2
vi  y  x 2 tan 1 x 3

45. v  y  tan x 
1 3
 3tan x  
dy 1 2 1
dx 1 x2
3tan x 
1 2

1 x2
vi  y  x 2 tan 1 x 3
2  3x 
 x    tan 1 x 3 2 x 
2
dy
dx  1  x6 

46. v  y  tan x 
1 3
 3tan x  
dy 1 2 1
dx 1 x2
3tan x 
1 2

1 x2
vi  y  x 2 tan 1 x 3
2  3x 
 x    tan 1 x 3 2 x 
2
dy
dx  1  x6 
3x 4
  2 x tan 1 x 3
1  x6

47. v  y  tan x 
1 3
 3tan x  
dy 1 2 1
dx 1 x2
3tan x 
1 2

1 x2
vi  y  x 2 tan 1 x 3 Exercise 1D; 2ace etc, 3bd,
4a, 5, 6a, 9ace etc, 11, 13,
2  3x 
 x    tan 1 x 3 2 x 
2
dy
14, 20a*
dx  1  x6 
3x 4
  2 x tan 1 x 3
1  x6