129554733 modul-mte3104-matematik-keputusan (1)

(Matematik Pendidikan Rendah)
Tahun 1 Semester 2
MTE 3104
MATEMATIK KEPUTUSAN
Disediakan Oleh
FARM CHOON MOY
Institut Pendidikan Guru Kampus Raja Melewar
&
Dr HU LAEY NEE
Institut Pendidikan Guru Kampus Sarawak
Januari 2012

MTE3104: Matematik Keputusan
Cik Farm CM, Dr Hu LN, IPGM i
Kandungan
Topik Muka Surat
1 PENGENALAN MATEMATIK KEPUTUSAN 1-1
1.0 Pengenalan 1-1
1.1 Definisi Matematik Keputusan 1-2
1.2 Alat-Alat Dalam Matematik Keputusan :
Analisis Keputusan Berisiko 1-3
2 JENIS-JENIS CARIAN 2-1
2.1 Pengenalan Kepada Carian (Searching) 2-1
2.2 Algoritma Carian Linear 2-1
2.3 Algoritma Carian Indeks Berurutan 2-3
2.4 Algoritma Carian Binari 2-3
3 PENGATURCARAAN LINEAR 3-1
3.1 Pentaksiran masalah dan pembentukan
ketaksamaan atau persamaan yang berkenaan 3-1
3.2 Masalah pengurusan yang ringkas dalam
pengaturcaraan linear 3-4
3.2.1 Model Matematik yang menggunakan
pembolehubah xi 3-4
3.2.2 Menggeneralisasikan Masalah
Pengaturcaraan linear 3-5
3.2.3 Penentuan nilai optimum ax + by (ax1 + bx2)
dengan kaedah graf 3-5
3.3 Jenis-Jenis Masalah Pengaturcaraan Linear 3-16
3.3.1 Penyelesaian Tak Terhingga / Penyelesaian
Infinit 3-16
3.3.2 Rantau Tersaur adalah Sifar 3-16
3.3.3 Rantau Tersaur adalah Tak Terbatas 3-17
3.3.4 Degenerasi / Degenerat / Kemerosotan 3-18

Cik Farm CM, Dr Hu LN, IPGM ii
3.4 Pengaturcaraan Linear Dengan Kaedah Simpleks 3-20
3.4.1 Bentuk Piawai 3-20
3.4.1.1 Bentuk piawai untuk masalah
pemaksimuman
z = A1x1 + A2x2 +... + Anxn subjek
kepada a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ d 3-20
3.4.1.2 Bentuk piawai untuk masalah
pemaksimuman
z = A1x1 + A2x2 +... + Anxn yang
berkekangan a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≥ d 3-22
3.4.2 Terminologi Dan Tatatanda 3-24
3.4.3 Huraian Kaedah Simpleks Secara Geometri 3-24
3.4.4 Algoritma Kaedah Simpleks 3-26
3.4.5 Rumusan Kaedah Simpleks 3-30
3.4.6 Penyelesaian masalah pengaturcaraan linear
dengan MS Excel 3-30
3.4.6.1 MS Excel 2003 dan versi yang lebih
rendah 3-30
3.4.6.2 MS Excel 2007 dan versi yang lebih
tinggi 3-31
3.4.6.3 Penyediaan lembaran kerja (worksheet)
untuk Solver 3-31
3.4.5.4 Penggunaan Solver 3-32
4 GRAF 4-1
4.1 Definisi 4-1
5 RANGKAIAN 5-1
5.1 Pengenalan 5-1
5.2 Algoritma Kruskal 5-2
5.3 Algoritma Prim 5-3
5.4 Penggunaan Algoritma Prim ke atas jadual atau
matriks 5-4

Cik Farm CM, Dr Hu LN, IPGM iii
5.5 Algoritma Dijkstra 5-14
6 ANALISIS LALUAN KRITIKAL 6-1
6.1 Pengenalan 6-1
6.2 Definisi elemen-elemen yang digunakan dalam
diagram rangkaian 6-1
6.3 Peraturan semasa melukis diagram rangkaian 6-2
6.4 Algoritma untuk membina diagram rangkaian 6-4
6.5 Teknik menomborkan peristiwa Ford-Fulkerson 6-5
6.6 Terminologi 6-7
6.7 Kelebihan menggunakan teknik menomborkan
peristiwa Ford-Fulkerson 6-7
6.8 Kelemahan menggunakan teknik menomborkan
peristiwa Ford-Fulkerson 6-7
6.9 Kelebihan / kebaikan analisis laluan kritikal 6-7
6.10 Kelemahan / keburukan analisis laluan kritikal 6-7
6.11 Operasi diagram rangkaian 6-15
6.12 Laluan Ke Depan 6-15
6.13 Laluan ke belakang 6-15
6.14 Pengiraan masa apungan/ lebihan/ lapangan
( float/ slack) 6-16
6.15 Pengiraan Laluan Kritikal 6-17
6.16 Pengurusan resos 6-24
6.17 Pengimbangan/ penambahbaikan resos 6-28
7 ALGORITMA 7-1
7.1 Pengenalan dan definisi algoritma 7-1

Cik Farm CM, Dr Hu LN, IPGM iv
8 ALGORITMA HEURISTIK 8-1
8.1 Algoritma Heuristik untuk bin-packing 8-1
8.2 Algoritma First-fit 8-1
8.3 Algoritma menurun First-fit (First-fit decreasing) 8-1
8.4 Algoritma full-bin 8-1
8.5 Aplikasi algoritma heuristik 8-2
9 KAEDAH MENGISIH (SORTING) 9-1
9.1 Pengenalan 9-1
9.2 Isihan Pilihan secara tukar ganti 9-1
9.3 Isihan Buih (Bubble sort) 9-2
9.4 Isihan Shuttle (shuttle sort) 9-3
9.5 Isihan Cepat/ pantas (Quick sort) 9-3
Rujukan

Cik Farm CM, Dr. Hu LN, IPGM 1-1
Pengenalan Matematik Keputusan (1 jam)
1.0 PENGENALAN
Cara terbaik untuk memulakan kursus dalam matematik keputusan adalah
mengkaji pelbagai masalah yang anda dapat menyelesaikan.
• Bagaimana anda mencari laluan terpendek antara dua tempat?
• Bagaimanakah anda membentuk laluan keselamatan di sebuah bangunan?
• Bagaimana anda merancang suatu kerja, dalam penggunaan masa yang paling
berkesan?
• Bagaimana anda memadankan kemahiran-kemahiran pekerja untuk kerja-kerja
yang perlu dilakukan dengan baik?
• Bagaimana pengilang boleh memaksimumkan keuntungan?
Dalam 40 tahun yang lalu, pembangunan kaedah-kaedah untuk menyelesaikan
masalah-masalah kompleks di atas telah diiringi dengan kemajuan teknologi komputer.
Pembangunan kaedah-kaedah ini membolehkan kita untuk menjana penyelesaian sebenar.
Ini sebenarnya bukanlah satu bidang baru dalam matematik tetapi disebabkan
perkembangan pesat dalam pembangunan kaedah-kaedah untuk membuat keputusan
dalam penyelesaian masalah hanya berlaku dalam beberapa tahun kebelakangan ini. Pada
1666, ahli matematik Jerman, Gottfried Leibniz menerbitkan The Art of Combinatorics -
apa yang beliau namakan sebagai kajian penempatan, penyusunaturan dan pemilihan
objek-objek.
Kita mempertimbangkan semua masalah membuat keputusan berdasarkan empat tajuk.
Kewujudan: Adakah penyelesaian wujud terhadap masalah ini?
Pembinaan: Jika penyelesaian tidak wujud, bagaimana anda boleh membina
suatu kaedah untuk mencari penyelesaian?
Pengangkaan: Berapa banyak penyelesaian yang ada? Bolehkah anda senaraikan
semua?
Pengoptimuman: Jika terdapat beberapa penyelesaian, mana yang terbaik?
Bagaimana anda tahu bahawa ini adalah penyelesaian yang terbaik?
Matematik diskret, juga dikenali sebagai matematik terhingga atau Matematik
Keputusan, merupakan kajian struktur matematik yang asasnya diskret, dalam erti kata
tidak menyokong atau memerlukan tanggapan keselanjaran. Kebanyakan, jika bukan
semua, objek pembelajaran dalam matematik terhingga merupakan set boleh bilang,
seperti integer, graf terhingga, dan bahasa formal.
Matematik diskret telah menjadi popular di dekad kebelakangan ini kerana
penggunaannya dalam sains komputer. Konsep dan tatatanda dari matematik diskret
adalah berguna dipelajari atau menggambarkan objek atau masalah dalam algoritma
komputer dan bahasa pengaturcaraan. Dalam kurikulum matematik tertentu, kursus
matematik terhingga meliputi konsep matematik diskret untuk perniagaan, sedangkan
kursus matematik diskret menekankan konsep-konsep untuk jurusan sains komputer.
The best way to start a course in decision mathematics is to look at the sorts of problems that you
will be able to solve.
• How do you find the shortest route between two places?
• How would you design the fire exit routes in a building?
• How would you plan a job, to make the most efficient use of your time?
• How can you best match the skills-of workers to jobs that need to be done?

• How can a manufacturer maximize profits?
In the past 40 years, the development of methods for solving complex problems like those listed
above has been accompanied by advances in computer technology that have allowed us to
generate real solutions. Although recent years have seen rapid progress in the development of
techniques for solving decision-making problems, this is not a new branch of mathematics. In 1666,
the German mathematician Gottfried Leibniz published The Art of Combinatorics - what he called
the study of placing, ordering and choosing objects.
We consider all decision-making problems under four headings.
Existence: Does a solution to the problem exist?
Construction: If a solution does exist, how can you construct a method to find the solution?
Enumeration: How many solutions are there? Can you list them all?
Optimisation : If there are several solutions, which is the best one? How do you know that this is
the best solution?
Discrete mathematics, also called finite mathematics or Decision Mathematics, is the study of
mathematical structures that are fundamentally discrete, in the sense of not supporting or
requiring the notion of continuity. Most, if not all, of the objects studied in finite mathematics are
countable sets, such as integers, finite graph, and formal languages.
Discrete mathematics has become popular in recent decades because of its applications to
computer science. Concepts and notations from discrete mathematics are useful to study or
describe objects or problems in computer algorithms and Programming languages. In some
mathematics curricula, finite mathematics courses cover discrete mathematical concepts for
business, while discrete mathematics courses emphasize concepts for computer science majors.
1.1 Definisi Matematik Keputusan
Apa itu Matematik Keputusan? (What Is Decision Mathematics?)
• Satu cabang Matematik yang cuba untuk menyelesaikan masalah sebenar.
• Terlibat dengan perniagaan, komputer, elektronik, dan sebagainya.
• Peraturan-peraturan tetap, intuisi (kebolehan membuat pertimbangan secara sedar),
tradisi, dan analisis kewangan mudah yang sering digunakan tidak mencukupi atau
tidak sesuai lagi untuk membuat keputusan
• Secara amnya, kuasa-kuasa persaingan merupakan desakan untuk membuat
keputusan yang lebih berkesan di semua peringkat dalam organisasi.
• Biasanya dari satu set masalah praktikal, algoritma diperoleh untuk menyelesaikan
semua masalah yang serupa jenis.
• Suatu algoritma ialah satu set arahan yang tepat untuk mencari penyelesaian
kepada masalah asal
• Hari ini, algoritma boleh diprogramkan ke dalam komputer untuk menyelesaikan
masalah membuat keputusan secara besar-besaran.
• A branch of Mathematics that attempts to solve real-life problems
• Involved with business, computing, electronics, etc
• Rules of thumb, intuition, tradition, and simple financial analysis are often no longer
sufficient for decisions making
• In general, the forces of competition are imposing a need for more effective decision
making at all levels in organizations.
• Usually from a set of practical problems, algorithms are derived to solve all problems of
the same type.
• An algorithm is a precise set of instructions to find a solution to the original problem

• Today, algorithms could be programmed into a computer to solve very large scale
decision-making problems.]
Contoh-contoh situasi yang memerlukan Matematik Keputusan:
• Menghantarkan surat khabar di dalam suatu kawasan perumahan
• Mengurangkan kesesakan di pusat bandar raya dengan membentuk rangkaian
jalan yang sehala
• Mencari pasangan yang sesuai supaya hidup bahagia selama-lamanya
• Mencari laluan terpendek antara 2 kota
• Mendapatkan keuntungan maksimum perniagaan
• Mampatkan data untuk penyimpanan tambahan pada cakera liut
• Melindungi alam sekitar dengan mengurangkan bahan buangan
• Pembungkusan bagasi dengan cara yang cekap.
[Examples of situations that needs Decision Mathematics:
• Delivering newspapers on a housing estate
• Relieving congestion in a city centre by designing a one-way street network
• Finding a suitable partner and living happily ever after
• Finding the shortest route between 2 cities
• Obtaining the maximum profit for a business
• Compressing data for extra storage on a floppy disk
• Protecting the environment by minimizing waste
• Packing luggage in an efficient way.]
1.2 Alat-Alat Dalam Matematik Keputusan : Analisis Keputusan Berisiko
(Tools for Decision Analysis: Analysis of Risky Decisions)
Jika anda mula dengan kepastian, anda akan berakhir dengan keraguan, tetapi jika anda
mula dengan keraguan, anda akan berakhir dengan kepastian yang hampir keseluruhan.
If you will begin with certainties, you shall end in doubts, but if you will content
to begin with doubts, you shall end in almost certainties.
-- Francis Bacon
Membuat keputusan merupakan tugas yang sangat penting bagi seseorang pengurus dan
biasanya adalah sangat sukar. Bidang ini menawarkan prosedur membuat keputusan untuk
menyelesaikan masalah yang rumit. Proses analisis keputusan kini wujud di dalam kedua-
dua jenis keputusan yang dibuat sama ada untuk orang ramai atau persendirian. Proses ini
menggunakan kriteria yang berbeza, informasi yang berlainan, dan informasi yang
berlainan kualiti. Ia menjelaskan elemen, tujuan dan objektif dalam sesuatu analisis
membuat keputusan yang terpilih. Isu-isu penting bagi seseorang pembuat keputusan ialah
berkaitan dengan keinginannya, kebiasaannya, kriteria-kriteria membuat pilihan, dan
bersama dengan alat penilaian berisiko.
Making decisions is certainly the most important task of a manager and it is often a very
difficult one. This site offers a decision making procedure for solving complex problems
step by step.It presents the decision-analysis process for both public and private decision-
making, using different decision criteria, different types of information, and information of
varying quality. It describes the elements in the analysis of decision alternatives and
choices, as well as the goals and objectives that guide decision-making. The key issues
related to a decision-maker's preferences regarding alternatives, criteria for choice, and
choice modes, together with the risk assessment tools are also presented.
Professor Hossein Arsham

Emosi dan Keputusan Berisiko
• Ramai pembuat keputusan bergantung kepada emosi sewaktu membuat keputusan
berisiko
• Ramai orang takut dengan akibat yang mungkin tidak diingini
• Walaupun emosi adalah subjektif dan tidak rasional, ia sepatutnya menjadi
sebahagian daripada proses membuat keputusan
• Emosi boleh menjadi panduan normatif semasa membuat pertimbangan mengenai
risiko yang boleh diterima dari segi moral.
• Kebanyakan orang sering membuat pilihan daripada tabiat atau tradisi, tanpa
melalui langkah-langkah sistematik membuat keputusan.
• Keputusan yang dibuat di bawah tekanan atau kekangan masa mengganggu
pertimbangan yang teliti daripada pilihan dan akibat.
• Keputusan boleh dipengaruhi oleh keadaan emosi seseorang pada masa keputusan
dibuat.
• Apabila manusia kekurangan maklumat atau kemahiran yang mencukupi, mereka
mungkin boleh membuat keputusan kurang optimum.
• Walaupun manusia mempunyai masa dan maklumat, mereka sering melakukan
kerja yang kurang cekap terhadap kebarangkalian dan kesan-kesan.
• Walaupun mereka tahu statistik, mereka lebih cenderung bergantung kepada
pengalaman peribadi daripada maklumat kebarangkalian.
• Pertimbangan asas semasa membuat keputusan ialah menggabungkan maklumat
kebarangkalian serta maklumat kehendak dan minat.
Emotions and Risky Decision
• Most decision makers rely on emotions in making judgments concerning risky decisions
• Many people are afraid of the possible unwanted consequences
• Even though emotions are subjective and irrational, they should be a part of the decision
making process
• Emotions can be a normative guide in making judgments about morally acceptable risks.
• Most people often make choices out of habit or tradition, without going through the
decision-making process steps systematically.
• Decisions made under pressure or time constraints interfere with a careful consideration
of the options and consequences.
• Decisions may be influenced by one's emotional state at the time a decision is made.
• When people lack adequate information or skills, they may make less than optimal
decisions.
• Even when people have time and information, they often do a poor job of understanding
theprobabilities of consequences.
• Even when they know the statistics; they are more likely to rely on personal experience
thaninformation about probabilities.
• The fundamental concerns of decision making are combining information about
probability with information about desires and interests

Teori Keputusan
Rajah 1.1 Carta alir teori keputusan
Proses Membuat Keputusan (The Decision-Making Process)
• Dalam proses membuat keputusan di bawah keadaan ketidaktentuan,
pembolehubah sering lebih banyak dan lebih sukar untuk diukur dan dikawal
• Langkah-langkah adalah seperti berikut:
• Permudahkan
• Membina model keputusan
• Menguji model
• Menggunakan model untuk mencari penyelesaian
• Ia boleh digunakan berkali-kali untuk masalah yang serupa atau boleh
diubahsuaikan
.
• In decision making process under uncertainty the variables are often more numerous and
more difficult to measure and control
• The steps are:
• Simplification
• Building a decision model
• Testing the model
• Using the model to find the solution
• It can be used again and again for Similar problems or can be modified.
Model Membuat Keputusan (Decision making model)
• Ia merupakan gambaran ringkasan keadaan sebenar
• Ia tidak perlu lengkap atau tepat dalam semua aspek
Mengenal pasti situasi membuat keputusan dan memahami objektif
Mengenal pasti pilihan-pilihan yang mungkin
Mengurai dan membentuk masalah
Pilih alternatif terbaik
Analisis Kepekaan
Melaksanakan alternatif yang terpilih
Ya
Tidak
Perlu analisis
lanjutan?

• Ia menumpukan kepada hubungan yang paling penting dan mengabaikan yang
kurang penting.
• Ia adalah lebih mudah difahami dari keadaan empirik dan, seterusnya masalah
akan lebih mudah diselesaikan dengan masa dan usaha yang minimum.
• It is a simplified representation of the actual situation
• It need not be complete or exact in all respects
• It concentrates on the most essential relationships and ignores the less essential ones.
• It is more easily understood than the empirical situation and, hence, permits the problem
to be more readily solved with minimum time and effort.
Contoh Aplikasi Membuat Keputusan Dalam Perniagaan Dengan Penggunaan
Komputer (Examples of computer business applications in decision making)
• Seseorang juruaudit boleh menggunakan teknik persampelan rawak untuk
mengaudit akaun yang diterima dari pelanggan.
• Pengurus kilang boleh menggunakan teknik kawalan kualiti statistik untuk
memastikan kualiti pengeluaran dengan ujian atau pemeriksaan yang minimum.
• Seorang penganalisis kewangan boleh menggunakan regresi dan korelasi untuk
membantu memahami hubungan suatu nisbah kewangan kepada satu set
pembolehubah lain dalam perniagaan.
• Seorang penyelidik pasaran boleh menggunakan ujian signifikan untuk menerima
atau menolak hipotesis tentang sekumpulan pembeli di firma mana berhasrat
menjual suatu produk tertentu.
• Seorang pengurus jualan boleh menggunakan teknik statistik untuk unjuran jualan
bagi tahun yang akan datang.
• An auditor can use random sampling techniques to audit the account receivable for client.
• A plant manager can use statistic quality control techniques to assure the quality of his
production with a minimum of testing or inspection.
• A financial analyst may use regression and correlation to help understand the relationship
of afinancial ratio to a set of other variables in business.
• A market researcher may use test of significant to accept or reject the hypotheses about a
group of buyers to which the firm wishes to sell a particular product.
• A sale manager may use statistical techniques to forecast sales for the coming year.

Cik Farm CM, Dr Hu LN, IPGM 2-1
2.0 JENIS-JENIS CARIAN
(Kuliah 2 jam + Tutorial 2 jam)
2.1 Pengenalan Kepada Carian(Searching)
Mencari senarai bagi item tertentu adalah tugas yang umum. Dalam aplikasi yang
sebenar, senarai item yang kerap digunakan adalah rekod (contohnya rekod pelajar), dan
senarai pelaksanaan sebagai tata susunan objek. Matlamatnya adalah untuk mencari rekod
tertentu, dikenalpastikan dengan nama atau nombor ID seperti nombor pelajar. Mencari
senarai elemen sepadan untuk mencapai maklumat sasaran dalam rekod (misalnya alamat
pelajar). Perbincangan algoritma carian berikut menggunakan model masalah carian yang
mudah - senarai hanya merupakan tata susunan integer-integer. Teknik-teknik carian
dengan nyatnya boleh digeneralisasikan kepada data yang lebih realistik.
Konsep kecekapan (atau kerumitan/kompleks) adalah penting apabila membandingkan
algoritma. Untuk tugasan dan senarai yang panjang, seperti carian adalah perlu berulang-
ulang, maka pilihan algoritma alternatif menjadi penting kerana mereka mungkin berbeza
dari pelbagai tahap kecekapan. Untuk menggambarkan konsep kecekapan algoritma (atau
kerumitan), dua algoritma umum dipertimbangkan untuk senarai mencari: carian linear
dan carian binari.
Searching a list for a particular item is a common task. In real applications, the list items often are
records (e.g. student records), and the list is implemented as an array of objects. The goal is to
find a particular record, identified by name or an ID number such as a student number. Finding
the matching list element provides access to target information in the record - the student's
address, for example. The following discussion of search algorithms adopts a simpler model of the
search problem - the lists are just arrays of integers. Clearly, the search techniques could
generalize to more realistic data.
The concept of efficiency (or complexity) is important when comparing algorithms. For long lists
and tasks, like searching, that are repeated frequently, the choice among alternative algorithms
becomes important because they may differ in efficiency. To illustrate the concept of algorithm
efficiency (or complexity), we consider two common algorithms for searching lists: linear search
and binary search.
Jenis-jenis Carian
1. Algoritma carian linear
2. Algoritma carian indeks berurutan (Indexed sequential search algorithm)
3. Algorithma carian binari
2.2 Algoritma Carian Linear
Cara yang paling mudah mencari sesuatu adalah bermula dari awal, dan terus
mencari sehingga anda mendapat! Ini merupakan carian linear.
The very simplest way of searching for something is to start at the beginning, and keep
looking until you find it! This is a linear search.
Ini merupakan algoritma carian termudah, anda menyemak setiap item data untuk
melihat jika ia memenuhi kriteria anda. Tidak terdapat sekatan ke atas data; ia akan
bekerja walaupun data tidak tersusun. Bagaimanapun, ianya paling tidak cekap. Jika item

yang anda cari tidak ada, anda masih perlu memeriksa setiap item data. Bayangkan,
mencari nama seseorang dengan mencari melalui direktori telefon jika diberikan nombor
telefon mereka!
Ia biasanya lebih bermakna jika menyusun data dalam suatu cara yang sesuai
mengikut kehendak anda. Selalunya. Set data yang sama boleh disusun dengan cara yang
berbeza untuk memudahkan pelbagai jenis permintaan carian. Sebagai contoh, katalog
perpustakaan adalah disusun mengikut pengarang dan judul buku. Jika data disusun,
terdapat dua algoritma yang kita boleh pertimbangkan untuk guna.
This is the simplest of the search algorithms, in which you check each item of data
in turn to see if it satisfies your criterion. There are no restrictions on the data; it will
work even if the data are not ordered. It is, however, most inefficient. If the item for which
you are looking is not there, you will still have checked every item of data. Imagine trying
to find the name of a person, given their telephone number, by searching the telephone
directory!
It is usually worth ordering the data in a way that suits your requirements. Often
the same set of data will be ordered in different ways to facilitate different types of search
request. For example, a library catalogue is ordered both according to author and
according to book title. If the data are ordered there are two algorithms that we can
consider using.
Contoh 2.1:
10 7 1 3 -4 2 20
Rajah 2.1: Tata susunan (array) yang dicari
Berapa perbandingan yang anda perlu buat untuk mencari nombor 3?
Penyelesaian 2.1:
10 7 1 3 -4 2 20
Bukan 3
10 7 1 3 -4 2 20
Bukan 3
10 7 1 3 -4 2 20
Bukan 3
10 7 1 3 -4 2 20
Ya
→ Empat perbandingan
Contoh 2.2:
Hazel ingin pergi berjumpa dengan kawan barunya Joanne yang tinggal di ‘The Beeches”,
Autumn Drive. Bagaimana dia mencari rumah itu dengan menggunakan carian linear?
Penyelesaian 2.2:
Dia berjalan sepanjang Autumn Drive dari awal, semak setiap nama rumah dalam urutan
sehingga dia jumpa ”The Beeches”. Maka dia berhenti.

2.3 Algoritma Carian Indeks Berurutan (Indexed Sequential Search Algorithm)
Carian indeks, sebagaimana nama dicadangkan, menggunakan indeks untuk
mempercepatkan carian. Manakala ianya mungkin merupakan carian indeks sepenuhnya
(iaitu, setiap item dirujuk dalam indeks secara individu), ianya lebih lazim menggunakan
satu atau lebih peringkat indeks, diikuti oleh carian linear.
Data terlebih dahulu disusun dan kemudian disubbahagikan. Satu senarai tambahan
atau indeks yang mengandungi item pertama atau item terakhir dalam setiap subbahagian
diwujudkan. Seperti kaedah yang digunakan dalam sebuah kamus di mana indeks
ditempatkan di sudut sebelah kanan atas halaman. Untuk mencari perkataan yang diberi,
anda membuka halaman secara berurutan, lihat indeks untuk mengesan halaman perkataan
itu ada. Kemudian anda laksanakan carian linear pada halaman terpilih.
Anda perlu membuat sub-senarai untuk satu set data yang disimpan pada sistem
komputer. Sebagai contoh, jika anda mempunyai senarai kod telefon kawasan untuk
Malaysia yang disusun nama bandar, sub-senarai boleh mengandungi kedudukan bandar
pertama yang namanya bermula dengan A, B, C, ... , dan sebagainya. Oleh itu untuk
mencari Kuala Lumpur, sub-senarai pertama dalam carian adalah mencari K. Ini akan
memberi kedudukan dari mana untuk memulakan carian linear data utama.
An indexed search, as name suggests, uses an index to speed up the search. Whilst it is
possible for a search to be fully indexed (that is, every item is individually referenced in the index),
it is more common to use one or more levels of index, followed by a linear search.
The data are first ordered and then subdivided. An extra list or index is then created
containing the first or last item in each subdivision. Such a method is used in a dictionary where
the index is positioned at the top right-hand corner of the page. To find a given word, you first leaf
through the pages, looking at the index, to locate the page that the word is on. Then you carry out
a linear search on the selected page.
For a set of data held on a computer system you would need to create a sub-list. For
example if you had a list of the telephone area codes for the UK ordered by town name, the sub-list
could contain the position of the first town whose name began with A, B, C, ... , etc. Thus to find
York, the sub-list would first be searched to find Y. This would give the position from which to start
the linear search of the main data.
Contoh 2.3:
Darren tidak dapat ingat bagaimana mengeja perkataan isomorphic. Kamusnya
mempunyai tab halaman bagi setiap abjad, dan perkataan pertama pada setiap muka surat
dicetak tebal pada hujung atas halaman berkenaan. Bagaimana dia mencari perkataan itu?
Penyelesaian 2.3:
Dia lihat ke bawah tab halaman sehingga jumpa abjad I. Dia buka kamus itu pada
halaman ini, kemudian lihat satu halaman berikutnya dan seterusnya sehingga dia
jumpa perkataan mula dengan IS. Kemudian, dia mencari secara linear dalam
halaman berkenaan sehingga jumpa perkataan isomorphic.
Catatan: Carian indeks ini menggunakan dua peringkat indeks dan diikuti oleh carian
linear.
2.4 Algoritma Carian Binari
Jika item yang kita cari berada dalam tata susunan rawak, kami tidak mempunyai banyak
pilihan selain daripada melakukan carian linear. Bagaimanapun, jika ianya berada dalam

tata susunan, kita boleh mengurangkan bilangan item yang mesti diperiksa. Salah satu
kaedah yang paling umum ialah Carian Binari (dua pilihan sahaja) yang sentiasa
menyingkirkan separuh data perbandingan.
If the items we are searching through are in random order, we do not have much choice
other than to make a linear search. However, if they are ordered, we can considerably reduce the
number of items we must check. One of the most common methods is the Binary Search. This
works by continually halving the possibilities
.Note: - decisions with 2 choices
- eliminate half of the data
Mula-mula data disusun dalam tertib menaik. Kemudian lakukan langkah-langkah berikut:
Langkah 1 Lihat item tengah.
Jika item ini dikehendaki, maka carian itu selesai.
Jika tidak, item itu sama ada di separuh atas (sebelum) atau bawah (selepas):
membuat keputusan separuh perbandingan mana dengan item tengah.
Langkah 2 Gunakan langkah 1 untuk memilih separuh.
Pada setiap peringkat bilangan item yang dicari adalah separuh.
The data are first sorted into ascending order. The following steps are then carried out:
Step 1 Look at the middle item.
If this is the required item the search is finished.
If not, the item is in either the top or bottom half: decide which half comparison with the
middle item.
Step 2 Apply step 1 to the chosen half.
At each stage the number of items to be searched is halved, hence the name the algorithm.
Contoh 2.4: Cari huruf “S” dalam perkataan “H E R T F O R D S H I R E”.
Penyelesaian 2.4:
H E R T F O R D S H I R E
Nomborkan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
separuhkan 7
2
131
=
+
, 10
2
137
=
+
, 5.8
2
107
=
+
Contoh 2.5:
Henry memikirkan satu nombor di antara 1 dan 100. Paul ingin meneka apa nombor itu.
Bagaimana dia harus meneka?
Penyelesaian 2.5:
Bil Tekaan Paul Respon Henry
1 50 Terlalu besar
2 25 Terlalu kecil
3 37 Terlalu kecil
4 44 Terlalu besar
5 40 Terlalu kecil
6 42 Terlalu besar
7 41 Betul
- menentukan apa yang perlu dicari
- nomborkan data anda
- mencari titik tengah (nombor bulat terdekat)
- mencari data dan menyingkirkan separuh data
- ulang sehingga mendapat keputusan

Latihan Algoritma Carian:
1. Tentukan carian mana yang digunakan untuk yang berikut:
a) mencari 'lexico-graphical' dalam kamus Bahasa Inggeris.
b) mencari 'algorithms' dari laman web.
c) mencari sebuah buku dalam perpustakaan.
2. Jody sedang mencari sebuah buku yang berkaitan dengan “English Civil War”.
Apakah strategi yang sesuai digunakan?
3. Karen hendak membeli sebuah basikal. Dia tahu terdapat sebuah kedai basikal di
Jalan Yam Tuan dan boleh sampai ke sana dengan bas, tetapi bas hanya berhenti di
hujung Jalan Yam Tuan. Bagaimanakah dia dapat mencari kedai berkenaan dengan
menggunakan carian linear?
4. Anda sedang main permainan “hangman” di mana anda perlu meneka huruf
mengikut turutan. Setiap kali anda salah teka, anda akan dimaklumkan bahawa
huruf itu adalah sebelum atau selepas huruf yang diteka. Apakah strategi yang
sesuai digunakan?
1. Decide which search:
a) To find 'lexico-graphical' in a dictionary.
b) To find 'algorithms' from the internet.
c) To find a book in library.
2. Jody is looking in the library for a book about the English Civil War. What would
be a sensible strategy?
3. Karen wants to buy a bicycle. She knows there is a bicycle shop on the High Street,
and can catch a bus that will drop her at the end of the High Street. How does she
find the shop, using a linear search?
4. You are playing a version of hangman, in which you guess each letter of the word
in turn. Each time you guess, if you are wrong you are told whether the correct
letter is earlier or later in the alphabet than your guess. What would be a sensible
strategy?
Jawapan Latihan algoritma carian:
1. (a) Carian indeks berurutan
(b) Carian linear
(c) Carian indeks berurutan
2. Mula di seksyen Sejarah
Mencari seksyen sejarah British
Mencari perang saudara
3. Naik bas sehingga hujung jalan
Berjalan sepanjang jalan itu, semak setiap kedai mengikut turutan
4. Mula dengan M atau N
Jika diberitahu di sebelum, teka F; Jika selepas, teka U.
i.e.: sentiasa separuhkan abjab-abjab yang tinggal.

Tutorial 1.1 (2 jam)
Buat aktiviti-aktiviti Dalam Decision Math D1.
(i) Aktiviti 1.3, 1.4 dan 1.5 (page 22-23)

(ii) Latihan 1E (page 28-39)
Soalan 8, 15 dan 17.

Jawapan 1E

3.0 Pengaturcaraan Linear ( Linear Programming) - 10 jam
Pengaturcaraan linear merupakan pendekatan penyelesaian masalah yang telah
dibentuk untuk membantu pengurus-pengurus membuat keputusan. Di dalam terminologi
pengaturcaraan linear, memaksimumkan dan meminimumkan kuantiti adalah dirujukkan
sebagai objektif kepada masalah. Oleh itu objektif bagi semua masalah pengaturcaraan linear
adalah memaksimumkan atau meminimumkan beberapa kuantiti. Terdapat batasan atau
syarat atau kekangan yang mengehadkan pencapaian objektif. Biasanya, masalah yang
dihadapi oleh seseorang pengurus syarikat atau pemimpin pertubuhan adalah sangat
kompleks dan melibatkan banyak pembolehubah serta kekangan.
3.1 Pentaksiran masalah dan pembentukan ketaksamaan atau persamaan yang
berkenaan
Untuk membentukkan ketaksamaan atau persamaan daripada masalah yang diberikan, kita
perlu mentaksirkan masalah itu terlebih dahulu dengan menentukan pembolehubah
Pembolehubah ialah suatu kuantiti yang nilainya tidak tetap. Misalnya, suhu ialah satu
pembolehubah kerana suhu beruhah-ubah sepanjang hari.
Pembolehubah boleh diwakilkan dengan suatu huruf abjad yang sesuai, Misalnya,
pembolehubah suhu boleh diwakilkan dengan t.
Contoh 3.1:
Eddy ingin membeli beberapa buah buku rujukan dan buku kerja dengan menggunakan
selebih-lebihnya RM30. Sebuah buku rujukan berharga RM5, manakala sebuah buku kerja
berharga RM3.
(a) Berapakah bilangan buku rujukan yang dapat dibeli oleh Eddy, jika dia tidak mernbeli
sebarang buku kerja?
(b) Berapakah bilangan buku kerja yang dapat dibeli oleh Eddy, jika dia tidak membeli
sebarang buku rujukan?
(c) Jika Eddy ingin mernbeli 2 buah buku rujukan sahaja, berapakah bilangan buku kerja
yang dapat dibelinya?
(d) Jika Eddy ingin mernbeli 4 buah buku kerja sahaja,berapakah bilangan buku rujukan
yang dapat dibelinya?
(e) Bentukkan ketaksamaan bagi bilangan setiap jenis buku yang dapat dibeli oleh Eddy
jika dia ingin membelanjakan selebih-lebihnya RM20 sahaja?
Penyelesaian 3.1:
Menentukan pembolehubah:
Dalam masalah ini, pembolehubah ialah bilangan buku rujukan dan bilangan buku kerja.
Katakan x = bilangan buku rujukan yang dibeli oleh Eddy
y = bilangan buku kerja yang dibeli oleh Eddy
Membentukkan ketaksamaan:
(a) Harga bagi x buah buku rujukan = RM 5x.
Maka 5x ≤ 30 ← selebih-lebihnya RM 30 sahaja
x ≤ 6
Bilangan maksimum buku rujukan yang dapat dibeli oleh Eddy ialah 6 buah.

(b) Harga bagi y buku kerja = RM 3y.
Maka 3y ≤ 30 ← selebih-lebihnya RM 30 sahaja
y ≤ 10
Bilangan maksimum buku kerja yang dapat dibeli oleh Eddy ialah 10 buah.
(c) Harga bagi 2 buah buku rujukan = RM 10.
Maka 10 + 3y ≤ 30 ← Jumlah harga tidak boleh melebihi RM 30.
3y ≤ 20
y ≤
3
20
y ≤ 6 ← Bilangan buku mestilah suatu nombor bulat.
Bilangan maksimum buku kerja yang dapat dibeli oleh Eddy ialah 6 buah.
(d) Harga bagi 4 buah buku kerja = RM 12.
Maka 5x + 12 ≤ 30 ← Jumlah harga tidak boleh melebihi RM 30.
5x ≤ 18
x ≤
5
18
y ≤ 3 ← Bilangan buku mestilah suatu nombor bulat.
Bilangan maksimum buku rujukan yang dapat dibeli oleh Eddy ialah 3 buah.
(e) Jumlah harga bagi x buah buku rujukan dan y buah kerja ialah RM (5x+ 3y ).
Jika Eddy ingin membelanjakan selebih-lebihnya RM 20 sahaja,
maka 5x+ 3y ≤ 20
Contoh 3.2:
Persatuan Ibu Bapa dan Guru Sekolah Menengah Murni ingin menubuhkan sebuah
jawatankuasa kecil untuk mengendalikan suatu larian amal, yang bertujuan untuk mengutip
derma bagi pembinaan sebuah makmal di sekolah tersebut. Jawatankuasa itu terdiri daripada
x orang ibu bapa dan y orang guru. Jawatankuasa itu mesti mempunyai sekurang-kurangnya 6
orang ahli tetapi tidak melebih 12 orang ahli. Bilangan guru yang maksimum ialah 5 orang
dan bilangan ibu bapa adalah 2 kali ganda bilangan guru. Tafsirkan masalah ini dan
seterusnya bentukkan ketaksamaan atau persamaan yang berkenaan.
Penyelesaian 3.2:
Jawatankuasa kecil itu mengandungi sekurang-kurangnya 6 orang ahli. Ini bermakna jumlah
ahli jawatankuasa itu , iaitu (x+ y) orang adalah lebih besar daripada atau sama dengan 6
orang. Maka ketaksamaan yang berkenaan ialah
x + y ≥ 6
Tetapi bilangan ahli jawatankuasa kecil itu tidak melebihi 12 orang. Ini bermakna (x+ y)
orang adalah kurang daripada atau sama dengan 12 orang. Maka ketaksamaan yang
berkenaan ialah
x + y ≤ 12
Bilangan guru yang maksimum ialah 5 orang bermakna y adalah kurang daripada atau sama
dengan 5. Maka ketaksamaan yang berkenaan ialah
y ≤ 5
Bilangan ibu bapa, x, adalah 2 kali ganda bilangan guru, y, bermakna
x = 2y

Bilangan ibu bapa dan guru
tidak mungkin bernilai negatif.
Perhatian : x dan y mesti nombor bulat.
Jumlah bilangan pelancong yang boleh
dibawa oleh kedua-dua jenis bas mesti
melebihi atau sama dengan 250 orang.
Jumlah jisim bagasi yang boleh dibawa
oleh kedua-dua jenis bas mesti melebihi
atau sama dengan 2500 kg.
Dua ketaksamaan lagi yang boleh dibentukkan bagi masalah ini ialah
x ≥ 0
dan y ≥ 0
Jadi, ketaksamaan dan persamaan yang dikehendaki ialah x + y ≥ 6, x + y ≤ 12 , y ≤ 5, x =
2y, x ≥ 0 dan y ≥ 0.
Contoh 3.3:
Sebuah agensi pelancongan tertentu ingin membawa 250 orang pelancong dan 2500 kg
bagasi dari lapangan terbang ke sebuah hotel tertentu. Agensi itu mempunyai dua jenis bas,
iaitu bas mini dan bas besar. Bas mini boleh membawa 25 orang penurnpang dan 200 kg
bagasi, manakala bas besar pula boleh membawa 45 orang penumpang dan 350 kg bagasi.
Jumlah bilangan bas yang digunakan hanya 8 buah. Bentukkan ketaksamaan atau persamaan
yang berkenaan.
Penyelesaian 3.3:
Data yang diberi boleh dijadualkan seperti berikut.
Jenis bas Bilangan pelancong per bas Jisim bagasi per bas
Bas Mini 25 orang 200 kg
Bas Besar 45 orang 350 kg
Jumlah bilangan pelancong = 250 orang
Jumlah jisim bagasi = 2500 kg
Bilangan bas yang digunakan = 8 buah
Dalam masalah ini, pemboleh ubah ialah bilangan bas mini dan bilangan bas besar.
Katakan x = bilangan bas mini
dan y = bilangan bas besar
Bilangan pelancong yang boleh dibawa oleh x buah bas mini = 25x
Bilangan pelancong yang boleh dibawa oleh x buah bas mini = 45y
Jumlah bilangan pelancong yang boleh dibawa oleh kedua-dua jenis bas = 25x + 45y
Jadi, ketaksamaan yang berkenaan ialah
25x + 45y ≥ 250
iaitu 5x + 9y ≥ 50
Jisim bagasi yang boleh dibawa oleh x buah bas mini = 200x kg
Jisim bagasi yang boleh dibawa oleh x buah bas mini = 350y kg
Jumlah jisim bagasi yang boleh dibawa oleh kedua-dua jenis bas = (200x + 350y ) kg
Jadi, ketaksamaan yang berkenaan ialah
200x + 350y ≥ 2500
iaitu 4x + 7y ≥ 50
Jumlah bilangan kedua-dua jenis bas = x + y
Jadi, persamaan yang berkenaan ialah x + y = 8
Dua ketaksamaan lagi bagi bilangan bas mini dan bas besar ialah
x ≥ 0 dan y ≥ 0.
Jadi, ketaksamaan dan persamaan yang berkenaan dengan masalah ini ialah
5x + 9y ≥ 50, 4x + 7y ≥ 50, x + y = 8, x ≥ 0 dan y ≥ 0.
Perhatian : Dalam masalah ini, x dan y mesti nombor bulat.

3.2 Masalah pengurusan yang ringkas dalam pengaturcaraan linear
Contoh 3.4 :
Sebuah syarikat kilang alat permainan menghasilkan basikal permainan dan trak permainan
dengan menggunakan tiga jenis mesin, iaitu mesin acuan, mesin larik dan mesin pemasangan.
Pengurus kilang berhasrat untuk menghitungkan bilangan basikal dan trak permainan yang
sepatutnya dihasilkan setiap hari supaya mendapat profit harian yang maksimum. Maklumat-
maklumat yang diberikan adalah seperti berikut :
• Menghasilkan sebuah basikal permainan memerlukan satu jam di mesin acuan,
tiga jam di mesin larik dan satu jam di mesin pemasangan.
• Menghasilkan sebuah trak permainan memerlukan satu jam di mesin larik dan
satu jam di mesin pemasangan. Mesin acuan tidak digunakan untuk membuat trak
permainan.
• Mesin acuan hanya boleh digunakan selama tiga jam setiap hari.
• Mesin larik hanya boleh digunakan selama dua belas jam setiap hari.
• Mesin pemasangan hanya boleh digunakan selama tujuh jam setiap hari.
• Semua alat permainan yang dibuat oleh kilang dapat dijual.
• Profit sebanyak RM 8 untuk setiap basikal dan RM 5 untuk setiap trak.
3.2.1 Model Matematik yang menggunakan pembolehubah xi
Katakan x1 = bilangan basikal permainan yang dihasilkan pada setiap hari
x2 = bilangan tak permainan yang dihasilkan pada setiap hari
Profit harian sebanyak RM 8x1 untuk setiap basikal dan RM 5x2 untuk setiap trak.
Maka jumlah profit harian syarikat itu ialah
z = 8x1 + 5x2
Profit syarikat berkenaan akan dikekang dengan kemudahan mesin-mesin yang terdapat.
Sebagai contoh, mesin larik boleh digunakan selama dua belas jam sehari. Memandangkan
setiap basikal memerlukan tiga jam dan setiap trak memerlukan satu jam pada mesin larik,
profit syarikat berkenaan akan dikekangkan dengan ketaksamaan
3x1 + 1x2 ≤ 12 iaitu 3x1 + x2 ≤ 12
Kekangan(constraint) ini dinamakan sebagai kekangan mesin larik. Dengan penjelasan
yang sama, kekangan mesin acuan yang terbentuk ialah
1x1 + 0x2 ≤ 3 iaitu x1 ≤ 3
dan kekangan pemasangan ialah
1x1 + 1x2 ≤ 7 iaitu x1 + x2 ≤ 7
Seterusnya, syarikat berkenaan tidak mungkin menghasilkan bilangan alat permainan yang
negatif. Dengan itu, profit syarikat berkenaan juga dikekangkan oleh ketaksamaan-
ketaksamaan remeh (trivial inequalities)
x1 ≥ 0 dan x2 ≥ 0
Gabungkan semua ungkapan di atasm model mathematik untuk maslah pengeluaran alat
permainan akan menjadi seperti berikut :
Memaksimumkan : z = 8x1 + 5x2
Subjek kepada : 3x1 + x2 ≤ 12
x1 ≤ 3
x1 + x2 ≤ 7
x1 ≥ 0 dan x2 ≥ 0

Masalah seperti yang diterangkan di atas adalah masalah pengaturcaraan linear. Fungsi
z = 8x1 + 5x2 dinamakan sebagai fungsi objektif, ketaksamaan-ketaksamaan pula dinamakan
sebagai kekangan-kekangan, ketaksamaan-ketaksamaan remeh x1 ≥ 0 dan x2 ≥ 0 digelar
sebagai syarat ketidaknegatifan (non-negativity conditions) dan pemboleh ubah x1 dan x2
digelar sebagai pemboleh ubah berstruktur (structural variables).
3.2.2 Menggeneralisasikan Masalah Pengaturcaraan linear
Masalah pengaturcaraan linear boleh digeneralisasikan untuk memaksimumkan atau
meminimumkan fungsi objektif dalam bentuk berikut :
z = c0 +∑=
n
i
ii xc
1
, ℜ∈ic i∀
subjek kepada :
• m kekangan linear. Ini boleh seperti yang berikut :
Jenis 1 : ∑=
≤
n
j
iiji bxa
1
Jenis 2 : ∑=
=
n
j
iiji bxa
1
ℜ∈iij ba , ji,∀
Jenis 3 : ∑=
≥
n
j
iiji bxa
1
di mana 0≥ib i∀ . Jika bi bernilai negatif, kita boleh positifkan
ketaksamaan itu dengan mendarabkan dengan -1.
• Syarat ketidaknegatifan iaitu 0≥ix i∀
Kita boleh menggunakan kaedah graf atau kaedah algebra seperti kaedah simpleks untuk
menyelesaikan masalah seperti di atas. Kini, kebanyakan masalah yang kompleks dapat
diselesaikan dengan bantuan komputer. Walau bagaimanapun, hanya masalah yang
melibatkan dua pembolehubah sahaja yang dapat diselesaikan melalui kaedah graf.
3.2.3 Penentuan nilai optimum ax + by (ax1 + bx2) dengan kaedah graf
Nilai optimum ax + by atau ax1 + bx2 adalah nilai terbesar atau nilai terkecil bagi ax + by /ax1
+ bx2. Satu rantau yang memenuhi semua kekangan secara serentak dinamakan rantau
tersaur /kawasan tersaur (feasible region) akan terbentuk apabila kaedah graf digunakan.
Memandangkan ketaksamaan masalah pengaturcaraan linear biasanya adalah lemah ( ≤ atau
≥ ), nilai-nilai x1 dan x2 yang terletak di atas sempadan (boundary) juga termasuk dalam
rantau tersaur. Kita akan menggunakan contoh 3.4 untuk perbincangan lukisan graf
seterusnya.
• x1 ≥ 0 dan x2 ≥ 0 memberi maklumat bahawa rantau tersaur mesti terletak dalam
sukuan pertama dalam satah x1 - x2.
• Graf 3x1+ x2 =12 adalah seperti berikut, nilai-nilai x1 dan x2 adalah dalam kawasan
tertutup yang berlorek dan atas garisan lurus untuk memenuhi 3x1 + x2 ≤ 12.

14
12
10
8
6
4
2
5 10 x 10
3x 1 + x2 =12
x 2
14
12
10
8
6
4
2
5 10 x 10
x 1 =3
x 2
8
6
4
2
5 10
x 1 + x2 =7
x 10
Rajah 3.1
• Graf x1 = 3 pula berbentuk seperti rajah 3.2, nilai-nilai x1 dan x2 adalah dalam
kawasan berlorek yang terbuka pada bahagian atas dan termasuk nilai di atas garisan
lurus untuk memenuhi x1 ≤ 3.
Rajah 3.2
• Graf x1 + x2 = 7 terbentuk dalam rajah 3.3, menunjukkan nilai-nilai x1 dan x2 adalah
dalam kawasan tertutup yang berlorek dan atas garisan lurus untuk memenuhi x1 +
x2 ≤ 7.
Rajah 3.3
Masalah pengaturcaraan linear perlu memuaskan semua kekangan secara serentak. Oleh itu
kawasan tersaur merupakan kawasan sepunya untuk semua kekangan. Maka kawasan tersaur
bagi contoh 3.4 adalah seperti rajah 3.4.

14
12
10
8
6
4
2
5 10
3x 1 + x2 =12
x 1 =3
x 1 + x2 =7
x 10
x 2
14
12
10
8
6
4
2
-2
5 10
z =10
3x 1 + x2 =12
x 1 =3
x 1 + x2 =7
x 10
x 2
14
12
10
8
6
4
2
-2
5 10
z =40
z =30
z =20
z =10
3x 1 + x2 =12
x 1 =3
x 1 + x2 =7
x 10
x 2
Rajah 3.4
rantau
tersaur
Untuk mendapatkan penyelesaian optimum iaitu profit harian yang maksimum, nilai x1 dan x2
mesti berada di atas sempadan atau di dalam kawasan tertutup yang berlorek. Oleh itu, kita
boleh melukis garis z pada sebarangan nilai. Untuk tujuan ini, kita akan gunakan z = 8x1+ 5x2
=10 iaitu profit maksimumnya sekurang-kurangnya RM10.
Rajah 3.5
Sekarang kita boleh ulang langkah di atas dengan melukis garis- garis bagi 8x1+ 5x2 =20,
8x1+ 5x2 =30 dan 8x1+ 5x2 = 40 ke atas rajah yang sama seperti rajah 3.6.
Rajah 3.6

Langkah ①
14
12
10
8
6
4
2
5 10
z =40
3x 1 + x2 =12
x 1 =3
x 1 + x2 =7
x 10
x 2
Langkah ②
Garis z = 40 dalam rajah 3.6 menunjukkan profit harian yang maksimum sekurang-kurangnya
RM 40. Kita dapat melihat dari rajah, apabila nilai k bertambah, garis z = k bergerak ke arah
jauh dari asalan. Ini bermakna semasa mencari nilai maksimum, garis fungsi objektif perlu
bergerak sejauh yang mungkin dari asalan dalam kawasan tersaur, manakala garis z = k akan
bergerak ke arah asalan jika ingin menyelesaikan masalah meminimumkan fungsi objektif.
Semasa kita menggerakan garis fungsi objektif jauh dari asalan, kita akan dapat satu
titik terjauh yang terletak di titik persilangan bagi garis 3x1 + x2 =12 dan x1 + x2 = 7.
bucu optimum
Rajah 3.7
Titik ini dipanggil bucu optimum. Penyelesaian untuk semua masalah pengaturcaraan linear
akan terletak atas sempadan rantau tersaur dan biasanya merupakan satu bucu. Fakta ini
akan menolong kita membuat pertimbangan untuk masalah yang lebih rumit.
Untuk mendapatkan penyelesaian optimum, kita akan membaca koordinat-koordinat bagi
bucu optimum. Walau bagaimanapun, koordinat-koordinatnya yang dicari dengan cara
menyelesaikan persamaan serentak adalah lebih jitu. Persamaan-persamaan yang terlibat
dalam contoh 3.4 ialah :
3x1 + x2 = 12
x1 + x2 = 7
Penyelesaian untuk persamaan-persamaan di atas ialah x1 = 2.5 dan x2 = 4.5. Gantikan
nilai-nilai ini ke dalam fungsi objektif, kita akan mendapat nilai z = 42.5.
Kita boleh merumuskan bahawa syarikat kilang permainan dalam contoh 3.4 dapat
memaksimumkan profitnya dengan cara membuat 5 unit basikal permainan dan 9 unit trak
permainan pada setiap dua hari. Profit harian yang maksimum adalah RM42.50.
Contoh 3.5: mencari nilai optimum dengan sesiku dan pembaris
Bina rantau yang memuaskan ketaksamaan
3x + 2y ≤ 60, x + 2y ≤ 30, x ≥ 10 dan y ≥ 0.
Jika (x, y) ialah satu titik dalam rantau itu, cari nilai minimum bagi x + 2y dan nilai
maksimum bagi 2x + y.
Penyelesaian 3.5
Lukis garis lurus 3x + 2y = 60, x + 2y = 30, x = 10 dan y = 0.
Bina rantau R yang memuaskan ketaksamaan 3x + 2y ≤ 60, x + 2y ≤ 30,
x ≥ 10 dan y ≥ 0.

Langkah ③
Langkah ④
y
x10 20 30 40
10
20
30
40
x=10
2x + y = 40
3x + 2y = 60
x + 2y = 30
x + 2y = 10
2x + y = 102x + y = 10
R
Dengan menggunakan pembaris dan sesiku, lukiskan satu garis lurus yang
selari dengan x + 2y = 30, yang merentasi rantau R dan mempunyai nilai
pintasan-y terkecil.
Lukis garis lurus 2x + y = 10.
Dengan menggunakan pembaris dan sesiku, lukiskan satu garis lurus
yang selari dengan 2x + y = 10, yang merentasi rantau R dan mempunyai
nilai pintasan-y terbesar.
Rajah 3.8
Daripada graf 3.8, didapati garis tebal yang mempunyai nilai pintasan-y terkecil melalui (10,
0) yang terletak dalam rantau R. Jadi, nilai minimum bagi x + 2y ialah 10 + 2(0) = 10.
Daripada graf 3.8, juga didapati garis yang mempunyai nilai pintasan-y terbesar (20, 0) yang
terletak dalam rantau R. Jadi, nilai maksimum bagi 2x + y ialah 2(20) + 0 = 40.
Contoh 3.6:
Encik Yunus ialah pengurus bagi sebuah kilang tekstil yang mempunyai 200 orang pekerja.
Dia telah menyediakan tidak lebih daripada 4 buah bas besar dan beberapa buah bas mini
untuk membawa pekerja-pekerjanya datang bekerja dan menghantar mereka balik apabila
tamat bekerja. Muatan sebuah bas besar ialah 40 orang manakala muatan sebuah bas mini
pula ialah 20 orang sahaja. Kos operasi bagi setiap bas besar dan bas mini masing-masing
ialah RM30 dan RM20 sehari. Diberi bahawa Encik Yunus hanya dapat mengupah 9 orang
pemandu bas, cari bilangan bas besar dan bas mini yang harus digunakan supaya kos operasi
adalah minimum. Seterusnya, kirakan kos operasi minimum yang diperlukan.
Penyelesaian 3.6:
Apa yang dikehendaki? ....... (a) Bilangan bas besar dan bas mini
(b) Kos operasi minimum
Apakah data yang diberi? ...... Jumlah pekerja = 200 orang
Jumlah pemandu = 9 orang
Muatan bas besar = 40 orang
Muatan bas mini = 20 orang
Bilangan bas besar tidak melebihi 4 buah
Kos operasi sebuah bas besar = RM 30 sehari
Kos operasi sebuah bas mini = RM 20 sehari
Bagaimanakah menyelesaikannya ?
(a) Tentukan pembolehubah, tafsirkan masalah dan bentukkan ketaksamaan
(b) Bina rantau yang memuaskan ketaksamaan
(c) Tentukan nilai optimum

Bilangan bas tidak mungkin bernilai negatif.
y
x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
R
x = 4
x
+
y
=
9
2x +y=10
60=30x +20y
k
=
30x+20y
(4,2)
Katakan bilangan buah bas besar ialah x dan bilangan buah bas mini ialah y.
Maka jumlah muatan x buah bas besar = 40x
Maka jumlah muatan y buah bas besar = 20y
Jadi, jumlah bilangan pekerja yang boleh dibawa oleh x buah bas besar dan y buah bas mini =
40x +20y.
Jumlah ini mestilah lebih besar daripada atau sama dengan jumlah bilangan pekerja kilang.
Maka ketaksamaan yang berkenaan ialah
40x + 20y ≥ 200
iaitu 2x + y ≥ 10
Oleh kerana bilangan bas besar tidak melebihi 4, maka ketaksamaan yang boleh dibentuk
ialah x ≤ 4
Jumlah bilangan bas = x + y
Diberi bahawa hanya terdapat 9 orang pemandu bas
maka x + y ≤ 9.
Dua ketaksamaan lagi yang boleh dibentukkan ialah
x ≥ 0 dan y ≥ 0
Lukiskan garis-garis lurus 2x + y = 10, x = 4, x + y = 9, x = 0 dan y = 0.
Lorekkan rantau yang memuaskan ketaksamaan 2x + y ≥ 10, x ≤ 4, x + y ≤ 9, x ≥ 0 dan y ≥
0.
Jadi, rantau R memuaskan ketaksamaan-ketaksamaan tersebut.
Rajah 3.9
Menentukan nilai optimum: Jumlah kos operasi = RM 30x + RM 20y. Maka kos operasi
minimum yang diperlukan merupakan nilai minimum bagi 30x + 20y. Lukiskan garis lurus k
= 30x + 20y dengan suatu nilai k yang sesuai, katakan k = 60. Ini bermakna lukiskan garis 60
= 30x + 20y. Kemudian, lukiskan suatu garis selari k = 30x + 20y, yang merentasi rantau R
dan mempunyai nilai pintasan-y terkecil.
Didapati bahawa apabila garis k = 30x + 20y melalui titik (4, 2) yang terletak di dalam R,
pintasan-y adalah terkecil. Ini bermakna 30x + 20y mempunyai nilai minimum pada titik (4,
2), iaitu 4 buah bas besar dan 2 buah bas mini harus digunakan supaya kos operasi adalah
minimum. Jadi, nilai minimum bagi 30x + 20y ialah 30(4) + 20 (2) = 160, iaitu kos operasi
minimum yang diperlukan ialah RM 160 sehari.

Contoh 3.7:
Seorang saudagar teh mempunyai 20 kg serbuk teh gred A dan 36 kg serbuk teh gred B.
Saudagar teh itu memperkenalkan dua jenis serbuk teh campuran, iaitu Fantasi dan Aromatik
kepada pelanggannya. Fantasi dihasilkan dengan mencampurkan serbuk teh gred A dan B
dalam nisbah 1 : 3, manakala Aromatik pula dihasilkan dengan mencampurkan serbuk teh
gred A dan B dalam nisbah 2 : 3. Saudagar teh itu akan memperoleh keuntungan sebanyak
RM4 dengan penjualan 1 kg Fantasi dan RM5 dengan penjualan 1 kg Aromatik, Berapa
banyakkah Fantasi dan Aromatik yang harus dijual oleh saudagar teh itu supaya memperoleh
profit maksimum? Berapakah profit maksimum saudagar teh itu?
Penyelesaian 3.7:
Maklumat yang diberi dalam soalan boleh dijadualkan seperti berikut.
Jenis teh Nisbah serbuk teh
gred A : gred B
Pecahan serbuk
teh gred A
Pecahan serbuk
teh gred A
Keuntungan
se kg
Fantasi 1 : 3
4
1
4
3 RM 4
Aromatik 2 : 3
5
2
5
3 RM 5
Katakan x kg teh Fantasi dan y kg teh Aromatik harus dijual oleh saudagar teh itu.
Maka x ≥ 0 dan y ≥ 0.
Ketaksamaan bagi jisim serbuk teh gred A yang digunakan ialah
4
1
x +
5
2
y ≤ 20
iaitu 5x + 8y ≤ 400
Ketaksamaan bagi jisim serbuk teh gred B yang digunakan ialah
4
3
x +
5
3
y ≤ 36
iaitu 5x + 4y ≤ 240
Rantau yang memuaskan ketaksamaan-ketaksamaan x ≥ 0, y ≥ 0, 5x + 8y ≤ 400 dan
5x + 4y ≤ 240 adalah seperti yang ditunjukkan dalam graf di bawah.
Rajah 3.10
Berat serbuk teh gred A = 20 kg
Berat serbuk teh gred B = 36 kg
0 10 20 30 40 50 60 70 80
10
20
30
40
50
60
y
x
R
4x + 5y = 100 5x + 8y = 400
5x + 4y = 240
(16,40)

Profit Z = RM (4x + 5y). Andaikan Z = 100, lukiskan garis lurus 4x + 5y = 100. Kemudian
menggunakan pembaris dan sesiku, lukiskan satu garis yang selari dengan 4x + 5y = 100
yang merentasi rantau R yang memberi pintasan-y terbesar. Dari graf, garis selari ini melalui
titik (16, 40) dalam rantau R, maka Z = RM (4x + 5y) adalah maksimum pada titik(16, 40).
Jadi, berat teh Fantasi dan Aromatik yang harus dijual masing-masing ialah 16 kg dan
40 kg. Maka profit maksimum yang diperoleh oleh saudagar teh itu ialah
Z = RM (4x16 + 5 x 40)
= RM 264.
Latihan 3.1:
1. Lukiskan rautau R yang memuaskan ketaksamaan 3x + 2y ≥ 18, 3x + 5y ≤ 30,
x ≥ 0 dan y ≥ 0. Jika x dan y ialah integer dan titik (x, y) terletak di dalam rantau R,
cari nilai minimum bagi 7x + 6y dan nyatakan koordinat titik (x, y) yang
memberikan nilai minimum itu.
2. Lukiskan rautau R yang memuaskan ketaksamaan 3x + 2y ≥ 24, x + y < 30, y ≤ x
2
1
dan y ≥ 0. Jika (x, y) terletak di dalam rantau R, cari
(a) nilai maksimum bagi 2x + 3y,
(b) nilai minimum bagi x + y,
(c) koordinat bagi titik (x, y) yang sepadan dengan
(i) nilai maksimum dalam (a), (ii) nilai minimum dalam (b)
3. Sebuah kilang kereta di Kuala Lumpur ingin menghantar 50 buah kereta ke Ipoh
dengan menggunakan treler. Kilang kereta tersebut telah memperoleh maklumat
seperti dalam jadual berikut daripada sebuah syarikat pengangkutan.
Jenis Treler Muatan Kadar Sewa
Treler panjang 100 buah kereta RM 1000
Treler biasa 5 buah kereta RM 600
Bagi setiap treler panjang yang disewa, sekurang-kurangnya 2 buah treler biasa
perlu disewa juga.
Berapakah bilangan treler panjang dan treler biasa yang mesti disewa oleh kilang
kereta tersebut supaya kos pengangkutan yang perlu ditanggungnya adalah
minimum? Kirakan nilai optimum itu.
4.
Jenis pil Alfa (unit) Beta (unit)
Vitamin A 8 12
Vitamin B 16 4
Vitamin C 2 6
Harga sebiji (sen) 6 5
Kandungan vitamin dalam 2 jenis pil multi-vitamin, Alfa dan Beta, adalah seperti
dalam jadual di atas. Jika seseorang memerlukan sekurang-kurangnya 400 unit
vitamin A, 320 unit vitamin B dan 120 unit vitamin C, berapakah bilangan setiap
jenis pil yang harus dibeli oleh orang itu dengan kos minimum? Berapakah kos
minimum itu?

5. Sebuah kilang alat-alat elektrik ingin mengeluarkan 2 jenis kipas elektrik, iaitu kipas
meja dan kipas siling. Setiap minggu kilang itu mempunyai bahan yang hanya
mencukupi untuk mengeluarkan tidak lebih daripada 600 buah kipas meja dan 800
buah kipas siling. Penghasilan sebuah kipas meja memerlukan 3.5 jam-tenaga
manusia, manakala sebuah kipas siling pula memerlukan 2 jam-tenaga manusia.
Dalam seminggu, kilang itu mempunyai sebanyak-banyaknya 3000 jam-tenaga
manusia. Jika keuntungan yang diperoleh daripada penjualan setiap kipas meja dan
kipas siling masing-masing ialah RM8 dan RM5, cari bilangan setiap jenis kipas yang
perlu dikeluarkan dalam seminggu supaya keuntungan kilang itu adalah maksimum.
(satu jam-tenaga manusia ialah kerja yang dibuat oleh 1 orang dalam masa 1 jam.)
Jawapan Latihan 3.1:
3. Bilangan treler panjang = 4 4. Bilangan pil Alfa = 14
Bilangan treler biasa = 2 Bilangan pil Beta = 24
Sewa minimum = RM 5200 Kos minimum = RM 2.04
5. Bilangan kipas meja = 400
Bilangan kipas siling = 800
Keuntungan maksimum = RM 7200

Tutorial 3.1
1. Gunakan kaedah graf untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear:
(i) Memaksimumkan : 212 xxz +=
Subjek kepada : 52 ≤x
122 21 ≤+ xx
0, 21 ≥xx
(ii) Memaksimumkan : 21 32 xxz +=
Subjek kepada : 82 21 ≤+ xx
621 ≤+ xx
102 21 ≤+ xx
0, 21 ≥xx
(iii) Meminimumkan : 21 32 xxz +=
Subjek kepada : 64 21 ≥+ xx
52 21 ≥+ xx
85 21 ≥+ xx
0, 21 ≥xx
2. Sebuah kilang kain mengeluarkan dua jenis kain iaitu Standard dan Deluxe. Kilang
akan dapat profit sebanyak RM1.00 untuk sekilogram Standard dan RM1.50 untuk
sekilogram Deluxe. Kain Standard dihasilkan dengan menggunakan benang berwarna
kelabu, merah dan hijau dalam nisbah 0.75: 0.125 : 0.125. Kain Deluxe pula dihasilkan
dengan warna benang yang sama tetapi dalam nisbah 0.5: 0.333: 0.167. Pengurus kilang
boleh membeli 750 kg benang kelabu, 200 kg benang merah dan 130 kg benang hijau
sahaja pada setiap minggu. Pengurus kilang tersebut akan menggunakan model
pengaturcaraan linear berikut untuk memaksimumkan profit mingguan kilangnya.
Memaksimumkan : 21 5.1 xxz +=
Subjek kepada : 7505.075.0 21 ≤+ xx
200333.0125.0 21 ≤+ xx
130167.0125.0 21 ≤+ xx
0, 21 ≥xx
(i) Apa yang diwakili oleh pemboleh ubah 1x dan 2x ?
(ii) Terangkan makna untuk setiap ungkapan dalam model ini.
(iii) Penyelesaian optimum untuk masalah pengaurcaraan linear ini ialah 1x = 480,
2x = 420 dan z = 1110. Berdasarkan penyelesaian ini, terangkan strategi yang
harus pengurus ini gunakan. .
3. Syarikat Jamesons Elektrik mengubah 2 orang pekerja sambilan Robyn dan Laura
untuk memperbaiki televisyen, video dan radio yang rosak. Pada setiap permulaan
minggu, pengurus akan menentukan tempoh masa kerja mingguan Robyn dan Laura.
Upah Robyn ialah RM 25 sehari dan upah Laura ialah RM22 sehari. Robyn boleh
memperbaiki 1 televisyen, 2 video dan 6 radio pada setiap hari. Manakala Laura boleh
memperbaiki 5 televisyen, 12 video dan 18 radio.

(i) Bentukkan model pengaturcaraan linear supaya pengurus syarikat dapat
menentukan bayaran minimum mingguan untuk mengubahkan Robyn dan
Laura.
(ii) Gunakan kaedah graf untuk menyelesaikan model di (i). Interprestasikan
penyelesaian yang anda dapat.
4. Dengan menggunakan kaedah graf, selesaikan masalah pengaturcaraan linear berikut:
(i) Memaksimumkan : 21 48 xxz +−=
Subjek kepada : 221 ≤− xx
32 21 −≥− xx
421 −≥− xx
0, 21 ≥xx
(ii) Memaksimumkan : 21 xxz +=
Subjek kepada : 22 ≥x
21 ≤x
121 ≥− xx
0, 21 ≥xx
(iii) Memaksimumkan : 21 xxz +=
Subjek kepada : 12 21 −≥− xx
22 21 ≤− xx
0, 21 ≥xx
Jawapan :
1. (i) 1x =12, 2x = 0, z = 24 (i) 1x =2, 2x = 4, z = 16
(iii) 1x =1, 2x = 2, z = 8
2. (i) 1x ialah amaun kain Standard, 2x ialah amaun kain Deluxe.
(ii) Fungsi objektif memberikan profit mingguan kilang ini. Kekangan-kekangan
menunjukkan keperluan ke atas 3 jenis benang yang berbeza. Ketidaknegatifan
pemboleh ubah menunjukkan kilang ini tidak mungkin menghasilkan amaun negatif.
(iii) Kilang ini seharusnya menghasilkan 480 kg kain Standard dan 420 kg kain Deluxe
pada setiap minggu. Profit mingguan yang maksimum ialah RM 1110.
3. (ii) Pengurus harus mengubah Robyn untuk 2 hari dan 3 hari untuk Laura. Jumlah upah
ialah RM 116.
4. (i) Semua titik di atas garis yang melalui (0,3) dan (1,5)--penyelesaian ketakterhinggaan.
(ii) Tiada rantau tersaur
(iii) Penyelesaian tak terbatas

3.3 Jenis-Jenis Masalah Pengaturcaraan Linear
3.3.1 Penyelesaian Tak Terhingga / Penyelesaian Infinit (Infinitely Many Solutions)
Keadaan ini wujud apabila fungsi objektif adalah selari dengan sebelah rantau tersaur
(feasible region) ini. Sebagai contoh, pertimbangkan masalah pemaksimuman dalam Rajah
3.11:
Semua nilai x1 dan x2 di sepanjang garis yang selari dengan sebelah rantau tersaur
memberikan nilai maksimum bagi z, maka masalah ini mempunyai penyelesaian tak
terhingga.
3.3.2 Rantau Tersaur adalah Sifar (The Feasible Region is Empty)
Rantau teraur akan menjadi sifar jika semua kekangan adalah saling bercanggahan (mutually
contradictory) iaitu bercanggah antara satu sama lain. Malangnya, situasi ini bukan mudah
dikenalpasti.
Sebagai contoh, ianya bukan senang menjelaskan bahawa kekangan-kekangan berikut:
21 ≤x , 121 −≥− xx , 821 ≥+ xx
bercanggahan antara satu sama lain. Cuba anda lukiskan rantau yang memuaskannya dan
kenalpasti nilai tersaurnya dalam Rajah 3.12 a.
X2
X11 2 3 4 5 6 7 8 9 10– 1
2
4
6
8
10
– 2 x1+x2 =8
x1-x2
=
-1
x1=2
Rajah 3.12 a
Lakaran seperti dalam Rajah 3.12 b yang diperoleh dan kita akan lihat bahawa tiada rantau
dalam satah (x1, x2) yang memuaskan semua ketaksamaan berkenaan. Ini bermakna rantau
tersaur adalah sifar. Dalam situasi ini, masalah pengaturcaraan linear dikatakan tak tersaur
(infeasible).
Rajah 3.11
Optimum
berganda
Garis z = k
Rantau
tersaur

X2
X11 2 3 4 5 6 7 8 9 10– 1
2
4
6
8
10
– 2 x1+x2 =8
x1-x2
=
-1
x1=2
Nilai-nilai
tersaur
Nilai-nilai
tersaur
Nilai-nilai
tersaur
Rajah 3.12 b
3.3.3 Rantau Tersaur adalah Tak Terbatas (The Feasible Region is Unbounded)
Ini bergantung kepada jenis masalah pengaturcaraan linear yang perlu diselesaikan.
Kes 1: Masalah Peminimuman
Dalam masalah peminimuman, terdapat dua kemungkinan iaitu
1. Masalah mempunyai penyelesaian unik iaitu
Rajah 3.13
2. Masalah yang mempunyai penyelesaian tak terhingga iaitu
Rajah 3.14
Kes 2: Masalah Pemaksimuman
Dalam masalah pemaksimuman, terdapat tiga jenis kemungkinan iaitu
Fungsi objektif
Bucu optimum
Rantau tersaur
Fungsi objektif
Berganda
(multiple)
Rantau tersaur

1. Masalah yang mempunyai penyelesaian unik iaitu
Rajah 3.15
2. Masalah yang mempunyai penyelesaian tak terhingga iaitu
Rajah 3.16
3. Masalah yang tak terbatas iaitu (tiada penyelesaian terhingga)
Rajah 3.17
Dalam kes ini, semua kekangan masih memuaskan walaupun fungsi objektif menjadi
tak terhingga besar.
3.3.4 Degenerasi / Degenerat / Kemerosotan (Degeneracy)
Degenerasi berlaku apabila tiga atau lebih kekangan bersilang pada bucu optimum iaitu
Bucu optimum
Fungsi objektif
Rantau tersaur
Rantau tersaur
Fungsi objektif
Optimum berganda
Fungsi objektif
Rantau tersaur

Rajah 3.18
Masalah ini wujud apabila terdapat kekangan berlebihan dalam masalah ini. Apabila
menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear dengan menggunakan kaedah graf degenerasi
tidak menunjukkan masalah utama. Walau bagaimanapun, apabila menggunakan kaedah
algebra seperti kaedah Simpleks, degenerasi menyebabkan algoritma berkitar dan tidak dapat
mencari penyelesaian yang optimum.
(This problem arises when there are redundant constraints in the problem. When solving a linear
programming problem using the graphical method degeneracy does not present a major problem.
However, when using algebraic methods like the Simplex method degeneracy causes the algorithms to
cycle so that they unable to find the optimal solution.)
Contoh 3.8:
Dengan menggunakan kaedah graf, selesaikan masalah pengaturcaraan linear berikut:
(a) Memaksimumkan : yxf +=
Subjek kepada : 02 ≤− xy
1002 ≤+ yx
30034 ≤+ yx
0,0 ≥≥ yx
(b) Meminimumkan : yxf 32 +=
Subjek kepada : 4≥+ yx
1653 ≥+ yx
0,0 ≥≥ yx
(c) Meminimumkan : yxz 47 +=
Subjek kepada : 112 ≥+ yx
10≤+ yx
183 ≤+ yx
164 ≥+ yx
Rantau
tersaur
Fungsi objektif
Bucu optimum

(d) Memaksimumkan : yxz +=
Subjek kepada : 04 ≤− xy
10≤+ yx
204 ≤+ yx
0,0 ≥≥ yx
Penyelesaian contoh 3.8:
(a) x = 60, y = 20, f = 80
(b) x = 2, y = 2, f = 10
(c) x = 4, y = 3, z = 40
(d) z = 10 wujud pada sebarang titik antara A dan B pada garis y = 10-x
Jawab soalan Tutorial 3.1 No. 4 (muka surat 3-15)
3.4 Pengaturcaraan Linear Dengan Kaedah Simpleks
Pengaturcaraan linear dengan kaedah simpleks dibangunkan pada tahun 1947 oleh
George Dantzig. Dalam kaedah simpleks, rutin pengiraan merupakan proses lelaran (iterative
process). Lelaran bermaksud perbuatan mengulang-ulangkan sesuatu; maka, rutin pengiraan
berulang-ulang mengikut pola yang piawai sehingga penyelesaian yang optimum dicapai.
Satu lagi ciri kaedah simpleks adalah bahawa setiap penyelesaian baru menghasilkan
nilai fungsi objektif seberapa besar atau lebih besar daripada penyelesaian sebelumnya. Ciri
penting ini meyakinkan kita bahawa kita sentiasa bergerak mendekati penyelesaian optimum.
Akhirnya, kaedah menunjukkan penyelesaian optimum telah dicapai.
3.4.1 Bentuk Piawai
Untuk menggunakan kaedah simpleks, ianya perlu menyatakan masalah dalam bentuk piawai.
Bentuk piawai terbentuk apabila semua ketaksamaan kekangan dalam sesuatu model
pengaturcaraan linear ditukarkan menjadi persamaan.
Bagi masalah minimum yang bukan dalam bentuk piawai boleh ditulis semula dalam bentuk
piawai dengan menggunakan konsep kedualan (duality) masalah pengaturcaraan linear dan
ini adalah di luar sukatan.
3.4.1.1 Bentuk piawai untuk masalah pemaksimuman
z = A1x1 + A2x2 +... + Anxn subjek kepada a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ d
Sekiranya masalah melibatkan pemaksimuman fungsi objektif dengan semua
kekangan dengan ketaksamaan yang bersimbol ≤ , maka semua ketaksamaan
a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ d

perlu ditukarkan kepada persamaan dengan menambahkan pemboleh ubah lalai (slack
variable). Pemboleh ubah lalai mewakili resos yang tidak digunakan: ini mungkin dalam
bentuk masa mesin, jam buruh, wang, ruang gudang atau mana-mana nombor resos dalam
pelbagai masalah perniagaan. Proses menambah pemboleh ubah lalai kepada kekangan untuk
menjana persamaan dipanggil pengimbuhan (augmentation). Pemboleh ubah asal dalam
masalah sebelum pengimbuhan dikenali sebagai pemboleh ubah keputusan atau struktur.
Bentuk piawai persamaan akan menjadi
a1x1 + a2x2 + ... + anxn + si = d
dan fungsi objektif z = A1x1 + A2x2 +... + Anxn akan menjadi
z = A1x1 + A2x2 +... + Anxn + si
Contoh 3.9:
Joe Perabot Sdn. Bhd membuat dua jenis produk, meja dan kerusi, yang perlu diproses
melalui bahagian pertukangan dan bahagian memvarnis. Bahagian pertukangan diberikan 60
jam; bahagian memvarnis boleh mengendalikan kerja sehingga 48 jam. Pembuatan satu meja
memerlukan 4 jam di bahagian pertukangan dan 2 jam di bahagian memvarnis. Untuk sebuah
kerusi, memerlukan 2 jam dalam bahagian pertukangan dan 4 jam di bahagian memvarnis.
Jika keuntungan untuk sebuah meja ialah RM8 dan sebuah kerusi ialah RM6, cari bilangan
meja dan kerusi yang harus dihasilkan supaya memperoleh keuntungan maksimum.
Penyelesaian 3.9:
Bentukkan model pengaturcaraan linear:
Biarkan x1 = bilang meja yang dihasilkan dan telah dijual
Biarkan x2 = bilang kerusi yang dihasilkan dan telah dijual
Masalah ini boleh diringkaskan seperti yang berikut:
Memaksimumkan: f = 8x1 + 6x2 (jumlah profit )
subjek kepada kekangan :
4x1 + 2x2 ≤ 60 ------------① ( kekangan jam pertukangan)
2x1 + 4x2 ≤ 48 ------------② ( kekangan jam memvarnis)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ( kekangan ketidaknegatifan)
Interpretasikan konsep pemboleh ubah lalai, maka kekangan ① akan menjadi
4x1 + 2x2 + s1 = 60 -----------③
di mana s1 ialah pemboleh ubah ketidaknegatifan yang mempunyai nilai di antara 0 hingga 60,
yang mewakili pembolehubah ubah lalai atau masa pertukangan yang tidak digunakan.
Jika x1 = 0 dan x2 = 0, maka s1 = 0. Ini bermakna tiada meja atau kerusi yang
dihasilkan dalam satu hari, maka terdapat 60 jam masa pertukangan yang tidak digunakan.
Jika x1 = 5 dan x2 = 10, maka s1 = 20. Ini bermakna jika 5 buah meja dan 10 buah
kerusi yang dihasilkan dalam satu hari, maka masa pertukangan yang tidak digunakan ialah
20 jam.
Jika x1 = 10 dan x2 = 15, maka s1 akan menjadi -10. Bagaimana pun nilai ini adalah
tidak tersaur. Ini memberi maksud bahawa tiada sehari pun yang mempunyai masa
pertukangan yang cukup untuk menghasilkan 10 meja dan 15 kerusi.
Jika x1 = 10 dan x2 = 10, maka s1 = 0. Ini bermakna jika 10 buah meja dan 10 buah
kerusi yang dihasilkan dalam satu hari, maka masa pertukangan yang tidak digunakan adalah
0 jam.

Persamaan untuk kekangan ② akan menjadi seperti yang berikut:
2x1 + 4x2 + s2 = 48 ------------④
di mana ialah pemboleh ubah ketidaknegatifan yang mempunyai nilai dari 0 hingga 48, dan
mewakili bilangan unit lalai atau masa memvarnis yang tidak digunakan.
Bentuk Piawai model pengaturcaraan linear yang terbentuk adalah seperti yang berikut:
Memaksimumkan: f = 8x1 + 6x2 + 0 s1 + 0s2
subjek kepada : 4x1 + 2x2 + s1 = 60
2x1 + 4x2 + s2 = 48
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, s1 ≥ 0, s2 ≥ 0
3.4.1.2 Bentuk piawai untuk masalah pemaksimuman
z = A1x1 + A2x2 +... + Anxn yang berkekangan a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≥ d
Secara umumnya, dalam suatu model pengaturcaraan linear, bukan semua kekangan
mempunyai ketaksamaan yang sama (contohnya, ≤). Terdapat juga kekangan dalam
ketaksamaan yang berlainan (contohnya, ≥). Sekiranya masalah melibatkan pemaksimuman
fungsi objektif dengan kekangan yang bersimbol ≥ , salah satu cara yang senang ialah
mendarabkan ketaksamaan dengan -1 untuk menukarkan ≥ kepada ≤. Selepai itu
persamaan yang terbentuk ditambahkan pemboleh ubah lalai.
Contoh 3.10:
Tuliskan model pengaturcaraan linear berikut dalam bentuk piawai.
Memaksimumkan zyxf 32 ++=
Subjek kepada 6≤++ zyx -------①
63 ≤+ yx ----------②
92 ≥− zx ----------③
0,0,0 ≥≥≥ zyx
Penyelesaian 3.10:
Kekangan ① dan ② boleh terus ditukarkan kepada bentuk piawai dengan senang
seperti yang berikut:
x + y + z + s1 = 6
x + 3y + s2 = 6
Kekangan ③ mempunyai simbol ≥, maka darabkan kekangan ③ dengan -1, dan
ketaksamaan akan menjadi
-2x + z ≤ -9
dan apabila ditambahkan pemboleh ubah lalai, persamaan yang terbentuk akan menjadi
-2x + z + s3 = -9
Dengan itu bentuk piawai model pengaturcaraan linear yang terbentuk adalah:
Memaksimumkan: zyxf 32 ++= + 0 s1 + 0s2 + 0s3
Subjek kepada : x + y + z + s1 = 6
x + 3y + s2 = 6
-2x + z + s3 = -9
di mana x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, s1 ≥ 0, s2 ≥ 0, s3 ≥ 0
Nota: Sekiranya fungsi objektif adalah meminimumkan, maka bentuk piawai persamaan
fungsi ini boleh juga ditukarkan menjadi memaksimumkan –f.

Sebenarnya kekangan bersimbol lebih besar atau sama dengan (≥), misalnya 300510 ≥+ yx
boleh menggunakan pendekatan yang berbeza dengan kekangan yang bersimbol ≤. Ia
melibatkan penolakan pemboleh ubah lebihan (surplus variable) dan bukannya
penambahan pemboleh ubah lalai. Pemboleh ubah lebihan memberitahu kita berapa banyak
penyelesaian melebihi resos kekangan. Oleh kerana analoginya kepada pembolehubah lalai,
pemboleh ubah lebihan kadang-kadang dipanggil lalai negatif (negative slack).
Menukar kekangan 300510 ≥+ yx , kita menolak pemboleh ubah lebihan, katakan s1 untuk
mendapatkan persamaan:
300510 1 =−+ syx
Jika x = 25 dan y = 20, maka pemboleh ubah lebihan atau resos yang tidak digunakan
boleh dihitung seperti yang berikut:
300510 1 =−+ syx
( ) ( ) 3002052510 1 =−+ s
250 + 100 – s1 = 300
– s1 = 300 – 350
s1 = 50 unit lebihan
Pemboleh ubah lebihan ini menginterpretasikan resos lebihan yang digunakan atau
hasilan lebihan yang melebihi kehendak minimum sesuatu masalah. Pemboleh ubah lalai dan
pemboleh ubah lebihan sebenarnya tiada perbezaan yang jelas. Ini kerana jika
300510 ≥+ yx didarabkan -1 akan menjadi 300510 −≤−− yx . Apabila ditambahkan
pemboleh ubah lalai, persamaan akan menjadi 300510 1 −=+−− syx , dan ini adalah sama
dengan 300510 1 =−+ syx .
Secara amnya, masalah pengaturcaraan linear mungkin mempunyai kekangan-
kekangan yang berlainan simbol iaitu simbol ≤, ≥ dan = wujud bersama dalam satu model.
Contoh 3.11:
Tuliskan model pengaturcaraan linear berikut dalam bentuk piawai.
Memaksimumkan yxf 22 +=
Subjek kepada 123 ≤+ yx
133 ≥+ yx
3=− zx
0,0 ≥≥ yx
Penyelesaian 3.11:
Bentuk piawai untuk model pengaturcaraan linear ini ialah
Memaksimumkan: yxf 22 += + 0 s1 + 0s2
Subjek kepada : x + y + s1 = 12
3x + y - s2 = 13 atau -3x - y + s2 = -13
x - y = 3
x ≥ 0, y ≥ 0, s1 ≥ 0, s2 ≥ 0
Bentuk piawai model ini telah menunjukkan pemboleh ubah lalai diperlukan untuk
kekangan yang bersimbol ≤ dan pemboleh ubah lebihan diperlukan untuk kekangan yang
bersimbol ≥, tetapi persamaan tidak memerlukan sebarang pemboleh ubah.

3.4.2 Terminologi Dan Tatatanda
• Suatu penyelesaian masalah pengaturcaraan linear yang diperoleh dengan menetapkan
beberapa pemboleh ubah kepada sifar dipanggil penyelesaian asas.
• Penyelesaian asas yang memenuhi syarat-syarat ketaknegatifan dipanggil
penyelesaian asas tersaur (basic feasible solution).
• Pemboleh ubah yang nilainya sifar dipanggil pemboleh ubah bukan asas (non-basic
variables) .
• Pemboleh ubah yang nilainya bukan sifar dipanggil pemboleh ubah asas (basic
variables).
Contoh 3.12:
Pertimbangkan masalah pengaturcaraan linear (dalam bentuk piawai) berikut:
Meminimumkan : 043 21 =++− xxz
Subjek kepada : 5321 =++ xxx
72 421 =+− xxx
0,,, 4321 ≥xxxx
Model ini ada dua persamaan dengan empat pemboleh ubah iaitu darjah kebebasan = 4 - 2 =
2. Penyelesaian asas kepada masalah ini adalah:
5,0, 321 === xxx dan 74 =x
Di sini, x1 dan x2 adalah pemboleh ubah bukan asas dan x3 dan x4 pemboleh ubah asas.
Memandangkan penyelesaian ini memuaskan syarat ketaknegatifan, ianya juga penyelesaian
asas tersaur.
Contoh 3.13:
Pertimbangkan contoh 3.9, kekangan-kekangan dalam bentuk piawai boleh ditulis sebagai:
4x + 2y + s1 = 60 --------①
2x + 4y + s2 = 48 --------②
dan x ≥ 0, y ≥ 0, s1 ≥ 0, s2 ≥ 0
Model ini didapati mempunyai dua persamaan serentak dengan 4 pemboleh ubah, tidak akan
mempunyai penyelesaian unik. Dalam kes ini,
Darjah kebebasan = Bilangan pemboleh ubah – bilangan persamaan
= 4 - 2 = 2
Jika 2 pemboleh ubah dari model ini disamakan dengan sifar, sistem model ini akan
mempunyai 2 persamaan linear dan dua pemboleh ubah sahaja, maka penyelesaian model ini
akan menjadi unik. Penyelesaian yang terhasil ini dinamakan penyelesaian asas. Pemboleh
ubah yang disamakan dengan sifar itu akan dinamakan sebagai pemboleh ubah bukan asas
dan pemboleh ubah yang diselesaikan itu dinamakan pemboleh ubah asas. Di sini akan
mempunyai ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
4
iaitu 6 pilihan untuk mensifarkan 2 pemboleh ubah pada setiap kali (xy, xs1,
xs2, ys1, ys2, s1s2). Penyelesaian asas boleh tersaur atau tidak tersaur. Penyelesaian asas tersaur
ialah penyelesaian asas yang mematuhi syarat-syarat ketidaknegatifan.
3.4.3 Huraian Kaedah Simpleks Secara Geometri
Semasa penyelesaian masalah pengaturcaraan linear secara graf, selain daripada
menggunakan pembaris dan sesiku, kita boleh menyemak setiap titik bucu pada rantau tersaur,

kerana penyelesaian optimum adalah terletak pada salah satu titik bucu ini. Rajah 3.19 ialah
graf penyelesaian untuk contoh 3.9.
y
x5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30 P
A
B(12,6)
QC
4x + 2y = 60
2x + 4y = 48
O
Rajah 3. 19
Tetapkan x = 0, y = 0, dan selesaikan persamaan, maka s1= 60 dan s2 = 48. Dengan itu
(0, 0, 60, 48) ialah penyelesaian asas dan juga merupakan penyelesaian asas tersaur. Ini
ditunjukkan oleh titik O dalam Rajah 3.19.
Tetapkan x = 0, s1 = 0, dan selesaikan persamaan, maka y = 30 dan s2 = -72. Dengan
itu (0, 30, 0, -72) ialah penyelesaian asas tetapi merupakan penyelesaian asas tidak tersaur
kerana nilai s2 adalah negatif. Ini ditunjukkan oleh titik P(0, 30) dalam Rajah 3.19 yang
terletak di luar rantau tersaur yang berlorek.
Tetapkan x = 0, s2 = 0, dan selesaikan persamaan, maka y = 12 dan s1= 36. Dengan itu
(0, 12, 36, 0) ialah penyelesaian asas tersaur yang diwakili oleh titik A(0, 12) dalam Rajah
3.19.
Tetapkan y = 0, s1 = 0, dan selesaikan persamaan, maka x = 24 dan s2 = 18. Dengan
itu (15, 0, 0, 18) ialah penyelesaian asas tersaur yang diwakili oleh titik C(15, 0) dalam Rajah
3.19.
Tetapkan y = 0, s2 = 0, dan selesaikan persamaan, maka x = 24 dan s1= -36. Dengan
itu (24, 0, -36, 0) ialah penyelesaian asas tetapi merupakan penyelesaian asas tak tersaur. Ini
digambarkan pada titik Q(24, 0) dalam Rajah 3.19 yang terletak di luar rantau tersaur.
Tetapkan s1= 0, s2 = 0, kemudian selesaikan 4x + 2y = 60 dan 2x + 4y = 48, maka
x = 12 dan y = 6. Dengan itu (12, 6, 0, 0) ialah penyelesaian asas tersaur yang diwakili oleh
titik B(12, 6) dalam Rajah 3.19.
Sebenarnya terdapat banyak penyelesaian tersaur untuk persamaan ① dan ② ,
sebagai contoh: x = 10, y = 4, maka s1= 12 dan s2 = 12, di mana tiada pemboleh ubah yang
sifar.
Walau bagaimana pun, tujuan kita ialah mencari profit maksimum untuk fungsi
objektif f = 8x + 6y , kita perlu mempertimbangkan titik-titik O, A, B, C yang mempunyai
dua pemboleh ubah yang sifar.
Titik Penyelesaian asas tersaur f = 8x + 6y
O(0, 0) (0, 0, 60, 48) 0
A(0, 12) (0, 12, 36, 0) 72
B(12, 6) (12, 6, 0, 0) 132 maksimum
C(15, 0) (15, 0, 0, 18) 120
Profit maksimum ialah RM 132 when x = 12, y = 6, s1= 0, s2 = 0.

Dari perbincangan di atas, secara amnya, kita boleh menyimpulkan bahawa kaedah
simpleks ialah satu tatacara peredaran dari bucu ke bucu rantau tersaur untuk mendapatkan
penyelesaian optimum fungsi objektif.
3.4.4 Algoritma Kaedah Simpleks
1. Tuliskan persamaan kekangan-kekangan dan fungsi objektif dalam bentuk piawai
dengan menambahkan pemboleh ubah lalai.
2. Pindahkan data ke dalam tablo (tableau).
3. Cari nilai paling negatif dalam baris fungsi objektif untuk menentukan lajur pangsi
(pivot column)
4. Kirakan nisbah ke atas nilai positif dalam lajur pangsi dengan nilai sebelah lajur
kanan untuk mencari unsur pangsi (pivot element). Baris pangsi akan mempunyai
nisbah terendah. (Jika terdapat nisbah yang sama, pilih unsur pangsi yang terletak di
lajur pangsi dan baris pangsi)
5. Bahagi baris pangsi dengan unsur pangsi. Gantikan pemboleh ubah asas baris pangsi
dengan pemboleh ubah dari lajur pangsi.
6. Tambah/tolak gandaan baris pangsi dengan baris lain untuk mewujudkan sifar dalam
lajur pangsi.
7. Ulangi langkah 3 hingga 6 sehingga tidak terdapat nilai negatif dalam baris objektif.
8. Tuliskan nilai pemboleh ubah asas (dengan lajur yang mengandungi 1 dan 0) sama
dengan nilai sebelah kanan yang sepadan, dan pemboleh ubah bukan asas ( yang tiada
dalam tablo akhir) dituliskan sebagai sifar.
Contoh 3.14:
Selesaikan masalah pengaturcaraan linear berikut dengan menggunakan kaedah simpleks.
Memaksimumkan : yxz 1510 +=
Subjek kepada : 4054 ≤+ yx
132 ≤+ yx
0,0 ≥≥ yx
Penyelesaian 3.14:
Langkah
1
Tuliskan
bentuk
piawai
Memaksimumkan:
yxz 1510 +=
Subjek kepada:
4054 1 =++ syx
132 2 =++ syx
0,0,0,0 21 ≥≥≥≥ ssyx
Memaksimumkan:
yxz 1510 −− 000 21 =−− ss
Subjek kepada:
40054 21 =+++ ssyx
1302 21 =+++ ssyx
0,0,0,0 21 ≥≥≥≥ ssyx
Langkah
2
Pindahkan
data ke
tablo
Pemboleh
ubah asas
x y s1 s2 Penyelesaian
z -10 -15 0 0 0
s1 4 5 1 0 40
s2 1 2 0 1 13
Penyelesaian awal: x = 0, y = 0, s1= 40, s2 =13
baris fungsi objektif
kekangan pertama
kekangan kedua

Langkah
3
Tentukan
lajur
pangsi
nilai paling negatif
Pemboleh
ubah asas
z -10 -15 0 0 0
s1 4 5 1 0 40
s2 1 2 0 1 13
lajur pangsi
Langkah
4
Dapatkan
Nisbah
dan
dapatkan
pemboleh
ubah
masuk
dan keluar
y = pemboleh ubah masuk
Pemboleh
ubah asas
z -10 -15 0 0 0
s1 4 5 1 0 40
s2 1 2 0 1 13
unsur pangsi
s2 = pemboleh ubah keluar
40÷5 = 8
13÷2 = 6.5 (baris pangsi)
Langkah
5
Bahagi
dengan
unsur
pangsi
Pemboleh
ubah asas
z -10 -15 0 0 0
s1 4 5 1 0 40
y
2
1
2
2
2
0
2
1
2
13
Langkah
6
Wujudkan
sifar pada
lajur
pangsi
R1-(-15)R3
R2-(5)R3
Pemboleh
ubah asas
R1 z
2
5
− 0 0
2
15
2
192
R2 s1
2
3
0 1
2
5
−
2
15
R3 y
2
1
1 0
2
1
2
13
Langkah
7
Ulangi
langkah
3 –6
lajur pangsi
Pemboleh
ubah asas
R1 z
2
5
− 0 0
2
15
2
192
R2
s1
2
3
0 1
2
5
−
2
15
R3 y
2
1
1 0
2
1
2
13
unsur pangsi
baris pangsi
2
15
÷
2
3
= 5
2
13
÷
2
1
= 13

Pemboleh
ubah asas
R1 z 0 0
3
5
3
10
110
R2 x 1 0
3
2
3
5
− 5
R3 y 0 1 3
1
−
3
4
4
R1-(-
2
5
)R2
R1-(
2
1
)R2
Langkah
8
Inter-
pretasi
Oleh kerana tiada nilai negatif dalam baris fungsi objektif, maka proses
lelaran berhenti, tablo yang terbentuk ini merupakan tablo akhir. Daripada
tablo ini, didapati nilai maksimum ialah 110 apabila
x = 5, y = 4, s1= 0, s2 = 0
- Syarat optimum
Jika baris fungsi objektif dalam tablo mempunyai pemasukan sifar dalam lajur
pemboleh ubah asas (contoh x dan y) dan tiada pemasukan negatif dalam lajur yang
ditandakan pemboleh ubah asas (cth s1 dan s2), maka penyelesaian menunjukkan tablo
optimum telah dicapai.
Contoh 3.15:
Selesaikan masalah pengaturcaraan linear berikut dengan menggunakan kaedah simpleks.
Memaksimumkan yx 54 + terhadap 1823 ≤+ yx
2442 ≤+ yx
112 ≤y
Penyelesaian 3.15:
Memaksimumkan: yxz 54 −− 0000 321 =+++ sss
Subjek kepada: 180023 321 =++++ sssyx
130042 321 =++++ sssyx
110020 321 =++++ sssyx
0,0,0,0,0 321 ≥≥≥≥≥ sssyx
(i) Tablo 1 (awal) – initial tableau
Pemboleh
ubah asas
x y s1 s2 s3 Penyelesaian Nisbah
R1 z -4 -5 0 0 0 0
R2 s1 3 2 1 0 0 18 18÷2 = 9
R3 s2 2 4 0 1 0 13 24÷ 4 = 6
R4 s3 0 2 0 0 1 11 11÷ 2 = 5.5
(ii) semua unsur R4 dibahagikan dengan 2
new
R4
s3 0 1 0 0
2
1
2
11

(iii) Tablo 2
Pemboleh
ubah asas
R1-(-5) R4 z -4 0 0 0
2
5
2
55
R2-(2) R4 s1 3 0 1 0 -1 7 7÷3
R3-(4) R4 s2 2 0 0 1 -2 2 2 ÷ 2 = 1
R4 y 0 1 0 0
2
1
2
11
(iv) semua unsur R3 dibahagikan dengan 2
new
R3
s2 1 0 0
2
1
-1 1
(v) Tablo 3
Pemboleh
ubah asas
R1-(-4) R3 z 0 0 0 2
2
3
−
2
63
R2-(3) R3 s1 0 0 1
2
3
− 2 4
4÷2 = 4
R3 x 1 0 0
2
1
-1 1
1 ÷ -1
(abaikan)
R4 y 0 1 0 0
2
1
2
11
2
11
÷
2
1
=11
(vi) semua unsur R2 dibahagikan dengan 2
new
R2
s2 0 0
2
1
4
3
− 1 2
(vii) Tablo 4 (akhir)
Pemboleh
ubah asas
x y s1 s2 s3 Penyelesaian
R1-(
2
3
− ) R2 z 0 0
4
3
8
7
0
2
69
R2 s3 0 0
2
1
4
3
− 1 2
R3-(-1) R2 x 1 0
2
1
4
1
− 0 3
R4-(
2
1
) R2 y 0 1
4
1
−
8
3
0
2
9
(vii) Memandangkan sudah tiada nilai negatif dalam fungsi objektif, maka ini merupakan
tablo terakhir. Keuntungan maksimum sebanyak
2
69
unit diperoleh apabila x = 3 unit, y
=
2
9
unit dengan lalai pada kekangan ketiga ialah 2 unit.
Keputusan ini menunjukkan pemboleh ubah asas ialah x, y, dan s3. Pemboleh ubah
bukan asas ialah s1 dan s2.

3.4.5 Rumusan Kaedah Simpleks
Terdapat 6 langkah dalam mengira nilai bagi tablo simpleks yang seterusnya seperti yang
ditunjukkan dalam rajah berikut.
Rajah 3.20
• Model pengaturcaraan linear boleh ditulis dalam bentuk piawai dengan mengunakan
kaedah simpleks.
• Kaedah simpleks mengandungi satu siri peraturan, setiap langkah adalah menuju
kepada penyelesaian optimal.
• Tablau simpleks dibinakan untuk memudahkan pengiraan dengan menggunakan proses
penyelesaian simpleks.
• Syarat optimum wujud dalam tablo simpleks. Optimum tercapai apabila pekali
pemboleh ubah bukan asas bagi baris objektif adalah semua bernilai positif bagi kes
masalah maksimum dan pekali pemboleh ubah bukan asas bagi baris objektif adalah
semua bernilai negatif bagi kes masalah minimum.
3.4.6 Penyelesaian masalah pengaturcaraan linear dengan MS Excel
Anda wajib untuk memuatkan Solver ke dalam Excel. Muatan adalah berbeza untuk
versi yang berlainan semasa memuatkan Solver ke dalam Excel. Solver mempunyai kapasiti
untuk mengoptimumkan fungsi objektf subjek kepada kekangan-kekangan.
3.4.6.1 MS Excel 2003 dan versi yang lebih rendah
Klik tools, kemudian Add-ins, pilih Solver Add-in. Selepas itu boleh terus ke
penggunaan Solver seperti dalam bahagian 3.4.5.3.
Kenal pastikan pemboleh ubah bukan asas. Lajur berkenaan
dikenali sebagai lajur pangsi (pivot column)
Kenal pastikan pemboleh ubah asas yang dikeluarkan. Baris
berkenaan dikenali sebagai baris pangsi (pivot row)
Kenal pastikan elemen pangsi (element)
Dapatkan pekali baru untuk baris pangsi (pivot row)
Dapatkan pekali baru untuk baris pangsi yang lain
Ulangi prosedur ini sehingga mencapai penyelesaian optimum

3.4.6.2 MS Excel 2007 dan versi yang lebih tinggi
1. Klik butang Microsoft Office , dan kemudian klik Excel Options.
2. Klik Add-Ins, dan kemudian di dalam kotak Manage, pilih Excel Add-ins.
3. Klik Go.
4. Di dalam kotak Add-Ins available, pilih Solver Add-in dalam kotak semak, dan
kemudian klik OK.
(a) Tip - jika Solver Add-in tidak disenaraikan di dalam kotak Add-Ins available, klik
Browse untuk mencari add-in.
(b) Jika anda mendapati bahawa Solver Add-in ini tidak dipasang (install) pada
komputer anda, klik yes untuk memasang.
5. Selepas anda memuatkan Solver Add-in, arahan Solver didapati dalam kumpulan
Analysis pada tab Data.
3.4.6.3 Penyediaan lembaran kerja (worksheet) untuk Solver
Menyediakan lembaran kerja (Worksheet) ialah langkah pertama menggunakan
Solver untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear. Format lembaran adalah
mengikut kehendak pengguna. Template asas ini dapat menerima masalah yang berkaitan dan
menyediakan ruang penyelesaian. Ia boleh digunakan atau diubahsuaikan untuk masalah
pengaturcaraan linear yang lain. Gunakan lembaran kerja Excel yang kosong, taipkan
label-label seperti rajah 3.21:
Rajah 3.21
Contoh 3.16
Max P = RM50X1 +RM60X2
subjek kepada:
2X1+ 1X2 ≤ 6
1X1 + 2X2 ≤ 6
X1 , X2 ≥ 0
1. Dalam sel A1, taipkan Contoh 3.16. Dalam sel E3, taipkan Max P. Dalam sel F3, taipkan
Profit.
2. Taipkan pemalar-pemalar untuk fungsi keuntungan ( 50, 60) dalam sel B3 dan C3.
3. Taipkan pemalar-pemalar untuk pembolehubah (2, 1) dan nilai sebelah kanan-RHS (6)
untuk kekangan 1 dalam sel B4, C4 dan E4.
4. Taipkan pemalar-pemalar untuk pembolehubah (1, 2) dan nilai sebelah kanan-RHS (6)
untuk kekangan 2 dalam sel B5, C5 dan E5.
5. Taipkan simbol ≤ dalam sel D4 dan D5.

Rajah 3.22
Lembaran kerja menyediakan Solver bagi maklumat yang diperlukan dan ruang untuk
memaparkan jawapan masalah ini. Sekarang, taipkan rumus dalam ruangan sebelam kanan
seperti yang berikut:
1. Taipkan formula =SUMPRODUCT(B3:C3,B$10:C$10) untuk menghitung profit
dalam sel G3.
2. Salinan formula ke sel G4:G5.
3. Dalam sel H4, taipkan =ABS(E4-G4) untuk mencari lalai bagi kekangan 1. Salin
formula ini ke H5.
4. Lembaran kerja anda sekarang adalah seperti rajah 3.22:
Rajah 3.23
3.4.5.4 Penggunaan Solver
MS Excel 2007 dan versi yang lebih tinggi: Klik Data, cari Analysis untuk memilih Solver
MS Excel 2003: klik Tools dan kemudian Solver. Tetingkap parameter Solver yang lengkap
adalah seperti rajah 3.23:
Rajah 3.24
3.16
3.16

Kemudian, klik options, memilih Assume linear Model dan Assume Non-Negative. Klik
OK.
Rajah 3.25
Kemudian klik Solve. Lembaran kerja akan menunjukkan penyelesaian masalah berkenaan.
Rajah 3.26
Penyelesaian untuk Contoh 3.16 mendapat profit maksimum = RM 220, bila X1 = 2, X2 = 2,
dan kedua-dua kekangan tidak mempunyai lalai.
Contoh 3.17
Min C= RM100X1 + RM150X2 + RM120X2
subjek kepada:
1X1 + 1X2+ 1X3 = 6
1X1 + 2X2+ 1X3 ≥ 8
1X1 + 1X2 + 2X3 ≤ 9
X1 , X2 , X3 ≥ 0
Masukkan data masalah ini ke dalam lembaran kerja – anda perlukan lajur tambahan untuk
pemalar X3. Kemudian masukkan formula seperti berikut:
1. Taipkan sel H3 =SUMPRODUCT(B3:D3,B$10:D$10) untuk menghitungkan kos.
2. Salin formula berkenaan ke H5:H6.
3. Taipkan =ABS(F4-H4) untuk mendapatkan lalai/lebihan kekangan 1. salin formula
ini ke I5:I6

4. Lembaran kerja anda adalah seperti yang berikut:
Rajah 3.27
Klik pada Tools, kemudian Solver. Tetingkap parameter Solver yang lengkap diisi
dipapar seperti yang berikut:
Rajah 3.28
Sekarang, klik Options, pilih Assume linear Model dan Assume Non-Negative, klik OK.
Rajah 3.29

Klik pada Solve. Lembaran kerja ini akan menunjukkan penyelesaian masalah ini.
Rajah 3.30
Penyelesaian bagi Contoh 3.17 ialah kos minimum = RM700, apabila bila X1 = 4, X2 = 2, X3
= 0, di mana kekangan 1 dan kekangan 2 tiada lalai.
Nota: Formula boleh ditaipkan pada mana-mana sel. Yang penting ialah sel yang terlibat
dalam formula mesti betul. Sila rujuk bahan nota TMK untuk penggunaan Excel yang
mudah, atau laman-laman web berikut: http://spreadsheets.about.com/, http://www.free-
training-tutorial.com/ dan lain-lain.
Tutorial 3.2
Dari Decision Math D2/C pg 11-12, Latihan 1A No. 1, 2, 3. Sharing solution
1. Dengan menggunakan algoritma simpleks, selesaikan masalah pembuatan minuman
tetapi dengan menggunakan lajur y sebagai lajur pangsi pertama.
Memaksimumkan yxl 8.0+=
Subjek kepada 1000≤+ yx
15002 ≤+ yx
240023 ≤+ yx
2. Selesaikan masalah pengaturcaraan linear berikut dengan menggunakan kaedah simpleks.
Memaksimumkan yxP 2416 +=
Subjek kepada 2432 ≤+ yx
162 ≤+ yx
6≤y
0,0 ≥≥ yx
3. Selesaikan masalah pengaturcaraan linear berikut dengan menggunakan algoritma
simpleks.
Memaksimumkan zyxP 6109 ++=
Subjek kepada 3432 ≤++ zyx
8266 ≤++ zyx
0,0,0 ≥≥≥ zyx

Jawapan:
1. x = 400, y = 600, P = 880 2. x = 4.8, y = 6.4, P = 230.4
3. x = 6, y = 4, P = 192
Tutorial 3.3
1. Gunakan kaedah simpleks untuk selesaikan masa pengaturcaraan linear berikut:
Memaksimumkan : 21 34 xxz +=
Subjek kepada : 4021 ≤+ xx
502 21 ≤+ xx
0, 21 ≥xx
2. Kedai Fortesque membuat dan menjual dua jenis campuran kopi iaitu campuran biasa
Breakfast dan campuran khas Dinner. Setiap campuran ini dihasilkan dengan
menggunakan tiga jenis kacang kopi iaitu Arabia, Blue Mountain dan Costa Rica.
Campuran biasa memerlukan 1 bahagian Arabia, 3 bahagian Blue Mountain dan 3
bahagian Costa Rica. Manakala campuran khas memerlukan 2 bahagian Arabia, 2
bahagian Blue Mountain dan 1 bahagian Costa Rica. Pengimport kopi dapat
membekalkan Starbucks sebanyak 120 kg Arabia, 180 kg Blue Mountain dan 150 kg
Costa Rica pada setiap minggu. Profit yang diperoleh dari penjualan campuran biasa
ialah 25 sen per kg dan campuran khas ialah 50 sen per kg. Kedai Fortesque dapat
menjual semua campuran kopinya.
(i) Rumuskan masalah pengaturcaraan linear ini untuk mendapatkan profit
mingguan yang maksimum.
(ii) Gunakan kaedah simpleks untuk menyelesaikan masalah di (i). Interpretasikan
dapatan anda.
3. Sebuah kilang mengeluarkan dua jenis tali, iaitu Domestic dan Heavy Duty dengan
menggunakan 3 jenis gred nilon yang berlainan. Jadual 1 menunjukkan amaun setiap
jenis gred nilon dalam gram yang diperlukan untuk menghasilkan 1 meter tali.
Tali
Nilon Domestic Heavy Duty
Gred 1 3 6
Gred 2 4 7
Gred 3 5 4
Jadual 1
Kilang ini mendapat profit sebanyak 40 sen per meter untuk tali Domestic dan 25 sen
untuk tali Heavy Duty. Bekalan nilon mengikut gred yang dapat disediakan ditunjukkan
dalam Jadual 2.
Nilon Bekalan (dalam gram)
Gred 1 1100
Gred 2 1900
Gred 3 1400
Jadual 2

Pengurus kilang ingin menghitungkan amaun setiap jenis tali untuk memaksimumkan
profit mingguan.
(i) Rumuskan masalah pengaturcaraan linear untuk memaksimumkan profit
mingguan.
(ii) Selesaikan masalah pengaturcaraan linear di (i) dengan kaedah simpleks.
Interprestasikan dapatan anda.
(iii) Gunakan hasil dapatan dari (ii) untuk menentukan amaun nilon setiap gred
yang tidak digunakan.
Jawapan :
1. 1x =10, 2x = 30, z = 130
2. (ii) Kedai Fortesque harus menghasilkan 210 kg campuran kopi Breakfast dan 225 kg
campuran kopi Dinner pada setiap minggu. Profit mingguan yang maksimum ialah
RM165.
3. (iii) Kilang ini harus menghasilkan 280 meter tali Domestic dan 0 meter tali Heavy Duty
pada setiap minggu. Profit mingguan yang maksimum ialah RM112. Nilon yang
tidak digunakan: Gred 1 = 260 g, Gred 2= 780 g, Gred 3 = 0 g.

MTE3104 – MATEMATIK KEPUTUSAN
Cik Farm CM, Dr. Hu LN, IPGM 4 - 1
TOPIK 4: GRAF ( 1 jam kuliah 2 jam tutorial)
4.1 Definisi
1. Graf adalah suatu diagram yang menggunakan satu set titik, V (bukan set kosong) dan
dikait dengan satu set garis, E untuk menyambungkan titik.
2. Titik-titik dinamakan sebagai bucu(vertex/ node), dan garis-garis dinamakan sisi (edge)
bagi yang tiada arah atau lengkok bagi yang berarah (arc). Jika satu sisi bermula dan
tamat pada satu titik sahaja, maka digelar gelung(loop). Sekiranya sesuatu bucu itu tiada
sisi, maka ia dinamakan bucu terpencil (isolated vertex).
bucu terpencil
Rajah 4.1(a) Rajah 4.1(b) Rajah 4.1(c)
3. Darjah (degree/ order) sesuatu bucu merujuk kepada bilangan sisi yang terdapat pada
sesuatu bucu. Darjah bucu yang mempunyai gelung ialah 2. Bilangan sisi ialah jumlah
sisi yang terdapat dalam satu graf. Jumlah darjah (total of degrees) = 2 x bilangan sisi
Contoh 4.1 : Carikan darjah bagi setiap bucu yang terdapat pada rajah 4.2(a) dan 4.2(b).
Rajah 4.2 (a) Rajah 4.2(b)
Penyelesaian 4.1:
Bucu Darjah
E 2
F 2
G 4
Contoh 4.2: Lukiskan graf-graf yang mungkin bagi set bucu = {2, 3, 4, 5, 6}
Penyelesaian 4.2:
Bucu Darjah
A 2
B 2
C 3
D 1
B
D
C
A
F
G
E
bucu sisi gelung Sisi selari
2
4
3
56
2
4
3
56
2
4
3
56

Contoh 4.3: Lukiskan graf yang mempunyai empat bucu di mana satu bucu dengan darjah 4,
satu bucu dengan darjah 2 dan dua bucu dengan darjah 1.
Penyelesaian 4.3: (graf adalah tidak unik).
atau
Rajah 4.4(a) Rajah 4.4(b)
Contoh 4.4:
Lukiskan graf yang mempunyai bucu dengan label 2,3, ..., 9. Lukiskan sisi antara bucu-bucu
yang tiada faktor sepunya. Dapatkan jumlah sisi dan jumlah darjah untuk semua bucu.
Penyelesaian 4.4:
Rajah 4.5
4. 2 Jenis-jenis graf
1. Graf ringkas (simple) tidak mempunyai gelung atau yang tiada sisi selari pada sebarang
bucu. Bilangan sisi maksimum yang mungkin bagi graf ringkas ialah ( )1
2
1
−nn .
Contoh 4.5 : Manakah yang berikut dalam rajah 4.6 merupakan graf ringkas?
Rajah 4.6
2
3
4
56
7
8
9
Bilangan sisi = 19
Darjah bagi setiap bucu ialah 4, 5, 4, 7,
2, 7, 4 dan 5
Jumlah darjah
= 4 + 5 + 4 + 7 + 2 + 7 + 4 + 5
= 38
= 2 x 19

Penyelesaian 4.5: a dan d adalah graf ringkas.
2. Satu perjalanan (walk/ journey) ialah satu turutan sisi yang mana hujung satu sisi
merupakan titik permulaan sisi yang satu lagi.
Contoh: CD, DA, AB, BD, DA
3. Satu trail ialah satu walk yang tiada sisi yang berulang.
Contoh: CD, DA, AB, BC, CA
4. Satu Laluan(path) ialah satu trail yang tiada bucu yang berulang. ABCDEFGH ialah
laluan dalam rajah 4.7.
Rajah 4.7
5. Kitaran (cycle/ circuit) ialah laluan tertutup. Penghujung sisi terakhir ialah permulaan
sisi pertama. ABCDEFA ialah satu laluan dalah rajah 4.8.
Rajah 4.8
6. Kitaran Hamiltonian ialah laluan tertutup yang mana setiap bucunya akan dilawati dan
hanya dilawat sekali saja. Rajah 4.9 menunjukkan kitaran Hamiltonian yang mempunyai
bucu-bucu {a, b, c,d, e, f, g, a}. Begitu juga graf dalam rajah 4.8 juga merupakan kitaran
Hamiltonian.
Rajah 4.9
7. Graf dikatakan berkait (connected) apabila laluan wujud di antara setiap pasang bucu,
iaitu tiada bucu terpencil. Graf di bawah adalah contoh graf tidak berkait kerana v2 tidak
dikait dengan v5 dan mempunyai bucu terpencil v4 .
Rajah 4.10
A
B
C D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F

8. Perentang pokok (spanning tree/ connector) ialah graf ringkas yang tiada kitaran.
Rajah 4.11
9. Graf-terarah (digraph/ directed graph) ialah graf yang mempunyai sekurang-kurangnya
satu sisi yang berarah.
Rajah 4.12
10. Graf lengkap (complete), Kn ialah graf ringkas yang mana setiap pasang bucu dihubung
dengan satu sisi.
K2 K3 K5
11. Matrik insidens (incident matrix) ialah satu cara untuk menggambarkan graf dengan
matriks. Perhatikan dua graf dalam rajah 4.14(a)dan (b) serta matriks insidensnya.
A B C D
D
C
B
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0101
1012
0101
1210
Rajah 4.14(a)
A B C D
D
C
B
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0111
1011
1101
1110
Rajah 4.14(b)
Contoh 4.6 : Penyelesaian 4.6:
Lukiskan graf bagi matrik insidens berikut :
A B C D
D
C
B
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2111
1001
1002
1120
Rajah 4.15
B
C
A
D
B
C
A
D
C
D
A
B

12. Graf planar (satah) bermakna graf yang sisinya tidak bersilang.
13. Graf bipartite merujuk kepada bucu-bucu terletak dalam dua set dan setiap sisi dihubungi
dengan bucu dari set pertama dan bucu dari set kedua.
Katakan X = {A, B, C} dan Y = { P, Q }, rajah 4.16 telah menunjukkan setiap sisi telah
berkait dengan satu bucu di set X dan satu bucu di set Y.
Rajah 4.16
14. Dua graf dikatakan isomorfisme (isomorphic) jika ia boleh diregang (stretch),
dipulas(twist), atau diputarbalikkan (distort) ke dalam yang lain.
Contoh 4.7: Graf rajah 4.17 (a) dan (b) adalah isomorfisme.
Rajah 4.17 (a) Rajah 4.17 (b)
Catatan: kedua-duanya mempunyai matrik insidens yang sama iaitu
A B C D E
E
D
C
B
A
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
01000
10111
01010
01100
01000
Tutorial 4.1 ( 2 jam )
Dalam kumpulan, bincangkan dan bentang jawapan bagi Exersice 2B soalan 1-7 dalam buku
rujukan utama Decision Mathematics 1 ( muka surat 58 -59)
A
B
C
DE A
B
C
D
E
A
B
C
P
Q

Tutorial 4.2:
Sesebuah oktahedron boleh diwakili dengan satu graph seperti dalam rajah di bawah.
Dalam graf ini, 8 bucu graf mewakili 8 permukaan oktahedron. Bucu-bucu ini dihubung
dengan satu sisi atau lengkung jika permukaan-permukaan ini bersebelahan.
i) Lukiskan satu graph untuk mewakili satu tetrahedron.
ii) Lukiskan satu graph untuk mewakili satu piramid bertapak segiempat sama.

iii) Lukiskan satu graph untuk mewakili satu tetrahedron selinder yang mempunyai 3
permukaan.
iv) Apakah bentuk yang diwakili oleh graf di bawah.

129554733 modul-mte3104-matematik-keputusan (1)

129554733 modul-mte3104-matematik-keputusan (1)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 129554733 modul-mte3104-matematik-keputusan (1)

Similar to 129554733 modul-mte3104-matematik-keputusan (1) (20)

129554733 modul-mte3104-matematik-keputusan (1)