Il documento riguarda una lezione sulle elezioni online e include dettagli sulla probabilità, descrivendo spazi campionari, eventi e loro proprietà. Si affrontano concetti come probabilità condizionata, indipendenza e diverse definizioni di probabilità, compresa la concezione classica e la definizione frequenzialista. Inoltre, viene enfatizzata l'importanza di comprendere le definizioni e i calcoli nella teoria della probabilità per affrontare esercizi pratici.

1. Chiamo e stato chiesto e volevo dire riguardo alle elezioni presente online allora visto che domani
dopodomani ci sono le lauree comunità che ha un lezioni di domani e dopodomani sono online per
tutti c'è scritto nelle date 12 13 Aprile le elezioni saranno online per tutti fermo ricevuto
comunicazione anche voi però quindi la lezione di mercoledì cioè è online la lezione di giovedì a
quanto mi risulta ok chiarita questa cosa organizzativa ci sono altre domande riguardo alla milita
l'argomento ma scorsa qualche domanda in particolare casa allora magari iniziamo con un
brevissimo recap delle altre della lezione scorsa almeno e poi procediamo allora già delle cose
proprio improduttive la prova o esperimento ratorio come un esperimento che ha più esiti
possibili e riguardo al quale c'è un cervello no qua poi ogni sottoinsieme dello spazio campionario
abbiamo detto che è un evento gli eventi elementari sono i singoli esiti possibili del nostro
esperimento con gli eventi elementari possiamo costruire degli eventi un po più complessi che
sono sottoinsiemi di questo spazio campionario omega mi raccoglie tutti gli esiti possibili nel caso
del dado ad esempio i sei numeri che sono scritti ai pazienti abbiamo distinto spazi e spazi
campionari continui il dado è un esempio di spazio campionario discreto un esempio di spazio
campionario continuo può essere o avevo messo il lancio di un apprezza un bersaglio ma avevamo
fatto anche un'altro esempio riguardo alla durata ad esempio una lampadina o qualsiasi altra
forma ok abbiamo fatto un po di esempi più o meno complicati e poi avevamo sottolineato questo
concetto base cioè che gli eventi sono sottoinsiemi di omega e come tali si possono fare tutte le
operazioni tra insiemi ci concentreremo su una classe di sottoinsiemi dentro la quale ci possiamo
muovere liberamente con le operazioni di intersezione Unione collezione di sottoinsiemi di omega
che per noi vanno bene su quali possiamo lavorare con la probabilità abbiamo definito la
probabilità come misura e con particolare come misura finita che prende valori tra zero e uno
quindi a ogni sottoinsieme che sta nella sigma Angela possiamo associare un numero tra zero e
uno che è la stop probabilità quindi la probabilità è una funzione che va dalla sigma algebra
all'intervallo 0 1 e che deve rispettare alcuni assiomi dimostriamo di anzi li poniamo veri li
esigiamo che siano veri dopodiché su questi costruiamo tutte le nostre opposizioni o teoremi
chiamateli come voi quindi innanzitutto la probabilità è sempre positiva poi la probabilità totale
cioè la probabilità di omega e uno e poi c'è questa proprietà di additività per cui la probabilità
dell'unione di due insiemi che siano disgiunti cioè con intersezione vuota e la somma delle
probabilità e questo vale anche se fate la somma infinita con un'infinità numerabile cioè elencabili
di fino a qua tutto chiaro c'è qualche domanda poi ho usato gli assiomi per dimostrarvi un po di
proprietà ok quindi che la la probabilità del complementare uno meno la probabilità dell'insieme
di partenza la probabilità dell'insieme vuoto che vi ricordo appartiene a qualsiasi sigma algebra
scegliate è uguale a zero e poi si può calcolare la probabilità ad esempio della differenza cioè di
questa parte qui dove sto muovendo il mouse queste a meno B poi c'è questa proprietà che si
chiama di monotonia cioè se un'insieme sta dentro l'altro la tua abilità del contenuto è minore
della tua vita del contenitore e poi vabbè da questo discende che tutte le probabilità stanno tra 0
1 ok ve l'avevo dimostrate ma lo scopo della dimostrazione era più che altro farvi lavorare un po
con queste proprietà è una cosa che vi può servire anche negli esercizi eh non è non è solo fino
alle dimostrazioni cioè se uno vi chiede la probabilità di uno di questi insiemi che si possano
ricavare qua può essere complementare di al complementare di a unito B il complementare di
intersezione di dovete un po saperci giocare ok poi avevamo visto la formula generale della
probabilità dell'unione quindi se i due insiemi sono disgiunti se non c'è intersezione si fa solo la
somma che sono sovrapposti in qualche modo bisogna togliere l'intersezione perché sennò
l'intersezione viene contata due volte vi ricordate e poi c'eravamo entrati in un argomento un
pochino più forse complicato da capire che è quello della probabilità condizionata noi avevamo già
visto le frequenze condizionate nella fatto di statistica descrittiva nella prima unità e qua abbiamo
visto che ci sono tante analogie quindi la probabilità condizionata la probabilità di un evento

2. diciamo a sapendo che si verifica l'evento B potenzialmente anche nello stesso esperimento eh
quindi diciamo nello stesso lancio di dadi io so che è uscito un numero pari ma non so se è uscito 2
4 o sei allora mi chiedo qual è la probabilità che sia uscito proprio due sapendo che in quel lancio
uscito un numero pari a questo tipo di domanda rispondo con la probabilità condizionata la
riprendiamo un secondo perché ci sarebbe oggi oggi facciamo il teorema di nella prima ora farei
oltre al ripasso il teorema di bass o bayes sicuramente e poi nella seconda ora introduciamo un
oggetto nuovo ok quindi la probabilità condizionata risponde a questo tipo di domande e si
definisce così è la probabilità dell'intersezione fratto la probabilità dell'evento condizionante in
questo caso B quindi qua abbiamo detto ci stiamo restringendo all'evento B perché sappiamo che
B è accaduto è successo quindi il nostro universo di riferimento non è più omega grande ma è di
sappiamo che siamo dentro bilico che vi è accaduto quindi per fare in modo che poi tutte queste
probabilita sommino uno bisogna dividere per la probabilita di big che è il nostro nuovo locale
diciamo ok quindi questa nuova probabilita c'e la probabilita di qualcosa da Toby e a sua volta una
misura di probabilità quindi un numero tra zero e uno è sempre positiva e rispetto ai vari assiomi
ok questo ci servirà ad esempio oggi per fare un paio di conti quando facciamo il nostro esempio il
teorema di di base perché ci muoveremo dentro un mondo di probabilità condizionate va bene gli
avevo fatto notare che ci sono delle somiglianze abbastanza chiare con le frequenze condizionate
ma perché di fatto stiamo provando a rispondere alla stessa domanda qui in maniera teorica ok
qui non è che sono stati fatti degli esperimenti ed è stato osservato una frequenza qui ci stiamo
immaginando che venga lanciato un dado e quali sono le probabilità teoriche di osservare 123456
le frequenze entrano in campo quando gli esperimenti sono stati fatti e si osserva che magari una
determinata cosa si è verificata con una determinata perché comunque visto che si rispondono
alle stesse domande per fortuna è tutto coerente quindi la frequenza condizionata vi ricordate era
la frequenza assoluta congiunta tra l'altro la frequenza assoluta marginale dell'evento
condizionante quindi mentre nelle probabilita mi restringo a un evento l'evento B con le frequenze
mi restringo a una sotto popolazione la popolazione in questo caso di quelli che hanno y uguale di
secondo ovviamente il fatto che y sia uguale AYJ è di per sé a sua volta un evento ok certo c'è
quindi sto abbastanza coerente avevamo visto che da questa definizione di probabilità
condizionata salta fuori invertendo la divisione facendo il prodotto una formula per l'intersezione
che è molto utile perché a volte noi non sappiamo la probabilità di a la tua bibi è la probabilità
dell'intersezione ma sappiamo solo la probabilità di a e poi ad esempio la probabilità che si
verifichi dato a monete che Bussi a un evento sia relativo a un esperimento che viene fatto anche
a livello temporale dopo ok Mario PDE la probabilità che dire piove domani AE piove oggi ok mia
volte potete conoscere la probabilità di passare da uno stato di oggi a uno stato di domani una
cosa succede spesso ok comunque questa formula qua è utile e si può esercitare in entrambi i
sensi cioè posso usare la probabilità di a è la tua abilità di big dato a oppure viceversa la
probabilità di BE la probabilita di andato giù sono ovviamente uguali perché sono uguali
all'imperfezione ok bene abbiamo visto che un'altro modo di definire l'indipendenza e guardare la
probabilità dell'intersezione cioè in generale la probabilità dell'intersezione è fatta così come hai
scritto in alto ok che devo tener conto del condizionamento però ci sono dei casi in cui la
probabilità dell'intersezione semplicemente il prodotto delle due probabilità in quel caso lì diremo
che gli eventi sono indipendenti e se ci fate caso è come dire se guardate questo pezzo qui di
equazione questo ok quand'è che sono uguali quando visibili è uguale a più di dilatua questo è
un'altro modo di vedere indipendente cioè se sapere a non cambia la probabilità che assegno vi
vuol dire che hai Bing è un po quello che dicevamo delle frequenze vi ricordate cioè diciamo che i
due caratteri erano indipendenti sulla base delle frequenze delle frequenze fattori Tavano oppure
se le frequenze condizionate erano uguali alle frequenze marginali ok perfetto poi per concludere
aveva modesto che era possibile su ogni spazio di probabilità definire più sigma algebra però

3. supponiamo di aver scelto una sigma algebra abbiamo omega e la sigma algebra e queste fanno
uno spazio probabilità stabile c'è uno spazio su cui posso mettere una probabilità a questo punto
dobbiamo scegliere la probabilità è anche questa scelta qua lascia tante opzioni abbiamo visto
alcune diciamo macro scelte ma quelle concessioni sulla probabilità da da utilizzare la probabilità
classica è quella che si usa negli ambiti come il lancio dei dadi dove omega è finito e possiamo
supporre che tutti gli esiti siano i più probabili cioè abbiano la stessa probabilità questo fa sì che la
massa totale di probabilità che fa uno venga suddivisa equamente sui in questo caso sei esiti
possibili sui sei eventi elementari quindi vuol dire che ciascun evento elementare nella concezione
classica avrà probabilità 1/6 con generale uno fratto K sentiamo quello questo è un po
semplicistico semplifica molto le cose il lato positivo e che ci permette di fare i conti quindi se
finora non siamo riusciti a fare i conti con le probabilità ma abbiamo parlato solo in astratto in
alcuni casi possiamo dire adottiamo questa questa concezione e facciamo i conti in particolare
come farò a calcolare la probabilità di un evento basta contare quali sono gli casi cioè gli eventi gli
esiti degli eventi elementari che corrispondono al nostro evento devi vivere per il numero dei casi
possibili ad esempio se voglio la probabilità che esca un numero pari quando lancio il dado quali
sono quanti sono gli eventi per evento e esce un numero pari siamo nell'esperimento lancia un
dado a sei facce ecco concezione classica poi la probabilità che esce un numero pari invitato finale
un mese però ci arriviamo il numero di casi favorevoli eh 324 e sei sono i casi cioè gli esiti o gli
eventi elementari che sono favorevoli al verificarsi del mio evento e su un numero pari quindi
guardo al mio evento è come un sottoinsieme di omega in questo caso il suo tensione 246 conto
quanti elementi contiene
Infatti io ve l'ho scritto anche in un'altro modo questa cosa cioè probabilità di BE la cardinalità di
Beach il numero di elementi B fratto la cardinalità di omega e questo è esattamente l'esempio di
prima bene ovviamente poi una volta che io posso calcolare le probabilità trapuntini in caso così
semplice come quello del dado posso anche andare a dare un valore a cose un po più complicate
come la probabilità condizionata quindi mi devo solo ricordare della definizione cioè che devo fare
intersezione tratto evento condizionante e dovrebbe essere abbastanza facile ci sono dubbi su
come si calcola la probabilità condizionata io in teoria fino adesso non mi ha detto nulla e
domenica e sabato e domenica sabato per cena e domenica per poi viste così è messo giù da me
già fatte sembrano tutte facce questi sono purtroppo sono sicuro che qualcuno sbaglia e cercate
quando poi siete lì che dovete fare l'esercizio con calma ricordatevi bene le definizioni dopodiché
neanche non è che ci sia tanto da inventare ok poi avevamo osservato ad esempio che è una cosa
che ci siete bianchi oggi che vedete che in questo caso i due eventi sono esce un numero minore
uguale di 5 e l'altro evento e esce un numero pari non sono indipendenti due eventi perché perché
conoscere B cambia la mia probabilità su a cioè se io vado a valutare la probabilità di a cioè la
probabilità che esca un numero minore uguale di 5 senza sapere null'altro tiro con la probabilità è
5 6 so che l'esito è pari e mi chiedono la probabilita che l'esito sia minore uguale dici fatto che sia
uscito un numero pari restringe il campo degli eventi possibili a 246 e vedete che tra questi tre
eventi 2/3 sono minori uguali di 5 per quello che poi esce 2/3 quindi il fatto di essermi ristretto
all'evento B cioè il sottoinsieme 246 cambia le mie valutazioni sul fatto che sia più o meno
probabile chiesto un perché non va bene ma dai idem anche invertire l'ordine cioè PB dato a sarà
probabilmente diverso 2/3 in generale lo è perché dovrò fare questa stessa intersezione cioè 2/6
fratto la probabilità di a che e 5/6 quindi vedete che PDB dato acqua non ve l'ho messo ve lo posso
aggiungere però eh 5 7 va bene no e 2/5 correggetemi se dico stupidate l'intersezione rimane
uguale avete capito che quanto sto facendo ho fatto quello niente volevo farvi vedere una cosa
alla lavagna ma evidentemente oggi comunque se provate a fare PDB dato a chi viene al
numeratore la stessa cosa al denominatore dovete mettere PDA quindi vi verrà 2/6 fratto 5/6 che
fa 2/5 al posto di 2/3 quindi vedete che in generale l'ordine di condizionamento è importante

4. questo lo vedremo tra pochissimo col teorema di base va bene quindi avevamo chiuso l'ultima
volta dicendo un po di corsa il fatto che oltre alla concezione classica che va bene nei casi così
semplici ci sono altre concetti di probabilità una è quella frequenti lista cioè si suppone che il
nostro esperimento o prova sia ripetibile all'infinito infinite volte nelle stesse condizioni anche
questa è un'assunzione un po forte e non del tutto realistico ok però quantomeno non stiamo
supponendo che gli esiti siano più qui probabili in questo caso definiamo la probabilità di un
evento come il limite mentre le prove vanno di infinito della frequenza con cui questo evento si
realizza ad esempio io voglio ottimale la probabilità che o di Valente IPS venga promosso all'esame
ti faccio fare tanti esami e poi vado a vedere quante volte ha superato l'esame fratto il numero di
esami che ha dato ovviamente la cosa ideale in realtà sarebbe che lui facesse tante volte la stessa
prova questa non e la stessa proprio vedete che questa definizione qua ha un po di problema
perché non tutte le prove sono replicabili ok o quantomeno replicabile in maniera indipendente e
nelle stesse cose però possiamo fare degli esempi un po un po migliori tipo avete un macchinario
che vi sputa fuori 1 1 vite ok la vite può essere conforme o non conforme la probabilità che esca
conforme come la stimate fate il numero di viti conformi fratto il numero totale di vittime questo
quando il numero di viti tende a infinito cioè molto grande di stima la probabilità che la vita
insieme in quel caso effettivamente una ripetizione in condizioni che potete imporre abbastanza
uniforme va bene alla fine avevamo definito questa concezione di probabilità che si chiama
soggettivista cioè che è incentrata sul grado di certezza che un soggetto attribuisce a un evento
sulla base delle informazioni che ha poi vi avevo detto che vanno messo un po di condizioni fatto
con questo tipo di soggettiva sia coerente che conducono grosso modo agli stessi assiomi che
avevamo visto va bene però glissano qua ci interessa il concetto cioè che la probabilità dipenda
dalle informazioni che uno ha e l'ultima riga cioè vi avevo detto che questo approccio alla
probabilità siano qui c'è un approccio statistico frequenti lista che si basa molto sulla questa
ripetizione della prova è il concetto di limite e poi c'è un approccio bayesiano che si basa sul
teorema di per avvicinarci al teorema day opporre che riprendiamo un attimo il concetto di
partizione gli ho già accennato alla partizione vi ricordate qua faccio il caso di un esempio che non
sia come quello omega dei dadi ok non è discreto monete di avere Un'insieme qualsiasi quindi
omega qua è tutto questo ovale colorato cos'è una partizione di omega una partizione di omega è
un modo di suddividere omega per dirla in parole povere per dirla precisa è una collezione di
sottoinsiemi di omega poi si chiamano a uno a due a tre a grande che sono se vedete che perché
abbiamo potuto tracciare queste righe nette tra una perché eh te cral insieme giallo e quello verde
non hanno neanche un elemento in comune non c'è una sovrapposizione ok idem qualsiasi altra
coppia di insieme quindi sono insiemi disgiunti che però messi tutti in danno l'insieme grande
ovviamente qua stiamo facendo la partizione di omega ma potete fare anche una partizione per
insieme dei numeri naturali la partizione benissimo di questo corso la partizione di quello che
volete funzione una suddivisione di un'insieme insomma bisunti chi si dice esaustivi nel senso che
messi tutti insieme ricostruiscono insieme ci siete chiara questa cosa come dici tu chi pe ok questo
concetto di partizione ci servirà tra un attimo se ci sono giunti volete finire di scrivere no 10
sinistra comunque è solo una collezione cioè qua dico collezione per non ripetere un'insieme di
sottoinsiemi che magari vi confonde però è la stessa cosa quindi a uno a due a tre a quattro fino a
da Kappa sono una partizione di omega se sono disgiunti e Uniti ridanno omega perfetto adesso
vediamo cosa succede se io prendo un evento B quindi questo grande colorato tutti e finismo
mangia adesso io prendo 1 1 evento evento sapete che è un sottoinsieme di omega quindi starà
qua dentro da qualche parte che stando qua dentro da qualche parte intersecherà potenzialmente
anche tutti gli a uno a due a tre a cappa diciamo almeno qualcuno l'ha in testa va bene allora
vogliamo esprimere la probabilità di B come in funzione della probabilità delle intersezioni di B con
questi elementi della partizione in questi a uno a due a tre a chiaro cosa voglio fare che voglio

5. esprimere la probabilità di questo ovale nero disegnato in funzione ma già già si vede dal disegno è
chiaro che io posso esprimere la probabilità di B come la probabilità di questo pezzo arancione che
sta dentro B che ebbi intersecato a quattro credo ok poi di intersecato la verde B intersecato a
giallo quindi seccato azzurro B intersecato a blu è chiaro che se io insieme le intersezioni di questi
queste partizioni colorate ricostruisco B giusto sta Ettore e così come l'unione di tutti i pezzi
colorati mi da omega l'unione di tutti i pezzi colorati che stanno dentro bimbi da B ti amo quindi
qua cosa c'è scritto c'è scritto semplicemente che visto che B è l'unione disgiunta dei pezzi di
intersecato AI posso esprimere la probabilità di B come la somma delle probabilità di questi pezzi
di B perché posso farlo e non fatemi pentire di non avervelo dimostrato questo è un lemma e non
è un assioma quindi si poteva dimostrare solo che la dimostrazione è talmente semplice e quando
ho preparato la slide ma si tanto chiaro perché confermatemi che è chiaro perché esatto cioè quei
pezzi di Bill i pezzi di bici colorati sono tra loro disgiunti vedete che il pezzo di B che è giallo non ha
una sovrapposizione col pezzo di bike è vero c'è una linea netta tra uno e l'altro non c'è un pezzo
giallo verde ok essendo un'unione disgiunta l'abbiamo visto come assioma della probabilità e la
probabilità di un'unione disgiunta è la somma delle probabilità e questo è quello che c'è scritto
qua visto che questi pezzi sono disgiunti IB intersecato a io sono disgiunti la probabilità della loro
Unione cioè di B è la somma delle loro probabilità ok dopodiché mi ricordo che la probabilità
dell'intersezione vi ricordate la formula che vi ho dato per la probabilità dell'intersezione la
probabilità dell'intersezione la posso sempre esprimere come la probabilità di uno dei due per la
probabilità dell'altro dato il primo quindi qua scelgo magari di far finta che conosco PDI e poi non
mi resta che esprimere la probabilità di chiaro la forma dell'intersezione sembrava una stupidata
adesso vi vedo perplessi è chiaro perché quindi qua abbiamo usato l'assioma ha tre quello di
additività per il primo uguale e poi abbiamo usato la formula quella per l'intersezione per il
secondo uguale come lo volete segnare questa è la dimostrazione esempio arriviamo al teorema di
face o buyers eh vedete che da qualche annetto nel 1764 non recentemente trovato da qualche
parte in quelle liste tipo le 171819 e 20 dopo azioni che hanno cambiato la storia una era questa e
una era la distribuzione gaussiana che vedremo dimana prossimo tra due settimane ok quindi
quantomeno in questo corso vedete un paio delle diciamo 20 equazioni che hanno cambiato la
storia dell'umanità secondo quelli che scrivono queste classifiche quindi dai qualcosina di
qualcosina di utile c'è va bene allora l'enunciato del teorema lo trovate tranquillamente anche su
un libro l'ho trovato ovunque quello che vado su Wikipedia lo trovate anche sui muri dell'autogrill
quasi quindi adesso non affannatevi a scrivere vedete che siamo nello stesso il disegno è quello di
prima quindi il contesto è quello parliamo di un evento B e di una partizione a uno a due a tre a 4
36 a cappa bene quindi quando siamo in una situazione di questo tipo supponiamo di conoscere
tutte le probabilita di B dato a uno a due a tre AK va bene però non sappiamo il viceversa sapete
che non è la stessa cosa cioè conoscere la probabilità di big dato J per ogni J non ci garantisce di
conoscere la probabilità di argelato B adesso poi vedremo un esempio però nell'esempio che
vedremo ad esempio ci interessa la probabilità di essere effettivamente malato se abbiamo avuto
un esito positivo da un test diagnostico ok la probabilità di essere malato dato che l'esito positivo
non è la stessa cosa della probabilita che l'esito sia positivo se uno è malato tanti fanno confusione
su queste cose però dopo questo corso voi dovreste smettere di fare un figlio va bene e questo è
esattamente il teorema che ci permette di muoverci in quei contesti lì quindi qua cosa c'è scritto
che la probabilità di lato B quindi ad esempio la probabilità che si verifichi l'evento arancione
sapendo che siamo dentro è uguale alla probabilità di guidato AJ per la probabilità di fratto la
somma di tutti questi prodotti qui vedi che questi termini sono uguali al numeratore però il
numeratore considero solo l'evento AJ che è quello di cui mi sto occupando sotto faccio la somma
per tutti gli eventi AI che sono tutti gli eventi della mia partizione quindi fino a capire cosa c'è
scritto nell'enunciato ci siamo per fondamentalmente ci serve è una formula per girare un

6. condizionamento chiaro la dimostrazione abbastanza facile cioè ci dobbiamo a noi interessa la
probabilità di Toby ok quindi ci interessano gli eventi a Jay B che voi scrivete la probabilità
dell'intersezione tra JB la potete scrivere in due modi o come la probabilità di lato B per la
probabilita di B o come la probabilita di J per la probabilita di sono i due modi equivalenti che
abbiamo per esprimere l'intersezione grazie alla definizione di probabilità condizionata vi ricordate
una slide che si chiama tipo formula per l'intersezione qua dovete applicare la formula
dell'intersezione ad EB che sono i due eventi che ci interessa Visto che vogliamo isolare la
probabilità di lato B non ci resta altro che portare questo PDB si avanza il primo al primo termine ci
rompe un po le scatole lo vogliamo portare sotto quindi se volete dividete per PBA destra a
sinistra e vi finisce PB qua sotto questa forma già assomiglia al teorema di base ok questa forma
qui dovete solo usare lemma per scomporre la probabilità di B perché non è detto che la
probabilità di B quella conosciate scomporla sugli agenti quindi vedete che potete scrivere PDB
che è questo denominatore qui lo potete scomporre come la somma e la probabilità di bilato J per
la proprietà della tua iper la probabilità di aiuto un po cambiato indice per non confondervi cioè al
numeratore parliamo dell'evento agey che è quello che ci interessa al denominatore entrano in
gioco tutti gli aiuti quindi a uno a due a tre a quattro a 5 fino alla cappa ho preso anche l'evento
che ci interessa ma anche tutti gli altri e sotto vi ho riportato esattamente l'enunciato c'è qualche
domanda qua sul abbastanza facile la dimostrazione eh perché voi sapete di cosa parla il teorema
di base lo potete ricavare dimostrare in un secondo basta ricordarsi di cosa parla questo questa
probabilità probabilità di dato BA volte viene poi nel contesto della statistica bayesiana viene
chiamata probabilità a posteriori cioè poi avete osservato.be dopo aver osservato B date una
determinata probabilità da J questa pidgey qua sopra si chiama probabilità a priori cioè è quella
che voi assegnate ad senza avere ancora osservato nulla che questo dato AJE la verosimiglianza di
osservare beato AJ però questo è quando poi si entra nell'ambito della statistica bayesiana ma in
questo corso non ahimè non lo farei OK però se trovate questi termini probabilità priori a
posteriori verosimiglianza sono questi tre ingredienti qui che trovate al numeratore il
denominatore poi in quel contesto diventa un po complicato da calcolare però qui che abbiamo
l'esempio che vi ho messo è simile all'esempio del libro vi ho cambiato un numeretto perché libro
sempre questa tendenza un po a questo vizio di dare lo stesso valore numerico a cose che sono
diverse creando delle situazioni molto particolari però sono valide solo in quell'esempio quindi ho
cercato di uscire da da quell'equivoco spero di non aver fatto casino coi numeri adesso vediamo
quindi siete pronti per l'esempio né del teorema di bayes base ci siamo questo è anche più carino
per esempio dei dadis esempio i dati sono un po vanno bene per cominciare però dopo un po
allora vogliamo calcolare la probabilità con un soggetto che sia sottoposto a un test ed è risultato
positivo a un test sia effettivamente malato quindi gli eventi in gioco sono fa ho chiamato mal per
dire malato quello è un evento Stan Bersani poster positivo e neg per negativo quindi quello che ci
stiamo chiedendo cos'è è la probabilità di essere malati dato un esito positivo quindi scriverò qui
di malda tuo post ok questa è la notazione che userò avrei potuto se voi riguardate il teorema di
base avrei potuto lasciare più di aj dato B dirvi che pos era cioè B era uguale a posto AJ era uguale
a mal queste cose qua però secondo me non si capiva più niente quindi proviamo a scriverlo così
così sono un po più parlanti i nomi dei degli eventi ok allora noi sappiamo che possiamo calcolare
la probabilità di ciascun elemento della partizione quindi noi possiamo calcolare la probabilità di
mal ok probabilità di essere malato la posso calcolare perché perché essere malato è un elemento
di una partizione io posso partizionare l'insieme degli individui in malati e sani quella è una
partizione fatta di due sottoinsiemi disgiunti perché uno o è malato o sano esaustiva perché se io
metto insieme malati e sani ottengo qualsiasi elemento di omega quindi prima di tutto bisogna
ricordarsi che colture matite di base possiamo dare un valore a alla probabilità di ciascun
elemento di una partizione quindi prima osservazione malati e sani formano una partizione quindi

7. io la probabilità di essere malato dato un'altro evento la posso calcolare adesso vediamo che cosa
ci serve se vuoi riscrivete il teorema di bass senza usare gli agenti e le bima usando
fondamentalmente la BE pos ok posso svolgere il ruolo della B ma al sarebbe il nostro a uno Sun
sarà a due perché è l'altro elemento della partizione va bene comunque si può scrivere così cioè
vedete che questa è la probabilità posteriori di essere malato sapendo che sono positivo la
probabilità a priori di essere malato la metto qua questa è la probabilità di essere malato senza
sapere nulla delle sveglio test prima di fare il test diciamo a priori in quel senso questa è la
verosimiglianza di essere positivo cioè quanto è probabile che io sia positivo se sono malato è una
caratteristica del tè cioè se un test è fatto bene deve essere sensibile alla malattia cioè se uno è
malato deve darmi un esito positivo con una probabilità alta sotto devo normalizzare cioè devo
sommare tutti questi termini fatti così però non solo per malato che è un elemento della
partizione ma anche per gli altri elementi della partizione quindi vedete che ho messo lo stesso
termine ma con sano al posto di malato va bene comunque ripeto basta che voi chiamate pos
uguale AB ma uguale a uno sano uguale a due mettete una formula di prima fate control R prove
sostituisci e vi esce questa cosa così va bene quindi dobbiamo chiedere cioè voi di fronte a un
esercizio così dovreste chiedervi ok io voglio calcolare questo la formula ce l'ho quindi adesso
guardo la formula cosa c'è dentro cosa mi serve mi serve qui probabilità di essere positivo se sono
malato dato che il fatto che sono malato mi serve la probabilità a priori di essere malato mi serve
la probabilità di essere positivo no questo l'abbiamo già Detto questo qua probabilità che sia
positivo se sono sano e la probabilità priore di essere sano allora alcune di queste cose in questo
contesto diciamo di malattie e test hanno delle hanno dei nomi in realtà anche il primo ma non
non mi volevo addentrare in queste cose dei test però ad esempio la probabilità di essere malato a
priori chiama prevalenza della malattia dipende da quanti sono malati nella popolazione totale
cioè è una malattia molto diffusa se io pesco un individuo a caso è più probabile che sia malato è
una malattia molto rara se io pesco un individuo a caso è poco probabile che siamo alla i tipi di
male la probabilità di essere malato a priori è una cosa che dipende dalla diffusione della malattia
nella popolazione non dipende da quell'individuo e da quel test la probabilità l'evento sono
positivo anche se Rossano si chiama falso positivo per una maniera cioè per un motivo abbastanza
evidente cioè una persona sana fa il test risulta positiva questo può succedere chiama falso
positivo ovviamente c'è anche il falso negativo però cosa corrisponde il falso negativo no pila
mettiamo dopo la probabilità di avere un forziere parliamo dentro apparecchio mal tutto l'evento
essere negativo dato che uno è malato quello è un falso negativo aspetti dice negativo ma ho
sbagliato ok quindi ci serviranno appunto la prevalenza della malattia il tasso di falsi positivi
questo adesso vediamo prove l'ho svolto tutto ma potevo anche lasciarvi delle di buchi ma fa
niente allora ho detto che ci servono queste cose qua in alto però tante volte non abbiamo
esattamente tutti gli elementi della formula ma questo l'avete sperimentato sin da quando siete
piccoli cioè non è che i dati sono esattamente quello che dovete mettere nella forma a volte
bisogna lavorarci un attimino poniamo che la prevalenza della malattia ce la diano ci dicono che il
5% della popolazione ha questa malattia quindi la probabilità che non è una percentuale deve
essere un numero tra zero e uno 5% si intende 5 centesimi quindi 0.05 e chiaro che non possiamo
mettere 5% qua dentro non posso scrivere 5 tutte queste più di qualcosa devono essere dei
numeri tra zero e uno sono sballate tutta la forma ok non mettete un numero che è 100 volte più
grande nella formula viene un risultato per 100 volte più sbagliato va bene la probabilità di essere
malati espresso con un numero tra 0 1 e 0,05 poi spesso dei test ci viene dato il tasso di falsi
positivi e il tasso di falsi negativi queste sono due caratteristiche del test il supponiamo che in
questo caso i falsi positivi siano 0.2 che non è quant'è in percentuale 0.2 20% 2/10 i falsi negativi
siano 0,1 quindi mediamente 1/10 quindi stiamo parlando di un test fatto cioè un test buono o un
test un po cazzo tempo cazzo no quindi non spaventiamoci se alla fine la probabilità che vogliamo

8. calcolare ci viene un po inquietante però fortunatamente i tassi di falsi positivi e falsi negativi di
solito sta sotto 0 1 tira una moneta è uguale allora ci servono la probabilità di essere sani questa
era facile potevo farvela fare anche a voi però probabilità di essere sani sano e il complementare
di malate quindi se la probabilità di essere malato era 005 la probabilità di essere sano e tutto
quello che resta arrivare a uno cioè 0 95 quindi faccio uno meno probabilità di essere malato e
ottengo la probabilità di essere sangue giusto ok qua entriamo una cosa un pochino più sottile che
io non ho capito subitissimo però magari voi l'ha capito prima di me allora mi serve la probabilità
di essere positivo dato che sono malato ma non ce l'ho la cosa importante è che voi non vi sognate
di calcolare la probabilità di essere positivo dato che sono malato dalla probabilità di essere
positivo dato che sono sano è chiaro che c'è una somiglianza ma non c'entrano nulla perché quella
su quella sopra questa qua evidenziata riguarda i sani cioè mi sono ristretto la popolazione dei sani
e ho guardato la probabilità di essere positivi quella sotto riguarda la la sottopopolazione dei
malati mi sono ristretto ai malati e guardo la probabilità di essere positivi quindi è chiaro che non
possiamo mettere insieme anche se parlano poi dello stesso evento parlano dello stesso evento
ma in sottopopolazioni diverse quindi non c'entrano nulla ok è come dire la probabilità di essere
marcio essendo una mela la probabilità di essere marcio essendo una pera cioè sempre essere
marcio ma son due robe non c'entrano nulla quello che dobbiamo guardare invece è l'evento qua
manca una p l'evento essere negativo dato che sono malato perché devo guardare quell'evento lì
perché anche se parla del contrario anzi proprio perché parla di contro però è sempre nella
sottopopolazione dei malati vedete che l'evento a cui mi sto condizionando è sempre male e
quest'ultima riga posso fare questo conto perché vi ho detto che la probabilità di bla bla bla dato
essere malati è una misura di probabilità quindi una volta che io mi son messo dentro i malati
posso fare tutti i soliti conti quindi nega essere negativo continua a essere complementare del
fatto di essere positivo negativo al complementare di positivo allora posso usare dentro il mondo
dei malati le formulette della probabilità che ho imparato all'inizio quindi se se voglio la probabilità
del complementare faccio uno o meno la probabilità di quell'altro ok quindi se voglio la probabilità
di essere positivo faccio uno meno la probabilità di essere negativo però lo devo fare tutto dentro
lo stesso mondo quello dei malati una volta che mi sono condizionato allo stesso evento quella
prova in Italy probabilità di puntini puntini dato mal e una misura di probabilità che funziona come
al solito con le stesse proprietà questo forse anche se sembra un conto stupido questo qua
secondo me è la cosa che uno da solo può sbagliare più facilmente ok quindi state attenti questo
regge perché condizionatamente essere malato ho una probabilità che funziona come al solito va
bene adesso io prendo tutte le cose che ho appena calcolato e le metto nella formula ebay quella
del terremoto e quindi avrò la probabilità di essere positivo se sono malato e 0 9 avevo calcolato
questa si qua sotto ok l'ultima Coca Cola la probabilità di essere malato a priori e 005 abbiamo
detto che era una malattia poco diffusa poi sotto avrò lo stesso termine che ho il numeratore
vedete che lo ripeto qua e poi il termine analogo per i positivi quindi ci dovrò mettere la
probabilità di essere positivo se sono sano che era bassa ma non così basterebbero due e la
probabilità di essere sano priori che è 0 95 perché è il complementare vedete che esce una
schifezza di numeri probabilità di essere malato se sono positivo è 0 19 in questo testo perché il
testo scritto ok vivamente io vorrei capito vorrei un test che non so la probabilità di essere malato
sono positivo sia del 99% e 90% 95% in quel caso magari lo ripeto il test dovrei ripetere un sacco di
volte comunque al di là dell'esito sorprendente del della cosa che dipende dal fatto che ciò
abbiamo questo 0 2 e 0 1 però spero che sia anzi dipende proprio da questo 0 2 perché guardate
qua cioè io vorrei che che il risultato fosse più possibile vicino a uno sarà di sicuro minore di uno
perché sto dividendo questo termine per qualcosa che è uguale al numeratore più qualcosa quindi
il denominatore è più grande del numeratore verrà per forza qualcosa più piccolo di uno e questo
ci conforta perché deve venire una probabilità però tanto più questo termine qui che vi evidenzio

9. è grande tanto più risultato finale sarà piccolo tanto più quel termine evidenziato è piccolo tanto
più risultato finale sarà vicino a uno quindi se io invece di 0 2 mettessi 0,02 vedete che il risultato
cambia sarebbe probabilmente molto vicino a uno quindi il colpevole in tutto questo casino con lo
0 2 che in effetti era scandaloso cioè la probabilità di essere positivo sono Stanno era 0 2 ok fede e
chiaro teorema di base a cosa serve come si usa questo ha quanto ne so anche negli anni scorsi è
stato dato abbastanza cioè può capitare nell'esame esercizio sul teorema di bass in questo caso
Excel non vi da la risposta potete usare Excel come calcolatrice per fare questi conti qui nessuno vi
chiede di farli a mente però credo ci sia funzione teorema di base ma anche se ci fosse
probabilmente non verrebbe ammessa nel senso che vogliamo vedere che sapete costruire il
risultato poi che il calcolo lo facciate con la calcolatrice con Excel bambini è un problema tutto
chiaro fino a qua allora intanto che ragionate su eventuali domande io bevo un sorso d'acqua
anche a casa e vale Niente vabbè allora io queste con con il teorema di base si chiude il capitolo
quello diciamo sulle probabilità io tra oggi devo comunque di sicuro prima di Pasqua vero me le
metto le slide sulla probabilita di Mary o subito primo subito dopo Pasqua o durante pasta se non
avete di meglio da fare provate a buttarci un occhio se c'è qualche domanda poi me la me l'ha
fatto ok ci siamo dai mi chiedo mezz'oretta di attenzione adesso introduciamo questo argomento
nuovo che non so forse non è facilissimo però tanto poi lo riprendo anche mercoledì che
dovremmo finirlo ok ci prenderà un ma è anche mercoledì e poi il giovedì che rientriamo quindi a
cavallo di Pasqua facciamo queste variabili datore discrete poi faremo le variabili della torre
continue tra cui appunto troveremo l'altra equazione storica quella della distribuzione gaussiana
ok allora abbiamo parlato dello spazio campionario vi ricordate abbiamo fatto tanti esempi di spazi
campionari alcuni spazi campionari sono semplici comodi altri sono continui infiniti tutti anche da
scrivere cioè vi ricordate quello quando uno lanciava tante volte la moneta finché non usciva testa
doveva elencare tutti gli esiti erano un po brutti no allora di solito è un po più comodo spostarsi
dallo spazio campionario ha un contesto numerico all'insieme dei numeri reali diciamo e questa
mappatura dallo spazio campionario all'insieme dei numeri reali si chiama variabile casuale o
variabile alla storia inglese era non variable quindi lo troverete abbreviato sul libro in queste slide
come ti punto c punto dove l'avvio un avvio non avevo doppia oppure se prendete in mano
qualcosa in inglese abbreviato R biran variable ok quindi la variabile casuale e quel qualcosa che
adesso andiamo a definire meglio in termini matematici che ci permette di spostarci dall'ambito
degli eventi elementari omega all'ambito dei numeri reali che è un ambito dove poi noi
ovviamente riusciamo a lavorare un po meglio per fare delle cose quantitative come quelle che
vogliamo fare noi quindi a livello matematico dal punto di vista matematico possiamo dire che una
variabile casuale di solito si indicano con una lettera maiuscola tipo x maiuscolo può essere una
buona notazione prima variabile casuale è una funzione da omega all'insieme dei numeri reali
ovviamente non è detto che tutti gli insiemi tutti i numeri reali vengano raggiunti da queste frecce
quindi non è detto che il condominio sia tutto R ok poi tra poco lo vediamo quindi di solito la
notazione e lettera maiuscola tipo x maiuscolo per la variabile la storia cioè per questa funzione
che manda ciascuno omega piccolo in un numero reale diciamo omega uno in nessuno si usano le
lettere minuscole per le immagini di ciascun evento elementare all'interno dell'insieme dei numeri
reali a volte queste immagini si chiamano realizzazioni della variabile relatori a voi la potete
pensare come qualcosa di astratto adesso poi faremo degli esempi poi fate l'esperimento si
realizza l'esito omega 5 e quindi la realizzazione della vostra variabile della storia x sara x 5 quindi i
valori specifici della variabile della storia su uno specifico evento elementare sono le realizzazioni
della variabile relatore chiaro questo concetto qua immagino che sarà più chiaro adesso se
facciamo qualche esempio allora lanciamo due dadi due dadi e non non il solito dado solo
lanciamo due dadi a sei facce contemporaneamente qual è lo spazio campionario chiedo a voi ok
però se io dico che tipo di oggetto è lo spazio campionario e un'insieme ok quanti modi ci sono per

10. definire un'insieme per elencazione oppure si dice la regola che ti dice se un elemento appartiene
insieme o no quindi sono sicuro che lei ha capito però sei per uno e per l'altro non è né un elenco
degli elementi nella regola per includerli quindi o mi elenca gli elementi o mi dice come faccio a
stabilire se una cosa è un elemento di omegon tipo quale qual è un esito del mio esperimento
lancio due dadi un esito è 1 3 116624 ok quindi sarà l'insieme di tutte le coppie formate da un
numero tra uno e 6 1 altro numero tra uno e sei quindi comprendera comprenderà gli elementi
11121314151621232456 quindi quanti elementi ci sono dentro questo spazio campionario omega
36 ok o sei scelte sul primo dado per ciascuna scelta che faccio sul primo dado per ciascuna
possibilità esito possibile o sei possibilità per il secondo dato quindi fa 30 adesso capirete che
iniziare a che scrivere tutte queste coppie qui che sono pure 36 e sono coppie è abbastanza
scomodo giusto a maggior ragione è scomodo che questo sforzo è inutile se a me non interessa
esattamente che cosa è uscito ma il gioco che sto facendo con voi magari eh scommettiamo sulla
somma delle due dei due numeretti va bene del gioco e scommettiamo sulla somma dei due
numeretti a me non interessa che sia uscito 2 2 o 1 3 interessa che la somma sia quattro per
stabilire se ho vinto io o avete vinto voi ok quindi in un caso come questo invece di occuparmi di
tutte le 36 coppie potrei occuparmi dei possibili esiti del nostro gioco cioè la somma dei due dati
quindi definisco una variabile della storia x grande che associa a ogni coppietta di numeri tra uno e
sei diciamo mi chiamo n la loro somma n più m questa è una variabile della storia credi si no
associa ogni possibile esito elementare cioè a ciascuno di questi per ciascuno di questi io posso
calcolare in maniera univoca la somma delle due facce somma dei due numeri riportati sulle facce
però ci siamo capiti ok qua vi ho scritto una domanda in fondo che però merita un chiarimento a
volte si parla di range di una variabile regolatoria per definire l'insieme dei valori che la variabile la
storia può assumere quindi quali valori può assumere la somma delle due facce d'ora in poi dirò
somma delle facce eh la somma delle due facce di un dado quali valori possibili ha da due a 12
perché il peggio che può succedere tra Vercelli il numero più basso e uno e uno numero più alto
sei e sei e con le varie combinazioni coprite tutti i numeri ok quindi vedete che siamo partiti da
uno spazio campionario omega che aveva 36 elementi vi ricordo che queste due sbarrette verticali
indicano da cardinalità dell'insieme ovvero il numero degli elementi dell'insieme e siamo arrivati
abbiamo costruito una variabile storia che associa ogni coppia di numeretti la loro somma e che ha
come range i numeri da due a 12 che sono 11 quindi abbiamo un po semplificato la cosa è anche
scriverli è un filino più agevole ok vi faccio notare che come ho già accennato eventi elementari
diversi cioè coppie di dadi o di numeri differenti hanno la stessa somma quindi 223113 hanno la
stessa somma che e quattro quindi se dovessi parlare di questa x come parla in generale di una
funzione direi che non è iniettiva ok cioè a eventi distinti associa lo stesso valore è chiara questa
cosa che eventi diversi al nostro possono dello stesso valore forse c'era anche nel disegno vedete
questi due eventi omega due omega tre gli viene associato lo stesso la stessaimmagine ok non è
uno a uno la corrispondenza se fosse uno a uno avrebbe anche poco senso va bene questa e
diciamo una rappresentazione grafica non è una rappresentazione grafica standard eh si fa in
questo caso perché viene bene e poi vedremo che assomiglia a una foto però vedete che sulla
destra sono riportati tutti i possibili valori della nostra variabile aleatoria che rappresenta la
somma dei pallini riportati a sinistra abbiamo gli eventi elementari e corrispondono a quel valore
della variabile della storia quindi per l'unico esito che mi produce x uguale a due è che mi escano
due volte uno ok e vedete che mano a mano che si procede verso il 7 ci sono sempre più eventi
elementari quindi ad esempio il 7 a tre e 3 6 eventi elementari che danno insomma 7 quindi
questo cosa ci potrebbe suggerire se uno guarda questa questi siete d'accordo sul contenuto di
questa immagine sì poniamo che stiamo facendo il gioco di prima dove scommettiamo su l'esito di
questa prova che e lancio due dadi mi interessa la somma dei due numeri questo tipo di
diagramma che cosa vi spinge a fare su cosa vi spinge a scommettere mi verrebbe da scommettere

11. sul 7 perché piu probabile questa cosa è vera solo se assumiamo però che i dati siano e qui con
truccati cioè che siamo in quale concezione della probabilità in quella classica nella concezione
classica della probabilità questo numero di casi questi sono i casi favorevoli praticamente questo
nei casi favorevoli ci danno una stima della probabilità OK però solo in quella concezione lì adesso
facciamo un passo indietro alla concezione classicadiciamo una cosina in generale cioè abbiamo
visto che le variabili aleatorie sono funzioni da omega l'insieme dei numeri reali però abbiamo
detto che poi non coprono tutto l'insieme di numeri reali coprono il codominio di queste funzioni
si chiama range funzioni e a seconda che questo range sia continuo discreto le variabili si
distinguono in continuo discrete quindi quelle discrete son quelle ovviamente con un range
discreto e range discreto può essere sia finito ad esempio numero di teste in tre lanci ma anche
quello di prima dei due dadi abbiamo visto che la cardinalità del range era 11 quindi finta oppure
posso avere un'infinità numerabile di possibili valori di ad esempio se io se la mia variabile la teoria
x conta il numero di lanci prima di ottenere una testa in un sappiamo come è fatta la moneta
secco no ma anche se la moneta fosse qua non posso escludere che ci voglia sempre un lancio in
più ok quindi in questo qual è il range della variabile numero di lanci prima di ottenere test
supponiamo che allora occupiamoci di questo esperimento qua qual è l'esperimento qual è la
prova visto eh lancia una moneta faccio e basta descrivere a parole quello che stiamo facendo se
io qua sto parlando del numero di lanci prima di ottenere testo la moneta lancio una volta no la
lancio un numero fissato rivolto no da lancio finché non esce test quindi quando vi chiedo qual è la
prova o l'esperimento intendo descrivetemi cos'è che viene fatto per vedere se si verifica no
questa cosa quindi questo lanciamo una moneta lanciamo tutte le volte che servono per ottenere
una testa la testa non esce mai andare avanti infinito OK non sappiamo se la moneta equo no non
lo sappiamo quindi quello è l'esperimento com'è fatto omega vi ricordate che l'avevamo descritto
l'esperimento è lancio finchè non esce test quindi gli esiti possibili sono provate a elencarmi gli
esiti possibili quelle testa o croce sono gli esiti possibili di un lancio questo è un lancio ripetuto
finché non si verifica testa quindi gli eventi saranno esce testa al primo lancio e mi fermo posso
schematizzare lo scrivendo solo t oppure esce croce e poi testa al lancio successivo quindi ci una
volta che trovo un attimi fermo perchè ho detto che lancio finche esce una testa giusto l'evento
possibile successivo sara CT cioè esce due volte croce poi una volta testa e quando esce testa mi
fermo e così all'infinito quindi i miei eventi saranno ti CTCTCT eccetera Quindi con un numero di
croci che sono appunto il numero di lanci prima di ottenere la testa che può essere 012345
all'infinito quindi tutti i numeri naturali compreso zero sono il range di questa variabile della storia
che conta il numero di croci prima di ottenere test chiaro quindi in questo caso il range che è
l'insieme i numeri naturali è infinito numerabile cioè sono elencabili le variabili lettore continue
sono quelle che hanno un range continuo ok quindi ad esempio il prezzo di una determinata
azione un determinato giorno lo possiamo immaginare come una variabile continua piuttosto che
l'altezza della determinata persona a quel giorno a quell'ora è una variabile continua anche se poi
ovviamente vengono riportati con dei valori discreti perché nei noi nel computer possiamo
metterci a scrivere infinite cifre decimali però sono continue allora questo nota bene un pochino
sottile ma penso che si capisca cioè abbiamo detto che le variabili e la storia sono funzioni giusto
avete presente che la funzione manda un'insieme che si chiama dominio è l'insieme di partenza in
un'altro insieme che si chiama codominio che l'insieme di arrivo che per essere una funzione deve
associare a ogni elemento uno e un solo elemento dell'insieme d'arrivo quindi e chiaro che tra il
dominio e il codominio cioè tra l'insieme di partenza e quello di arrivo qual è che può essere
eventualmente più numeroso dell'altro fate guardare qua l'insieme di partenza nel senso che a
elementi diversi dell'insieme di partenza può corrispondere lo stesso elemento dell'insieme
d'arrivo e questo comporta diciamo una riduzione nel numero di elementi no però non può mai
succedere il viceversa che io faccio partire da un omega due frecce perché quella non è più una

12. funzione perché non so qual è l'immagine di omega attraverso questa funzione non so qual è il
risultato questo che deve essere sempre chiaro no quindi questo era per dire che se omega e
discreto ah l'altra osservazione è che un'infinita continua di elementi è più ricca di un'infinita
distesa caro dei numeri reali sono tra virgolette di più dei numeri naturali questo in più almeno
intuitivamente c'è quindi se io parto da un omega discreto potrò costruire solo variabili alla torre
discrete perché attraverso le funzioni non è che aumenta il numero di elementi se io parto da un
omega continuo posso costruire sia variabili da storie continue mi mantenere questa intimità non
numerabile che variabili alla torre discrete perché nessuno mi impedisce di ridurre il numero di
elementi attraverso una funzione chiaro esempio misuro l'altezza di una persona omega e
continuo discreto secondo voi continuo continuo perché anche e soprattutto e moralmente
continuo nel senso che e ovvio che io andrò magari a riportare l'altezza della persona con un
numero che è intero o comunque con un numero finito di cifre dopo la virgola quindi ci sarà una
discretizzazione data dalla dallo strumento di misura però di per se una persona cresce in modo
continuo ok non è che passa da 175 a 176 cm facendo uno scatto di notte OK le lancette
dell'orologio lo farà attraversando tutti i numeri razionali e non che stanno 375 177 io a ogni esito
dell'esperimento cioè a ogni altezza posso associare l'altezza stessa quindi in questo caso si chiama
funzione identità cioè a ogni elemento associa a se stesso visto che parto già da dei numeri reali
numero stesso vale come la funzione identità vale come come variabile la storia o ad esempio
potrei associare a ogni omega diciamo 175 cm il suo logaritmo questa è un'altra variabile della
storia queste sarebbero variabili aleatorie continue che io costruisco su uno spazio continuo Se
però costruisco guardate la variabile relatore che ho definito in basso OK ma variabile la storia vi
ricordo che è una funzione voi sapete che le funzioni si possono definire per casi ok questo tipo di
scrittura con la parentesi Grappa è una definizione di una funzione per casi quindi nel caso in cui
omega piccolo sia più grande di 175 sottinteso centimetri allora gli associo uno se più piccolo gli
associo zero va bene questa è una funzione a tutti gli effetti è legittima sì perché io per ciascun
omega possibile vi dico come vi dovete comportare qual è l'immagine che dovete restituire quindi
questa è una funzione qual è il range di questa funzione qua quali sono i valori possibili di ex che
posso restituire quali sono però uno giusto non solo due valori possibili il range discreto ed è finito
anche se sono partito da un'infinità non numerabile di elementi ed io su uno spazio campionario
continuo posso tranquillamente costruire una variabile discreta con range addirittura finito se
voglio questa qua è una variabile la storia notate che anche se semplifico tutto parecchio in questa
maniera qua cioè riduco tutta la complessità di omega che conteneva tutte le possibili altezze di
una persona sulla faccia della terra la riduco a 0 1 non ho tolto il fatto che x di omega ti ha
aleatorio casuale io non so a priori se vale 0 1 dipende dall'esito del mio esperimento casuale
quindi la casualità che abbiamo nel nella prova nell'esperimento che finisce dentro omega piccolo
viene conservata anche da una mappa così semplice non è una funzione cioè è una funzione
deterministica di una cosa casuale quindi è casuale quindi dato omega io posso determinare in
maniera appunto deterministica qual è x di omega però visto che omega è casuale anche gli
omega sarà casuale chiaro è incerto anche in questi uomini essendo incerto l'evento x uguale a
cappa non so x uguale nel nostro caso x uguale a zero x uguale a uno sono i due possibili valori
sono degli eventi incerti quindi può interessarmi attribuire una probabilità al fatto che la mia x
valga un tot quindi per le variabili aleatorie discrete ha senso farsi quella domanda in alto cioè qual
è la probabilità che x valga tot ad esempio ce la siamo fatta prima sui due dati abbiamo detto qual
è la probabilità che la somma dei due dati si assette quella lì è massima avevamo ragionato su
quelle probabilità probabilità che x 7 che sei che sia 5 sia 432 e poi dall'altra parte che sia a 8910
fino a 12 quindi quel tipo di eventi li ci interesserà più in generale quando la variabile la storia
continua a noi interessa qual è la probabilità che x che vi ricordo un numero reale perché ci siamo
spostati da omega l'insieme di numeri reali sia in un determinato sottoinsieme dei numeri reali e vi

13. anticipo che non tutti sottoinsieme dei numeri reali andranno bene anche lì dovremmo costruire
una sigma algebra però partiamo o meglio partiremo nella prossima lezione in dettaglio dal
valutare la probabilità di questo tipo di eventi ok e giusto per concludere oggi ok quindi a ogni
valore possibile della mia variabile della storia diciamo x con i piccolo posso associare la
probabilità che x valga proprio quel valore lì quindi a quattro associo la probabilità che x sia uguale
a quattro questa funzione qui chiama funzione di probabilità o più semplicemente distribuzione
quindi pensate all'esempio dei dadi io ho detto che guardiamo solo l'intuizione poi le le probabilità
le guardiamo no questo non mi piace abbiamo detto che abbiamo tutti questi esiti possibili ok
111213 con gli eventi elementari però i valori possibili della mia variabile della storia sono i numeri
da due a 12 quindi io voglio stabilire della mia probabilità totale che vale uno quale festa di questa
probabilità assegno AX uguale a due quale fetta di questa probabilità segno x uguale a tre quale
effetto assegni su guarda quattro via via fino ai suole a 12 quindi io prendo la mia probabilità
totale che vale uno e la distribuisco pugliesi di possibili sui valori possibili di questa si chiama
distribuzione di distribuzione di probabilità della variabile la storia perché rappresenta come la
probabilità totale viene distribuita sui valori possibili di quindi poi qua ve l'ho definita in maniera
un pochino più formale OK nel senso che ha una funzione bla bla però quello che stiamo dicendo è
ti prendo la mia probabilità totale la distribuisco queste due cose sotto ci fanno notare che cosa
che non è che io posso associare a ogni valore possibile di x il numero che voglio prima di tutto
devono essere numeri positivi e l'altra cosa è che tutti questi numeri sommati su tutti i valori
possibili di x devono dare uno perché vi ricordate che siamo partiti dalla nostra torta di probabilità
che valeva uno e l'abbiamo distribuita quindi la somma totale deve ridare di nuovo uno ok perché i
vari x uguale disponi in questo caso nel caso discreto e ancora più facile da capire nel caso finito su
una partizione di omega ok x uguale a due su quella tre x uguale a quattro nel caso dei due dati
fino in uguale a 12 sono una partizione di omega ricordate che l'abbiamo visto all'inizio omega lo
spacchetto in 12 in 11 pezzi sono gli 11 possibili valori che può assumere quindi io prendo la mia
probabilità che uno e le faccio 11 fette che sommate devono fare uno poi le cose un po più
matematiche le vediamo la prossima volta per qualche domanda mi pare di no quindi buona
giornata vi ricordo che non solo la mia ma anche quella degli altri le lezioni domani e dopodomani
sono online ci vediamo mercoledì online ok arrivederci grazie arrivederci