Υπολογισμός αντιστρόφου

1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Αντίστροφοι και λύσεις
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
6 Νοεμβρίου 2013

2. Αντίστροφος του αντίστροφου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του αντίστροφου ενός πίνακα είναι ο ίδιος ο
πίνακας. Δηλαδή
−1
A−1
=A
.
Απόδειξη.

3. Αντίστροφος του αντίστροφου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του αντίστροφου ενός πίνακα είναι ο ίδιος ο
πίνακας. Δηλαδή
−1
A−1
=A
.
Απόδειξη.
AA−1 = A−1 A = I .

4. Αντίστροφος γινομένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους.

5. Αντίστροφος γινομένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή
(AB)−1 = B −1 A−1 .
Απόδειξη.

6. Αντίστροφος γινομένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή
(AB)−1 = B −1 A−1 .
Απόδειξη.
B −1 A−1 (AB) = B −1 A−1 A B = B −1 IB = B −1 B = I .

7. Αντίστροφος γινομένου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή
(AB)−1 = B −1 A−1 .
Απόδειξη.
B −1 A−1 (AB) = B −1 A−1 A B = B −1 IB = B −1 B = I .
(AB) B −1 A−1 = A BB −1 A−1 = AIA−1 = AA−1 = I .

8. Μοναδικότητα αντιστρόφου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.

9. Μοναδικότητα αντιστρόφου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C . Τότε
B

10. Μοναδικότητα αντιστρόφου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C . Τότε
B = BI

11. Μοναδικότητα αντιστρόφου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C . Τότε
B = BI = B(AC )

12. Μοναδικότητα αντιστρόφου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C . Τότε
B = BI = B(AC ) = (BA)C =

13. Μοναδικότητα αντιστρόφου
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.
Απόδειξη.
΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C . Τότε
B = BI = B(AC ) = (BA)C = IC = C .

14. Αντίστροφος και λύσεις
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε
υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για
οποιοδήποτε b

15. Αντίστροφος και λύσεις
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε
υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για
οποιοδήποτε b
και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η
μηδενική.
Απόδειξη.
Ax = b

16. Αντίστροφος και λύσεις
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε
υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για
οποιοδήποτε b
και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η
μηδενική.
Απόδειξη.
Ax = b ⇒ A−1 Ax = A−1 b

17. Αντίστροφος και λύσεις
Θεώρημα
Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε
υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για
οποιοδήποτε b
και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η
μηδενική.
Απόδειξη.
Ax = b ⇒ A−1 Ax = A−1 b ⇒ x = A−1 b.

18. Υπολογισμός αντιστρόφου
1
Λύνω γιά k = 1, . . . , n τα γραμμικά συστήματα
Ax k = e k
2
όπου e k k-στη στήλη του I .
Τα x k είναι οι αντίστοιχες στήλες του A−1 .

19. Μοναδικότητα αντιστρόφου
Θεώρημα
Ο αντίστροφος ενός πίνακα A υπάρχει ανν όλα τα οδηγά
στοιχεία μετά την απαλοιφή με οδήγηση του A είναι μη
μηδενικά.