Tài liệu gồm tuyển tập các đề thi học sinh giỏi với nhiều dạng bài từ dễ đến khó trong các lĩnh vực như đại số, hình học và bất đẳng thức. Các đề thi được sắp xếp theo mức độ khó, cùng với đáp án và hướng dẫn chi tiết cho các vấn đề cụ thể. Ngoài ra, tài liệu còn đưa ra các bài toán nâng cao và các chứng minh toán học yêu cầu tư duy logic và hình học.

1. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang
1
Lever 2 Cấp độ tương đương đề thi học sinh giỏi tỉnh
Đề thi phân cấp từ dễ đến khó, mức độ khó nhất là hai đề cuối cùng
Để xem đầy đủ tuyển tập 100 đề thi và đáp án, các bạn có thể tham gia Khóa luyện đề bắt đầu từ
tháng 4 đến tháng 6
ĐỀ SỐ 21
Bài 1 Cho a, b, c là các số thực khác nhau. Chứng minh rằng:
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
b c c a a b
a b a c b c b a c a c b a b b c c a
  
    
        
Bài 2 a) Cho A = 111…….111 ( 2m chữ số 1)
B = 111…….111 (m + 1 chữ số 1)
C = 666…….666 (m chữ số 6)
Chứng minh A + B + C + 8 là số chính phương
b) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho:
 
2
2
1
2
abc n
cba n
  

 
với n là số nguyên lớn
hơn 2
Bài 3: Cho đường thẳng d có phương trình: ( 2) ( 3) 8x m m y m    
a) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1).
b) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố
định.
c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất?
Bài 4: (4,0 điểm)
a) Cho x > 0, y > 0 và x + y  1. Chứng minh bất đẳng thức 2 2
1 1
4
x xy y xy
 
 
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 3
3 1
x x
A
x

 

, với 1x  .
Bài 5 (4 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm nằm trên đoạn OA, vẽ đường
tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB
tại I. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J.
a) Đường thẳng IJ là gì của đường tròn (O’) ? Giải thích.

2. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang
2
b) Xác định vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất.
Bài 6: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
( ) ( ) ( )
a b c
S
b c a a c b a b c
  
     
ĐỀ SỐ 22
Bài 1. Tìm phần dư của phép chia đa thức p(x) cho 3
(x 1)(x 1)  biết p(x) chia cho x 1 thì
dư 1, p(x) chia cho 3
x 1 thì dư 2
x x 1  .
Bài 2. Cho phương trình 2 2
2 2 2 0 (1).x mx m    .
1. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1x và 2x thoả
mãn hệ thức 3 3
1 2
5
2
x x  .
2. Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị của m để nghiệm
dương của phương trình đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3.
a) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
( 3)( 1) 10 0
3
0
203 1
x y xy
x y
x y
    


  
 
b) Giải phương trình   3)45(3422 22
 xxxx
Bài 4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB =2R và C , D là 2 điểm di động trên nửa đường
tròn sao cho C thuộc cung AD và góc COD = 600
( C khác A và D khác B).Gọi M là giao điểm
của tia AC và BD , N là giao điểm của dây AD và BC
a) Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp đường tròn và tổng khoảng cách từ A,B đến đường thẳng
CD không đổi .
b) Gọi H và I lần lượt là trung điểm CD và MN . Chứng minh H , I, O thẳng hàngvà
3
3R
DI 
c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MCD theo R
Bài 5.

3. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang
3
1) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn
1 1 1
6
x y y z z x
  
  
.
Chứng minh rằng:
1 1 1 3
3 3 2 3 2 3 2 3 3 2x y z x y z x y z
  
     
.
2) Cho các số thực m, n, p thoả mãn: 2 2
2
3m
2
1n np p    . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức S = m + n + p.
ĐỀ SỐ 23
Bài 1. a) Cho x là số thực dương thỏa mãn 2
2
1
5x
x
  . Tính 12
12
1
x
x

b) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1. Tính:
T =
  
2
22
1
11
x
zy
x

   
2
22
1
11
y
xz
y



  
2
22
1
11
z
yx
z



Bài 2: a) Giải phương trình: 4
)11( 2
2


x
x
x
b) Tìm nghiệm nguyên của hệ:





8
5
zxyzxy
zyx
Bài 3:
a) Cho x3
+ y3
+ 3(x2
+y2
) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
1 1
M
x y
 
b) Cho hai dãy số cùng chiều : a1 ≤ a2 ≤ a3 ; b1 ≤ b2 ≤ b3
Chứng minh rằng : (a1+ a2 +a3)(b1 + b2 + b3 ) ≤ 3(a1b1 +a2b2+a3b3)
Áp dụng chứng minh rằng : với thì
Câu 4: Cho  ABC (AB = AC). Vẽ một đường tròn có tâm(O) nằm trên BC và tiếp xúc với các
cạnh AB, AC lần lượt tại D; E. Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE ( ;I D E ).
Tiếp tuyến của đường tròn tại I cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại M, N .
a) Chứng minh rằng: Chu vi tam giác AMN không đổi.
b) Chứng minh hệ thức 2
4. .BM CN BC
cba 0
cbacba
cba



 3
200620062006
200520052005

4. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang
4
c) Xác định vị trí của điểm I trên cung nhỏ DE để  AMN có diện tích lớn nhất.
Câu 5: Cho  ABC đều điểm M nằm trong  ABC sao cho AM2
= BM2
+ CM2
. Tính số đo góc
BMC?
ĐỀ SỐ 24
Câu 1. (3,0 điểm)
1) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 2 2 2
a b c ab bc ca   
Tính giá trị biểu thức:
22 6 2011
22 6 2011
a b c
P = + +
b c a
2) Cho
3 3 3 3
3 6
x = ;y = .
4 - 2 +1 4 + 4 + 16
Chứng minh rằng x + y là một số tự nhiên.
Câu 2. (2,0 điểm)
1) Giải phương trình:
2
x 3 8 x 11x x 24 1.      
2) Giải hệ phương trình :
  
4 1
2
2x y 3x y
4x 12y 7 2x y 3x y

   
    
Câu 3. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho    A n 2010 n 2011 n 2012    là
một số chính phương.
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi D là điểm thay đổi trên cung
nhỏ AB của đường tròn (O), (D không trùng với A, B).
1) Trong trường hợp ACBD là tứ giác ngoại tiếp một đường tròn, chứng minh rằng
AC + BD = AD + BC.
2) Trong trường hợp ABC là tam giác đều, chứng minh rằng DA + DB = DC.
3) Trong trường hợp tam giác ABC có AB là cạnh nhỏ nhất, trên cạnh AC và BC lấy
Các điểm M, N tương ứng sao cho AM = BD và BN = AD. Chứng minh rằng khi D
thay đổi trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) thì trung điểm I của đoạn thẳng MN
luôn thuộc một đường tròn cố định.
Câu 5. (1,0 điểm)

5. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang
5
Cho a, b, c là số thực dương, chứng minh rằng:
2ab 3bc 3ca a 2b 3c
.
3a 8b 6c 3b 6c a 9c 4a 4b 9
 
  
     
ĐỀ SỐ 25
Bài 1. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thức:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c c a b b c a
a b b c c a a b b c c a a b b c c a
       
        
Thì | | | | | |a b c 
Bài 2.
1) Giải phương trình 3x2
+ 4x + 10 = 2 2
14 7x 
2) Giải hệ phương trình
4
4
3 4
3 4
x y
y x
  

 
Bài 3.
Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là số nguyên gồm 4 chữ số,
trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau.
Bài 4
1) Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường
thẳng d  OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Dây BC
cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.
c) Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
2) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B
và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB
và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MK = MA ./.
Bài 5. A, B, C là một nhóm ba người thân thuộc. Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái
của B và người song sinh của C cũng ở trong nhóm đó. Biết rằng C và người song sinh của C là
hai người khác giới tính và C không phải là con của B. Hỏi trong ba người A, B, C ai là người
khác giới tính với hai người kia ?
ĐỀ SỐ 26

6. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang
6
Bài 1. Cho a, b, c là các số khác nhau thỏa mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
4 4 4
4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2
3
( ) ( ) ( ) 4
a b c
a b c b c a c a b
  
     
2) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3
là một số nguyên dương và biết  f(5) f(3) 2010.
Chứng minh rằng: f(7) f(1) là hợp số.
Bài 2.
1) Giải phương trình:
2
( x + 5 - x + 2)(1 + x + 7x + 10) = 3.
2) Giải hpt:
2 2 4
7 7 6
x y
x y
    

   
Bài 3.
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6 6 6 6
32 16 4x y z t  
2) Cho biểu thức A 3 3x y y x    với ; 0; 2012x y x y   Tìm GTNN của A
Bài 4. Cho đường tròn đường kính AB. Trên đoạn thẳng OA lấy điểm H bất kỳ không trùng A
và O, kẻ đường thẳng d vuông góc với AB tại H, trên d lấy điểm C nằm ngoài đường tròn, từ C
kẻ 2 tiếp tuyến CM và CN với (O) với M và N là các tiếp điểm (M thuộc nửa mặt phẳng bờ d có
chứa điểm A) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của CM, CN với AB
1.Chứng minh HC là tia phân giác góc MHN
2.Đường thẳng đi qua O vuông góc với AB cắt MN tại K và đường thẳng CK cắt đường thẳng
AB tại I. CM I là trung điểm PQ
3.Chứng minh PN, QM, CH đồng quy
Bài 5. Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O; r), hãy tìm hình bình hành có diện tích
nhỏ nhất.
ĐỀ SỐ 27
Bài 1. Cho biểu thức
xx
xx
xxxx
x
xx
xx
P








 2
2211
1
2
. Tìm tất cả các giá trị của x
sao cho giá trị của P là một số nguyên.
Bài 2.

7. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang
7
a) Giải phương trình:   1232122 22
 xxxxx .
b) Giải hệ phương trình:










53
2
5
12
16
8
22
22
xxyxx
yx
xy
yx
Bài 3.
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2
và hai điểm A(-1;1), B(3; 9) nằm trên (P).
Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và có hoành độ là m ( -1 < m < 3). Tìm m để tam giác ABM có
diện tích lớn nhất.
b) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn:     3322
1122122 yxyxxy  .
Bài 4. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhai tại điểm T. Hai đường tròn này nằm
trong đường tròn (O3) và tiếp xúc với (O3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của
(O1) và (O2) cắt (O3) tại P. PM cắt đường tròn (O1) tại điểm thứ hai A và MN cắt (O1) tại điểm
thứ hai B. PN cắt đường tròn (O2) tại điểm D và MN cắt (O2) tại điểm thứ hai C.
a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy.
Bài 5. Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c 1
(ab a 1) (bc b 1) (ca c 1) a b c
  
       
. Đẳng thức xảy ra khi nào?
ĐỀ SỐ 28
Bài 1. Cho a, b, c là các số khác nhau thỏa mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
2
a b c
a b c b c a c a b
  
     
Bài 2.
a) Giải phương trình    
3 32 6
2 1 1x x x x     
b) Giải hệ phương trình
  2 2
2 2
8 2
16 8 16 5 4
y x x
x y x xy y
   

    

8. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang
8
Bài 3.
a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số nnn
A 432  là số chính phương.
b) Cho a, b dương thỏa mãn baab 20142013  . Chứng minh:  2
20142013  ba
Bài 4.
Cho đường tròn (O;R) và AB là đường kính. Gọi d là đường trung trực của OB. Gọi M và N là
hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d. Trên các tia OM, ON lấy lần lượt các điểm M’ và N’ sao
cho OM’.OM = ON’.ON
2
R .
a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn.
b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn cố
định.
c) Tìm vị trí điểm M trên d để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Tìm vị trí điểm M trên d nhưng M không nằm trong đường tròn (O;R) để tổng MO +
MA đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5. Cho ngũ giác lồi ABCDE. Biết các tam giác ABC, ABE, BCD, CDE và DEA có diện tích
bằng 2010 . Tính diện tích ngũ giác.

9. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang
9
ĐỀ SỐ 29
Bài 1. Cho
1 1 1
; ;a x b y c xy
x y xy
      với các số thực x, y thỏa mãn 𝑥𝑦 ≠ 0. Chứng minh
rằng 𝐴 = 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
− 𝑎𝑏𝑐 không phụ thuộc vào x, y.
Bài 2.
a) Giải phương trình :     
22
x x 9 x 9 22 x 1   
b) Giải hệ phương trình
3
3
8
2 3
6
2
x
y
x
y

 

  

Bài 3.
1) Cho x, y là các số nguyên khác -1 sao cho
4 4
1 1
1 1
x y
y x
 

 
là số nguyên. Chứng minh
rằng 2012
1x  chia hết cho 1y 
2) Cho ba số thực , ,a b c đôi một phân biệt. Chứng minh
2 2 2
2 2 2
2
( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
  
  
Bài 4. Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường
tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và
AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN
tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E.
Chứng minh P là trung điểm ME.
Bài 5.
a) Chứng minh rằng nếu 1x y  thì
1 1
x y
x y
   .

10. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang
10
b) Cho 1 , , 2a b c  . Chứng minh rằng  
1 1 1
10a b c
a b c
 
     
 
.
ĐỀ SỐ 30
Bài 1 (3,0 điểm).
1. Cho  
3
2
1 3 3
x
f x
x x

 
. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1 2 2010 2011
...
2012 2012 2012 2012
A f f f f
       
           
       
2. Rút gọn biểu thức:
2 2
2
5 6 3 6 8
3 12 ( 3) 6 8
x x x x
A
x x x x
    

    
Bài 2
1) Giải phương trình: 2 3 2
5 8 3 2 5 7 6     x x x x x .
2) Cho x, y thỏa mãn:
3 2
2 2 2
2 4 3 0
2 0
x y y
x x y y
    

  
. Tính 2 2
Q x y 
Bài 3 (1,5 điểm).
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương  ;x y thỏa mãn    
3 2
6x y x y    .
2) Cho , , ,a b c d là các số thực thỏa mãn điều kiện:
2012abc bcd cda dab a b c d       
Chứng minh rằng:     2 2 2 2
1 1 1 1 2012a b c d     .
Bài 4 (3,0 điểm).
Cho ba đường tròn    1 2,O O và  O (kí hiệu  X chỉ đường tròn có tâm là điểm X). Giả sử
   1 2,O O tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và    1 2,O O lần lượt tiếp xúc trong với  O
tại 1 2,M M . Tiếp tuyến của đường tròn  1O tại điểm I cắt đường tròn  O lần lượt tại các điểm
, 'A A . Đường thẳng 1AM cắt lại đường tròn  1O tại điểm 1N , đường thẳng 2AM cắt lại
đường tròn  2O tại điểm 2N .
1. Chứng minh rằng tứ giác 1 1 2 2M N N M nội tiếp và đường thẳng OA vuông góc với đường

11. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang
11
thẳng 1 2N N .
2. Kẻ đường kính PQ của đường tròn  O sao cho PQ vuông góc với AI (điểm P nằm
trên cung 1AM không chứa điểm 2M ). Chứng minh rằng nếu 1 2,PM QM không song song
thì các đường thẳng 1,AI PM và 2QM đồng quy.
Bài 5 (1,0 điểm)
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh,
đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm
của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.