アルゴリズムとデータ構造1

アルゴリズムとデータ構
造
１．「イントロダクショ
ン」2011 年 4 月 19 日（火）
服部　健太

2011/4/19 アルゴリズムとデータ構造 1 2
本講座（全 15 コマ）の目的
 基本的なアルゴリズムとデータ構造について
理解する
 配列，リスト，スタック，キュー，ツリー，ソー
ト，ハッシュ， etc.
 計算量の概念を理解し，与えられたアルゴリ
ズムのおおまかな計算量を見積もれるように
なる
 簡単な問題なら，自分でアルゴリズムを設計
できるようになる

講義予定
 第１回「イントロダクショ
ン」
 第２回「制御構造，再帰」
 第３回「配列とリスト」
 第４回「スタック，
キュー」
 第５回「ツリー（木）」
 第６回「線形探索と２分探
索」
 第７回「２分探索木」
 第８回「平衡木」
 第９回「ハッシュ法」
 第１０回「初等的な整列法」
 第１１回「整列アルゴリズム
ＩＩ」
 第１２回「グラフアルゴリズ
ムＩ」
 第１３回「グラフアルゴリズ
ムＩＩ」
 第１４回「文字列」
 第１５回「アルゴリズムの設
計」

使用テキスト
 本講座の内容は主に以下のテキストにもとづ
く
 石畑清，「アルゴリズムとデータ構造」，岩波講
座ソフトウェア科学３．
 ただし，言語は Python を用いる
 Python 言語の説明は適宜行うので
知らなくてもＯＫ
 ちなみに，上記テキストでは Pascal を
使用している

なぜアルゴリズムを学ぶのか？
 そもそもプログラミングとは
 アルゴリズムとデータ構造をデザインすることにほかなら
ない
 よくある反論
 ライブラリを使えばいいじゃん
 それに対する反論
 ライブラリが提供するアルゴリズムを正しく使うには知識
が必要
 ライブラリだけですべてが済むとは限らない
 注意点
 ただし，ライブラリで提供されているものはそれを使うこ
と
 業務でプログラムを作成する場合には，自前で実装しない
こと

アルゴリズムとは何か？
 矛盾なく定義された（ well-defined ）計算手続き
 入力（ input ）として，値か値の集合を取り
 出力（ output ）として，値か値の集合を生成する
 入力から出力へ変換するための一連の計算ステップ
 （計算）問題を解くための道具としてみることもで
きる
 計算機に問題を解かせるために，アルゴリズムをプ
ログラミング言語によって記述したものがプログラ
ムである
 アルゴリズム「でない」ものの例：
 料理のレシピ

準備体操
 任意桁の２つの正整数の足し算を行う手順
（筆算）を，正確に記述してみよ．
 ただし，小学生は
 1 桁同士の数の足し算は理解してるものとする．
 0 （ゼロ）も繰り上がりも理解している．
 数を（紙に書いておくなどして）記憶することも
できる
 「もし～ならば，～せよ」という指示の理解でき
る．
 「～まで，～を繰り返す」という指示も理解でき
る

解答例
 足し合わせる２つの数字を，右揃えで縦に並べる．
 １の位から始める
 その位の数をそれぞれ足す．
 もし，繰り上がりがあるなら，次の位に１を立てる．
 全ての位について，上の手順を繰り返す
 厳密に，漏れなく記述しようとすると，すごく面倒
くさい．
 アルゴリズムの記述には曖昧さがあってはならない

Python について
 本講座では Python でアルゴリズムを記述する
 Python の主な特徴
 オブジェクト指向スクリプト言語
 ただし，本講座では「オブジェクト指向」な機能は用いない
 構文（シンタックス）と意味（セマンティクス）がシンプ
ルで理解しやすい
 ブロック構造をインデントによって表す
 リストやディクショナリなど豊富な組込みデータ型
 動的な型付け
 ・・・
 準備作業：
 各自のＰＣに Python （ version3.2 推奨）環境をインス
トールせよ
 http://www.python.jp/Zope/download/pythoncore

Python によるプログラム例
 入力：２組の数列 A と B
 A = [a1,a2,…,an] ， B = [b1,b2,…,bm]
 1 の位から左から順に並べる．
 出力：数列 S
 S = [s1,s2,…]
 手続き
def add(A,B):
S = [0]; n = len(A); m = len(B)
for i in range(0,max(n,m)):
if i < n: S[i] = S[i] + A[i]
if i < m: S[i] = S[i] + B[i]
if S[i] >= 10:
S[i] = S[i] - 10; S.append(1)
else:
S.append(0)
return S

ユークリッドの互除法
 世界最古のアルゴリズムといわれてる
 ２つの正整数 p と q の最大公約数を求める
 (1) p を q で割った余りを r とする
 (2) r = 0 ならば q を答えとする
 (3) r ≠0 のときは， q と r を新しい p と q として
(1) へ
 問題： 54 と 39 の最大公約数をユークリッド
の互除法で求めてみよ

Python によるプログラム例（２）
 ユークリッドの互除法
 入力： 2 組の 1 以上の正整数 p と q
 出力： p と q の最大公約数 r
 手続き
def GCD(p,q):
while True:
r = p % q
if r == 0: return q
p, q = q, r

アルゴリズムの正しさ
 正しいアルゴリズムとは：
 すべての入力に対して，「停止し」，「正しい答
え」を出力する
 正しくないアルゴリズム
 ある入力に対して，「停止しない」
 停止するが，答えが所望のものではない
⇒ 間違う確率が制御できる場合には，有用な「正し
くないアルゴリズム」もある
例：確率的な素数判定法

アルゴリズムの応用例
 ヒトゲノムの解読
 30 億もの塩基配列の情報を特定し，データベー
スに格納し，データ解析のツールを開発する．
 インターネットのルーティング
 ネットワークのデータを適切なあて先に届けるた
めの経路を見つける．
 E コマースサービスの基盤
 クレジットカードの番号やパスワード情報を秘密
にしておくための暗号アルゴリズム．
 などなど．

データ構造とは
 簡単に参照したり変更したりするために，
データを格納し組織化するための方法
 全ての目的に適う，万能のデータ構造は無い
 さまざまなデータ構造の利点と限界を知ることは
非常に重要．

困難な問題
 世の中には，効率良い解法が見つかっていない問題
もある．
 答えが得られるまで非常に長い時間がかかる
 NP 完全問題
 そのような問題群の重要なサブセット
 これまで， NP 完全問題を解く効率良いアルゴリズムは見つ
かっていないが，かといってそのようなアルゴリズムが存在
しないことは誰も証明していない
 NP 完全問題のうち， 1 つでも問題が効率よく解けるアルゴ
リズムが見つかれば，他の NP 完全問題も効率よく解ける．
 いくつかの NP 完全問題は，それと良く似た形の簡単に解け
る問題がある．
 実世界の問題には， NP 完全な問題も数多く表れる
 NP 完全問題について知ってないと無駄な時間を費やすこと
に．．．

NP 完全問題の例
 中央倉庫を持つトラック配送会社
 倉庫でトラックに荷物を積み，配達のためにいく
つかの拠点に積荷を送って回る．
 1 日の割りに，トラックは中央倉庫に戻ってくる
．
 コストを削減するために，なるべく少ない距離で
拠点を訪問したい．
 じつは，「巡回セールスマン問題」として知
られる NP 完全問題

アルゴリズムの計算量
 一般に同じ問題を解くのにも，様々なアルゴ
リズムが考えられる．
 アルゴリズムの良し悪しの評価基準
 答えを出すまでにどれくらい計算時間がかかるか
 時間計算量と呼ぶ
 Cf. 計算のためにどれくらいメモリを消費するかについ
て，空間計算量という概念もある

O （オー）記法について
 データサイズに対する計算量の増え方の度合を表し
たもの
 定義：
 関数 g(n) が O(f(n)) であるとは，定数 c0 と n0 が存在
して， n > n0 であるすべての n に対して　 g(n) < c0 ・
f(n) が成り立つことである
 アルゴリズムでよく見られるオーダー
 O(1) －定数オーダー，データサイズによらず一定
 O(log N) －対数オーダー，二分探索など．
 O(N) －線形探索など
 O(NlogN) －マージソート，高速フーリエ変換など
 O(N2
) －単純なソート，クイックソートの最悪ケースなど
 O(CN
) －指数オーダー

計算量と計算時間の関係
 n=100 のときに 1 秒かかるとして計算
 特に明記していない欄の単位は秒
計算量 n=10 20 50 100 200 500 1000 10000
O(1) 1 1 1 1 1 1 1 1
O(log n) 0.5 0.65 0.85 1 1.15 1.35 1.5 2
O(n) 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 100
O(n log n) 0.05 0.13 0.42 1 2.3 6.75 15 200
O(n2
) 0.01 0.04 0.25 1 4 25 100 2.78 時
間
O(n3
) 0.001 0.008 0.125 1 8 125 1000 11.6 日
O(2n
) 0.001 1.02 34.8
年
― ― ― ― ―

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