МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ План лекции 1.1. Понятие колебаний. Свободные колебания 1.2. Гармоническое колебание. Гармонические осцилляторы 1.3. Математический маятник 1.4. Пружинный маятник 1.5. Вынужденные колебания и резонанс 1.6. Автоколебания 1.7. Классификация колебаний

1. “ В В Е Д Е Н И Е В Ф И З И К У З В У К А ” Презентации к лекциям автор – составитель : А. С. Воронкин 30 октября 2011 год МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ УКРАИНЫ ЛУГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ КУЛЬТУРЫ И ИСКУССТВ Л Е К Ц И Я № 1

2. Лекция 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ . ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ План лекции 1. 1. Понятие колебаний. Свободные колебания 1. 2. Гармоническое колебание. Гармонические осцилляторы 1.3. Математический маятник 1.4. Пружинный маятник 1.5. Вынужденные колебания и резонанс 1.6. Автоколебания 1. 7 . Классификация колебаний

5. 1. Пусть на крышке стола тело массой m равномерно вращается по окружности . Если мы посмотрим сверху, то увидим, что движение происходит по окружности . А вот человек, который смотрит “ в торец ” стола и видит проекцию кругового движения на ось х, может подумать, что наблюдает колебательное движение туда и обратно . Р А С С М О Т Р И М П Р И М Е Р Ы

6. К одному концу стержня приклеен шарик ( например от пинг-понга), а другой его конец прикреплен к диску проигрывателя Такое движение можно продемонстрировать с помощью тени, отбрасываемой телом, которое движется по окружности с постоянной скоростью. Его тень будет совершать на экране простое гармоническое движение взад и вперед. Источник : Неверова С. В. Изучение гармонических колебаний http://festival.1september.ru/articles/509744

7. 2. Н атянутую струну выведем из равновесия в поперечном направлении - струна совершает колебания . 3. Отклоним конусный сосуд заполненный песком – теперь он тоже совершает колебания.

9. Свободные колебания в идеальных колебательных системах называются гармоническими . Они являются специальным, частным видом периодического колебания . Для того чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело (возвращающая сила) в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия . Этому условию для случая пружины удовлетворяет сила Гука : F – сила упругости (или упругая сила), [ H ] k – жесткость пружины. Зависит от формы, размеров и материала , [Н/м] . ∆ х – абсолютное удлинение или сжатие пружины, [м] Знак минус показывает , что сила всегда направлена в сторону положения равновесия .

11. Отодвинем грузик вниз, при этом пружина растягивается на некоторую длину на ∆х . Пружина действует на груз с силой, которая стремится вернуть его в положение равновесия. Для того чтобы растянуть пружину на длину ∆х, к ней необходимо приложить внешнюю силу, равную по меньшей мере При малых деформациях упругая сила пропорциональна абсолютному удлинению

12. На рисунке, изображена доска, лежащая на двух подставках. Если на ее середину поместить гирю, то под действием силы тяжести гиря начнет двигаться, но через некоторое время, прогнув доску, остановится. При этом сила тяжести окажется уравновешенной силой Гука Сила упругости возникает при деформации. Деформация - это изменение формы или размеров тела.

13. Экспериментальное подтверждение Закона Гука на винтовой пружине при помощи набора гирек В этом случае на пружину действует сила тяжести гирьки : F = P=mg , m – маса гирьки, g – ускорение свободного падения . Пропорциональность между возвращающими силами, пока они достаточно малы, и удлинением твердого тела наблюдается не только у пружин, но и у многих материалов, находящихся в состоянии устойчивого равновесия По 3-му закону Ньютона сила тяжести равна возвращающей силе пружины : F упр= k∙∆x=mg=F

14. Коэффициент упругости (жесткость) для данной пружины k= F упр /∆x , [ Н / м ]

16. Циклическую (круговую, угловую) частоту следует различать с линейной частотой ( f) . Линейная частота определяет количество совершенных колебаний тела за единицу времени. Если за время t совершено n колебаний, то f=n/t . Измеряется частота в герцах [Гц] – единицах названных именем великого немецкого ученого Генриха Рудольфа Герца . 1 герц – это 1 полное колебание в секунду : Единица измерения – Герц как мера количества повторяющихся событий в единицу времени была принята Международным бюро мер и весов в 1964 году как единица частоты в системе СИ. Генрих Рудольф Герц (1857-1894) В ноябре 1877 Генрих Герц в письме родителям написал: “ Раньше я часто говорил себе, что быть посредственным инженером для меня предпочтительней, чем посредственным ученым. Но теперь я думаю, что прав Шиллер , сказавший: « кто трусит жизнью рисковать, тому успеха в ней не знать », и что излишняя осторожность была бы с моей стороны безумием ” .

17. Время, за которое происходит одно полное колебание , называется периодом колебания : [ c ] где ω – циклическая частота. Циклическая частота колебаний равна числу полных колебаний за 2 π секунд, т.е. ω =2 π f . Единица циклической частоты – [рад/c].

19. Графики соответствующих колебаний приведены на рисунке ниже. с начальной фазой, равной нулю Рассмотрим два гармонических колебания : и Из рисунка видно, что амплитуда первого колебания составляет единицы, а второго – единица. Период первого колебания с, что соответствует Период второго колебания в два раза больше с, что соответствует частоте колебаний Гц. Итак, период колебаний – это наименьшее время по истечении которого движение полностью повторяется . Величина, обратная периоду колебаний – это частота частоте 5 Гц :

20. Проведем эксперимент , для чего опишем гармонический колебательный процесс синусом: Для упрощения зададим следующие параметры: ед. и f=1 Гц, тогда График колебаний для случая, когда начальная фаза отсутствует приведен на рис. Рисунок. График колебательного процесса

21. Представим, что начальная фаза получила приращение График для этого случая приведен на рис. Видно, что синусоидальное колебание с начальной фазой 90° перешло в косинусоидальное Рис. График колебательного процесса Для синуса суммы двух углов действительно sin( α+β )=sin α •cos β +sin β •cos α . В нашем случае : Так как и то Таким образом, колебания описываемые синусом и косинусом, представляют собой колебания со сдвигом фаз 90°. Т.е. график функции косинуса представляет “ сдвинутую ” синусоиду.

22. Здесь по оси абсцисс откладывается время колебания, а по оси ординат – значения проекции радиуса-вектора движущейся точки в соответствующий момент времени. П Р И М Е Р Оказывается, что равномерное движение вращающейся по окружности материальной точки также происходит по синусоидальному закону .

23. П Р И М Е Р Если разрезать рулончик бумаги наискось и развернуть его, то край бумаги окажется разрезанным по синусоиде .

24. 1.3. Математический маятник Маятником является всякое тело, подвешенное так, что его центр тяжести находится ниже точки подвеса. Математическим маятником называют колеблющуюся в гравитационном поле Земли материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити длиной l . Закон, по которому происходят колебания математического маятника, установил Галилео Галилей в 1583 г., наблюдая за качающимся подсвечником на длинной цепи в соборе в Пизе. Оказалось, что период колебаний не зависит от амплитуды колебаний . Такое свойство маятников получило название изохронности (от греч. «изос» – равный, «хронос» – время), т.е. постоянства периода колебаний маятника вне зависимости от амплитуды колебаний. В Пизе и по сей день показывают "лампу Галилея" - люстру, свисающую из под купола на 49-метровом подвесе.

25. Г. Галилей нашел соотношение между периодами маятников различной длины, используя грузики из свинца и пробки , и показал, что этот период не зависит от массы , хотя колебания маятника с грузиком из пробки затухали быстрее. В качестве указателя времени Галилей пользовался собственным пульсом . Галилео Галилей ( 1564 – 1642 ) Это был не только один из первых экспериментов в истории новой физики, но и изобретение нового часового механизма – Галилей предложил измерять время путем счета колебаний маятника . Однако маятниковые часы системы Галилея были изготовлены лишь три четверти века спустя, в 1656 году Христианом Гюйгенсом (1629 — 1695), нидерландским механиком, физиком и математиком.

26. «Некоторые утверждают, что Галилей пытался сделать это изобретение, но не довел дело до конца; эти лица скорее уменьшают славу Галилея, чем мою, так как выходит, что я с большим успехом, чем он, выполнил туже задачу». Христиан Гюйгенс, 1673 г. 1 — поводок; 2 — скоба; 3 — колесо анкерное; 4 — колесо промежуточное; 5 — колесо центральное; 6 — колесо вексельное с трибом; 7 — ось минутного триба; 8 — колесо часовое; 9 — триб минутной стрелки; 10 — цепь; 11 — гиря; 12 — маятник Кинематическая схема часов с гиревым двигателем

28. Период колебаний математического маятника : Проведем демонстрацию, для чего в поперечном направлении выведем из положения равновесия четыре маятника с различной длиной l. Теперь каждый из них будет совершать свободные колебания со своей собственной частотой С увеличением длины маятника – период колебаний увеличивается, а частота собственных колебаний соответственно уменьшается. Итак, период колебаний математического маятника зависит только от ускорения свободного падения g и от длины маятника l , и не зависит от массы груза и от амплитуды (при условии, что она достаточна мала).

29. 1.4. Пружинный маятник В этом можно убедиться, прикрепив карандаш к колеблющемуся грузу и равномерно передвигая лист бумаги вдоль оси t (см. рис.). При этом, карандаш вычерчивает затухающее со временем, но гармоническое колебание (будет это синус или косинус – зависит от положения грузика в момент времени t =0). Пружинный маятник – это груз массой m , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий под действием упругой силы гармонические колебания.

30. П Р И М Е Р Источник : Benjamin Crowell. Vibrations and Waves. - Edition 2.1, 92 p. (ISBN 0-9704670-3-6)

31. Период вертикальных колебаний пружинного маятника : Формула справедлива для упругих колебаний, при условии, что масса пружины мала по сравнению с массой груза . Собственная частота пружинного маятника : Собственная частота пружинного маятника будет тем выше, чем больше его упругость и меньше масса грузика . И наоборот, чем тяжелее грузик и менее упругая пружина, тем ниже частота его собственных колебаний. У П Р О Щ Е Н И Я При выводе формулы полагают, что : 1) пружина невесома, 2) грузик является абсолютно жестким, т.е. деформация грузика отсутствует, 3) пренебрегают крутильными колебаниями, которые возникают вместе с основными

32. 1. 5 . Вынужденные колебания и резонанс Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называют вынужденными колебаниями . Внешняя периодическая сила, называемая вынуждающей , сообщает колебательной системе дополнительную энергию , которая идет на восполнение энергетических потерь, например происходящих из-за трения. П Р И М Е Р №1 Например, будем вручную перемещать вершину пружинного маятника туда-сюда. Колебания пружинного маятника, вызванные этим способом, становятся вынужденными.

33. П Р И М Е Р №2 Поперечные колебания балки, которая служит опорой для электродвигателя. Такие колебания возникают если у двигателя вращающиеся массы не вполне уравновешены. Период вынужденных колебаний равен периоду изменения возмущающей силы. Источник : http://distance.net.ua/Russia/Sopromat/lekcia/razdel15/urok118.htm

35. Примеры резонанса 1. Раскачивание ребенка на качелях. Качели, так же как и маятник, имеют свою собственную частоту колебаний. Если бы мы подталкивали качели со случайной частотой, то качели болтались бы туда-сюда, но раскачать их сильно нам бы так и не удалось. Поэтому мы подталкиваем качели, согласуясь с их собственной частотой, а амплитуда колебаний при этом нарастает. 2. Причиной разрушения Такомского моста (штат Вашингтон, США) 7 ноября 1940 г. были отчасти механические резонансные явления: частота колебаний воздушных вихрей, вызванных сильным порывистым ураганным ветром, совпала с собственной частотой колебаний моста, возник резонанс. Амплитуда колебаний Такомского моста нарастала, до тех пор, пока многотонная конструкция не рухнула .

36. 1.6. Автоколебания В отличие от вынужденных колебаний , частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой колебательной системы. От свободных (затухающих) колебаний автоколебания отличаются независимостью амплитуды от времени. Автоколебания могут иметь различную природу: механическую, тепловую, электромагнитную и химическую. Автоколебаниями называют незатухающие колебания в системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии при отсутствии воздействия внешней переменной силы. Характерным отличием автоколебаний от свободных колебаний является, то что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.

37. Примеры автоколебательных систем 1. Пример механической автоколебательной системы – часовой механизм с анкерным ходом . На ось ходового колеса действует постоянный момент силы M , передающийся через зубчатую передачу от заводной пружины или от гири. При вращении колеса его зубцы сообщают кратковременные импульсы силы маятнику (осциллятору), благодаря которым его колебания не затухают. Кинематика механизма играет роль обратной связи в системе, синхронизируя вращение колеса с колебаниями маятника таким образом, что за полный период колебания колесо поворачивается на угол, соответствующий одному зубцу.

38. 3 . А втоколебания присущи не только неживой природе. В живой природе они происходят как на уровне организма - биение сердца, периодическое непроизвольное сокращение мышц и т.д., так и на более высоком уровне, например на уровне биогеоценоза. Еще в 1729 году француз де Меран обратил внимание на то, что ночью листья растений совершают колебательные движения. Для большинства биологических систем характерны автоколебания различных характеристик. Период этих колебаний может быть связан с периодическими изменениями условий жизни на Земле  смены времен года, смены дня и ночи. Существуют и другие геофизические ритмы – солнечные, лунные, связанные с атмосферными явлениями. Периодическое изменение показателей жизнедеятельности человека в результате автоколебаний называют биоритмами . 2. Электрические или электромагнитные автоколебания образуются в генераторах электрических сигналов, используемых в радио, телевидении, компьютерах, а также в оптических квантовых генераторах – лазерах.