Đây chỉ là bản mình upload để làm demo trên web, để tải đầy đủ tài liệu này, bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com để tải nhé. Chúc bạn học tốt
Đây chỉ là bản mình upload để làm demo trên web, để tải đầy đủ tài liệu này, bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com để tải nhé. Chúc bạn học tốt
Đây chỉ là bản mình upload để làm demo trên web, để tải đầy đủ tài liệu này, bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com để tải nhé. Chúc bạn học tốt
1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1) Véc tơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng
( ) 2 2 2
; ; , 0= + + >n A B C A B C có phương vuông góc với (P) được gọi là véc tơ pháp tuyến của (P).
(P) đi qua điểm ( )0 0 0; ;M x y z và có véc tơ pháp tuyến ( ); ;=n A B C thì có phương trình được viết dạng
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0: 0.P A x x B y y C z z− + − + − =
(P) có véc tơ pháp tuyến ( ); ;=n A B C thì có phương trình tổng quát ( ): 0.P Ax By Cz D+ + + =
(P) đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến ;Pn AB AC =
(P) đi qua điểm A và song song với (Q) thì ta chọn cho =P Qn n
(P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (α), (β) thì ;
α
α β
β
⊥ → = ⊥
P
P
P
n n
n n n
n n
(P) đi qua điểm A và song song với hai véc tơ ;a b thì ;
⊥ → =
⊥
P
P
P
n a
n a b
n b
(P) đi qua điểm A, B và vuông góc với (α) thì ; α
α
⊥ → =
⊥
P
P
P
n AB
n AB n
n n
Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến ( )= −1; 2;1 .n
b) qua M(2; 0; 1) và song song với (Q): x + 2y + 5z −−−− 1 = 0.
c) qua M(3; −−−−1; 0) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z −−−− 1 = 0; (R): 2x + 3y −−−− z −−−− 5 = 0.
Hướng dẫn giải:
a) (P) đi qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến ( )1; 2;1= −n nên có phương trình
( ) ( ) ( ) ( ): 1. 1 2. 1 1. 2 0 2 1 0− − − + − = ⇔ − + − =P x y z x y z
b) (P) // (Q) nên // ,P Qn n chọn ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1;2;5 :1. 2 2. 0 5. 1 0= = → − + − + − =P Qn n P x y z
( ): 2 5 7 0.→ + + − =P x y z
c) (P) qua vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z − 1 = 0; (R): 2x + 3y − z − 5 = 0 nên có véc tơ pháp tuyến
( ) ( ) ( )
4 0 1
; 3;6;12 3 1; 2; 4 1; 2; 4
2 3 1
⊥ → = = = − = − − − ⇒ = − − −⊥
P Q
P Q R P
P R
n n
n n n n
n n
Khi đó (P) có phương trình ( ) ( )1. 3 2. 1 4 0 2 4 5 0− − + − = ⇔ − − − =x y z x y z
Ví dụ 2. Cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ ( )1; 1;5−n làm vectơ pháp tuyến
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mặt phẳng đó là
( ) ( )1;2; 1 , 2; 1;3− −a b
c) Viết phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với đường thẳng AB.
d) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
e) Viết phương trình (ABC).
Ví dụ 3. Cho A(–1; 2; 1), B(1; –4; 3), C(–4; –1; –2).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua I(2; 1; 1) và song song với (ABC).
b) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với (P): 2x – y – 3z – 2 = 0.
03. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng
2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
c) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B và vuông góc với (Q): 2x – y + 2z – 2 = 0.
d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song với Oy và vuông góc với (R): 3x – y – 3z – 1 = 0.
e) Viết phương trình mặt phẳng qua C song song với (Oyz).
Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với:
a)
( )
3 1 1 2 1 4
2 3 1 0
− −
− + − = β
( ; ; ), ( ; ; )
:
A B
x y z
b)
( )
2 1 3 4 2 1
2 3 2 5 0
− − −
+ − + = β
( ; ; ), ( ; ; )
:
A B
x y z
c)
( )
2 1 3 4 7 9
3 4 8 5 0
− − −
+ − − = β
( ; ; ), ( ; ; )
:
A B
x y z
d)
( )
3 1 2 3 1 2
2 2 2 5 0
− − −
− − + = β
( ; ; ), ( ; ; )
:
A B
x y z
Ví dụ 5. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với:
a) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 5 0 3 2 5 1 0− − + − = − + − =; ; , : ,M P x y z Q : x y z
b) ( ) ( ) ( )2 1 1 4 0 3 1 0− − + − = − + − =; ; , : ,M P x y z Q : x y z
c) ( ) ( ) ( )3 4 1 19 6 4 27 0 42 8 3 11 0− − + = − + + =; ; , : ,M P x y z Q : x y z
d) ( ) ( ) ( )0 0 1 5 3 2 5 0 2 1 0− + − = − − − =; ; , : , :M P x y z Q x y z
Ví dụ 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt
phẳng (R) cho trước, với:
a) 2 4 0 3 0 2 0P y z Q x y z R x y z( ): , ( ): , ( ) :+ − = + − − = + + − =
b) 4 2 5 0 4 5 0 2 19 0P x y z Q y z R x y( ) : , ( ): , ( ):− + − = + − = − + =
c) 3 2 0 4 5 0 2 7 0P x y z Q x y R x z( ): , ( ) : , ( ):− + − = + − = − + =
Ví dụ 7. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt
phẳng (R) cho trước, với:
a) 2 3 4 0 2 3 5 0 2 3 2 0P x y Q y z R x y z( ) : , ( ) : , ( ) :+ − = − − = + − − =
b) 2 4 0 3 0 2 0P y z Q x y z R x y z( ): , ( ): , ( ):+ − = + − + = + + − =
c) 2 4 0 2 5 0 2 3 6 0P x y z Q x y z R x y z( ) : , ( ): , ( ) :+ − − = + + + = − − + =
d) 3 2 0 4 5 0 2 7 0P x y z Q x y R x z( ): , ( ) : , ( ):− + − = + − = − + =
2) Một số dạng phương trình mặt phẳng đặc biệt
Mặt phẳng (xOy): véc tơ pháp tuyến là Oz và đi qua
gốc tạo độ nên có phương trình là z = 0.
Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxy) có phương trình
là z − a = 0.
Mặt phẳng (yOz): véc tơ pháp tuyến là Ox và đi qua
gốc tạo độ nên có phương trình là x = 0.
Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oyz) có phương trình
là x − a = 0.
Mặt phẳng (xOz): véc tơ pháp tuyến là Oy và đi qua
gốc tạo độ nên có phương trình là y = 0.
Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxz) có phương trình
là y − a = 0.
Mặt phẳng trung trực:
Cho hai điểm A, B. Khi đó mặt phẳng trung trực của AB
đi qua trung điểm I của AB và nhận AB làm véc tơ pháp
tuyến.
Phương trình mặt chắn:
Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các
3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
điểm ( ) ( ) ( );0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c thì (P) có phương
trình đoạn chắn: ( ): 1+ + =
x y z
P
a b c
.
Một số đặc điểm của mặt chắn:
+ Độ dài ; ;= = =OA a OB b OC c
+ Thế tích tứ diện
1 1
. .
6 6
= =OABCV OAOB OC abc
+ Chân đường cao hạ từ O xuống (ABC) trùng với trực
tâm H của tam giác ABC.
Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể
tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
• Giả sử mặt phẳng cần lập cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Do mặt phẳng cắt các tia nên
Ta có a, b, c > 0
Phương trình mặt chắn( ): 1.+ + =
x y z
P
a b c
• Do ( )
2 2 2 1 1 1 1
1
2
∈ → + + = ⇔ + + =M P
a b c a b c
Ta có
1
; ;
6
= = = → =OABCOA a OB b OC c V abc
• Do a, b, c là ba số dương nên theo Côsi ta có 3
3 3
1 1 1 3 1 3
6 216
2
+ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥abc abc
a b c abc abc
min
1
.216 36 36 6
6
→ ≥ = ⇒ = ⇔ = = =OABCV V a b c , từ đó ta được phương trình (P): x + y + z – 6 = 0
Ví dụ 2. Cho điểm A(1; 0; 0) và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với
(P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6.
Đ/s: ( ): 1
2 2
y z
ABC x ± ± =
Ví dụ 3. Cho điểm A(2; 0; 0) và điểm M(2; 3; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, M sao cho (α) cắt các trục
Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho 2OABCV = , với O là gốc tọa độ.
Đ/s: ( ): 1; 1
2 3 2 2 3 2
x y z x y z
ABC + − = − + =
Ví dụ 4. Cho điểm A(–2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x + 2z + 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với
(P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho 4OABCV =
Đ/s: ( ): 1
2 3 4
x y z
ABC − + + =
Ví dụ 5. Cho điểm B(0; 3; 0) và điểm M(1; -3; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua B, M sao cho (α) cắt các
trục Ox, Oz lần lược tại các điểm A, C sao cho
7
2
ABCS = , với O là gốc tọa độ.
Đ/s: ( )α : 1
3 2
y z
x + + =
Ví dụ 6. Viết pt mp đi qua M(2; 1; 4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC.
4. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Ví dụ 7. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ
diện OABC nhỏ nhất.
Ví dụ 8. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1; 1; 1) cắt các tia Ox, Oy,Oz lần lược tại các điểm A, B, C sao cho
tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC.