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선형대수 04. Inverse and Transpose

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한양대 이상화 교수님 <선형대수> KOCW
4강 역행렬과 전치행렬 강의 정리 노트

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선형대수 04. Inverse and Transpose

  1. 1. Linear Algebra 4. Inverse and Transpose 한양대 이상화 교수님 <선형대수> http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757
  2. 2. Inverse (역행렬) • 지금부터는 모두 (𝒏 × 𝒏) 정사각 행렬을 가정한다. • 역행렬의 정의 : 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼, (𝐴𝐵)−1= 𝐵−1 𝐴−1  하지만 모든 행렬이 역행렬을 가지는 것은 아니다! • 가우스 소거법의 결과로 U 행렬에 n개의 pivot이 생길 때만 역행렬이 존재 (결국 Non-singular 경우에만 역행렬이 존재한다!) • 행렬 A의 역행렬이 존재한다면, • 행렬 A의 역행렬은 단 하나(Unique) 존재한다. • 연립방정식 𝐴𝑥 = 𝑏 의 해는 𝑥 = 𝐴−1 𝑏 단 하나 존재한다.
  3. 3. Gauss-Jordan Method • 역행렬 구하는 방법 𝐴 = 2 1 1 4 −6 0 −2 7 2 일 때, 𝐴−1 = [ 𝑥1 𝑥2 𝑥3]이라고 하면, 2 1 1 4 −6 0 −2 7 2 [𝑥1 𝑥2 𝑥3] = 𝐴𝑥1 𝐴𝑥2 𝐴𝑥3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 형태로 n개의 연립방정식이 구성되어 이걸 풀면 된다.
  4. 4. Gauss-Jordan Method • 크게 봐서 결국 𝐴𝑋 = 𝐼이기 때문에, 가우스 소거법을 응용하면 된다. A와 b에 적절한 계수를 곱하고 빼면서 Upper Triangular Matrix U를 만들어 Backward Substitution을 준비했던 것처럼, [𝐴 𝑒1 𝑒2 𝑒3] = 2 1 1 1 0 0 4 −6 0 0 1 0 −2 7 2 0 0 1 2 1 1 1 0 0 0 −8 −2 −2 1 0 0 8 3 1 0 1 2 1 1 1 0 0 0 −8 −2 −2 1 0 0 0 1 −1 1 1 −𝒍 𝟐𝟏 −𝒍 𝟑𝟐 −𝒍 𝟑𝟏 𝑼 𝑳−𝟏
  5. 5. Gauss-Jordan Method 𝐴𝐴−1 = 𝐼 𝐿−1 𝐴𝐴−1 = 𝐿−1 𝐼 𝑈𝐴−1 = 𝐿−1 𝐴−1 = 𝑈−1 𝐿−1 2 1 1 1 0 0 0 −8 −2 −2 1 0 0 0 1 −1 1 1 𝑼 𝑳−𝟏 [𝐴 𝑒1 𝑒2 𝑒3]  [𝑈 𝐿−1] = 𝑈−1 [𝑈 𝐿−1] = 𝐼 𝑈−1 𝐿−1 = 𝐼 𝐴−1 2 1 0 2 −1 −1 0 −8 0 −4 3 2 0 0 1 −1 1 1 2 0 0 3 2 −5 8 −3 4 0 −8 0 −4 3 2 0 0 1 −1 1 1 1 0 0 3 4 −5 16 −3 8 0 1 0 1 2 − 3 8 −1 4 0 0 1 −1 1 1 = 𝐼 𝐴−1 𝐺𝐸를 반대방향으로 시행하면서 Pivot의 위쪽을 모두 0으로 만든다 (위 행을 기준으로 한다) *GE : 아래 행 기준 각 행을 Pivot으로 나누어 𝐼를 만든다 (2행) + 2*(3행) (1행) + 1/8*(2행)  역행렬 구하기 복잡하다… 𝑳𝒄 = 𝒃 𝒂𝒏𝒅 𝑼𝒙 = 𝒄 are better than 𝑨−𝟏 𝒃 = 𝒙.
  6. 6. Transpose Matrix • 전치행렬(Transpose Matrix) : 행렬의 열과 행을 뒤집은 행렬 • 𝐴𝑖𝑗 𝑇 = 𝐴𝑗𝑖 • (𝐴 + 𝐵) 𝑇= 𝐴 𝑇 + 𝐵 𝑇 (𝑐𝑓. 𝐴 + 𝐵 −1 ≠ 𝐴 −1 + 𝐵 −1 ) • 𝐴𝐵 𝑇 = 𝐵 𝑇 𝐴 𝑇 • (𝐴−1 ) 𝑇 = (𝐴 𝑇 )−1
  7. 7. Symmetric Matrix • 대칭행렬(Symmetric Matrix) • 𝐴 𝑇 = 𝐴  𝐴 가 정사각 행렬이어야 가능함 • 𝐴 가 대칭행렬이고 역행렬이 존재한다면, 𝐴 의 역행렬도 대칭행렬이다. • 𝐴가 대칭행렬이고, 𝐴 = 𝐿𝐷𝑈일 때, 𝐴 = 𝐴 𝑇 = 𝑈 𝑇 𝐷 𝑇 𝐿 𝑇 = 𝐿𝐷𝐿 𝑇  𝑈나 𝐿 둘 중 하나만 알면 가우스 소거를 쉽게 계산할 수 있다! 𝐴𝐴−1 = 𝐼 (𝐴𝐴−1 ) 𝑇 = 𝐼 𝑇 = 𝐼 (𝐴−1 ) 𝑇 𝐴 𝑇 = (𝐴−1 ) 𝑇 𝐴 = 𝐼 (𝐴−1) 𝑇 = 𝐴−1

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