basic linear algebra for quantum computing(in Korean)

1. 양자 컴퓨팅을 공부하기 위한
선형대수학 기초
Linear algebra for quantum computing
멘티 송가현(Gahyun Song)

2. 선형대수학
왜 알아야할까?

3. 선형대수학
왜 알아야할까?
양자 컴퓨팅에서 다양한 상태와 동작들을 묘사하고
추측하기 위해 사용하는 언어의 일종

4. 선형대수학
왜 알아야할까?
양자 컴퓨팅에서 다양한 상태와 동작들을 묘사하고
추측하기 위해 사용하는 언어의 일종
여러 미지수, 식들의 관계를 표현하기 위한 도구

5. 벡터
“크기와 방향을 가진 양”
추상적 정의 : 벡터 공간(덧셈, 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있는 공간)의 원소
3
5 0 0 3
Image : https://qiskit.org/textbook/ch-appendix/linear_algebra.html
열벡터(column vector) 행벡터(row vector)

6. 벡터
“크기와 방향을 가진 양”
추상적 정의 : 벡터 공간(덧셈, 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있는 공간)의 원소
벡터의 덧셈 벡터의 스칼라 곱

7. 행렬
숫자들을 행과 열에 맞추어 배열한 것
행렬의 덧셈, 스칼라곱
행렬의 곱셈
1 2
3 4
1 2
3 4
10 20
30 40
=
1 ∗ 10 + 2 ∗ 30 1 ∗ 20 + 2 ∗ 40
3 ∗ 10 + 4 ∗ 30 3 ∗ 20 + 4 ∗ 40
1 0
2 5
1 1

8. 행렬
숫자들을 행과 열에 맞추어 배열한 것
행렬의 덧셈, 스칼라곱
행렬의 곱셈
1 2
3 4
1 0
2 5
1 1
1 2
3 4
10 20
30 40
=
1 ∗ 10 + 2 ∗ 30 1 ∗ 20 + 2 ∗ 40
3 ∗ 10 + 4 ∗ 30 3 ∗ 20 + 4 ∗ 40
* 𝒎 × 𝒏 행렬과 𝒏 × 𝒌 행렬의 곱 = 𝒎 × 𝒌 행렬
* 𝒎 × 𝒏 행렬과 𝒏 × 𝟏 행렬의 곱 = 𝒎 × 𝟏 행렬 = 열벡터

9. Bra-ket notation
를 이용해 벡터를 표현하는 표기법
: ket : 열벡터에 해당 : bra : 행벡터에 해당
: 두 벡터의 내적으로 이해할 수 있음

10. 벡터의 내적 (inner product)
조건 1. 연산 결과는 하나의 숫자
조건 2.
조건 3. ,
조건 4.
이러한 조건들을 만족하는 연산을 정의

11. 벡터의 내적 (inner product)
계산 방식 :
대강의 의미 : 두 벡터가 얼마나 같은 방향을 가리키는지 나타내는 척도
Ex ) 같은 방향일때 , 수직일 때 0, 반대 방향일 때
|𝑎||𝑏| -|𝑎||𝑏|
벡터의 노름(Norm) :
Hilbert space의 특징 : 내적이 정의된 벡터 공간

12. 벡터 공간 분석하기
벡터의 선형 결합(Linear combination)
* 각각의 fi : 벡터 공간이 정의된 field(체) F의 원소

13. 벡터 공간 분석하기
벡터의 선형 결합(Linear combination)
* 각각의 fi : 벡터 공간이 정의된 field(체) F의 원소
벡터의 선형 의존 : 벡터 공간의 부분 집합 S에서 어떠한 벡터 를 다른
벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 있을 때
벡터의 선형 독립 : ~~의 모든 벡터들이 다른 벡터들의 선형 결합으로
나타내어질 수 없을 때

14. 벡터 공간 분석하기
벡터의 선형 결합(Linear combination)
* 각각의 fi : 벡터 공간이 정의된 field(체) F의 원소
벡터 공간의 기저(basis) : 벡터 공간의 모든 원소를 선형 결합으로 나타낼
수 있고 서로 선형 독립인 벡터들의 집합
벡터의 선형 의존 : 벡터 공간의 부분 집합 S에서 어떠한 벡터 를 다른
벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 있을 때
벡터의 선형 독립 : ~~의 모든 벡터들이 다른 벡터들의 선형 결합으로
나타내어질 수 없을 때

15. 선형 연산자(Linear operators)
연산자(Operator) : 벡터 → 벡터로 변환하는 규칙
선형 연산자 : 1.
2.
3. bra에 대해서도 똑같이 성립

16. 선형 연산자(Linear operators)
연산자(Operator) : 벡터 → 벡터로 변환하는 규칙
선형 연산자 : 1.
2.
3. bra에 대해서도 똑같이 성립
→ 행렬로 표현 가능

17. 다양한 행렬들
단위 행렬 (Identity matrix)
: 주대각 성분만 1, 나머지는 모두 0
: 다른 행렬과의 곱셈에 대한 항등원
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
역행렬 (Inverse matrix)
: 행렬 𝑨의 역행렬 𝑨!𝟏
: 𝑨 𝑨!𝟏 = 𝑨!𝟏𝑨 = 𝑰
: 임의의 행렬에 대해 항상 존재하는 것은 아님
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0,

18. 다양한 행렬들
전치 행렬 (Transpose matrix)
: 행과 열을 서로 바꾼 경우
: 복소수의 경우 켤레 전치 (Conjugate transpose)
에르미트 행렬 (Hermitian matrix)
: 켤레 전치가 원래 행렬과 같은 경우 (𝑨 = 𝑨#)
: 실수 범위에서의 symmetric matrix와 유사
Image : https://en.wikipedia.org/wiki/Transpose , https://qiskit.org/textbook/ch-appendix/linear_algebra.html
𝑖 2 − 𝑖
4 3
!
=
−𝑖 4
2 + 𝑖 3

19. 다양한 행렬들
유니터리 행렬 (Unitary matrix)
: 켤레 전치가 원래 행렬의 역행렬과 같은 경우 (𝑨!𝟏 = 𝑨#)
: 𝑨𝑨# = 𝑨#𝑨 = 𝑰

20. 다양한 행렬들
유니터리 행렬 (Unitary matrix)
: 켤레 전치가 원래 행렬의 역행렬과 같은 경우 (𝑨!𝟏 = 𝑨#)
: 𝑨𝑨# = 𝑨#𝑨 = 𝑰
* 약간의 직관 : 행렬 𝑨 = 길이 변화 + 회전
𝑨!𝟏 = 길이 변화 반대로 + 회전 반대로
𝑨# = 길이 변화 + 회전 반대로

21. 빠진 내용
Eigenvalue, Eigenvectors
벡터의 외적
각 행렬들의 성질 등등…

22. 참고자료
신소영 멘토님 - <lecture 0-0 양자컴퓨터를 위한 선형대수>
(https://github.com/QuantumComputingKorea/Qiskit-Dev-Cert-lectures)
김태현 교수님 ­ <양자 컴퓨팅 및 정보의 기초 (2020)> 강의 내용
Qiskit textbook (https://qiskit.org/textbook/ch-appendix/linear_algebra.html)

23. 감사합니다:-)