한양대 이상화 교수님 <선형대수> KOCW 2강 가우스 소거법 강의노트 정리

1. Linear Algebra
2. 가우스 소거법 (Gaussian Elimination)
한양대 이상화 교수님 <선형대수>
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757

2. 가우스 소거법 (Gaussian Elimination)
• 행렬로 표현된 연립방정식을 푸는 전형적인 방법
2𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 5
4𝑢 − 6𝑣 = −2
−2𝑢 + 7𝑣 + 2𝑤 = 9
- ①
- ②
- ③
2𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 5
−8𝑣 − 2𝑤 = −12
8𝑣 + 3𝑤 = 14
- ①
- 2*① - ②
- ③ + ①
1st Pivot
2𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 5
−8𝑣 − 2𝑤 = −12
𝑤 = 2
- ②’
- ②’ + ①
2nd Pivot
3rd Pivot
Forward Elimination
2𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 5
−8𝑣 − 2𝑤 = −12
𝑤 = 2
2𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 5
−8𝑣 − 4 = −12
𝑤 = 2
𝑣 = −1
𝑤 = 2
2𝑢 + 1 + 2 = 5
−8𝑣 − 4 = −12
𝑤 = 2
𝑢 = 1
𝑣 = 1
𝑤 = 2
Backward Substitution

3. 가우스 소거법과 행렬
• 앞의 과정을 벡터로 나타내면,
2 1 1 5
4 −6 0 −2
−2 7 2 9

2 1 1 5
0 −8 −2 −12
0 8 3 14

2 1 1 5
0 −8 −2 −12
0 0 1 2
• 과정 중에 Pivot 자리에 0이 생기면, 아래 쪽의 0이 아닌 행과 자리를 바꿀 수 있고, 이를
Pivoting이라고 한다.
Upper Triangular Matrix : U
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑎
2𝑢 + 2𝑣 + 5𝑤 = 𝑏
4𝑢 + 6𝑣 + 8𝑤 = 𝑐
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑎
3𝑤 = 𝑏 − 2𝑎
2𝑣 + 4𝑤 = 𝑐 − 4𝑎
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑎
2𝑣 + 4𝑤 = 𝑐 − 4𝑎
3𝑤 = 𝑏 − 2𝑎

4. Singular Case와 가우스 소거법
• Singular Case : 해가 없거나, 해가 무수히 많거나
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑎
2𝑢 + 2𝑣 + 5𝑤 = 𝑏
4𝑢 + 4𝑣 + 8𝑤 = 𝑐
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑎
3𝑤 = 𝑏 − 2𝑎
4𝑤 = 𝑐 − 4𝑎
②식에서 𝑤 =
𝑏−2𝑎
3
③식에서 𝑤 =
𝑐−4𝑎
4
이기 때문에,
𝑏−2𝑎
3
=
𝑐−4𝑎
4
일 때만 해가 존재(무수히 많은 해)
그렇지 않으면 해가 존재하지 않음
Pivot 위치에 0이 있고,
Pivoting으로도 해결할 수 없다  U 모양 실패!

5. 연립방정식의 Matrix Notation
2𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 5
4𝑢 − 6𝑣 = −2
−2𝑢 + 7𝑣 + 2𝑤 = 9
• 앞의 내용을 행렬로 접근해보자.
“연립방정식은 결국 행렬 𝑨의 열벡터들의 Linear Combination으로
우항(𝒃)을 만들 수 있는지를 푸는 것이다.”
2 1 1
4 −6 0
−2 7 2
𝑢
𝑣
𝑤
=
5
−2
9
Coefficient Matrix
𝑢
2
4
−2
+ 𝑣
1
−6
7
+ 𝑤
1
0
2
=
5
−2
9
𝑨𝒙 = 𝒃
𝑨𝒙 is a combination
of the columns of 𝑨.