Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

선형대수 02. 가우스 소거법

684 views

Published on

한양대 이상화 교수님 <선형대수> KOCW

2강 가우스 소거법
강의노트 정리

Published in: Education
  • Be the first to comment

선형대수 02. 가우스 소거법

  1. 1. Linear Algebra 2. 가우스 소거법 (Gaussian Elimination) 한양대 이상화 교수님 <선형대수> http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757
  2. 2. 가우스 소거법 (Gaussian Elimination) • 행렬로 표현된 연립방정식을 푸는 전형적인 방법 2𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 5 4𝑢 − 6𝑣 = −2 −2𝑢 + 7𝑣 + 2𝑤 = 9 - ① - ② - ③ 2𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 5 −8𝑣 − 2𝑤 = −12 8𝑣 + 3𝑤 = 14 - ① - 2*① - ② - ③ + ① 1st Pivot 2𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 5 −8𝑣 − 2𝑤 = −12 𝑤 = 2 - ②’ - ②’ + ① 2nd Pivot 3rd Pivot Forward Elimination 2𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 5 −8𝑣 − 2𝑤 = −12 𝑤 = 2 2𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 5 −8𝑣 − 4 = −12 𝑤 = 2 𝑣 = −1 𝑤 = 2 2𝑢 + 1 + 2 = 5 −8𝑣 − 4 = −12 𝑤 = 2 𝑢 = 1 𝑣 = 1 𝑤 = 2 Backward Substitution
  3. 3. 가우스 소거법과 행렬 • 앞의 과정을 벡터로 나타내면, 2 1 1 5 4 −6 0 −2 −2 7 2 9  2 1 1 5 0 −8 −2 −12 0 8 3 14  2 1 1 5 0 −8 −2 −12 0 0 1 2 • 과정 중에 Pivot 자리에 0이 생기면, 아래 쪽의 0이 아닌 행과 자리를 바꿀 수 있고, 이를 Pivoting이라고 한다. Upper Triangular Matrix : U 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑎 2𝑢 + 2𝑣 + 5𝑤 = 𝑏 4𝑢 + 6𝑣 + 8𝑤 = 𝑐 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑎 3𝑤 = 𝑏 − 2𝑎 2𝑣 + 4𝑤 = 𝑐 − 4𝑎 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑎 2𝑣 + 4𝑤 = 𝑐 − 4𝑎 3𝑤 = 𝑏 − 2𝑎
  4. 4. Singular Case와 가우스 소거법 • Singular Case : 해가 없거나, 해가 무수히 많거나 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑎 2𝑢 + 2𝑣 + 5𝑤 = 𝑏 4𝑢 + 4𝑣 + 8𝑤 = 𝑐 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑎 3𝑤 = 𝑏 − 2𝑎 4𝑤 = 𝑐 − 4𝑎 ②식에서 𝑤 = 𝑏−2𝑎 3 ③식에서 𝑤 = 𝑐−4𝑎 4 이기 때문에, 𝑏−2𝑎 3 = 𝑐−4𝑎 4 일 때만 해가 존재(무수히 많은 해) 그렇지 않으면 해가 존재하지 않음 Pivot 위치에 0이 있고, Pivoting으로도 해결할 수 없다  U 모양 실패!
  5. 5. 연립방정식의 Matrix Notation 2𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 5 4𝑢 − 6𝑣 = −2 −2𝑢 + 7𝑣 + 2𝑤 = 9 • 앞의 내용을 행렬로 접근해보자. “연립방정식은 결국 행렬 𝑨의 열벡터들의 Linear Combination으로 우항(𝒃)을 만들 수 있는지를 푸는 것이다.” 2 1 1 4 −6 0 −2 7 2 𝑢 𝑣 𝑤 = 5 −2 9 Coefficient Matrix 𝑢 2 4 −2 + 𝑣 1 −6 7 + 𝑤 1 0 2 = 5 −2 9 𝑨𝒙 = 𝒃 𝑨𝒙 is a combination of the columns of 𝑨.

×