Документ охватывает тему прямоугольных треугольников, включая их элементы, признаки равенства и свойства. Исследуются способы построения прямого угла, теорема Пифагора и различные способы её доказательства, а также историческая справка о Пифагоре. В конце документа предлагаются проверки знаний и дополнительные материалы для учителей и учеников.

1. Авторы: Юшина Алина и
Малинина Анастасия.

2. Оглавление
1. Самое-самое
 Вступительный тест.
 Прямоугольный треугольник и его элементы.
 Признаки равенства.
 Свойства прямоугольного треугольника.
2. Дополнительно
 Способы построения прямого угла.
 По секрету всему свету…
 Проверка знаний.
3. Завершение
 Дополнительная литература.
 На последок…

3. Проверьте себя…
 Вообще, что такое треугольник?
а. Фигура, состоящая из трех точек не лежащих на одной прямой, и
отрезков, попарно соединяющих эти точки.
б. тоже самое, что и пирамида.
в. млекопитающее из семейства приматов.
 Что заложено в основе прямоугольного треугольника?
а. тупой угол.
б. прямой угол.
в. квадрат.
 Сколько острых углов у прямоугольного треугольника?
а. один.
б. два.
в. три.
 Что такое катеты?
а. стороны, прилежащие к острому углу.
б. стороны, прилежащие к прямому углу.
в. стороны, прилежащие к гипотенузе.
 Чему равен прямой угол?
а. 30 градусов.
б. 90 градусов.
в. 180 градусов.

4. 1
2
3
900
a
0
90 
β
α
Прямоугольный треугольник и его
элементы
Прямоугольным называется
треугольник, у которого
один из углов прямой. Это
значит, что прямоугольный
треугольник имеет две
взаимно перпендикулярные
стороны, называемые
катетами (2, 3); третья его
сторона называется
гипотенузой (1).

5. 1. По гипотенузе и острому углу.
2. По гипотенузе и катету.
3. По катету и прилежащему острому
углу.
4. По двум катетам.
5. По катету и противолежащему
острому углу.
П
Р
И
З
Н
А
К
И
Р
А
В
Е
Н
С
Т
В
А

6.  Если гипотенуза и острый угол одного треугольника
соответственно равны гипотенузе и острому углу
другого треугольника, то такие треугольники равны.
 Если гипотенуза и катет одного треугольника
соответственно равны гипотенузе и катету другого
треугольника, то такие треугольники равны.
 Если катет и прилежащий к нему острый угол одного
треугольника соответственно равны катету и
прилежащему к нему острому углу другого
треугольника, то такие треугольники равны.
 Если два катета одного треугольника соответственно
равны двум катетам другого треугольника, то такие
треугольники равны.
 Если катет и противолежащий ему острый угол
одного треугольника соответственно равны катету и
противолежащему ему углу другого треугольника, то
такие треугольники равны.
Формулировка признаков равенства

7. Свойства прямоугольного
треугольника
 Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника
равна 90 градусов.
 Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с
его катетами.
 По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза
длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).
 Катет прямоугольного треугольника, лежащий против
угла в 30o
, равен половине гипотенузы.
 Угол треугольника при данной вершине является прямым
тогда и только тогда, когда медиана, проведенная из этой
вершины, равна половине противолежащей стороны.
 В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы
при основании каждый равен 45 градусов.

8. Определение синуса, косинуса,
тангенса, котангенса для острого угла
 Синусом острого угла в
прямоугольном треугольнике
называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе.
 Косинусом острого угла в
прямоугольном треугольнике
называется отношение прилежащего
катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике
называется отношение противолежащего катета к
прилежащему.
Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике
называется отношение прилежащего катета к
противолежащему .

9. По секрету всему свету…
 Теорема Пифагора: В прямоугольном
треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов.
 Египетский треугольник:
Землемеры Древнего Египта для построения
прямого угла пользовались следующим
приёмом.
Бечёвку узлами делили на 12 равных частей
и концы связывали. Затем бечёвку растягивали
на земле так, что получался треугольник со
сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника,
противолежащий стороне с 5 делениями, был
прямой (32+42=52). В связи с указанным
способом построения прямого угла треугольник
называют египетским.

10. История теоремы
Суть истины вся в том, что нам она - навечно,
Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.
На радостям богам был Пифагором дан обед:
За то, что мудрости коснулся бесконечной,
Он сто быков загнал, благодаря предвечных;
Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.
С тех пор быки, когда учуют, тужась,
Что к новой истине людей опять подводит след,
Ревут остервенело, так что слушать мочи нет, -
Такой в них Пифагор вселил навеки ужас,
Быкам, бессильным новой правде противостоять,
Что остается? – Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать

11. Немного о Пифагоре
Пифагор происходил из аристократического рода, ведущего свою
родословную от мифического Геракла. Уроженец острова Самос, он
принимал участие в политической борьбе аристократов и
демократии на стороне аристократии и вынужден был бежать в
Италию, где основал тайный союз. В политической борьбе союз был
разгромлен а Пифагор, по одним сведениям, был убит, по другим –
умер в новом изгнании. Однако пифагорейская школа продолжала
существовать и после смерти учителя. письменных документов о
Пифагоре Самосском не осталось, а по более поздним
свидетельствам трудно восстановить подлинную картину его жизни
и достижений. Известно, что Пифагор покинул свой родной остров
Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии в знак протеста
против тирании правителя и уже в зрелом возрасте (по преданию 40
лет) появился в греческом городе Кротоне на юге Италии. Пифагор
и его последователи – пифагорейцы – образовали тайный союз,
игравший не малую роль в жизни греческой колонии в Италии.
Пифагорейцы узнавали друг друга по звездчатому пятиугольнику-
пентаграмме.
На учение Пифагора большое влияние оказала философия и
религия Древнего Востока. Он много путешествовал по странам
Востока: был в Египте и в Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с
восточной математикой. Математика стала частью его учения, и
важнейшей часть.

12. Доказательство Евклида (одно из
доказательств теоремы Пифагора)
Пусть квадрат, построенный на одном из катетов (на
рисунке это квадрат, построенный на большем
катете), расположен с той же стороны катета, что и
сам треугольник. Тогда продолжение
противоположной катету стороны этого квадрата
проходит через вершину квадрата, построенного на
гипотенузе. Доказательство в этом случае
оказывается совсем простым, т. к. здесь достаточно
сравнить площади интересующих нас фигур с
площадью одного треугольника(он заштрихован) -
площадь этого треугольника равна половине
площади квадрата и одновременно половине
площади прямоугольника

13. Доказательство Хоукинса
Доказательство, которое имеет вычислительный характер.
Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году;
было ли оно известно до этого трудно сказать.
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C
повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'.
Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с
линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой
треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный
четырехугольник A'АВ'В. Его можно разложить на два
равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два
треугольника A'В'А и A'В'В).
SCAA'=b²/2
SCBB'=a²/2
SA'AB'B=(a²+b²)/2
Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и
высоты DA и DB, поэтому :
SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2
Сравнивая два полученных выражения для площади,
получим:
a²+b²=c²
Теорема доказана.

14. Доказательство Вальдхейма
Это доказательство также имеет
вычислительный характер. Можно
использовать рисунки для
доказательства основанного на
вычислении площадей двумя
способами.
Для того чтобы доказать теорему
пользуясь первым рисунком
достаточно только выразить площадь
трапеции двумя путями.
S трапеции =(a+b)²/2
S трапеции =a²b²+c²/2
Приравнивая правые части получим:
a²+b²=c²
Теорема доказана.

15. Самое простое доказательство
теоремы Пифагора
Простейшее доказательство теоремы получается в
простейшем случае равнобедренного
прямоугольного треугольника. В самом деле,
достаточно просто посмотреть на мозаику
равнобедренных прямоугольных треугольников ,
чтобы убедиться в справедливости теоремы.
Например, для треугольника ABC : квадрат,
построенный на гипотенузе АС, содержит 4
исходных треугольника, а квадраты,
построенные на катетах,- по два.
Теорема доказана.
Но учтите, что это еще далеко не все
доказательства! На самом деле их более
ста!!!

16. Египетский треугольник
(обоснование)
Дано:
▲ АВС, АC:АB:BC=3:4:5
Доказать:
▲ АВС -прямоугольный.
Доказательство:
Т.к. АC:АB:BC=3:4:5, введем коэффициент
пропорциональности k. Тогда
AC=3k, AB=4k, BC=5k.
Построим ▲ А1В1С1 - прямоугольный, угол
A1=900 А1С1 =3k и A1 B1=4k.
А1 C1
2=А1С1
2+A1
B1
2=(3k)2+(4k)2=9k2+16k2=25k2=(5k)2.( По
теореме Пифагора) т.е А1 C1=5k
Следовательно, ▲ АВС = ▲ А1В1С1 (по
третьему признаку)
▲ АВС - прямоугольный, и уголA=900.
Вывод:
Доказано утверждение, обратное теореме
Пифагора - если в треугольнике сумма
квадратов двух сторон равна квадрату
третьей, то этот треугольник -
прямоугольный.

17. Дополнительная литература
 В школьном учебнике мы нашли немного
информации, а остальную часть
познавательного материала на сайтах
Интернета:
www.km.ru, а так же «Большая энциклопедия
математики»…
Нам очень помогли наши научные
руководители!

18. Какие существуют способы
построения прямого угла?
 С помощью листа в клетку…
 С помощью угольника…
 С помощью транспортира…
 С помощью циркуля…
 Завершение данной темы…

19. Лист в клетку
 Первый способ
простой, нужно
только обвести
клеточки, ведь все
они – это
пересечения
перпендикуляров.
 Второй способ – это
проведение двух
биссектрис клетки
из одной точки.
2
1

20. Лист в клетку
 Третий способ, не
труднее, но
интереснее. Он
построен на
принципе равенства
прямоугольных
треугольников.

21. Угольник
 С помощью
угольника можно
построить прямой
угол, так как на всех
угольниках есть этот
угол.

22. Транспортир
 На транспортире
есть градусная
мера, значит
можно
построить
любой угол, в
том числе и
прямой (=900).

23. Циркуль
Даже при помощи
циркуля возможно
построить прямой
угол!
 1 способ – это
серединный
перпендикуляр…

24. Циркуль
 2 способ –
окружность… Для
этого нужно построить
произвольную
окружность и диаметр
в ней. Затем взять
любую точку
(принадлежащую
окр.) и из неё
провести хорды к
точкам диаметра.

25. Завершение…
 Пока это все способы, которые
мы с вами узнали… Но мы
думаем, что в дальнейшем вам
станет известно что-то новое, и
даже не только о построении, а
в целом…

27.  Ты правильно
ответил на этот
вопрос, но не
расслабляйся,
впереди тебя
ждет много
интересного…

28. Проверка знаний
 Мы подошли к концу изучения
предоставленной нами темы, пришло время
проверить свои знания.
Решить кроссворд
Задачник

29. На последок…
 В завершение мы хотим поблагодарить
Вас за использование созданного
материала, мы очень надеемся на то,
что оно Вам пригодилось.
 Для учителей это пособие служит
опорой для проведения урока.
 Для учеников 6-7 классов новым
материалом, новыми знаниями,
которые вы познали…