дисертацIя фiлiпов
•
0 likes•908 views
дисертацIя фiлiпов
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Viewers also liked
Viewers also liked (18)
Similar to дисертацIя фiлiпов
Similar to дисертацIя фiлiпов (19)
More from Черкаський державний технологічний університет
More from Черкаський державний технологічний університет (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (10)
дисертацIя фiлiпов
- 1. МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ На правах рукопису ФІЛІПОВ Віталій Вікторович УДК 621.391 МЕТОДИ СПІЛЬНОГО ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ПОСТІЙНОГО СИГНАЛУ ТА НЕГАУСІВСЬКИХ ЗАВАД З ВИКОРИСТАННЯМ УСІЧЕНИХ СТОХАСТИЧНИХ ПОЛІНОМІВ 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук Науковий керівник Гончаров Артем Володимирович, кандидат технічних наук, доцент Черкаси – 2016
- 2. ЗМІСТ стор. ВСТУП РОЗДІЛ 1 СТАН ПРОБЛЕМИ СПІЛЬНОГО ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ КОРИСНОГО СИГНАЛУ ТА НЕГАУСІВСЬКИХ ЗАВАД 1.1. Проблематика задачі спільного оцінювання параметрів сигналу та негаусівських завад 1.2. Моделі взаємодії постійного сигналу та завад 1.3. Математичні моделі негаусівських завад 1.4. Спільне оцінювання параметрів постійного сигналу та завад 1.4.1. Класичні методи спільного оцінювання параметрів сигналів та завад 1.4.2. Метод максимізації усіченого стохастичного полінома 1.5. Постановка задачі Висновки до розділу 1 РОЗДІЛ 2 МЕТОДИ ТА АЛГОРИТМИ СПІЛЬНОГО ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ПОСТІЙНОГО СИГНАЛУ ТА АДИТИВНИХ НЕГАУСІВСЬКИХ ЗАВАД 2.1. Застосування методу максимізації усіченого стохастичного поліному для спільного оцінювання параметрів постійного сигналу та негаусівських завад 2.2. Оцінювання параметра постійного сигналу при усіченому оцінювання дисперсії асиметричної завади 2.3. Оцінювання параметра постійного сигналу при усіченому оцінювання дисперсії ексцесної завади 5 14 14 21 24 28 29 33 37 37 39 39 46 69 2
- 3. 2.4. Оцінювання параметра постійного сигналу при усіченому оцінювання дисперсії асиметрично-ексцесної завади 2.5. Оцінювання параметра постійного сигналу при усіченому оцінювання дисперсії та коефіцієнта асиметрії асиметрично- ексцесної завади Висновки до розділу 2 РОЗДІЛ 3 СТАТИСТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ СПІЛЬНИХ ОЦІНОК ПАРАМЕТРІВ ПОСТІЙНОГО СИГНАЛУ ТА НЕГАУСІВСЬКИХ ЗАВАД 3.1. Аналіз слушності оцінки параметра постійного сигналу при усіченому оцінюванні параметрів негаусівських завад 3.2. Аналіз незміщеності оцінки параметра постійного сигналу при усіченому оцінюванні параметрів негаусівських завад 3.3. Аналіз ефективності оцінки параметра постійного сигналу при усіченому оцінюванні параметрів негаусівських завад 3.3.1. Статистичні властивості оцінок параметра постійного сигналу при усіченому оцінюванні дисперсії асиметричної завади 3.3.2. Статистичні властивості оцінок параметра постійного сигналу при усіченому оцінюванні дисперсії ексцесної завади 3.3.3. Статистичні властивості оцінок параметра постійного сигналу при усіченому оцінюванні дисперсії асиметрично- ексцесної завади 3.3.4. Статистичні властивості оцінок параметра постійного сигналу при усіченому оцінюванні дисперсії та коефіцієнта асиметрії негаусіської завади Висновки до розділу 3 81 101 107 109 110 111 112 115 125 135 145 152 3
- 4. РОЗДІЛ 4 КОМП’ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРА ПОСТІЙНОГО СИГНАЛУ ПРИ УСІЧЕНОМУ ОЦІНЮВАННІ ДИСПЕРСІЇ НЕГАУСІВСЬКОЇ ЗАВАДИ 4.1. Спосіб чисельного розв'язання рівнянь максимізації усіченого стохастичного полінома 4.2. Дослідження складності алгоритмів спільного оцінювання параметра постійного сигналу та дисперсії завади 4.3. Дослідження ефективності алгоритмів спільного оцінювання параметра постійного сигналу та дисперсії завади за допомогою комп’ютерного імітаційного моделювання Висновки до розділу 4 ВИСНОВКИ СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ДОДАТКИ ДОДАТОК А Моментно-кумулянтний опис адитивної суміші постійного сигналу та негаусівської завади ДОДАТОК Б Спільне оцінювання параметра постійного сигналу та дисперсії негаусівської завади методом моментів ДОДАТОК В Особливості розв’язання кубічного рівняння максимізації усіченого стохастичного полінома ДОДАТОК Г Особливості розв’язання рівняння максимізації усіченого стохастичного полінома четвертого порядку ДОДАТОК Д Спосіб генерування випадкових величин з заданими імовірнісними характеристиками ДОДАТОК Е Акти впровадження результатів дисертаційної роботи 153 154 160 167 173 174 176 189 189 204 211 227 232 235 4
- 5. ВСТУП Актуальність теми. При побудові сучасних інформаційно- вимірювальних систем, засобів спостереження, діагностики, моніторингу, контролю, управління розв’язується актуальна задача оцінювання інформативного параметра постійного сигналу за умов негативного впливу завад [1-13]. Цій тематиці присвячена значна кількість робіт відомих вчених: К. К. Васил’єва, В. О. Котельникова, А. Н. Малахова, Б. Р. Лєвіна, Ю. Г. Со- суліна, В. І. Тихонова, M. G. Kendall, C. Rao, A. Stuart, C. Shannon, Van Trees H., N. Wiener, D. Middleton і ряду інших, що внесли значний вклад в теорію оцінювання і ряду інших, що внесли значний вклад в теорію оцінювання. Великий внесок у розвиток даної теорії зробили також такі українські вчені, як А. Я. Білецький, В. М. Безрук, Я. П. Драган, Ю. П. Кунченко, Л. С. Сікора, І. М. Яворський та інші. Більшість робіт присвячена синтезу алгоритмів оцінювання, які ґрунтуються на класичних методах, де значного поширення набуло застосування класичного гаусівського розподілу для опису випадкових величин [6-7, 14-18], що в багатьох випадках унеможливлює відображення реальних процесів з необхідною адекватністю. Використання такого підходу при дослідженні та розробці систем оцінювання параметрів негаусівських процесів характеризується суттєвими обмеженнями, пов’язаними з недостатньою ефективністю кінцевих алгоритмів оцінювання, що призводить до відповідних труднощів при створенні якісних програмно-алгоритмічних та апаратних засобів обробки сигналів [4, 11]. Тому актуальним завданням є розробка методів та алгоритмів оцінювання параметрів сигналів, що приймаються на тлі негаусівських завад. Ця актуальність зростає в зв'язку з тим, що моделі негаусівських завад дозволяють розробити точніші системи оцінювання (вимірювання), в порівнянні з класичними вимірювачами параметрів інформаційних сигналів, що 5
- 6. приймаються на тлі гаусівських завад. Також потрібно зауважити, що часто при знаходженні оцінок параметрів корисного сигналу, розглядається випадок, коли параметри завади відомі заздалегідь. Але на практиці такі дані характеристик завади невідомі. Тому актуальною є задача знаходження спільної оцінки інформативного параметра сигналу та параметрів, що описують заваду. В якості корисного сигналу в дисертаційній роботі розглядається сигнал, який має постійне значення протягом часу спостереження. В радіотехніці, гідроакустиці та радіолокації, метрології це може бути або напруга, або струм, які вимірюються, наприклад, на виході детектора, коли на вхід приймального пристрою потрапляє високочастотне гармонічне коливання [19-26]. Професором Кунченком Ю. П. запропонований інший підхід, який базується на моментно-кумулянтному описі випадкових величин та представленні функції правдоподібності у вигляді стохастичного полінома кінцевого степеня (метод Кунченка), що дозволило отримати асимптотично- ефективні оцінки параметрів негаусівських випадкових величин [27-30]. В даному напрямку проведено ряд досліджень, де синтезовані алгоритми оцінювання інформативних параметрів сигналів на тлі негаусівських завад та показана їх асимптотична ефективність [29-38]. Аналіз отриманих результатів свідчить, що для степенів стохастичного полінома 3s складність алгоритмічної реалізації процедур оцінювання значно зростає, що ускладнює їх практичне застосування. Для вирішення даної задачі, Кунченком Ю. П. розроблений метод оцінювання параметрів негаусівських випадкових величин [39], який основується на використанні усічених стохастичних поліномів для оцінювання їх характеристик та дозволяє спростити кінцеві алгоритми оцінювання. Як правило, дисперсія отриманих оцінок цим методом є більшою, ніж дисперсія аналогічних оцінок, знайдених методом максимізації полінома. Таким чином, розробка методів та алгоритмів спільного оцінювання параметрів постійного сигналу та негаусівських завад, що дозволяє варіювати алгоритмічною 6
- 7. складністю процедури оцінювання досліджуваного параметра та водночас знаходити оцінки з мінімальною дисперсією є актуальним питанням для багатьох практичних задач в інформаційно-вимірювальних системах. Таким чином, в дисертації представляється актуальна науково-технічна задача розробки методів спільного оцінювання параметрів постійного сигналу та негаусівських завад, що дозволяє варіювати алгоритмічною складністю процедури оцінювання досліджуваного параметра та водночас знаходити оцінки з мінімальною дисперсією. Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилася на кафедрі радіотехніки та інформаційно-телекомунікаційних систем Черкаського державного технологічного університету відповідно до держбюджетних науково-дослідних робіт "Розробка теорії математичних методів і алгоритмів вимірювання параметрів довільного радіосигналу при адитивних негаусових завадах", номер державної реєстрації 0106U004485; «Розробка високоефективних методів і алгоритмів сумісного розрізнення сигналів і оцінювання їх параметрів на тлі негаусових завад», номер державної реєстрації 0112U001706. Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка методів спільного оцінювання параметрів постійного сигналу та негаусівських завад, шляхом використання моментно-кумулянтного опису випадкових величин та усічених стохастичних поліномів, що забезпечує синтез швидких та водночас ефективних алгоритмів оцінювання. Для досягнення мети дослідження необхідно розв’язати такі задачі: проаналізувати існуючі математичні моделі постійного сигналу, що спостерігається на тлі адитивних негаусівських завад, а також методи оцінювання їх параметрів; розробити нові методи спільного оцінювання параметрів постійного сигналу та негаусівських завад, що дозволить варіювати алгоритмічною складністю процедури оцінювання та водночас знаходити оцінки з мінімальною 7
- 8. дисперсією; синтезувати алгоритми оцінювання параметра постійного сигналу при усіченому оцінюванні параметрів адитивних негаусівських завад різних типів; дослідити властивості отриманих спільних оцінок та ефективності синтезованих алгоритмів оцінювання у порівнянні з аналогічними алгоритмами, отриманими класичним методом (методом моментів); синтезувати програмні засоби комп’ютерного моделювання процесу спільного оцінювання параметра постійного сигналу та параметрів негаусівської завади для перевірки теоретичних результатів шляхом статистичного моделювання. Об'єкт дослідження: процес оцінювання параметра постійного сигналу, що приймається на тлі негаусівських завад різних типів. Предметом дослідження є математичні моделі взаємодії постійного сигналу і адитивних негаусівських завад та методи спільного оцінювання їх параметрів, що ґрунтуються на використанні усічених стохастичних поліномів та моментно-кумулянтного опису випадкових величин. Методи дослідження. Проведені дослідження ґрунтуються на використанні апарату теорії ймовірності, математичної статистики, теорії сигналів, а також загальних методів математичного аналізу і обчислювальної математики (для побудови обчислювальних алгоритмів обробки сигналів), стохастичних поліномів. Алгоритми спільного оцінювання, отримані в дисертаційній роботі, ґрунтуються на застосуванні методів спільного оцінювання параметра постійного сигналу та параметрів негаусівських завад, що основується на методах максимізації полінома (метод Кунченка) та максимізації усіченого стохастичного полінома. Отримані результати аналізувались за допомогою методів математичної статистики, методу Монте- Карло та пакету програм математичних обчислень Wolfram Mathematica для проведення комп’ютерного моделювання об’єкта дослідження. 8
- 9. Наукова новизна одержаних результатів полягає у розробці методів математичного моделювання спільного оцінювання параметра постійного сигналу та параметрів випадкових негаусівських завад, які основуються на моментно-кумулянтному описі випадкових величин та застосуванні методів максимізації полінома (методу Кунченка) та максимізації усіченого стохастичного полінома, що дозволяють підвищити точність оцінювання параметра постійного сигналу за рахунок збільшення ефективності алгоритмів оцінювання та варіювати складністю алгоритмів оцінювання параметрів негаусівських завад. Вперше: запропоновано методи оцінювання, які за рахунок використання усічених стохастичних поліномів для оцінювання параметрів завад дозволяють отримати спрощені та ефективні алгоритми спільного оцінювання параметрів постійного сигналу та негаусівських завад; запропоновано критерій спрощення алгоритмів оцінювання, отриманих на основі нових методів оцінювання параметрів сигналу та негаусівських завад, що дозволяє варіювати складністю кінцевих алгоритмів спільного оцінювання. Удосконалено: обчислювальний метод розв’язання системи рівнянь максимізації усічених стохастичних поліномів вищих порядків, який базується на застосуванні вибіркових діаграм відхилення негаусівських випадкових величин, що дозволяє локалізувати корені системи рівнянь; метод генерації псевдовипадкових послідовностей на основі представлення негаусівської випадкової величини у вигляді ряду Еджворта, який при відомих значеннях параметрів завади дозволяє дослідити ефективність синтезованих алгоритмів оцінювання параметрів постійного сигналу та негаусівських завад. 9
- 10. Отримали подальший розвиток: математичні моделі взаємодії постійного сигналу та адитивних негаусівських завад, що описуються кінцевою послідовністю моментів та кумулянтів, і дозволяють ефективно використовувати апріорну інформацію про оцінювані параметри (коефіцієнти асиметрії та ексцесу, кумулянтні коефіцієнти вищих порядків); теорія оцінювання параметрів негаусівських випадкових величин на основі застосування поліномів Кунченка, усічених стохастичних поліномів, методу максимізації усіченого стохастичного полінома, що дозволяє забезпечити ефективне застосування алгоритмів оцінювання в інформаційно-вимірювальних системах. Практичне значення одержаних результатів: синтезовано обчислювальні алгоритми спільного оцінювання параметра постійного сигналу на тлі адитивних негаусівських завад, які дозволяють варіювати точністю та швидкістю оцінювання для степенів поліномів s = 2 – 6; отримані кількісні значення ефективності синтезованих обчислювальних алгоритмів спільного оцінювання параметрів постійного сигналу та негаусівських завад, за допомогою яких проведено аналіз точності розроблених методів спільного оцінювання, який показує, що асимптотична ефективність синтезованих алгоритмів спільного оцінювання зростає зі збільшенням степеня полінома; адаптовано обчислювальні методи для розв'язання системи рівнянь максимізації усічених поліномів, які дозволяють отримати як чисельні, так і аналітичні вирази (для степенів 4s ) спільних оцінок параметра постійного сигналу та дисперсії негаусівських завад; побудована імітаційна модель спільного оцінювання параметрів постійного сигналу та негаусівських завад, що дозволяє дослідити точність отриманих алгоритмів спільного оцінювання параметрів випадкових величин за 10
- 11. допомогою сучасних ЕОМ, що зменшує час і вартість дослідження при проектуванні інформаційно-вимірювальних систем. Одержані в дисертації результати доцільно використовувати при проектуванні технічних систем (пристроїв), призначених для вимірювання різного роду постійних величин (або таких, які повільно змінюються). Основні результати, що отримані при виконанні дисертаційної роботи, впроваджено на державному підприємстві НВК «Фотоприлад» – при проектуванні спеціальної апаратури, що вимірює кут відхилення гіроскопічного обладнання, а також використовуються для навчального процесу в спецкурсах «Основи теорії нелінійної статистичної радіотехніки», «Теорія нелінійної статистичної радіотехніки» і «Адаптивна обробка сигналів», які викладаються в Черкаському державному технологічному університеті. Особистий внесок здобувача. Наукові та практичні положення дослідження, представлені в дисертаційній роботі, отримані особисто автором або за його безпосередньої участі та підтверджені 9 індивідуальними публікаціями [47, 57-60, 64-67] і 18 публікаціями у співавторстві. У спільних публікаціях дисертанту належать результати вдосконалення методу максимізації усіченого полінома для синтезу алгоритмів спільного оцінювання параметрів сигналу та асиметричних завад [41, 47], ексцесних завад [46, 49, 55] та асиметрично-ексцесних завад [44, 54]; дослідження статистичних властивостей синтезованих алгоритмів при асиметричних завадах [42, 43, 45, 53], при ексцесних завадах [50] та асиметрично-ексцесних завадах [54, 61]; розробка імітаційної моделі спільного виявлення та подальшого оцінювання параметра постійного сигналу на тлі негаусіських завад [63]; розробка нового способу генерації випадкових величин та отримання патенту України на корисну модель [51]. У роботах [48, 63] запропонована структура побудови генератора псевдовипадкових послідовностей на основі представлення негаусівської випадкової величини у вигляді ряду Еджворта, із можливістю його застосування при програмній реалізації алгоритмів спільного оцінювання 11
- 12. в середовищі Wolfram Mathematica [63]. У роботі [52] запропоновано та обґрунтовано спосіб спрощення спільних алгоритмів оцінювання, який ґрунтується на застосуванні усічених стохастичних поліномів для оцінювання параметрів негаусівських випадкових величин. Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на 15-ти наукових міжнародних конференціях: на 2-ій Міжнародній науковій конференції «Теорія та методи обробки сигналів» (Київ, 2008); на 4-ій Міжнародній науково-практичній конференції «Сучасні проблеми і досягнення в галузі радіотехніки, телекомунікацій та інформаційних технологій» (Запоріжжя, 2008); на 9-ій Міжнародній конференції «Контроль і управління в складних системах» (Вінниця, 2008); на 3-му Міжнародному радіоелектронному форумі «Прикладная радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития» (Харків, 2008, МРФ–2008); на 13-му Міжнародному молодіжному форумі “Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке” (Харків, 2009); на 5-ій Всеукраїнській науково-технічній конференції студентів, аспірантів та молодих науковців «Комп’ютерний моніторинг та інформаційні технології» (Донецьк, 2009); на 2-ій Міжнародній науково-практичній конференції «Обробка сигналів і негауссівських процесів» присвяченій пам’яті професора Кунченка Ю. П. (Черкаси, 2009); на 7-ій Всеукраїнській конференції «Інформаційні технології в освіті, науці і техніці» (Черкаси, 2009); на 13-ій Відкритій науково-технічній конференції інституту телекомунікацій, радіоелектроніки та електронної техніки Національного університету "Львівська Політехніка" з проблем електроніки (Львів, 2010); на Першій міжнародній науково-практичній конференції «Інформаційні технології в освіті, науці й техніці» (Черкаси, 2010); на 3-ій Міжнародній науково-практичній конференції «Обробка сигналів і негаусівських процесів», присвяченій пам’яті професора Кунченка Ю. П. (Черкаси, 2011); на 5-ій Міжнародній науково-практичній конференції «Інтегровані інтелектуальні робото-технічні комплекси» (Київ, 2012); на 4-ій 12
- 13. міжнародній науково-практичній конференції «Обробка сигналів і негаусівських процесів», присвяченій пам’яті професора Кунченка Ю. П. (Черкаси, 2013); на Всеукраїнській науково-практичній internet-конференції «Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології у виробництві та освіті: стан, досягнення, перспективи розвитку» (Черкаси, 2014); на 5-ій Міжнародній науково-практичній конференції «Обробка сигналів і негаусівських процесів», присвяченій пам’яті професора Кунченка Ю. П. (Черкаси, 2015). Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 27 наукових роботах: 10 статей у фахових виданнях України, 1 стаття в закордонному науковому фаховому виданні, 1 патент України на корисну модель та 15 публікаціях у матеріалах конференцій. 13
- 14. РОЗДІЛ 1 СТАН ПРОБЛЕМИ СПІЛЬНОГО ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРА ПОСТІЙНОГО СИГНАТУ ТА ПАРМЕТРІВ НЕГАУСІВСЬКИХ ЗАВАД На сьогоднішній день в сучасних інформаційно-вимірювальних системах [68, 69], в системах керування технологічними процесами [70, 71], в системах моніторингу та навігації [72, 73] необхідно враховувати процеси, які за своєю природою є випадковими. Це пояснюється тим, що на корисну складову постійного сигналу впливають різного роду спотворення та завади. У зв'язку з цим робота таких систем описуються за допомогою статистичних математичних моделей [3, 74, 75], параметри яких визначаються за допомогою статистичних методів оцінювання. В розділі розглядаються методи спільного оцінювання параметрів постійного сигналу та негаусівських завад. Розглядаються математичні моделі негаусівських випадкових величин, що впливають на інформативну складову постійного сигналу. Проводиться аналіз існуючих методів спільного оцінювання постійного сигналу та параметрів завади, а також можливість їх реалізації в реально існуючих технічних системах. 1.1. Проблематика задачі спільного оцінювання параметрів сигналу та негаусівських завад Проблематика спільного оцінювання параметрів випадкових величин є традиційною задачею в різних галузях науки і техніки. Зокрема в системах керування складними технічними комплексами, оцінювання параметра постійного сигналу є актуальною задачею, вирішення якої допомагає зменшити кількість керуючих сигналів. Однією з таких систем може бути система вимірювання та корекції нерівномірності швидкості обертання вала двигуна внутрішнього згорання [76]. 14
- 16. Система керування (рис. 1.1) складається з наступних підсистем: датчика вимірювання нерівномірності швидкості обертання валом двигуна, до складу якої входить циліндричний проградуйований диск з оптичною системою зчитування інформації; системи перетворення форми сигналів; блоку порівняння заданої частоти обертання валу з виміряною; формувача імпульсів керування для двигуна, який керуючись виміряним значенням частоти обертання, формує необхідні керуючі сигнали для двигуна; блоків пам’яті, комутатора часових інтервалів, лічильника, генератора тактових імпульсів, які реалізують систему вимірювання частоти обертання вала двигуна; системи корегування, що формує необхідні керуючі сигнали для двигуна. Описана система керування двигуном, дозволяє автоматично корегувати нерівномірності обертання вала двигуна, які виникають в результаті теплових процесів, вібрацій та технологічного браку деталей двигуна. Процес корегування є циклічною процедурою, яка реалізується за наступним алгоритмом: показники частоти обертання двигуна оброблюються і заносяться в цифрову пам'ять, з якої методом вибіркового середнього (класичний підхід) оцінюється необхідне значення частоти обертання для вала двигуна. Недоліком описаної системи керування є значна кількість циклів, необхідних для визначення реального значення нерівномірної швидкості обертання двигуна. Мінімізувати значення циклів корегування можливо при застосуванні сучасних статистичних методів, для оцінювання частоти обертання вала двигуна разом з заважаючими параметрами системи вимірювання (рис. 1.1), що мають імовірнісний характер. У системах передачі інформації однією з головних задач є збільшення точності оцінювання інформативної складової сигналу шляхом врахування негативного впливу завад на постійний сигнал [68, 69, 77-80]. Також задача оцінювання виникає в технічних системах, де необхідно визначати рівень електричного сигналу або його параметрів (напруги, струму) під дією теплового та дробового шумів напівпровідникових матеріалів. 16
- 18. Прикладом такої системи може бути система вимірювання інформативного параметра ємнісного сенсора [81, 82] (рис. 1.2), яка складається з таких підсистем: джерела вимірюваного інформативного сигналу; систем, які забезпечують формування вимірювального сигналу: фазоперетворювачів, формувачів та детекторів; підсистему фільтрів нижніх частот, які дозволяють зменшити негативний вплив ємності з'єднувальних кабелів, дробового та теплового шумів напівпровідникових пристроїв, які реалізують в блоці перетворювача вимірюваного інформативного параметра (ємності) в напругу; блоків суматора та АЦП. Описана вимірювальна система не враховує повною мірою негативного впливу теплових та дробових шумів напівпровідникових пристроїв, а також значень шунтуючих ємностей з’єднувальних кабелів, що призводить до збільшення похибки визначення інформативного параметра при збільшенні частоти інформативного сигналу та при зміні температурного режиму роботи самого пристрою. Врахувати негативний вплив описаних факторів, що мають випадковий характер, можливо при застосуванні статистичних методів оцінювання інформативного сигналу на тлі завад. Аналогічна задача оцінювання параметра інформативного сигналу на тлі негативного впливу негаусівських завад постає в системах зв’язку, де необхідно оцінювати рівні бінарного сигналу та пілотних синхро-сигналів спільно з параметрами завад, що виникають в результаті неоднорідності каланів зв’язку, а також наявності ефекту міжсимвольної інтерференції між сусідніми бітами інформаційного сигналу [69, 83, 84]. Задача оцінювання також є актуальною в системах моніторингу та навігації [85, 86], де необхідно збільшувати точність визначення координат шляхом оцінювання часу надходження пілот-сигналу системи синхронізації часу і визначення відстані між супутниками разом з параметрами атмосферних, космічних та індустріальних завад. Типова структура систем навігації та моніторингу показана на рис. 1.3. 18
- 20. До складу системи моніторингу (трекінгу) входять типові складові навігаційних систем: приймач супутникових сигналів, контролер керування системою моніторингу та пам'ять, де зберігаються координати об’єкта моніторингу, а також серверної частини, яка складається з GSM (Global system for mobile communication) модему, спеціалізованого ЕОМ та серверу, де зберігається інформація про об’єкт моніторингу. Описана система навігації та моніторингу має невисокі показники точності визначення координат за умов складної завадової обстановки. Це пояснюється тим, що при наявності завад в каналі зав’язку між супутником та приймачем в системі навігації не завжди точно вимірюється відстань до супутників, а також неправильно визначається системний супутниковий час, що призводить до збільшення похибки визначення координат. Зменшення неточностей визначення координат об’єкту моніторингу можливе при застосуванні статистичних методів оцінювання, які враховують вплив завад при обробці сервісних навігаційних сигналів. В задачах моделювання економічних процесів актуальною є задача оцінки параметрів економічної моделі регресії з врахуванням імовірнісної складової показників прогнозів фінансового року [70, 87, 88]. Вцілому оцінювання параметра постійного сигналу спільно з параметрами завади є типовою процедурою обробки складних сигналів в системах радіолокаційних станцій з селекцією рухомих об’єктів [89, 90], радіотехнічних системах зв’язку [91], гідроакустичних системах виявлення [23], системах економічного прогнозування [88], системах моніторингу рухомих об’єктів [83]. Процес оцінювання значення постійного сигналу з прийнятого повідомлення, економічного прогнозу, статистичних даних, отриманих при вимірюванні електричних величин, є складною математичною задачею внаслідок того, що математичні моделі описаних систем мають імовірнісний характер. Це обумовлює випадковий характер результатів оцінювання (вимірювання, спостереження) і тому вивчення таких явищ передбачає застосування методів теорії ймовірностей та математичної статистики. 20
- 21. 1.2. Моделі взаємодії постійного сигналу та завад При розв’язанні задач оцінювання постійних сигналів, спотворених завадами, необхідно враховувати модель їхньої взаємодії. У теорії інформаційно-вимірювальних систем найбільш широке поширення отримала модель прийнятого сигналу у вигляді адитивної суміші постійного сигналу і завади [5, 7, 92] tSt )( . (1.1) В якості постійного сигналу розглядається залежність )(S , де – параметр постійного сигналу, що описується повільно змінним процесом, зміною якого можна знехтувати на інтервалі часу спостереження. Відповідно сигнал )(S можна умовно називати постійним сигналом. Сигнали такого типу можуть використовуватись у технічних системах, описаних в п. 1.1, а також в системах телеметрії у радіолокаційних системах при фіксованому інтервалі спостереження [93, 94]. Зазначимо, що в загальному випадку залежність постійного сигналу від параметра може приймати різний характер: лінійна залежність: aS )( , де Ra ; степенева залежність: 0 1 1 ...)( aaaS k n k n , де Ran ; тригонометрична (синусоїдальна) залежність: , 2 sin aS ).1,0( Описані моделі постійного сигналу )(S можуть охоплювати велику кількість реальних сигналів, що використовуються в сучасних технічних системах. Причому близькість математичної моделі сигналу )(S до реального визначається часом спостереження, який підбирається таким чином, щоб мінімізувати різницю між ними. Адитивна завада належить до класу активних завад, що описує природу атмосферних, індустріальних завад, шумів антен чи електроприладів, t 21
- 22. різном ідби м п різноманіття процесів, що відбув о дів статистичного опрац н . і анітних ефектів в ття від земної поверхні. Традиційний підходом до опису таких завад є представлення їх математичної моделі у вигляді випадкової величини, що має нормальний закон розподілу (гаусівський закон розподілу) [1, 2, 16, 92, 95]. Використання такої математичної моделі завади пов’язано з тим, що вона в багатьох випадках адекватно відображає реальну завадову ситуацію, а її застосування значно спрощує розробку методів і алгоритмів оцінювання випадкових сигналів. Саме для моделей гаусівських завад отримано більшість класичних результатів оцінювання інформативної складової випадкових сигналів [18, 23]. Проте, гаусівська модель завади – це певна ідеалізація, яка є зручною математичною оделлю, що описує випадкові процеси ри обробці постійних сигналів. Використання таких моделей при описі реальних завад призводить до обмеження застосування методів статистичного оцінювання і обумовлює значні помилки при обробці постійних сигналів в технічних системах [23-25, 96, 97]. Відповідно виникає потреба у нових статистичних методах дослідження моделей технічних систем. Вже в ранніх роботах зі статистичної радіотехніки вважалося, що гаусівські моделі завад не описують усього аються в реальних технічних системах, і почали розроблятися методи нелінійної бробки сигналів на тлі негаусівських завад [95]. Зростання зацікавленості до негаусівських моделей пов'язано з необхідністю підвищення точності та ефективності мето ювання й а алізу сигналів, що пройшли через випадково-неоднорідні або нелінійні середовища [23] Прикладом застосування негаусівських моделей можуть служити системи іоносферного зв’язку, загоризонтної радіолокації, радіозв'язку, що проводиться в складній завадовій обстановці, гідроакустики [23-25]. Прикладом виникнення негаусівських завад також є різноманітні технічні пристрої чи системи, в яких постійний сигнал проходить через нелінійні або безінерційні перетворювачі [22, 98]. Тому розробка математичних моделей негаусівських сигналів завад, а також статистичних методів 22
- 23. оцінювання їх параметрів, представляє актуальну і важливу науково-технічну задачу. В наш час дослідженню питань щодо обробки негаусівських сигналів і завад присвячені численні наукові роботи, які умовно можна поділити на декіль і кінцевої послідовності момен з з ч и ск з є н е су математичної моделі взаємодії завад та постій і тоди та синтезуються алгоритми спільного оцінювання параметрів завади та постійного сигналу. ка наукових напрямків: застосування полігаусівських моделей для апроксимації функцій щільностей розподілу негаусівських завад [99]; теорія марківських процес в [100]; використання складних щільностей розподілів негаусівських випадкових величин [79, 101] та інших. Одним з альтернативних способів представлення негаусівських завад є опис негаусівских випадкових величин за допомогою тів, кумулянтів та кумулянтних коефіцієнтів вищих порядків [39]. Перевагою такого підходу до опису випадкових величин є те, що він не потребує аналітичних виразів функцій щільності ро поділу досліджуваних випадкових величин, які на практиці часто залишаються невідомими. Нескінченна послідовність кумулянтів, як і моментів, є повним описом випадкової величини. На практиці ручно користуватись кінцевою послідовністю моментів і кумулянтів, що є астковим оп сом випадкової величини, о ільки це до воля описувати е однотипну випадкову в личину, а цілі множини випадкових величин. Моментно-кумулянтне представлення негаусівських випадкових величин дозволяє варіювати складністю опи них сигналів шляхом використання кінцевої кількості моментів, кумулянтів чи кумулянтних коефіцієнтів вищих порядків досліджуваної випадкової величини, що в підсумку спрощує реалізацію статистичних алгоритмів оцінювання в реальних технічних системах. У даній дисертац йній роботі на основі моментно-кумулянтного опису випадкових негаусівських величин розробляються ме 23
- 24. 1.3. Математичні моделі негаусівських завад На сьогоднішній час існує великий спектр негаусівських випадкових величин, що описують завади в реальних технічних системах [82-86]. Класи гою особливостей їхніх характеристик: симетричності чи асиметричності функції щільності розподілу; значе нулю, а інші кумул фікують такі випадкової величини за допомо нню моментів, кумулянтнів чи кумулнятнтих коефіцієнтів. Професором Кунченком Ю. П. запропонована класифікація негаусівських випадкових величин [30, 102], яка ґрунтується на їх перфорованому описі. Частина кумулянтних коефіцієнтів перфорованої випадкової величини відмінна від нуля (починаючи з 3-го порядку), частина – дорівнює нятні коефіцієнти вищих порядків можуть приймати довільні значення. Відповідно до запропонованої класифікації запишемо математичну модель взаємодії постійного сигналу та негаусівської завади (1.1) так: . S (1.2) де г , – адитивна не аусівська завада – індекс, що позначає тип та вид негаусівської завади . Для випадку асиметричної завади індекс, щ позначає заваду, запиш так (від eng. skewness), для ексцесної завади: о еться s k (від eng. kurtosis), для ично-ексцесної наступним чином:асиментр sk ідповідним (від skewness-kurtosis). Тип п значимо в і сом, наприклад: для аси eng. ндекнегаусівської завади о метричної завади першого типу першого виду вираз негаусівської завади запишеться у наступному вигляді: 1s . Змінна позначає постійний сигнал, який залежить від параметра S . Надалі для спрощення запису приймемо наступне позначення: SS . Наразі в теорії обробки сигналів широкого застосування отримали дискретні методи обробки сигналів 91, 103] повідно сигнали, які[86, . Від 24
- 25. оброблюються в сучасних цифрових інформаційно-вимірювальних та технічних системах, спершу проходять процедуру цифрової обробки, тому вподальшому будемо досліджувати вибіркові значення x , роблені з випадкової величини . Математична модель постійного сигналу та завади (1.2) є математичною моделлю з дискретним часом, причому крок дискретизації часу вибирається таким, о випадкові ибіркові з ачення x з щ в н v , nv ,1 є н за ежними й однаково р о е л озп діленими. , чают я за до При моментно-кумулянтному опису випадкових величин , в якості апріорної інформації, використовується послідовність початкових моментів j та кумулянтів порядку j що визна ьс помогою наступних співвідношень: j , 1 1 jj 0 v v u j jj j x n Euf du d idxxpx nj ,,1 sj . ! exp 1 r rr iu r uf де та xp uf величини – функція щільності розподілу та характерис чна ф нкція ; символом ти у випадкової E іж к позначено математичне сподівання; s – татистики. М умулянтами там моментамипорядок вибіркової с j j існує взаємно-однозначна відповідність, розрахунок якої наведений в додатках а к оляг ть лянтів вищих порядків дає можливість просто описати складну структуру негаусівської випадкової величини, що покращує ефективність (додаток А). Основна переваг умулянтів п ає у тому, що вони, на відміну від моментів, мають чітко виражений самостійний статистичний зміст, і можу бути задані до певної міри незалежно один від одного. Крім того, врахування значень куму 25
- 26. застосування статистичних методів оцінювання [100, 102]. Для кумулянтів вищих порядків справедливе співвідношення: ,2 2 i i i ,,3 si де коефіцієнти i називаються кумулянтними коефіцієнтами порядку і. Зазначимо, що тільки для негаусівських завад кумулянтні коефіцієнти вищих порядків відмінні від нуля. Якщо всі кумулянтні коефіцієнти вищих порядків дорівнюють нулю, то завада сівський характер. Підсумовуючи вище наведене, сформ п ві дані щодо сліджень в дисертаційній роботі наступним чином: матиме гау улюємо очатко до нехай спостерігається випадкова величина S , (1.3) де – негаусівська випадкова величина з нульовим мат сподіванням; з досліджуваної випадкової величини ематичним , здійснюється вибірка nxxxx ,..., 21 обсягом n незалежних однаково розподілених вибіркових нач В якості постійного сигналу розглядається остійний сигнал,з якийень. ежит S п зал ь від параметра . Негаусівська завада описується кумулянтом другого порядку 2 та кумулянтними коефіцієнтами s23,...,,1,0 , дорівнює нулю, є апріорно відомими. Відповідно до класифікації усівських випадкових величин, роботі розглядаються п’ять типів негаусівських випадкових величин: асиметрична в адкова першого т пу першого я кумулянтом другого порядку 2 частина з яких не нега запропонованої професором Кунченком Ю. П. [30, 102], в даній дисертаційній ип и виду: описуєтьс та коефіцієнтом асиметрії , значення інш тн к 3 их кумулян их оефіцієнтів i при si 2 дорівнюють нулю: }0,...,0,0,0,,,0{ 2654 1 32 s s , асиметрична випадкова другого типу першого виду: описується кумулянтом 26
- 27. другого порядку 2 та кумулянтними коефіцієнтами 3 та 5 , значення інших кумулянтних коефіцієнтів при si 2 дорівнюють нулю:i }0,...,0,,0,,,0{2 532s , ексцесна випадкова першого типу першого виду: описується кумулянтом другого порядку 2 та коефіцієнтом ексцесу 4 264 s , значення інших кумулянтних коефіцієнтів приi si 2 дорівнюють нулю: }0,...,0,0,,0,,0{1 42k , ексцесна випадкова другого типу першого виду: описується кумулянтом другого порядку 2 та кумулянтними коефіцієнтами 4 т 2653 s а , значення інших кумулянтних коефіцієнтів 6 i при si 2 дорівнюють нулю: }0,...,,0,,0,,0{2 642k , асиметрично-ексцесна випадкова другого типу першого виду: описується кумулянтом другого порядку 2 253 s та коефіцієнтами асиметрії 3 та ексцесу , значення інших коефіцієнтів при4 i si 2 дорівнюють нулю: }0,...,0,0,,,,0{2 432sk . значеннями певних кумулянтих коефіцієнтів при тому, що інші 265 s Описані типи і види негаусівських завади відрізняються ненульовими матимуть нульове значення. 27
- 28. 1.4. Спільне оцінювання параметрів постійного сигналу та завад Нехай спостерігається випадкова величина (1.3), з якої здійснюється вибірка x обсягом n. Випадкова величина описується функцією розподілу )/( xF , яка залежить від п векторного параметраевного s24321 ,...,,,,, , що складається з ска ого значення параметра постійного сигналу , а також параметрів н завади лярн егаусівської . Реальні значення парамет при яких здійснювалась іркарів, виб x , називаються дійсними значеннями векторного параметра 0240302010 ,...,,,,, s . Вважатимемо, що вибіркові значення 00 vx , nv ,1 , днаково розподіленими. отримані з випадкової величини , будуть незалежними та о Задача спільного оцінювання полягає в тому, що необхідно здійснити певні математичні операції над вибірковими значеннями vx , nv ,1 та отримати такі значення складових векторного параметра , пара які можна прийняти за деяке наближення до дійсних значень векторного метра 0 . В силу того, що вибіркові значення vx , nv ,1 є випадковими відповідно, і результат спільного оцінювання випадковий характер, який не буде в повній мірі співпадати з д значеннями оцінюваних параметрів. Отримані значення називаються с оцінками векторного параметра то, пільними матиме ійсними 4 ˆ,..., s2321 ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ та в деякій мірі мають близькі з до дійсних значень параметра начення 0 . Відповідно спільна оцінка параметрів негаусівської завади та параметра постійного сигналу отримується як певне функціональне перетворення від всіх вибіркових значень vx , nv ,1 . 28
- 29. В загальному випадку функціональне перетворення може бути представлене у вигляді довільної функції, проте для отримання ефективних алгор м ви сподівання відати цінюв параметра итмів оцінювання необхідно, щоб отримані оцінки задовольняти наступни могам [1, 6, 30]: математичне має відпо дійсному значенню о аного 0xˆ E , тобто, оцінка повинна бути незміщеною або асимптотично незміщеною: 0 ˆ n в асимптотичному випадку ( xlim E ; n ) значення оцінки по но збігатись завин ймовірністю до дійсного з оцінюваного параметра, тобто, оцінка повинна бути слушною: начення 0xˆlim n для незміщених оцінок середньоквадратичне відхилення (дисперсія ; ) оцінки повинна мати мінімальне значення: . 1.4.1. Класичні методи спільного оцінювання параметрів сигналів та завад })ˆ{( 22 0 E Один з найпоширеніших класичних методів оцінювання у сфері статистичної обробки інформації вважається метод максимальної правдоподібності [30]. Цей метод базується на використанні функції щільності розподілу випадкової величини /xp , яка найбільш повно відображає ристики досліджуваного об’єкту, є найточнішим класичним методом оцінювання. Вперше метод максимальної правдоп ібн статистичні характе од ості запро 3 Основна ідея цього методу полягає у наступному. Нехай існує вибірка понований Фішером [ 0]. n21 xxx ,...,,x обсягом n та відома функція щільності розподілу випадкової величини: n vv xpxp // . v 1 29
- 30. Згідно цього методу в якості оцінки векторного параметра вибирається таке значення, для якого функція /xpLправдоподібності досягає свого максимуму, тобто, оцінка знаходиться з рівняння: ˆ Зручно знаходити оцінку LL max . параметра використовуючи логарифм функції правдоподібності, що досягає максимуму в тих же точках, що й ˆL . Відповідно, за умови диференційованості функції /xp оцінка векторного параметра знаходиться з р системиозв’язку рівнянь 0/ xp q , ˆ де qq ,1 – кількість спільно оцінюваних параметрів досліджуваної випадкової велич загальному система рівнянь максимально правдоподібності є системою нелін в т а му ]. ини . В ійних алгебраїчних рівнянь, яка може мати декілька розв’язкі , з яких вибирається ой, що відповідає бсолютному макси му функції правдоподібності. Оцінки максимальної правдоподібності є слушними та асимптотично ефективними [6, 105 Для дослідження ефективності оцінки, отриманої методом максимальної правдоподібності, необхідно розрахувати варіаційну матрицю оцінок 00, jjiiji E VV , деji, , qji ,1, V . Асимптотич ної матриці Фішера на ефективність оцінок розраховується за допомогою інформацій jiII , з елементами /ln 2 , xpEI ji ji . 30
- 31. Оцінки параметра і-го параметра вектора s24321 ,...,,,, , знайдені за допомогою методу максимальної прав ля яких виконується рівність 1 , доподібності, д IV , називаються спільно еф иективними. Д сперсія параметра е льно правдоподібності синтезовані алгоритми оцінювання параметрів постійного кої випад к сівського характер, то знаходження оцінок є складною математичною задачею, оскільки не всі негаусівські випадкові величини можливо описати за допомогою функцій розподілу ймовірності. Від інформації про вид q-мірної щільності розподілу імовірностей, а також , ру ю ви ел т едоліків. В теорії оцінювання найбільш поши Метод найменших – це параметричний метод отримання оцінок, який також застосовується у прикладних задачах статистики, при оцінці парам при малих значеннях вибірки i розраховується через діагональний елемент матриці iiV , . У більшості робіт саме за допомогою м тоду максима ї сигналу на тлі завад, що описуються гаусівсь ковою величиною [5, 106]. Я що ж завада має відмінний від гау ˆ повідно головним недоліком цього методу є необхідність наявності апріорної складність обчислення максимуму функції правдоподібності, що значно обмежує його застосування при розв’язанні багатьох практичних задач. Методи які ґ нту ться на частковому описі падкових в ичин у вигляді кінцевої послідовності моментів, кумулянтів а кумулянтних коефіцієнтів, не мають описаних н реними методами, що основуються на моментно-кумулянтному опису випадкових величин, є методи моментів та найменших квадратів. квадратів етрів лінійної регресії. Цей метод дозволяє отримати незміщені оцінки з мінімальною дисперсією, навіть x . Згідно методу найменших квадратів оцінка векторного параметра вибирається за умови мінімального значення виразу 31
- 32. , 1 2 n q x деmin1 qq m q,1 . о вибірк q Враховуючи, щ ові значення x є незалежними й однаково розподіленими, вираз оцінки ˆ знаходиться з системи рівнянь 0 1 1 1 n v v q mx m . Оцінки, отримані за допомогою цього методу, мають слабку слушність та є ефективними лише для випадку, коли завада описується гаусівською випадковою величиною. Розглянемо метод моментів, який вперше запропонований Пірсоном [107] і на д іркових момен к о д р аний момент є одним з класичних методів статистичного оцінювання невідомих параметрів. Даний метод є частковим випадком методу знаходження оцінок параметрів за допомогою функції емпіричного розподілу [7]. Метод моментів полягає в прирівнюванні певної кількості виб тів до відповідних теоретичних моментів, які є функціями від невідомих параметрів. Розглядається така ількість м ментів, яка о івнює числу параметрів, що необхідно оцінити ,0 1 ˆ1 n v q vq x n m (1.4) де q,1 – к лькість спільно оцінюваних параметрів досліджуваної випадкової величини . Розв’язуючи систему рівнянь (1.4) відносно параметра q і , ми отримуємо відповідні аналітичні вирази оцінок векторного параметра . Питання про т які саме моменти включати в систему (1.4), варт ˆ е, о вирішувати, керуючись конкретною метою дослідження. В загальному випадку, на практиці справа не завжди доходить навіть до моментів четвертого порядку. До переваг методу 32
- 33. моментів варто віднести його порівняно просту обчислювальну реалізацію, а також те, що оцінки, отримані з розв’язку с ми (1 ), є функціями від вибіркових моментів. Це спрощує дослідження статистичних властивостей оцінок методу моментів. усівської завади є асимтотично незміщеними та слушними [104]. В роботах показано [45, 104], що ефективність оцінок, отриманих методом моментів, як правило, є невеликою та поступаються ефективності оцінкам, отриманим за допомогою поліноміального тим і допомогою методу моментів, приймаються як перше наближення, исте .4 Оцінки параметра постійного сигналу та параметрів нега методу запропонованого професором Кунченком Ю. П. [29, 30]. Разом з метод моментів часто зручний при вирішенн практичних задач. Оцінки, отримані за за яким можна визначати оцінки, які мають вищу ефективність. Синтез алгоритмів спільного оцінювання параметрів постійного сигналу та негаусівської завади приведений в додатках (додаток Б). 1.4.2. Метод максимізації усіченого стохастичного полінома Професором Кунченко Ю. П. запропонований метод оцінювання параметрів випадкових величин, який базується на моментно-кумулянтному пису випадкових величин і називається методом максимізації полі [29, 30, 102]. У цьому методі застосовуються стохастичні поліноми порядку s, запропонованому методі використовується критерій якості, що дозволяє знаходити оцінки з мінімальною дисперсією. При цьому із зростанням степеня у в о нома коефіцієнти яких знаходяться з умови мінімуму дисперсії оцінки параметра. Таким чином у полінома алгоритми знаходження оцінок, як правило, складнюються і самі оцінки доводиться знаходити з рішення громіздких рі нянь максимізації полінома. Це є природною платою за збільшення точності вимірювання параметрів випадкових величин. 33
- 34. Однак при вирішенні практичних завдань іноді виникає необхідність побудови оцінок, які будуть задовольняти іншим критеріям, наприклад, інколи необхідно синтезувати оцінки з мінімальним (або заданим) часом обчислення оцінки. При цьому вимога мінімуму дисперсії оцінки відходить на другий план, а голо ю и н н дисперсії. Запишемо узагальнений усічений стохастичний поліном для спільно оцінюваних парам вною вимогою є простота обчислення оцінки. Для вирішення описаної проблеми Кунченком Ю. П. пропонується використовувати метод оцін вання, який ґрунтується на викор ста ні усічених стохастичних поліномів [32]. Цей метод дозволяє варіювати складністю алгоритму оцінювання шуканого параметра (часом виконання алгоритму апаратними засобами). Основна ідея спрощення методу оцінювання полягає в тому, що в стохастичному поліномі використовуються не всі члени полінома, а тільки ті, що дозволяють спростити алгоритм знаходження оцінки. При цьому оцінка, що отримується за допомогою рівняння максимізації усіче ого полінома, розраховується за умови мінімуму її етрів i v virsirs leci kkП ,..., 1 1 ][][0[s , , (1.5) де s – степінь полінома, s n r] vi – впорядковані борелевські функції, що описують випадкову величину v , s24321 ,...,,,,, – спільно оцінювані параметри, r – порядковий номер вектора , що визначає оцінюваний параметр, коефіцієнти ][rsik , si ,1 з індексами lec ,...,, дорівнюють нулю, а інші відповідно дорівнюють dhk r a s i rsirs leci ,..,, 1 ][][0 , i Rba ; , ba;0 , 34
- 35. dhk r a rsirsi ][][ , ,,1 si leci ,...,, , Zlec ,...,, , де i – математичні очікування функцій ,i , 0 – дійсні значення параметрів постійного сигналу та негаусівської завади. Коефіцієнти ][r знаходяться з розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь (надалі записуватимемо СЛАР) sih , 1 ][ i s j jiri r Kh , де ,s jijiji mmmK , – центровані корелянти негаусівської випадкової величини функцій [29, 30, 102]. Спільн оцінка параметрів постійного сигналуа та негаусівської завади знаходиться з наступної системи рівнянь 0, ˆ ][s leci ,...,, rП , ,,,1 si .,1 rr Вище наведена система рівнянь називаються системою рів максимізації усіченого стохастичного полінома. Враховуючи те, що усічені епеневих нянь поліноми задані в класі ст функцій: i , , то функції i ,i запишуться у вигляді початкових моментів: i , , а система рівнянь усіченого стохастичного полінома матиме наступний вигляд im 0 ˆ n i s m 11 ][ ,..., v i v i rsi xh leci , .,1 rr (1.6) де im величини – початкові моменти і-го порядку негаусівської випадкової , – незалежні і однаково розподілені вибіркові значення, vx 35
- 36. s – степінь усіченого стохастичного полінома, n – обсяг вибірки x , ][0 rsih – коефіцієнти, які знаходяться з розв’язку СЛАР lecisimKh ,...,,,,1, . (1.7) методом максимізації полінома при використанні усіченого стохастичного полінома степеня s, збігаються з властивостями оцінок, знайденими при використанні повного полінома [102]. Оцінка, знайдена з розв’язку рівняння усіченого максимізації полінома ), буде асимптотично незміщеною i s j jirsj lecj ,..,, 1 ,][ Властивості оцінок, знайдених (1.6 та слушною [29, 30, 32]. Коефіцієнти ][rsih , rr ,1 , що знаходяться з розв’язку СЛАР (1.7), забезпечують мінімум дисперсії оцінки ˆ , отриманою методом максимізації усіченого стохастичного полінома. В загальному випадку дисперсія спільних оцінок 2 s знаходиться на елементах ловної діагоналі ріацій ої матриці оцінок або оберненої матриці кількості інформації про оцінювані параметри го ва н 1,, ji s ji ss IVI , де елемент варіаційної матриці розраховує іввідношенняться через сп }ˆ 0ii ,{, ji s EV rji ,1, , i0 – істинні значення па оцінюються, а елемент матриці кількості інформації наступним чином раметрів, що спільно k j s k isk ji s mhI 1 , . Очевидно, пільних максимізації усіченого стохастичного полінома [32], буде більшою, ніж ан огіч полінома [29, 30]. Описана закономірність пояснюється тим, що в усіченому що дисперсія с оцінок, отриманих методом дисперсія ал них спільних оцінок, знайдених методом максимізації 36
- 37. стохастичному поліномі степеня s, використовується тільки обмежена кількість ідповідно, кількість інформації про оцінюванчленів, а в і параметри зменшиться в порівнянні з випадком, коли застосовується (неусічений) тохастичний поліном. Відповідно, при застосуванні методу максимізації усіченого стохастичного полінома для спільного оцінювання параметрів постійного сигна ь я і випадкова с лу та негаусівс кої завади разом із зменшенн м складності результуючих алгоритмів спільного оцінювання зменшується їх ефективність, а, відповідно, і точність. 1.5. Постановка задачі Нехай спостерігається величина , значення якої мають вигляд (1.2), де S – постійний сигнал, що залежить від параметра вибіркові , а є негаусівською завадою, яка описується кінцевою послідовністю кумулянтів вищих порядків, і відноситься до одного з класів, близьких завада до гаусівських завад: асиметричної, ексцесної або асиметрично-ексцесної завади. Необхідно, по вибірковим значенням vx , n,v 1 , синтезувати спрощені алгоритми спільного оцінювання параметрів та негаусівської завади, що ніж оцінки, отримані класичним методом. спільних оцінок. матимуть більшу ефективність, Провести дослідження та аналіз статистичних характеристик отриманих Висновки до розділу 1 а в1. Про налізовано існуючі математичні моделі заємодії постійного сигналу та негаусівських завад, в системах керування технічнологічними процесами, в системах вимірювання, моніторингу, зв’язку виявлено 37