Dis ponedilok

1. МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
КАМ’ЯНЕЦЬ-ПОДІЛЬСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ІВАНА ОГІЄНКА
Кваліфікаційна наукова
праця на правах рукопису
Понеділок Вадим Віталійович
УДК 004.94+519.876.5
ДИСЕРТАЦІЯ
МЕТОДИ ТА ЗАСОБИ ПОБУДОВИ І РЕАЛІЗАЦІЇ ІНТЕГРО-
СТЕПЕНЕВИХ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕСІВ ВІДНОВЛЕННЯ ВХІДНИХ
СИГНАЛІВ НЕЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ ОБ’ЄКТІВ
01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи
Подається на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук
Дисертація містить результати власних досліджень. Використання ідей,
результатів і текстів інших авторів мають посилання на відповідне джерело.
_____________________ В.В. Понеділок
Науковий керівник
Федорчук Володимир Анатолійович
доктор технічних наук, професор
Кам’янець-Подільський – 2018

2. 2
АНОТАЦІЯ
Понеділок В.В. Методи та засоби побудови і реалізації інтегро-
степеневих моделей процесів відновлення вхідних сигналів нелінійних
динамічних об’єктів. – Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук
(доктора філософії) за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та
обчислювальні методи. – Кам’янець-Подільський національний університет
імені Івана Огієнка, Кам’янець-Подільський, 2018.
У дисертаційній роботі розглянута і вирішена науково-технічна задача
використання і розвитку методів математичного і комп’ютерного моделювання
процесів відновлення вхідних сигналів нелінійних динамічних об’єктів поданих
інтегро-степеневим рядами Вольтерри.
Реалізовано методи ідентифікації нелінійних динамічних об’єктів з
використанням детермінованих тестових сигналів на основі розроблених
регуляризаційних алгоритмів диференціювання експериментально отриманих
функціональних залежностей, які використовуються для побудови
багатовимірних ядер Вольтерри, що дозволяє покращити стійкість
обчислювального процесу ідентифікації.
Розроблено методи розв’язання білінійних інтегральних рівнянь
Вольтерри І-го роду шляхом введення диференціального регуляризаційного
параметра, що дозволяє застосування інструментарію інтегро-степеневого ряду
Вольтерри для широкого класу задач відновлення вхідних сигналів на вході
нелінійних динамічних об’єктів.
Створено комплекс програмних засобів комп’ютерного моделювання
процесів в нелінійних динамічних об’єктах, моделі яких подано у вигляді
інтегро-степеневого ряду Вольтерри та досліджено їх застосування.
Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному:
• запропоновано регуляризаційний метод розв’язування поліноміальних
інтегральних рівнянь Вольтерри І-го роду на основі введення
диференціального регуляризаційного оператора, що дозволяє підвищити

3. 3
ефективність процесу відновлення сигналів на вході нелінійних динамічних
об’єктів при наявності шумових завад;
• вдосконалено алгоритми побудови моделей нелінійних динамічних об’єктів
типу «вхід-вихід» у формі інтегро-степеневих рядів Вольтерри на основі
детермінованих тестових вхідних сигналів шляхом використання
регуляризаційних методів диференціювання, що дозволило покращити
стійкість обчислювального процесу ідентифікації;
• вдосконалено методи розв’язування поліноміального інтегрального
рівняння Вольтерри І-го роду на основі квадратурних алгоритмів шляхом
використання ітераційних методів, що дало змогу підвищити ефективність
процесу відновлення вхідних сигналів на вході нелінійних динамічних
об’єктів при наявності шумових завад;
• набули подальшого розвитку методи чисельного диференціювання
(апроксимаційне диференціювання багатовимірних функцій,
диференціювання з використанням регуляризаційних алгоритмів, апаратно-
орієнтоване диференціювання), що дозволило підвищити точність та
стійкість процесу диференціювання функціональних залежностей,
отриманих на основі експериментальних даних;
• набули подальшого розвитку засоби моделювання на основі розробленого
комплексу програмних засобів побудови та дослідження інтегральних
моделей нелінійних динамічних об’єктів, які подані у вигляді інтегро-
степеневих рядів Вольтерри, що дає змогу його використання при
проектуванні та аналізі об’єктів типу «вхід-вихід».
Практичне значення отриманих результатів полягає в тому, що
розроблені методи та засоби побудови апроксимаційних інтегральних моделей
нелінійних динамічних об’єктів, а також створений комплекс програм для їх
комп’ютерної реалізації, розширюють можливості використання сучасних
комп'ютерних засобів для проведення наукових досліджень та інженерних
розрахунків, в задачах математичного та комп’ютерного моделювання процесів
відновлення вхідних сигналів для нелінійних динамічних об’єктів типу «вхід-

4. 4
вихід», а також в задачах створення сучасних систем вимірювання, керування,
контролю та діагностики.
Ключові слова: нелінійний динамічний об’єкт, інтегро-степеневий ряд
Вольтерри, чисельне диференціювання, ідентифікація, відновлення вхідних
сигналів.
ABSTRACT
Ponedilok V.V. Methods and tools to construction and realization integro-
power models of processes restoration input signals nonlinear dynamic objects.
The thesis presented for the degree of candidate of technical sciences, specialty
01.05.02 – mathematical simulation and methods of calculation. – Kamianets-
Podilskyi National Ivan Ohiienko University, Kamianets-Podilskyi, 2018.
In the dissertation work the scientific and technical problem of use and
development methods of mathematical and computer modelling of nonlinear dynamic
objects presented by integro-degree Volterra series is considered and solved.
The methods for solving Volterra bilinear integral equations of the first kind
are solved with a differential regularization parameter that allows the use of integro-
degree Volterra series for a wide class of tasks for the recovery of input signals at the
input of nonlinear dynamic objects.
The methods of identification of dynamic objects using algorithms of
differentiation of experimentally obtained functional dependences, which are used for
construction Volterra multidimensional kernels, are implemented, which allows to
improve the stability of the computational process of identification.
Scientific novelty of the obtained results is as follows:
• a regularization method is proposed for solving Volterra polynomial integral
equations of the first kind on the basis of the introduction of a differential
regularization operator, which increases the efficiency of the process of restoring
signals at the input of nonlinear dynamic objects in the presence of noise
disturbances;
• improved algorithms for constructing models of non-linear dynamic-type objects
of the "input-output" type in the form of integro-degree Volterra series based on

5. 5
deterministic test input signals by using regularization methods of differentiation,
which improved the stability of the computational identification process;
• improved methods for solving Volterra's first-order polynomial integral equation
on the basis of quadrature algorithms using iterative methods, which made it
possible to increase the efficiency of the process of restoring input signals at the
input of nonlinear dynamic objects in the presence of noise disturbances;
• further development of numerical differentiation methods was obtained
(approximation differentiation of multidimensional functions, differentiation using
regularization algorithms, hardware-oriented differentiation), which improved the
accuracy and stability of the process of differentiation of functional dependences
obtained on the basis of experimental data;
• further development of simulation tools based on a developed set of software tools
for constructing and researching integral models of nonlinear dynamic objects,
presented in the form of integrative-degree Volterra series, which allows its use in
the design and analysis of objects of type "input-output".
The practical significance of the results obtained is that the developed methods
and means of constructing and researching approximation integral models of dynamic
objects, as well as the set of programs, expanding the possibilities of using computer
tools in the tasks of mathematical and computer modelling of nonlinear dynamic
objects type "input-output" and in tasks of creation of modern systems of
measurement, control, control and diagnostics.
Keywords: nonlinear dynamic object, integro-degree Volterra series, numerical
differentiation, identification, restoration of input signals.
Список публікацій в яких опубліковані основні наукові результати
дисертації:
1. Божок А.М. Апаратно-орієнтований регуляризаційний алгоритм [Текст] /
А.М. Божок, В.А. Іванюк, В.В. Понеділок // Математичне та комп’ютерне
моделювання. Серія: Технічні науки : зб. наук. праць / Інститут кібернетики
імені В.М. Глушкова Національної академії наук України, Кам’янець-
Подільський національний університет імені Івана Огієнка ; [редкол.:

6. 6
О.М. Хіміч (відп. ред.) та ін.]. – Кам’янець-Подільський : Кам’янець-
Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2017. –
Вип. 16. – С. 14-22. [Видання індексується: BASE, CiteFactor, General Impact
Factor, Cosmos Impact Factor, International Citation Index of Journal Impact
Factor & Indexing, InfoBase Index, OpenAIRE, PKP Index, Academic Recource
Index, SIS, WorldCat, Наукова періодика України].
2. Іванюк В.А. Аналітичне подання рядів Вольтерри на основі
експериментальних даних [Текст] / В.А. Іванюк, В.В. Понеділок //
Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки : зб. наук.
праць / Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова Національної академії
наук України, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана
Огієнка ; [редкол.: Ю.Г. Кривонос (відп. ред.) та ін.]. – Кам’янець-
Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана
Огієнка, 2014. – Вип. 11. – С. 43-50. [Видання індексується: BASE,
CiteFactor, General Impact Factor, Cosmos Impact Factor, International
Citation Index of Journal Impact Factor & Indexing, InfoBase Index, OpenAIRE,
PKP Index, Academic Recource Index, SIS, WorldCat, Наукова періодика
України].
3. Іванюк В.А. Комп'ютерна реалізація детермінованого способу ідентифікації
інтегральних моделей нелінійних динамічних об’єктів [Текст] / В.А. Іванюк,
В.В. Понеділок, В.А. Грищук // Математичне та комп'ютерне моделювання.
Серія: Технічні науки : зб. наук. праць / Інститут кібернетики
імені В.М. Глушкова Національної академії наук України, Кам’янець-
Подільський національний університет імені Івана Огієнка ; [редкол.:
Ю.Г. Кривонос (відп. ред.) та ін.] – Кам’янець-Подільський : Кам’янець-
Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2014. – Вип. 10. –
С. 59-67. [Видання індексується: BASE, CiteFactor, General Impact Factor,
Cosmos Impact Factor, International Citation Index of Journal Impact Factor &
Indexing, InfoBase Index, OpenAIRE, PKP Index, Academic Recource Index, SIS,
WorldCat, Наукова періодика України].

7. 7
4. Іванюк В.А. Метод обернених операторів відновлення сигналів на вході
лінійних динамічних систем, що задані передатними функціями [Текст] /
В.А. Іванюк, В.В. Понеділок, О.А. Дячук // Математичне та комп’ютерне
моделювання. Серія: Технічні науки : зб. наук. праць / Інститут кібернетики
імені В.М. Глушкова Національної академії наук України, Кам’янець-
Подільський національний університет імені Івана Огієнка ; [редкол.:
О.М. Хіміч (відп. ред.) та ін.]. – Кам’янець-Подільський : Кам’янець-
Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2017. –
Вип. 15. – С. 62-67. [Видання індексується: BASE, CiteFactor, General Impact
Factor, Cosmos Impact Factor, International Citation Index of Journal Impact
Factor & Indexing, InfoBase Index, OpenAIRE, PKP Index, Academic Recource
Index, SIS, WorldCat, Наукова періодика України].
5. Іванюк В.А. Побудова ядер інтегрального ряду Вольтерри методом
апроксимації фігурою обертання [Текст] / В.А. Іванюк, В.В. Понеділок //
Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки : зб. наук.
праць / Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова Національної академії
наук України, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана
Огієнка ; [редкол.: Ю.Г. Кривонос (відп. ред.) та ін.]. – Кам’янець-
Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана
Огієнка, 2015. – Вип. 12. – С. 36-42. [Видання індексується: BASE,
CiteFactor, General Impact Factor, Cosmos Impact Factor, International
Citation Index of Journal Impact Factor & Indexing, InfoBase Index, OpenAIRE,
PKP Index, Academic Recource Index, SIS, WorldCat, Наукова періодика
України].
6. Костьян Н.Л. Частотный способ восстановления сигнала на входе линейного
динамического объекта [Текст] / Н.Л. Костьян, Б. С. Аскарходжаев, В. В.
Понеділок // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні
науки : зб. наук. праць / Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова
Національної академії наук України, Кам’янець-Подільський національний
університет імені Івана Огієнка ; [редкол.: Ю.Г. Кривонос (відп. ред.) та
ін.]. – Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський національний

8. 8
університет імені Івана Огієнка, 2012. – Вип. 7. – С. 88-94. [Видання
індексується: BASE, CiteFactor, General Impact Factor, Cosmos Impact Factor,
International Citation Index of Journal Impact Factor & Indexing, InfoBase
Index, OpenAIRE, PKP Index, Academic Recource Index, SIS, WorldCat,
Наукова періодика України].
7. Ivanyuk V. Solving Inverse Problems of Dynamics of Nonlinear Objects Based on
the Volterra Series [Текст] / V. Ivanyuk, V. Ponedilok, J. Sterten // Computational
Problems of Electrical Engineering, Vol. 6, No. 1. – Lviv, Ukraine : Lviv
Polytechnic National University, 2016. – P. 9-16. [Видання індексується:
Google Shcolar].
8. Ponedilok V.V. Regularization Method of Restoration of Input Signals of
Nonlinear Dynamic Objects that Determined by Integro-Power Volterra
Series [Текст] / V.V. Ponedilok // Математичне та комп’ютерне моделювання.
Серія: Технічні науки : зб. наук. праць / Інститут кібернетики імені
В.М. Глушкова Національної академії наук України, Кам’янець-Подільський
національний університет імені Івана Огієнка ; [редкол.: О.М. Хіміч
(відп. ред.) та ін.]. – Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський
національний університет імені Івана Огієнка, 2018. – Вип. 17. – С. 133-140.
[Видання індексується: BASE, CiteFactor, General Impact Factor, Cosmos
Impact Factor, International Citation Index of Journal Impact Factor & Indexing,
InfoBase Index, OpenAIRE, PKP Index, Academic Recource Index, SIS,
WorldCat, Наукова періодика України].
Список публікації які засвідчують апробацію матеріалів дисертації:
1. Іванюк В.А. Апроксимація функцій багатьох змінних методом найменших
квадратів [Текст] / В.А. Іванюк, В.В. Понеділок // Наукові праці Кам’янець-
Подільського національного університету імені Івана Огієнка : зб. за
підсумками звітної наукової конференції викладачів, докторантів і
аспірантів : вип. 13, у 3 т. – Кам’янець-Подільський : Кам’янець-

9. 9
Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2014. – T.2. –
С. 48-49.
2. Іванюк В.А. Алгоритм розв’язування обернених задач динаміки нелінійних
об’єктів на основі рядів Вольтерри [Текст] / В.А. Іванюк, В.В. Понеділок //
Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та
оптимізації : тези доповідей. – Кам’янець-Подільський : Кам’янець-
Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2016. – С. 81-83.
3. Іванюк В.А. Ідентифікація нелінійних динамічних систем у вигляді
інтегральних рядів Вольтерри на основі детермінованих моделей [Текст] /
В.А. Іванюк, В.В. Понеділок // Моделювання : тези XXXIII науково-
технічної конференції. – Київ : ІПМЕ, 2014. – С. 14-15.
4. Іванюк В.А. Побудова моделей нелінійних динамічних систем заданих
структурними схемами у випадку послідовних з’єднань на основі ряду
Вольтерри [Текст] / В.А. Іванюк, В.В. Понеділок // Наукові праці Кам’янець-
Подільського національного університету імені Івана Огієнка : зб. за
підсумками звітної наукової конференції викладачів, докторантів і
аспірантів : вип. 15, у 3 т. – Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський
національний університет імені Івана Огієнка, 2016. – T.2. – С. 39-40.
5. Іванюк В.А. Побудова ядер інтегрально ряду Вольтерри на основі методу
апроксимації фігурою обертання [Текст] / В.А. Іванюк, В.В. Понеділок //
Матеріали Міжнародної наукової конференції «Сучасні проблеми
математичного моделювання та обчислювальних методів». – Рівне : РВВ
РДГУ, 2015. – С. 79.
6. Іванюк В.А. Способи відновлення сигналів на вході лінійних динамічних
систем заданих моделями у вигляді передатних функцій методом обернених
операторів [Текст] / В.А. Іванюк, В.В. Понеділок, Т.М. Іванюк // Наукові
праці Кам’янець-Подільського національного університету імені Івана
Огієнка : зб. за підсумками звітної наукової конференції викладачів,
докторантів і аспірантів : вип. 16, у 3 т. – Кам’янець-Подільський :
Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка,
2016. – T.2. – С. 34-37.

10. 10
7. Іванюк В.А. Чисельне диференціювання таблично заданих функцій [Текст] /
В.А. Іванюк, В.В. Понеділок // Праці V Міжнародної науково-практичної
конференції «Обробка сигналів і негаусівських процесів», присвяченої
пам’яті професора Ю.П. Кунченка: тези доповідей. – Черкаси : ЧДТУ,
2015. – С. 196.
8. Іванюк В.А. Чисельна реалізація інтегральних рядів Вольтерри [Текст] /
В.А. Іванюк, В.В. Понеділок // Сучасні проблеми математичного
моделювання, прогнозування та оптимізації : тези доповідей. – Кам’янець-
Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана
Огієнка, 2014. – С. 64-65.
9. Патент України на корисну модель UA 62175 U, G06G 5/00. Диференціатор
гідропневмомеханічних сигналів / А.М. Божок, В.В. Понеділок. –
№ u201103036; заявл. 15.03.2011; опубл. 10.08.2011. – Бюл. № 15.
10.Патент України на корисну модель UA 100200 U, G06G 5/00. Пристрій для
диференціювання сигналів / А.М. Божок, В.В. Понеділок. – № u201501526;
заявл. 23.02.2015; опубл. 10.07.2015. – Бюл. № 13/2015.
11.Патент України на корисну модель UA 101652 U, G06G 5/00, G05B 6/00.
Диференціюючий пристрій систем автоматики неелектричного типу /
А.М. Божок, В.В. Понеділок. – № u201502781; заявл. 27.03.2015; опубл.
25.09.2015. – Бюл. № 18/2015.
12.Патент України на корисну модель UA 102721 U, G06G 5/00. Пружинний
диференціатор теплових сигналів / А.М. Божок, В.В. Понеділок. –
№ u201506174; заявл. 22.06.2015; опубл. 10.11.2015. – Бюл. № 21.
13.Патент України на корисну модель UA 115387 U, G06G 5/00. Діафрагмовий
пневматичний диференціатор / А.М. Божок, В.В. Понеділок. –
№ u201611761; заявл. 21.11.2016; опубл. 10.04.2017. – Бюл. № 7.
14.Патент України на корисну модель UA 118947 U, G12B 3/02. Диференціатор
крутного моменту / А.М. Божок, В.В. Понеділок. – № u201703188; заявл.
03.04.2017; опубл. 28.08.2017. – Бюл. № 6.
15.Понеділок В.В. Апаратно-орієнтований метод диференціювання
сигналів [Текст] / В.В. Понеділок // Сучасні проблеми математичного

11. 11
моделювання, прогнозування та оптимізації : тези доповідей 8-ї
Міжнародної наукової конференції, присвяченої 100-річчю Національної
академії наук України та 100-річчю Кам’янець-Подільського національного
університету імені Івана Огієнка. – Кам’янець-Подільський : Кам’янець-
Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2018. – С. 38-40.
16.Понеділок В.В. Метод ідентифікації нелінійних динамічних систем на основі
використання інтегральних рядів Вольтерри [Текст] / В.В. Понеділок //
Наукові праці Кам’янець-Подільського національного університету імені
Івана Огієнка : збірник за підсумками звітної наукової конференції
викладачів, докторантів і аспірантів. – Кам’янець-Подільський : Кам’янець-
Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2013. – Вип. 12. :
у 3-х томах. – Т. 2. – С. 56-58.
17.Понеділок В.В. Розробка пневматичного диференціатора з додатковою
пневмолінією та допоміжним корпусом [Текст] / В.В. Понеділок // Збірник
наукових праць молодих вчених Кам’янець-Подільського національного
університету імені Івана Огієнка. – Кам’янець-Подільський : Кам’янець-
Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2014 –
Випуск 5. – С. 132-133.
18.Ivanyuk V. IEEE Xplore Digital Library : Regularization Methods for
Differentiating Noise Signals [Текст] / V. Ivanyuk, V. Ponedilok, J. Sterten //
Proceedings of 14th International Conference on Advanced Trends in
Radioelectronics, Telecommunications and Computer Engineering (TCSET),
Lviv-Slavske, Ukraine, February 20 – 24, 2018. – P. 295-300. [Видання
індексується: SCOPUS].
19.Ivanyuk V. The Identification of Nonlinear Dynamical Systems as Integrated
Volterra Series Based on Deterministic Signals [Текст] / V. Ivanyuk,
V. Ponedilok // Proceedings of the 5th International Conference on Application of
Information and Communication Technology and Statistics in Economy and
Education ICAICTSEE. – Sofia, Bulgaria : University of National and World
Economy, 2016. – P. 230-238. [Видання індексується: Ebscohost, ProQuest].

12. 12
ЗМІСТ
ВСТУП........................................................................................................................ 14
РОЗДІЛ 1. ОСОБЛИВОСТІ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧНОГО І КОМП'ЮТЕРНОГО
МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ ОБ’ЄКТІВ.......................... 23
1.1. Математичний опис нелінійних систем за допомогою поліноміальних
операторів ............................................................................................................... 23
1.2. Моделювання нелінійних систем із частково відомою структурою ......... 39
1.3. Моделювання нелінійних динамічних об’єктів у вигляді інтегро-
степеневих рядів Вольтерри.................................................................................. 45
1.3.1. Методи ідентифікації нелінійних динамічних об’єктів........................ 45
1.3.2. Квадратурні методи реалізації інтегро-степеневого ряду Вольтерри на
основі розв'язування інтегральних рівнянь...................................................... 53
1.3.3. Відновлення вхідних сигналів моделей поданих у вигляді ряду
Вольтерри............................................................................................................. 63
1.3.4. Застосування інтегро-степеневих рядів Вольтерри .............................. 68
Висновки до розділу 1 ........................................................................................... 72
РОЗДІЛ 2. ПОБУДОВА І РЕАЛІЗАЦІЯ МОДЕЛЕЙ НЕЛІНІЙНИХ
ДИНАМІЧНИХ ОБ’ЄКТІВ ЗА ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИМИ ДАНИМИ .......... 73
2.1. Алгоритм побудови моделей нелінійних динамічних моделей у вигляді
інтегро-степеневого ряду Вольтерри з використанням детермінованих
тестових сигналів ................................................................................................... 73
2.2. Побудова інтегро-степеневого ряду Вольтерри на основі методів
диференціювання експериментально отриманих залежностей ........................ 81
2.3. Формування інтегро-степеневого ряду Вольтерри на основі чисельно-
аналітичних методів диференціювання............................................................... 89
2.3.1. Отримання ядер Вольтерри на основі диференціювання аналітичного
подання експериментально отриманих залежностей...................................... 89
2.3.2. Побудова ядер Вольтерри із застосуванням диференціювання
експоненціальної апроксимації вихідного сигналу......................................... 99
2.4. Регуляризаційні методи диференціювання експериментально отриманих
залежностей при побудові інтегро-степеневого ряду Вольтерри................... 103

13. 13
2.4.1. Метод оберненого оператора................................................................. 103
2.4.2. Апаратно-орієнтований регуляризаційний алгоритм ......................... 112
2.5. Квадратурні алгоритми реалізації моделей нелінійних динамічних
об’єктів поданих інтегро-степеневим рядом Вольтерри ................................. 120
Висновки до розділу 2 ......................................................................................... 124
РОЗДІЛ 3. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ВІДНОВЛЕННЯ СИГНАЛУ НА ВХОДІ
НЕЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ ОБ’ЄКТІВ.......................................................... 126
3.1. Квадратурний метод розв’язування поліноміального рівняння
Вольтерри І роду другого степеня...................................................................... 126
3.2. Регуляризаційні алгоритми розв’язування поліноміального рівняння
Вольтерри І роду .................................................................................................. 139
Висновки до розділу 3 ......................................................................................... 151
РОЗДІЛ 4. ПРОГРАМНО-МОДЕЛЮЮЧИЙ КОМПЛЕКС. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ
МОДЕЛЬНИХ І ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ ............................................................ 152
4.1. Вибір програмного середовища................................................................... 152
4.2. Опис розробленого програмного комплексу ............................................. 159
4.3. Застосування програмного комплексу для ідентифікації нелінійного
динамічного об’єкта............................................................................................. 164
4.4. Розв'язування прикладних задач ................................................................. 174
Висновки до розділу 4 ......................................................................................... 185
ВИСНОВКИ............................................................................................................. 186
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ............................................................... 189
ДОДАТОК А. Список публікацій в яких опубліковані основні наукові
результати дисертації.............................................................................................. 205
ДОДАТОК Б. Документи про впровадження результатів
дисертаційної роботи .............................................................................................. 212

14. 14
ВСТУП
Актуальність роботи. Створення сучасних систем вимірювання,
керування, контролю та діагностики супроводжується ростом складності
проектних та дослідницьких задач, який обумовлений особливостями побудови
та режимами функціонування таких систем, зокрема для систем, які працюють
в екстремальних умовах експлуатації (об’єкти ракетно-космічної техніки,
атомної енергетики, тепло-технічного обладнання енергетичних установок
тощо). Цим визначаються нові вимоги до методів і засобів математичного
моделювання процесів в динамічних системах, серед яких особливе місце
займають задачі відновлення вхідних сигналів для систем, в яких необхідно
враховувати суттєво нелінійні залежності, що, як правило, проявляються в
близьких до критичних умовах експлуатації. На даний час для дослідження
лінійних динамічних систем створено ефективні методи та засоби, які
базуються на використанні як диференціальних, так і інтегральних моделей, в
тому числі на використанні інтегральних операторів Вольтерри. Для
дослідження нелінійних динамічних об’єктів поки що немає загальноприйнятих
універсальних методів, а наявні не дозволяють розв’язувати поставленні задачі
з необхідною точністю.
На сьогодні сформовано два основних шляхи побудови математичних
моделей: на основі фізичних законів та з використанням експериментальних
даних. Із зростанням складності об’єктів застосування першого підходу
викликає значні труднощі. В таких випадках надають перевагу методам, які
засновані на застосуванні другого підходу. Одним із ефективних способів
математичного опису нелінійних динамічних об’єктів є інтегро-степеневі ряди
Вольтерри. При такому описі нелінійні і динамічні властивості об’єкта
повністю характеризуються послідовністю багатовимірних вагових функцій –
ядер Вольтерри. Задача побудови моделей у вигляді інтегро-степеневих рядів
Вольтерри передбачає визначення багатовимірних ядер Вольтерри на основі
експериментальних даних. Зокрема, окреме місце займає задача стійкого
чисельного диференціювання, яка має як окреме науково-технічне значення,

15. 15
так і є допоміжним інструментом при побудові ядер інтегро-степеневого ряду
Вольтерри. Саме це зумовлює необхідність розробки алгоритмів як чисельного
диференціювання експериментально отриманих функціональних залежностей,
так і алгоритмів ідентифікації нелінійних динамічних об’єктів у вигляді
інтегро-степеневого ряду Вольтерри.
При розв’язанні задачі відновлення вхідного сигналу для лінійних
динамічних об’єктів, зазвичай, застосовуються рівняння Вольтерри І-го роду.
Застосування інтегро-степеневих рядів Вольтерри в задачах відновлення
сигналів на вході нелінійних динамічних об’єктів дозволяє спростити первинні
нелінійні математичні моделі до квазілінійного вигляду. Найбільш відомим
підходом до розв’язання таких задач є застосування регуляризаційних методів.
Поєднання інструментарію інтегро-степеневих рядів Вольтерри та методів
регуляризації зумовлює необхідність в створенні нових, більш ефективних
математичних та комп’ютерних методів розв’язування задач відновлення
вхідних сигналів нелінійних динамічних об’єктів.
Саме потреба в ефективних методах та засобах моделювання процесів
відновлення вхідних сигналів нелінійних динамічних об’єктів визначає
перспективність використання рядів Вольтерри для їх математичного опису.
Таким чином, актуальна науково-технічна задача підвищення
ефективності математичного та комп’ютерного моделювання процесів
відновлення вхідних сигналів нелінійних динамічних об’єктів полягає у
розробці, дослідженні та застосуванні методів побудови та реалізації
динамічних моделей у формі інтегро-степеневих рядів Вольтерри.
Визначна роль в дослідженні, розвитку теоретичних основ та
практичному застосуванні інтегро-степеневих рядів Вольтерри в задачах
математичного та комп’ютерного моделювання належить українським вченим:
А.Ф. Верланю [19, 20, 21, 22, 23, 24], А.Г. Івахненку [55, 56, 57, 57],
Ю.Ю. Коляденко [92], Я.Н. Матвійчуку [73], В.В. Поповському [92],
А.А. Серкову [15, 16, 59, 101], В.Д. Павленку [86], С.В. Павленку [87],
В.А. Іванюку [40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 121, 122], та

16. 16
іноземним науковцям: Ю.С. Попкову, О.Н. Кісельову, Б.Л. Шмульяну,
Н.П. Петрову [91], К.А. Пупкову, В.И. Капаліну. А.С. Ющенко,
В.В. Солодовнікову, А.Н. Дмітрієву, Н.Д. Єгупову, В.В. Семенову [94],
А.С. Апарцину [4, 5, 6, 7], Д.Н. Сідорову [102], С.В. Солодуші [104],
А.І. Іванову, М.А. Щербакову, Л.В. Данілову [32, 33], А.А. Ланне [66],
N. Wiener [27], , S. Boyd, C.A. Desoer, L.O. Chua [115, 116], W.J. Rugh [132],
F.J. Doyle, B.A. Ogunnaike, R.K. Pearson [119, 128], S.A. Billings [112, 113],
A. Borys [114] та іншим.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Дисертаційне дослідження проводилось в рамках науково-дослідних робіт: на
кафедрі інформатики Кам’янець-Подільського національного університету
імені Івана Огієнка «Математичне моделювання в задачах керування
технологічними процесами» (№ держреєстрації 0113U004335) та Інституту
проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є Пухова «Математичні методи і
комп’ютерні засоби модельної підтримки розробок систем вимірювання і
керування випробувальних стендів силових установок енергетичного і
транспортного призначення» (шифр "СТАН").
Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розвиток
методів і засобів математичного та комп’ютерного моделювання процесів
відновлення вхідних сигналів нелінійних динамічних об’єктів на основі
побудови та використання їх моделей у формі інтегро-степеневих рядів
Вольтерри, що забезпечують підвищення ефективності процесів створення та
експлуатації технічних систем.
Для досягнення мети необхідно вирішити такі задачі:
- аналіз методів і засобів побудови та дослідження апроксимаційних
інтегральних моделей нелінійних динамічних об’єктів, обґрунтування
актуальності науково-технічної задачі та використання інтегро-степеневих
рядів Вольтерри, як основного підходу до її розв’язання;
- розробка та дослідження методів і алгоритмів для побудови
апроксимаційних інтегральних моделей нелінійних динамічних об’єктів типу

17. 17
«вхід-вихід» у вигляді інтегро-степеневих рядів Вольтерри на основі
експериментальних даних з використанням методів чисельного
диференціювання, що дозволяє підвищити стійкість обчислювального процесу
ідентифікації;
- розробка, дослідження та апробація методів і алгоритмів для
розв’язування обернених задач динаміки, тобто відновлення сигналу, на вході
нелінійного динамічного об’єкту типу «вхід-вихід», який подано у формі
інтегро-степеневого ряду Вольтерри на основі зведення до поліноміального
інтегрального рівняння Вольтерри І-го роду з використанням
регуляризаційного підходу, що зорієнтовані на ефективну чисельну та
комп’ютерну реалізацію;
- розробка програмних засобів на основі алгоритмів побудови та
дослідження апроксимаційних інтегральних математичних моделей нелінійних
динамічних об’єктів типу «вхід-вихід» у вигляді інтегро-степеневих рядів
Вольтерри, що забезпечують проведення обчислювальних експериментів та
практичних розрахунків для комп’ютерної апробації запропонованих методів і
засобів моделювання.
Об’єктом дослідження є процеси побудови і дослідження математичних
та комп’ютерних моделей нелінійних динамічних об’єктів.
Предметом дослідження є методи та засоби побудови і дослідження
математичних та комп’ютерних моделей нелінійних динамічних об’єктів на
основі інтегральних рядів Вольтерри при розв’язанні задач ідентифікації та
відновлення вхідних сигналів.
Методами дослідження. Використовувались: методи ідентифікації
багатовимірних ядер Вольтерри для побудови апроксимаційних інтегральних
моделей нелінійних динамічних об’єктів; квадратурні методи для чисельної
реалізації інтегральних моделей Вольтерри; чисельні методи диференціювання
функціональних залежностей для ідентифікації ядер Вольтерри в задачі
ідентифікації нелінійного динамічного об’єкту типу «чорний ящик» з одним
входом та одним виходом; методи регуляризації при розв’язуванні обернених

18. 18
задач (відновлення сигналу нелінійного динамічного об’єкту); методи
обчислювального експерименту для дослідження апроксимаційних
інтегральних моделей нелінійних динамічних об’єктів поданих у вигляді
інтегро-степеневого ряду Вольтерри; методи програмної інженерії для
побудови програмних засобів.
Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному:
Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному:
• запропоновано регуляризаційний метод розв’язування поліноміальних
інтегральних рівнянь Вольтерри І-го роду на основі введення
диференціального регуляризаційного оператора, що дозволяє підвищити
ефективність процесу відновлення сигналів на вході нелінійних
динамічних об’єктів при наявності шумових завад;
• вдосконалено алгоритми побудови моделей нелінійних динамічних
об’єктів типу «вхід-вихід» у формі інтегро-степеневих рядів Вольтерри
на основі детермінованих тестових вхідних сигналів шляхом
використання регуляризаційних методів диференціювання, що дозволило
покращити стійкість обчислювального процесу ідентифікації;
• вдосконалено методи розв’язування поліноміального інтегрального
рівняння Вольтерри І-го роду на основі квадратурних алгоритмів шляхом
використання ітераційних методів, що дало змогу підвищити
ефективність процесу відновлення вхідних сигналів на вході нелінійних
динамічних об’єктів при наявності шумових завад;
• набули подальшого розвитку методи чисельного диференціювання
(апроксимаційне диференціювання багатовимірних функцій,
диференціювання з використанням регуляризаційних алгоритмів,
апаратно-орієнтоване диференціювання), що дозволило підвищити
точність та стійкість процесу диференціювання функціональних
залежностей, отриманих на основі експериментальних даних;
• набули подальшого розвитку засоби моделювання на основі розробленого
комплексу програмних засобів побудови та дослідження інтегральних

19. 19
моделей нелінійних динамічних об’єктів, які подані у вигляді інтегро-
степеневих рядів Вольтерри, що дає змогу його використання при
проектуванні та аналізі об’єктів типу «вхід-вихід».
Практичне значення отриманих результатів полягає в тому, що
розроблені методи та засоби побудови і дослідження апроксимаційних
інтегральних моделей нелінійних динамічних об’єктів, а також створений
комплекс програм для їх комп’ютерної реалізації, розширюють можливості
використання сучасних комп'ютерних засобів для проведення наукових
досліджень та інженерних розрахунків в задачах комп’ютерного моделювання
нелінійних динамічних об’єктів типу «вхід-вихід», а також в задачах створення
сучасних систем вимірювання, керування, контролю та діагностики. Результати
дисертаційного дослідження використані для проектування систем моніторингу
температурних режимів роботи мережевого комутаційного та магістрального
обладнання ТзОВ «Гігател» (акт впровадження від 20 лютого 2018 р.). Методи і
засоби побудови та комп’ютерної реалізації моделей у формі інтегро-
степеневих рядів Вольтерри прийнято до впровадження в ТзОВ «Мережа
Ланет» при проектуванні вимірюючих перетворювачів для підвищення
ефективності опрацювання показників інформаційних сигналів об’єктів
контролю інформаційно-обчислювальних систем (акт впровадження від
9 квітня 2018 р.).
Особистий внесок здобувача. Наукові положення, висновки та
рекомендації, які викладено у дисертаційній роботі і виносяться на захист,
отримано особисто здобувачем та узагальнено при оформленні дисертаційної
роботи. Роботи [88, 89, 90, 129] написано самостійно. В роботі [40] розроблено
комп’ютерну модель ідентифікації інтегральних моделей нелінійних
динамічних об’єктів, в [41] створено засоби для побудови математичних
моделей нелінійних динамічних систем у вигляді інтегральних рядів
Вольтерри, в [42] побудовано імітаційні моделі в середовищі Simulink для
ідентифікації нелінійних динамічних систем у вигляді інтегральних рядів
Вольтерри, в [43] розроблено паралельні алгоритми чисельної реалізації

20. 20
інтегральних рядів Вольтерри, в [44, 45, 46, 47, 48] розроблено алгоритми
апроксимації та диференціювання багатовимірних функцій на основі метода
найменших квадратів, в [49, 50] розробка алгоритмів розв’язування та
комп’ютерної реалізації розв’язування поліноміального рівняння Вольтерри І
роду, в [121] розроблено алгоритм ідентифікації інтегральних моделей
нелінійних динамічних об’єктів, в [122] розроблено алгоритм відновлення
сигналу на вході нелінійної динамічної системи, в [51] розроблено імітаційні
моделі нелінійних динамічних систем в середовищі Simulink, в [52] розроблено
регуляризаційний алгоритм відновлення сигналу на вході динамічної системи, в
[53] розроблено імітаційну модель відновлення вхідного сигналу на вході
динамічної системи на основі регуляризаційних алгоритмів, в [13, 79, 80, 81, 82,
83, 84, 85] розроблено регуляризаційний метод диференціювання для
проектування диференціаторів неелектричного типу, в [123] розроблено
алгоритм регуляризації чисельного диференціювання функціональних
залежностей.
Апробація роботи. Основні положення і результати дисертаційної
роботи доповідалися й обговорювалися на 13 міжнародних, всеукраїнських та
регіональних конференціях:
1. Звітна наукова конференція викладачів і аспірантів Кам’янець-
Подільського національного університету імені Івана Огієнка
(Кам’янець-Подільський, 2014 р.);
2. XXXIII науково-технічна конференція «Моделювання» (15-16 січня
2014 р., Інститут проблем моделювання в енергетиці
ім. Г. Є. Пухова НАН України, м. Київ);
3. VI міжнародна наукова конференція «Сучасні проблеми
математичного моделювання, прогнозування та оптимізації» (4-5
квітня 2014 р., Кам’янець-Подільський національний університет
імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський);

21. 21
4. П’ята Міжнародна науково-технічна конференція «Моделювання в
електротехніці, електроніці та світлотехніці МЕЕС`2014» (1-3
жовтня 2014 р., Національний авіаційний університет, м. Київ);
5. Міжнародна наукова конференція «Сучасні проблеми
математичного моделювання та обчислювальних методів» (19-22
лютого 2015 р., Рівненський державний гуманітарний університет,
Національний університет водного господарства та
природокористування, Міжнародний економіко-гуманітарний
університет ім. акад. С. Дем’янчука, м. Рівне);
6. V Міжнародна науково-практична конференція «Обробка сигналів і
негаусівських процесів» (20-22 травня 2015 р. Черкаський
державний технологічний університет, м. Черкаси);
7. Звітна наукова конференція викладачів і аспірантів Кам’янець-
Подільського національного університету імені Івана Огієнка
(Кам’янець-Подільський, 2015 р.);
8. Conference on Application of Information and Communication
Technology and Statistics in Economy and Education ICAICTSEE-2015
(Dept. of Information Technologies and Communications University of
National and World Economy, 1700 SOFIA, BULGARIA);
9. Звітна наукова конференція викладачів і аспірантів Кам’янець-
Подільського національного університету імені Івана Огієнка
(Кам’янець-Подільський, 2016 р.);
10.VII міжнародна наукова конференція «Сучасні проблеми
математичного моделювання, прогнозування та оптимізації» (21-22
квітня 2016 р., Кам’янець-Подільський національний університет
імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський);
11.Міжнародна наукова конференція присвячена 60-річчю від дня
заснування Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН
України «Питання оптимізації обчислень (ПОО-XLIV)» (26-29
вересня 2017 р., м. Кам’янець-Подільський);

22. 22
12.14th
International Conference on Advanced Trends in Radioelecrtronics,
Telecommunications and Computer Engineering (20-23 of February
2018, Lviv - Slavske, Ukraine);
13.VIII міжнародна наукова конференція «Сучасні проблеми
математичного моделювання, прогнозування та оптимізації»,
присвяченої 100-річчю Національної академії наук України та 100-
річчю Кам’янець-Подільського національного університету імені
Івана Огієнка (18-20 квітня 2018 р., м. Кам’янець-Подільський)
Публікації. Основні положення дисертації викладено у 27 публікаціях, в
тому числі: 8 статей опубліковано у виданнях, включених до Переліку фахових
видань України, у 1 статті, опублікованій у виданні, що індексується у
міжнародній наукометричній базі SCOPUS, у 1 статті, опублікованій у
закордонному науковому виданні, у 11 публікаціях і тезах, представлених в
матеріалах Всеукраїнських та Міжнародних наукових конференцій та отримано
6 патентів України на корисну модель.
Структура та обсяг роботи. Робота складається із вступу, чотирьох
розділів, висновків, списку використаних літературних джерел (135
найменувань) та додатків. Загальний обсяг дисертації – 214 сторінок, в тому
числі 157 сторінок основної частини.

23. 23
РОЗДІЛ 1. ОСОБЛИВОСТІ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧНОГО І
КОМП'ЮТЕРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ
ОБ’ЄКТІВ
1.1. Математичний опис нелінійних систем за допомогою поліноміальних
операторів
Розглянемо систему «вхід-вихід» S , що описується співвідношенням
1 2 ,S V V  (1.1)
де 1V , 2V - деякі множини, що визначають вхідні та вихідні сигнали відповідно
[74, 127].
Для цього визначимо структуру 1V , 2V Враховуючи прийняті позначення,
вважатимемо 1 2, .V U T V Y T=  =  Відображення :K u y→ з областю значень
множини  iy Y T  ( ,i I де I – індексна множина, що складається із цілих
чисел 0, 1, 2, …), визначене на множині   ,iu U T  є формальним
математичним описом системи S . Зупинимось на явному представленні
відображення K , що описує нелінійні системи.
Вперше залежність між входом і виходом нелінійної системи була
знайдена Вінером, який використав для цього теорію рядів Вольтерри [27].
Теоретичне обґрунтування застосування рядів Вольтерри для цієї мети
належить Фреше, який показав, що будь-яке неперервне відображення,
визначене на множині функцій  iu при ,T   може бути представлено
інтегралом Вольтерри. Брілліант розповсюдив це обґрунтування на
нескінченний інтервал часу [93].
Опис нелінійних систем за допомогою ряду Вольтерри
0 1
2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( )
( , , ) ( ) ( ) ...
... ... ( , , ,..., ) ( ) ( )... ( ) ... ,n n n n
y t Ku t h t u t h t s u s ds
h t s s u s u s ds ds
h t s s s u s u s u s ds ds ds

−
 
− −
 
− −
= = + +
+ +
+

 
 
(1.2)

24. 24
де 0 ( ) ( , );h t L −  1 2( , , ,..., )i ih t s s s - ядро i -го порядку, причому
2
1 2 1 2... ( , , ,..., ) ... , 1,i i ih t s s s ds ds ds i n
 
− −
   =  , зводиться до знаходження ядер
( )1 2, , , .n nh   
Відомо декілька способів знаходження ядер ряду (1.2), два з яких
запропоновані Вінером [112]. У першому способі Вінер використав функції
Лагерра ( ),nl t ортонормовані на проміжку )0, . Відносно цих функцій
вхідний сигнал може бути представлений коефіцієнтами
( ) ( ) ( )
0
, .p pV t l u t d p I  

= −  (1.3)
Для вхідного сигналу ( ),u t що є гаусовим випадковим процесом із
одиничною спектральною густиною, вихід системи записують у загальному
вигляді за допомогою функції R, яка залежить від вхідного сигналу ( ),u t а
отже, згідно (1.3) і від коефіцієнтів Лагерра :pV
( ) ( )0 1lim , , , .n
n
y t R V V V
→
=  (1.4)
Далі, функцію R представляють поліномом Ерміта, в якому змінними є
коефіцієнти pV випадкового процесу ( ):u t
( ) ( )( ) ( )( )0 1 0
0 1
, , 0
0 0 0
lim ,n n
n
m m m m m n
n
m m m
y t C H V t H V t
  

→
= = =
=     (1.5)
де ( )nH - нормовані поліноми Ерміта,
( )( ) ( )
( )
( )
2
2
2
1 2 .
!
ii i
i i
i i
V tm m
m V
m i m
ii
e d
H V t e
dVm
  −
−
= − (1.6)
Ряд (1.5) називають рядом Вінера, а коефіцієнти 0 , nm mC  – коефіцієнтами
Вінера. Знайти їх аналітичний вигляд можна, помноживши ліву і праву частину
рівняння (1.5) на
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )2 2 2
0 1
0 1
1
2
0 1
n
n
V t V t V t
m m m nH V t H V t H V t e
− + +
 (1.7)

25. 25
і усереднивши його на інтервалі ( ), .− + При цьому використовують принцип
ергодичності, що дозволяє усереднення по часу у правій частині рівняння
замінити усередненням по множині і враховують ортогональність поліномів
Ерміта з вагою
2
iV
e
( ) ( )
2 1, ,1
0, .i j
i jV
m m
i j
m m
H V H V e dV
m m

−
−
=
= 

 (1.8)
В результаті коефіцієнти Вінера рівні середньому значенню добутку
( ) ( )( ) ( )( )0 1 0, , 0 .n nm m m m m nC y t H V t H V t =  (1.9)
Виходи моделі для довільного вхідного сигналу ( )u t знаходять,
попередньо отримавши розклад по функціям Лагерра відомої вхідної функції
( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 .n nu t V l t Vl t V l t= + ++ (1.10)
Для цього реалізують обчислення по формулі (1.3). Формулою (1.10)
представлений вихід лінійної системи із пам’яттю. Пропускаючи вхідний
сигнал через n таких паралельно включених лінійних систем з
характеристиками ( ) ( ) ( )0 1, , , ,nl t l t l t отримуємо на виході коефіцієнти
( ) ( ) ( )0 1, , , .nV t V t V t Далі коефіцієнти ( )iV t використовуються для побудови
поліномів Ерміта і в результаті вихід знаходять за формулою (1.5), у якій
коефіцієнти Вінера відомі з експерименту з білим гаусовим вхідним процесом.
Схему моделювання нелінійної системи методом Вінера представлено на
рис. 1.1.
Рис. 1.1. Схема моделювання нелінійної системи методом Вінера.
( )u t
Білий
гаусовий
шум
Схема
Лагерра
Схема
Ерміта
Коефі-
цієнти
Лінійна
система з
пам’ятю
Нелінійна
безінерційна
система
Множення і
додавання
( )0V t
( )1V t
( )nV t
( )0 0H V t  
( )1 1H V t  
( )n nH V t  
( )y t

26. 26
Розглянутий метод Вінера має більшою мірою теоретичне, ніж практичне
значення. Випливає цей висновок із труднощів практичної реалізації. Так, при
n значеннях коефіцієнтів розкладання вхідного сигналу і p значеннях
коефіцієнтів в поліномі Ерміта необхідно обчислити n
p коефіцієнтів Вінера.
Практично для ідентифікації нелінійної системи другого порядку необхідно
обчислити 10
10 коефіцієнтів [112].
З метою спрощення процедури обчислення, Бозе запропонував замість
поліномів Ерміта у виразі (1.5) використовувати функцію
( )
( )1, якщоυ міститься в , 0,
0, у протилежному випадку .
k k
k
k
t t
Q
t T
 

 + 
= 

(1.11)
Аналогічно ряду (1.5) ним отриманий ряд
( ) ( )( ) ( )( )0 1 0
0 1
, , 0
1 1 1
lim ,n n
n
m m m
k k k k k nn
k k k
m
y t D Q V t Q V t→
= = =
→
=    (1.12)
в якому коефіцієнти 0 , , nk kD  обчислюються за формулою
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
0
0 1
0 1
, ,
0 1
.n
n
n
k k n
k k k
k k k n
y t Q V t Q V t
D
Q V t Q V t Q V t


=

(1.13)
Подальше спрощення практичного використання ряду Вінера
запропонував Баррет, який, використовуючи зростаючі функції Ерміта
( )
( )0
1,u t =  
( )
( ) ( )1
,u t u t=   (1.14)
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 1 2 2 1, ,u t u t u t u t t t= − −  

отримав ряд наступного виду:
( ) ( ) ( )
 1 2 1 1
1
, , , , , , , ,
!
n
n n n n
n
y t K t u d d
n
      
 
− −
=       (1.15)
де ядра
( ) ( ) ( )
 1 2 1, , , , , , ,
n
n n nK t y t u     =  (1.16)

27. 27
визначаються для білого гаусового процесу.
Запропонований Барретом алгоритм ідентифікації нелінійних систем
також громіздкий в практичному використанні через труднощі обчислень
інтегралів у правій частині виразу (1.15). З метою спрощення цих обчислень
Вінер модифікував підхід, запропонований Барретом, використавши для цього
процедуру ортогоналізації Грамма-Шмідта для отримання нового
функціонального ряду.
Як і в попередніх випадках, у якості вхідного процесу ( ),u t що
використовується для знаходження ядер ряду, обираємо білий гаусовий шум.
Для функціоналу першого порядку
( ) ( )1 0,K u t d K  

−
− + (1.17)
де 0K і 1K – ядра нульового і першого порядків, визначаємо таке 0 ,K при
якому сума двох членів ряду (1.17) була б ортогональна будь-якій константі ,C
тобто виконувалась рівність
( ) ( )1 0
1
lim 0.
2
T
T
T
K u t d K Cd
T
   

→
− −
 
− + = 
 
  (1.18)
Для усіченого ряду, що складається із трьох членів:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 0
,
,
K u t u t d d
K u t d K
     
  
 
−

−
−
+
+
− −
− +
 

(1.19)
знаходимо ядра 1K і 0 ,K що задовольняють умові ортогональності будь-якій
константі і всім функціоналам першого порядку.
Процес ортогоналізації продовжуємо до отримання функціоналу
потрібного порядку який ортогональний всім іншим функціоналам порядку,
меншим .n У результаті отримуємо функціонал
( ) ( ) ( )1 1 1, ,G K u t K u t d  

−
= −    (1.20)

28. 28
який називається G -функціоналом Вінера першого порядку і задовольняє умові
(1.18) для суми (1.17). Функціонал
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 1 2 1 2 1 2
2
,
,
,
G K u t
K u t u t d d
N K d
     
  
 
− −

−
=  
= − − −
−
 

(1.21)
називається G -функціоналом Вінера другого порядку і задовольняє умові
ортогональності для суми (1.19). G -функціонал Вінера третього порядку має
вигляд:
( )
( ) ( ) ( )
( )
3 3
3 3 31 2 1 2 3 1 2
1 2 3 2 13 2
,
, ( )
3 , , ( ) ,
,
G K u t
K u t u t u t d d
N K u t d d
d      
     
  
− − −
 
− −
=  
= − − − −
− −
  
 
(1.22)
де N – потужність спектральної густини вхідного шуму.
Під ортогональністю функціоналів  iG розуміють середнє по часу
значення добутку
( ) ( ), , 0, , , .i i j jG K u t G K u t i j n i j  =        (1.23)
Функціональний ряд Вінера, побудований із ортогональних функціоналів,
записується так:
( ) ( )
0
, .n n
n
y t G K u t

=
=    (1.24)
Вінером було доведено, що G -функціонали, які входять в ряд (1.24), є
поліномами Ерміта. Враховуючи це, ряд може бути записано наступним чином:
( ) ( )
0
, .n n
n
y t H K u t

=
=    (1.25)
Для визначення реакції нелінійної системи на довільний вхідний сигнал
( )u t необхідно мати ядра  iK , які, зокрема, можуть бути визначені по

29. 29
взаємній кореляції реакції досліджуваної системи ( )y t на вхідний сигнал у
вигляді нормального білого шуму ( )шy t і вихідного сигналу ( )ny t системи,
отриманого в результаті вибірки окремих значень вхідного сигналу у різні
моменти часу, причому для визначення ядер першого порядку потрібний
сигнал
( ) ( ) ( )  1 1 1
0
, , 0, ;
t
y t t u t d t     = − −  (1.26)
другого –
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
2 1 1 2 2 1 2
0 0
1 2 1 2
,
, , , 0, ;
t t
Ty t u t u t d
t
        
   
= − − − −

 (1.27)
або в загальному вигляді для ядра n -го порядку
( ) ( ) ( ) ( )
 
1 1
10 0
,
, , , 0, ,
t t n
n n n r T
r
y t u t d
r I T t
       
  
=
=  −  − −
  
  (1.28)
де 1 .T nd d d  =  Враховуючи твердження (1.24), (1.26) – (1.28), а також
властивість ортогональності G -функціоналів
( ) ( ), , , ,m m m mnG K u t y t d m n I 

−
=   
де mn − символ Кронекера, отримуємо взаємну кореляцію
( ) ( ) ( )1 1 1 ,y t y t NK = (1.29)
( ) ( ) ( )2 2 1 22 , ,y t y t NK  = (1.30)
або у загальному випадку
( ) ( ) ( )1! , , .n
n n ny t y t n N K  =  (1.31)
Із тверджень (1.29)-(1.31) визначаються ядра  iK функціонального ряду
моделі досліджуваної системи.
Формули (1.28)-(1.30) мають одне обмеження: ними неможливо
скористатися якщо 1 2 .n  = == Дещо інше їх представлення відносно

30. 30
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2
0
1
, , , , ,
!
n
n n m nn
m
K y t G K u t y t
n N
  
−
=
 
 = −    
 
 (1.32)
не має вказаного недоліку. В цілому знаходження даним методом ядер Вінера
 iK функціонального ряду, що описує нелінійну систему, як і в попередніх
методах, характеризується значним об’ємом обчислень. Для системи з одним
входом ядро n -го порядку потребує
( 1)!
!( 1)!
n m
n m
+ −
−
обчислень, де ,m
t

=

 – час
пам’яті системи, t – дискрета обчислень. Однак, зустрічаються роботи [113],
що використовують даний підхід опису нелінійних систем і побудови ядр.
Використовуючи ортогональні моменти ядер, ідентифікують також
нелінійні нестаціонарні системи. Об’єм обчислень в процесі ідентифікації як
стаціонарних, так і нестаціонарних систем однаковий [94].
Нелінійна система може бути описана безпосередньо рядом Вольтерри
(1.2). Для знаходження ядер цього ряду при 2n = розв’язують систему
інтегральних рівнянь [112]:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
0
2 1 2 1 2 1 2
0 0
, ,
z t h u t d
h u t u t d d
  
     

 
= − +
+ − −


(1.33)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
0
2 1 2 1 2 1
0 0
2, ,
z t u t h u t u t d
h u t u t u t d d
    
      

 
− = − − +
− − −+ 


(1.34)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 1 1 1 2 1
0
2 1 2 1
0
2 1 2
0
2, ,
z t u t u t
h u t u t u t d
h u t u t u t d d
 
    
      
 

− − =
− − − +
− −
=
−+


(1.35)

31. 31
отриманих у результаті мінімізації методом варіації сталої квадратичної
помилки ( ) ( )
2
z t y t−   спостережуваного виходу системи ( )z t і моделі ( )y t
при довільному вхідному сигналі ( ).u t Розв’язання рівнянь (1.33)-(1.35)
ускладнене. Для цього розроблено ряд обчислювальних методів, серед яких
ітеративна процедура оптимізації і послідовних підстановок, градієнтний
метод, метод дискретизації по часу. Обчислення ядер спрощується, якщо
замість довільного вхідного сигналу ( )u t використовувати нормальний білий
шум одиничної спектральної густини. Тоді система рівнянь (1.33)-(1.35) набуде
вигляду
( ) ( )2 1
0
, ,z t h d  

=  (1.36)
( ) ( ) ( )1 1 1 ,z t u t h − = (1.37)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1 22 , .z t u t u t z h      − − = − + (1.38)
Для моделей з більш високим порядком ядер, ніж 2,n = труднощі у
обчисленнях зберігаються. Для класу нелінійних стаціонарних систем із
детермінованим вхідним впливом знаходження ядер Вольтерри можливе за
експериментальними даними, якщо в якості вхідного сигналу обрати
 −функцію або ступінчатий вплив ( )1 t [94]. Далі будемо розмірковувати
наступним чином: нехай є лінійна стаціонарна система, на вхід якої подається
 −функція. Вихід системи
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1y t h t d h t   = − = (1.39)
рівний ядру моделі ( )1 .h t На практиці отримати  −функцію не завжди
можливо. Замінивши вхідний сигнал в інтегралі (1.39) на стрибок амплітуди ,A
отримаємо вихід
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
0 0
1 .
t
y t А h t d А h d    

= − =  (1.40)
Продиференціювавши праву частину (1.40) по верхній межі, маємо

32. 32
( )
( )1
1
1
.
dy t
h t
A dt
= (1.41)
Нехай система описується функціоналом другого порядку
( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2
0 0
, .y t h u t u t d d     
 
= − − (1.42)
Подача на вхід такої моделі ступінчастого сигналу з амплітудою A
показує реакцію
( ) ( )
1 2
1 2
2
2 2 1 2
0 0
1
, .
2
t t
y t А h d d
 
  
− −
 =  
  (1.43)
Для різних 1 і 2 0  отримаємо набір реакцій ( ) ( )2 2 1 2, , ,y t y t = вздовж
яких, двічі продиференціювавши по 1 і 2 знайдемо
( )
( )2 2
1 2
2 1 2 2
1 2
,1
, .
2
y
h
А
 
 
 

=
 
(1.44)
Для системи, представленої виразом
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
0 0
, , ,n n n n ny t h u t u t d d     
 
=   −  −   (1.45)
аналогічно отримують ядро
( )
( )1
1
1
, ,1
, , .
!
n
n n
n n n
n
y
h
n А
 
 
 
 
 =
 
(1.46)
Раніше припускалось, що система моделювалась однорідними
функціоналами. Якщо це не так, і система описується сумою однорідних
функціоналів, то ядро 1ph − отримуємо, віднявши із вихідного сигналу всієї
системи її реакцію, що представляється ядром ph , ядро 2ph − рівне різниці
виходу системи і реакцій, що вносяться однорідними функціоналами з ядрами
ph та 1,ph − і так далі до отримання ядра 1h .
Метод, що було розглянуто, зручний при моделюванні фізіологічних
систем, оскільки впливи на такі системи мають характер, близький до
імпульсного.

33. 33
Будь-який із описаних функціональних рядів, наприклад (1.2), (1.5),
(1.15), (1.24), будується по даним, що отримані в результаті експериментів із
досліджуваною системою. Суть експерименту полягає в тому, що на вхід
системи, починаючи з визначеного моменту часу (позначимо його 0t ),
подається тестовий сигнал, що викликає певну реакцію системи. Експеримент
продовжується деякий обмежений за тривалістю час, наприклад, до поточного
моменту .t   Іншими словами: поведінка системи спостерігається на
скінченному інтервалі часу  )0,t t . Цей факт не відображений у попередніх
формалізованих описах системи за допомогою математичних моделей. Для
практичного використання моделей достатньо встановити межі інтегрування
(чи підрахунку сум у дискретному випадку), що відповідають
спостережуваному інтервалу. Тоді в (1.2) для часу 1
t t оператор 0,AK  а
нижня границя інтегрування для оператора СK зміниться. Оператор
M СK K K= + фізично реалізується, оскільки можна реалізувати кожен
компонент декомпозиції: MK і може бути представлений безінерційною
ланкою, оператор СK – підсистемою, вихід якої не випереджає вхідний вплив.
Ряд Вольтерри (1.2) застосовний не тільки у часовій області, а і в
частотній. За рахунок переходу в частотну область суттєво спрощується
вивчення нелінійних стаціонарних систем, так як замість інтегралів і сум у
часовій області мають справу з добутками в комплексній [91, 105]. Це можливо
завдяки багатовимірному перетворенню Лапласа, пристосованому для
знаходження, зображень у частотній області багатовимірних функцій. В якості
прикладу розглянемо деяку систему, вихід якої описано однорідним
функціоналом (1.45) степеня n . Застосовуючи до цього твердження
перетворення Лапласа ( nL −перетворення), отримуємо
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1, , , , ,n n n nY p p W p p U p U p =   (1.47)
де
( ) ( )  ( ) ( ) 1 1 1, , ; , , , , ;n n n n n n n nY p p L y t W p p L h   =  = 

34. 34
( ) ( )  ( ) ( ) 1 1 , , .n nU p L u t U p L u t = −  = −
Аналогічно лінійним системам із виразу (1.47) знаходимо співвідношення
для передатної функції елементарної системи степеня n :
( )
( )
( ) ( )
1
1
1
, ,
, , .n
n n
n
Y p p
W p p
U p U p

 =

(1.48)
Після підстановки в (1.48) ( ), 1 ,i ip j i I j=  = − отримуємо частотну
характеристику елементарної системи степеня n – ( )1, , ,nW j j  яка
представляє собою багатомірну комплексну функцію, що описує в просторі
розмірності 2n при зміні i від − до + деяку поверхню. При 1n = цей
простір перетворюється в комплексну площину.
Якісний стрибок в спрощенні обчислень, зв’язаних з ідентифікацією
нелінійних систем, можна отримати в результаті іншого підходу до
математичного опису систем. В якості основи для такого підходу
використовують теорію інтерполяції.
В абстрактній теорії інтерполяції в pL - просторах існують дві задачі
[108]:
1. пошук зручних у використанні інтерполяційних операторів;
2. опис усіх можливих функціональних просторів, на яких визначені
усі можливі інтерполяційні оператори.
На відміну від другої задачі перша дещо вужча. Її розв’язок, виходячи з
формулювання, повинен мати практичну направленість. В такому плані теорія
ідентифікації недостатньо висвітлена у літературі. Цей пробіл в деякій мірі
заповнив Прентер [131]. Знайдені в ній конструкції інтерполяційних операторів
Лагранжа і Ерміта в гібельторовому просторі дозволили Портеру [130]
використовувати їх для побудови моделей лінійних і нелінійних (включаючи
нестаціонарні) систем. До особливості цієї роботи можна віднести наступні: всі
основні результати роботи отримані виключно виходячи із властивостей
належності, якими повинна володіти синтезована модель; побудова моделі