дисертацIя лелеко (1)

1. МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кваліфікаційна наукова
праця на правах рукопису
ЛелекоСергійАнатолійович
УДК621.391
ДИСЕРТАЦІЯ
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ТА МЕТОДИ ВИЯВЛЕННЯ СИГНАЛІВ НА
ФОНІ НЕГАУСІВСЬКИХ ЗАВАД ЗА МОМЕНТНИМ КРИТЕРІЄМ
ЯКОСТІ
01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи
(12 Інформаційні технології)
Подається на здобуття наукового ступеня кандидататехнічнихнаук
Дисертація містить результати власних досліджень. Використання ідей,
результатів і текстів інших авторів мають посилання на відповідне джерело.
__________________С.А. Лелеко
Науковийкерівник
ПалагінВолодимир Васильович,
доктор технічнихнаук, професор
Черкаси– 2018

2. 2
АНОТАЦІЯ
Лелеко С.А. Математичні моделі та методи виявлення сигналів на фоні
негаусівських завад за моментним критерієм якості. – Кваліфікаційна
наукова праця на правах рукопису.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук
(доктора філософії) за спеціальністю 01.05.02 – «Математичне моделювання
та обчислювальні методи» (12 Інформаційні технології). – Черкаський
державний технологічний університет, Черкаси, 2017.
У дисертаційній роботі розглянута і вирішена науково-технічна задача
використання і розвитку методів математичного та комп'ютерного
моделювання процесів виявлення сигналів на фоні негаусівських завад.
Розроблено метод отримання узагальнених РП виявлення постійних сигналів,
радіосигналів та радіосигналів з флуктуацією амплітуди при адитивній
взаємодії з негаусівською завадою при однаково та неоднаково розподілених
вибіркових значеннях у вигляді стохастичних поліномів, що дозволяє
отримати кращі показники якості у порівнянні з відомими результатами.
Розроблені поліноміальні методи виявлення сигналів засновані на
моментному критерії якості перевірки статистичних гіпотез типу Неймана-
Пірсона, що дозволяє підвищити точність виявлення в системах прийому і
обробки даних при врахуванні характеристик негаусовості завади у вигляді
кумулянтів вищих порядків. Досліджено якісні та кількісні характеристики
виявлення сигналів синтезованих РП.
Створені програмні засоби комп’ютерного моделювання виявлення
сигналів на фоні негаусівських завад та досліджено ефективність
застосування отриманих алгоритмів.
Наукова новизна полягає в створенні методів математичного
моделювання процесів виявлення сигналів на фоні негаусівських завад на
основі синтезу та використання моментного критерію якості перевірки
статистичних гіпотез типу Неймана-Пірсона, стохастичних поліноміальних

3. 3
РП на основі використання моментно-кумулянтних моделей, які дадуть
можливість забезпечити високу точність виявлення сигналів у
комп’ютеризованих системах, таких як інформаційно-вимірювальні системи,
системи контролю, діагностики, управління тощо.
Практична цінність одержаних результатів визначається тим, що
запропоновані методи та засоби моделювання дають змогу: отримувати
нелінійні РП виявлення сигналів при фіксуванні ймовірності помилки
першого роду і мінімізації ймовірності помилки другого роду РП з
підвищеними якісними характеристиками для постійного сигналу,
радіосигналу з детермінованими та випадковими параметрами; синтезувати
РП точність яких перевершує точність відомих обчислювальних алгоритмів
виявлення сигналів, які використовуються в припущенні про гаусівський
закон розподілу завади, причому ефективність виявлення зростає при
збільшенні степеня стохастичних поліномів та врахуванні параметрів
негаусівських завад; розробити імітаційну модель процесу виявлення
сигналів, яка дає змогу провести аналіз якісних характеристик отриманих
результатів, що значно скорочує час і вартість дослідження при проектуванні
технічних систем; синтезувати структурні схеми поліноміальних РП
виявлення сигналів на фоні негаусівських завад, що дає можливість
розв’язувати задачі синтезу і проектування систем спостереження,
моніторингу, контролю та управління.
Ключові слова: виявлення сигналів, поліноміальні розв’язувальні
правила, негаусівські завади, моментно-кумулянтний опис.
ABSTRACT
Leleko S.A. Mathematical models and methods of signal detection in non-
Gaussian noise by the moment quality criterion.
The thesis presented for the degree of candidate of technical sciences
(Doctor of Philosophy) in specialty 01.05.02 mathematical modeling and

4. 4
computational methods. - Cherkasy State Technological University. Cherkasy,
2017.
In the dissertation work the scientific and technical problem of the use and
development of methods of mathematical and computer simulation of signal
detection processes on the background of non-Gaussian noise is considered and
solved. In the construction of algorithms, the adapted moment quality criterion in
kind of Neyman-Pearson criterion, the moment-cumulant models, are used, which
allows to increase the accuracy of detection in the systems of data reception and
processing by taking into account parameters of the non- Gaussian noise in the
form of cumulants of higher orders.
The method of synthesis generalized decision rules for the detection of
constant signals, radio signals and radio signals with amplitude fluctuations with
additive interaction with non- Gaussian noise with uniformly and unequally
distributed sample values in the form of stochastic polynomials is developed,
which allows to get better quality score in comparison with known results.
Computational algorithms are developed that implement synthesized
decision rules and allow to detect a signal in non-Gaussian noise. It is shown that
synthesized nonlinear decision rules have higher quality score detection than those
of known linear decision rules.
Software tools for computer simulation of detecting signals in non-Gaussian
noise were created and the effectiveness of the algorithms is researched.
Список публікацій в яких опубліковані основні наукові результати
дисертації:
1. Лелеко С.А. Поліноміальні виявлячі радіосигналів з флуктуацією
амплітуди оптимальні по моментному критерію якості типу Неймана-
Пірсона / Лелеко С.А., Лега Ю.Г., Палагин В.В. // Вісник ЧДТУ. – 2016. –
№4. – С. 12-19.
2. Palahin, V. Modeling of joint signal detection and parameter estimation
on the background of non-Gaussian noise / Palahin, V. Filipov, V. Leleko, S.

5. 5
Ivchenko, O. Palahina, O. // Journal of Applied Mathematics and Computational
Mechanics. – 2015. – Vol. 14, nr 3. – p. 87-94.
3. Лега Ю.Г. Обнаружители радиосигналов на фоне асимметричных
негауссовских помех, оптимальные по моментному критерию типа Неймана-
Пирсона / Лега Ю.Г., Палагин В.В., Лелеко С.А. // Вісник ЧДТУ. – 2009. –
№3. – С. 76-82.
4. Лега Ю.Г. Построение полиномиальных решающих правил по
моментному критерию типа Неймана-Пирсона для проверки статистических
гипотез / Лега Ю.Г., Палагин В.В., Лелеко С.А. // Електроніка та системи
управління. – 2008. – №4(18). – С. 71–78.
5. Палагін В.В. Синтез та аналіз алгоритмів виявлення постійних
сигналів на тлі негауссівських асиметрично-ексцесних завад. / Палагін В.В.,
Лелеко С.А. // Радиоэлектроника и информатика. – 2008. – №3. С. 10-14.
6. Палагин В.В. Использование моментного критерия качества
проверки статистических гипотез типа Неймана-Пирсона для построения
решающих правил / Палагин В.В., Лелеко С.А. // Вісник ЧДТУ. – 2008. – №1.
– С. 54-61.
Список публікацій які засвідчують апробацію матеріалів дисертації:
1. Лелеко С.А. Програмні засоби комп’ютерного моделювання
поліноміального виявлення сигналів на фоні негаусівського шуму по
моментному критерію типу Неймана-Пірсона в середовищі Matlab Simulink /
Лелеко С.А. // Праці VІ Міжнародної науково-практичної конференції
«Обробка сигналів і негауссівських процесів», присвяченої пам’яті
професора Ю.П. Кунченка: Тези доповідей. – Черкаси: ЧДТУ, 2017. – С. 38–
40.
2. Лелеко С.А. Комп’ютерне моделювання виявлення сигналів на фоні
негаусівського шуму по моментному критерію типу Неймана-Пірсона в
середовищі MATLAB SIMULINK. / Лелеко С.А. // Інтегровані інтелектуальні
робототехнічні комплекси (ІІРТК-2017). Десята міжнародна науково-
практична конференція. Збірка тез. – Київ НАУ – 2017. – С. 177-180.

6. 6
3. Лелеко С.А. Визначення мінімального об’єму вибірки нелінійних
поліноміальних вирішальних правил виявлення сигналів на тлі
негауссівських завад побудованих за моментним критерієм якості типу
Неймана-Пірсона / Лелеко С.А. // Праці V Міжнародної науково-практичної
конференції «Обробка сигналів і негауссівських процесів», присвяченої
пам’яті професора Ю.П. Кунченка: Тези доповідей. – Черкаси: ЧДТУ, 2015. –
С. 111–112.
4. Лелеко С.А. Моделювання роботи алгоритмів виявлення постійних
сигналів на лі негаусівських завад / Лелеко С.А. // Всеукраїнська науково-
практична Інтернет конференція «Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані
технології у виробництві та освіті: стан, досягнення, перспективи розвитку»
Черкаси: ЧНУ ім.. Б.Хмельницького, 2014. – С. 82–83.
5. Лелеко С.А. Імітаційне моделювання нелінійних поліноміальних
вирішальних правил виявлення радіоімпульсу на тлі негаусівських завад
побудованих за моментним критерієм типу Неймана-Пірсона / Лелеко С.А. //
Праці четвертої міжнародної науково-практичної конференції «Методи та
засоби кодування, захисту й ущільнення інформації». – Вінниця: ВНТУ,
2013. – С. 120–122.
6. Лега Ю.Г. Імітаційне моделювання спільного виявлення та
оцінювання прямокутного відеоімпульсу на тлі негаусівських завад / Лега
Ю.Г., Палагін В.В., Філіпов В.В., Лелеко С.А. // Праці міжнародної науково-
технічної конференції «Інтегровані інтелектуальні робототехнічні
комплекси» – Київ НАУ – 2012. – С. 340-343.
7. Лега Ю.Г. Синтез та аналіз виявлячів радіосигналів на тлі
негаусівських асиметрично-ексцесних завад побудованих за моментним
критерієм якості типу неймана-пірсона / Лега Ю.Г., Лелеко С.А. // Праці III
Міжнародної науково-практичної конференції «Обробка сигналів і
негауссівських процесів», присвяченої пам’яті професора Ю.П. Кунченка:
Тези доповідей. – Черкаси: ЧДТУ, 2011. – С. 122–123.

7. 7
8. Лелеко С.А. Використання моментного критерія якості перевірки
статистичних гіпотез типу Неймана-Пірсона для побудови вирішальних
правил виявлення сигналів на тлі негаусівських завад / Лелеко С.А. // Праці ІІ
Міжнародної науково-практичної конференції «Обробка сигналів і
негаусівських процесів», присвяченої пам’яті професора Ю.П. Кунченка:
Тези доповідей. – Черкаси: ЧДТУ, 2009, С. 136–137.
9. Лелеко С.А. Синтез алгоритмов обнаружения радиосигнала на фоне
негауссовских помех / Лелеко С.А. // 13-й міжнародний молодіжний форум
«Радіоелектроніка і молодь в ХХІ ст.»: Зб. Матеріалів форуму. Ч.1. – Харків:
ХНУРЕ, 2009. – С. 90.
10. Лега Ю.Г. Розробка нелінійних поліноміальних вирішальних
правил виявлення сигналів на тлі негаусівських завад побудованих за момент
ним критерієм якості типу Неймана-пірсона / Лега Ю.Г., Палагин В.В.,
Лелеко С.А. // Сучасні досягнення в галузі радіотехніки, телекомунікацій та
інформаційних технологій. Тези доповідей IV міжнародної науково-технічної
конференції. – Запоріжжя: ЗНТУ, 2008. – С. 71–72.
11. Лега Ю.Г. Построение полиномиальных решающих правил по
моментному критерию типа Неймана-Пирсона для проверки статистических
гипотез. / Лега Ю.Г., Палагин В.В., Лелеко С.А. // Праці другої міжнародної
наукової конференції “Теорія та методи обробки сигналів– Київ НАУ – 2008.
– С. 79-80.
Список публікацій які додатково відображають наукові результати
дисертації:
1. Лелеко С.А. Компьютерное моделирование обнаружения сигналов
на фоне негауссовских помех по моментному критерию типа Неймана-
Пирсона. / Наукоемкие технологии в инфокоммуникациях: обработка
информации, кибербезопасность, информационная борьба : Монография под
общей редакцией В. М. Безрука, В. В. Баранника. – Харьков ХНУРЭ.:
Издательство «Лидер», 2017. С. 276-290.

8. 8
2. Лелеко С.А. Синтез виявлячів радіосигналів на тлі негаусівських
асиметрично-ексцесних завад побудованих за моментним критерієм якості
типу Неймана-Пірсона / Лелеко С.А. // Тези доповідей VII всеукраїнської
науково-практичної конференції «Інформаційні технології в освіті, науці і
техніці» (ІТОНТ-2010) – Черкаси: ЧДТУ, 2010. – С. 47.
3. Лелеко С.А. Нелиненые полиномиальных решающие правила,
построенные по моментному критерию типа Неймана-Пирсона для проверки
статистичеких гипотез на фоне негауссовских помех / Лелеко С.А. //
Проблеми інформатизації. Науково-технічний семінар. Збірник тез
доповідей. – Черкаси: ЧДТУ, 2008. – С. 34–36.

9. 9
ЗМІСТ
Стор.
ВСТУП 13
РОЗДІЛ 1 АНАЛІЗ МОДЕЛЕЙ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ ТА
МЕТОДІВ ВИЯВЛЕННЯ СИГНАЛІВ 21
1.1. Аналіз задач та проблем математичного моделювання обробки
негаусівських процесів 21
1.2. Способи опису випадкових величин та процесів 28
1.3. Математичні моделі негаусівських процесів при використанні
моментно кумулянтного опису випадкових величин 31
1.4. Аналіз ймовірнісних критеріїв якості побудови розв’язувальних
правил 37
1.5. Аналіз моментних критеріїв якості побудови розв’язувальних
правил 45
1.6. Висновки до 1 розділу 49
РОЗДІЛ 2 ПОБУДОВА МОМЕНТНОГО КРИТЕРІЮ ЯКОСТІ ТИПУ
НЕЙМАНА-ПІРСОНА ДЛЯ ПЕРЕВІРІКИ СТАТИСТИЧНИХ
ГІПОТЕЗ ПРИ ВИКОРИСТАННІ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ
РОВ’ЯЗУВАЛЬНИХ ПРАВИЛ 50
2.1. Використання стохастичних поліномів для побудови
розв’язувальних правил перевірки статистичних гіпотез 50
2.2. Побудова моментного критерію якості типу Неймана-Пірсона для
перевірки статистичних гіпотез 55
2.3. Отримання оптимального розв’язувального правила у вигляді
стохастичного поліному при однаково розподілених вибіркових
значеннях 62
2.4. Отримання оптимального розв’язувального правила у вигляді
стохастичного поліному при неоднаково розподілених
вибіркових значеннях 69

10. 10
2.5. Висновки до 2 розділу 71
РОЗДІЛ 3 РОЗРОБКА МЕТОДІВ ВИЯВЛЕННЯ СИГНАЛІВ НА
ФОНІ НЕГАУСІВСЬКИХ ЗАВАД, ОПТИМАЛЬНИХ ЗА
МОМЕНТНИМ КРИТЕРІЄМ ТИПУ НЕЙМАНА-ПІРСОНА 73
3.1. Синтез РП виявлення постійних сигналів на фоні негаусівських
завад 74
3.1.1. Синтез РП виявлення постійних сигналів на фоні
асиметричних негаусівських завад при степені поліному
6,1S = 75
3.1.2. Дослідження властивостей РП виявлення постійних
сигналів на фоні асиметричних негаусівських завад 82
3.1.3. Синтез РП виявлення постійних сигналів на фоні
ексцесних негаусівських завад при степені поліному 6,1S = 84
3.1.4. Дослідження властивостей РП виявлення постійних
сигналів на фоні ексцесних негаусівських завад 89
3.1.5. Синтез РП виявлення постійних сигналів на фоні
асиметрично-ексцесних негаусівських завад 91
3.1.6. Дослідження властивостей РП виявлення постійних
сигналів на фоні асиметрично-ексцесних негаусівських
завад 96
3.2. Синтез РП виявлення радіосигналів на фоні негаусівських завад 99
3.2.1. Синтез РП виявлення радіосигналів на фоні асиметричних
негаусівських завад при степені поліному 3,1S = 99
3.2.2. Дослідження властивостей РП виявлення радіосигналів на
фоні асиметричних негаусівських завад. 104
3.2.3. Синтез РП виявлення радіосигналів на фоні ексцесних
негаусівських завад при степені поліному 3,1S = 106
3.2.4. Дослідження властивостей РП виявлення радіосигналів на
фоні ексцесних негаусівських завад 109

11. 11
3.2.5. Синтез РП виявлення радіосигналів на фоні асиметрично-
ексцесних негаусівських завад при степені поліному 3,1S = 112
3.2.6. Дослідження властивостей РП виявлення радіосигналів на
фоні асиметрично-ексцесних негаусівських завад 114
3.3. Синтез РП виявлення радіосигналів з флуктуацією амплітуди на
фоні негаусівських завад 120
3.3.1 Синтез РП виявлення радіосигналів з флуктуацією
амплітуди на фоні асиметрично-ексцесних негаусівських
завад 121
3.3.2. Дослідження властивостей РП виявлення радіосигналів з
флуктуацією амплітуди на фоні асиметрично-ексцесних
негаусівських завад 125
3.4. Структура оптимального поліноміального виявляла сигналів,
оптимального за моментним критерієм якості типу Неймана-
Пірсона 128
3.5. Висновки до 3 розділу 130
РОЗДІЛ 4 ПРОГРАМНІ ЗАСОБИ КОМП’ЮТЕРНОГО
МОДЕЛЮВАННЯ ВИЯВЛЕННЯ СИГНАЛІВ НА ФОНІ
НЕГАУСІВСЬКИХ ЗАВАД 133
4.1. Розробка програмного комплексу імітаційного моделювання
виявлення сигналів на фоні негаусівських завад 134
4.2. Чисельне розв’язування систем нелінійних рівнянь для
визначення невідомих параметрів РП 139
4.3. Прикладне використання засобів комп'ютерного моделювання
для вирішення задачі виявлення сигналів в системах імпульсного
лазерного вимірювання відстані 141
4.4. Модифікація радіолокаційної станції (РЛС) з постійнім рівнем
хибної тривоги 146
4.5. Висновки до 4 розділу 151

12. 12
ВИСНОВКИ 152
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 154
ДОДАТОК А
Початкові моменти та корелянти негаусівських випадкових величин 168
ДОДАТОК Б
Оптимальні коефіцієнти нелінійних РП 180
ДОДАТОК В
Список публікацій в яких опубліковані основні наукові результати
дисертації:
ДОДАТОК Г
Документи про впровадження результатів дисертаційної роботи
190
194

13. 13
ВСТУП
Актуальність теми. Використання сучасних методів теорії
статистичної обробки випадкових процесів є необхідною умовою для
побудови ефективних інформаційних та вимірювальних систем, систем
зв’язку та телеметрії, а також засобів телекомунікації та автоматики тощо.
Новітній етап розвитку цих систем та засобів характеризується
високими вимогами до якості обробки даних, потребує їх постійного
удосконалення та вимагає при цьому як технічного оновлення, так і
створення методів виявлення сигналів, що спостерігаються на фоні завад
складної фізичної природи. Велика кількість реальних явищ в інформаційно-
вимірювальних системах описується за допомогою випадкових процесів
негаусівського характеру. Типовими прикладами прояву даних процесів є:
розподіл довжини інтервалів часу між запитами в телекомунікаційних
системах; дія завад в каналах зв’язку; вплив завад, що виникають від
метеоутворень та при розповсюдженні сигналів над морською поверхнею;
формалізація задач статистичної турбулентності; відбиття сигналів від
рухомих об’єктів.
Таким чином, для побудови ефективних алгоритмів виявлення сигналів
у сучасних інформаційно-вимірювальних системах є необхідним адекватне
математичне представлення реальних завад негаусівського характеру і
побудова та вдосконалення математичних моделей, які б точніше
враховували закономірності випадкових процесів.
Задачам побудови математичних моделей процесів виявлення сигналів,
теорії перевірки статистичних гіпотез, їх ефективному застосуванню на
практиці присвячено роботи В. М. Безрука, А. Я. Білецького, Я. П. Драгана,
Ю. П. Кунченка, Б. Р. Левіна, В. Г. Репіна, Л. С. Сікори, Ю. Г. Сосуліна, Р. Л.
Стратоновича, Г. П. Тартаковського, В. А. Тіхонова, Я. З. Ципкіна, В. В.
Шахгільдяна та ін. Вирішенню проблем обробки негаусівських випадкових
процесів присвячено також роботи відомих зарубіжних науковців, зокрема,

14. 14
Al-Naffouri Т. Y., Douglas S. С., Haykin S., Kailath Т., Xiao-Li Meng,
Nascimento V. H., Rao C., Rupp M., Sayed А. Н., Yousef N. R., Van Trees H.,
Widrow В., Walach Е.
Традиційно системи опрацювання сигналів побудовані на класичних
методах обробки сигналів, що ґрунтуються на застосуванні ймовірнісних
критеріїв якості перевірки статистичних гіпотез (критерій Байєса, Вальда,
Неймана-Пірсона, мінімаксний критерій тощо). Ці методи не накладають
обмежень на використання функції, що описує тип розподілу випадкових
процесів. На практиці ж найбільшого поширення набуло застосування
гаусівського розподілу випадкових процесів, який, в багатьох випадках, не
відображає реальних фізичних явищ і не дає змогу будувати адекватні
математичні моделі процесів обробки сигналів.
Іншим перспективним підходом до виявлення сигналів на фоні
негаусівських завад є застосування моментів і кумулянтів як статистичних
характеристик випадкових величин, які дають змогу з прийнятним
наближенням характеризувати статистичні властивості негаусових процесів.
Цей напрям ґрунтується на моментно-кумулянтному описі випадкових
величин, застосуванні стохастичних поліномів та поліноміальної обробки
статистичних даних і досить ефективно розв’язує задачі виявлення сигналів
на фоні негаусівських завад. Критерії перевірки статистичних гіпотез, які
базуються на такому підході, називаються моментними.
Використання моментно-кумулянтних моделей для опису випадкових
величин має особливості, які потребують проведення теоретичних
досліджень і практичних розробок. Зокрема, це стосується проблем
отримання математичних моделей адитивної взаємодії негаусівських завад та
сигналів, розробки та дослідження нового моментного критерію якості
перевірки статистичних гіпотез типу Неймана-Пірсона, який відрізняється
від широко використовуваних класичних ймовірнісних критеріїв якості.
Таким чином, видається актуальною науково-технічна задача
створення методів і засобів математичного та комп’ютерного моделювання

15. 15
процесів обробки сигналів на фоні негаусівських завад, що спостерігаються в
інформаційно-вимірювальних системах, вирішення якої створює можливості
підвищення якісних характеристик систем виявлення сигналів.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Науковий напрям дисертаційної роботи відповідає планам науково-дослідних
робіт Черкаського державного технологічного університету. Робота
проводилася на кафедрі радіотехніки, телекомунікаційних і робототехнічних
систем відповідно до держбюджетних науково-дослідних робіт: «Розробка
високоефективних методів і алгоритмів виявлення та розрізнення сигналів на
фоні негаусівських завад», номер державної реєстрації 0109U002748;
«Розробка теорії математичних методів і алгоритмів вимірювання параметрів
довільного радіосигналу при адитивних негаусівських завадах», номер
державної реєстрації 0106U004485.
Мета і завдання дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у
створенні методів і засобів математичного і комп’ютерного моделювання
ефективних алгоритмів виявлення сигналів на фоні негаусівських завад, що
виникають в інформаційно-вимірювальних системах та каналах передачі
даних, шляхом розробки моментно-кумулянтних математичних моделей
досліджуваних сигналів та методів їх виявлення, які базуються на
використанні моментного критерію якості типу Неймана-Пірсона і
стохастичних поліномів кінцевого степеня.
Для досягнення мети дослідження необхідно розв’язати такі задачі:
• виконати систематизацію і аналіз особливостей застосування
ймовірнісних та моментних критеріїв якості перевірки статистичних гіпотез,
моделей і методів обробки негаусівських випадкових процесів у задачах
виявлення сигналів;
• розробити новий моментний критерій якості перевірки
статистичних гіпотез типу Неймана-Пірсона, який базується на використанні
моментів розв’язувальної функції та моментно-кумулянтному описі
випадкових величин;

16. 16
• створити нові методи виявлення сигналів на основі використання
стохастичних поліномів для побудови розв’язувальних правил (РП),
оптимальних за моментним критерієм якості типу Неймана-Пірсона при
однаково і неоднаково розподілених вибіркових значеннях;
• побудувати обчислювальні алгоритми виявлення сигналів на фоні
негаусівських завад при степені стохастичного полінома РП 6,1S = і
дослідження їх статистичних властивостей;
• створити програмні засоби комп’ютерного моделювання процесів
виявлення сигналів на фоні негаусівських завад і дослідження ефективності
застосування отриманих алгоритмів.
Об'єкт дослідження – процеси виявлення сигналів на фоні
негаусівських завад, які спостерігаються в інформаційно-вимірювальних
системах та каналах передачі даних.
Предметом дослідження є математичні моделі сигналів, що
спостерігаються на фоні негаусівских завад, які ґрунтуються на моментно-
кумулянтному описі випадкових величин, методи і засоби моделювання
процесів виявлення сигналів на фоні негаусівских завад, що орієнтовані на
створення засобів їх комп’ютерної реалізації.
Методи дослідження базуються на використанні апарату теорії
ймовірності, математичної статистики (для дослідження, опису та аналізу
випадкових величин, побудови математичних моделей сигналів та завад),
методів математичного аналізу (для побудови моментного критерію якості та
стохастичних поліноміальних РП), методів комп’ютерного моделювання (для
розробки прикладного програмного забезпечення).
Наукова новизна полягає в створенні методів математичного
моделювання процесів виявлення сигналів на фоні негаусівських завад на
основі синтезу та використання моментного критерію якості перевірки
статистичних гіпотез типу Неймана-Пірсона, стохастичних поліноміальних
РП на основі використання моментно-кумулянтних моделей, які дадуть
можливість забезпечити високу точність виявлення сигналів у

17. 17
комп’ютеризованих системах, таких як інформаційно-вимірювальні системи,
системи контролю, діагностики, управління тощо.
Вперше запропоновано:
• математичні моделі негаусівських випадкових величин при
адитивній взаємодії сигналів і завад, які ґрунтуються на моментно-
кумулянтному описі, що дало змогу застосувати моментний критерій якості
для побудови стохастичних поліноміальних РП виявлення сигналів;
• методи побудови РП перевірки статистичних гіпотез на основі
розробки та застосування моментного критерію якості типу Неймана-
Пірсона, які дозволяють підвищити точність виявлення сигналів на фоні
негаусівських завад.
Вдосконалено
• методи побудови нелінійних стохастичних РП, які ґрунтуються
на властивостях стохастичних поліномів та застосуванні моментного
критерію якості, і які дозволяють розробити обчислювальні алгоритми
обробки сигналів з меншими ймовірностями помилок порівняно з відомими
результатами.
Набули подальшого розвитку:
• елементи теорії перевірки статистичних гіпотез на основі
розробки та застосування моментного критерію якості типу Неймана-
Пірсона, поліноміальних стохастичних розв’язувальних функцій та
моментно-кумулянтних моделей випадкових величин, що забезпечують
ефективні рішення прикладних задач при дослідженні та використанні
широкого класу випадкових процесів.
Практичне значення одержаних результатів визначається тим, що
запропоновані методи та засоби моделювання дають змогу: отримувати
нелінійні РП виявлення сигналів при фіксуванні ймовірності помилки
першого роду і мінімізації ймовірності помилки другого роду РП з
підвищеними якісними характеристиками для постійного сигналу,
радіосигналу з детермінованими та випадковими параметрами; синтезувати

18. 18
РП точність яких перевершує точність відомих обчислювальних алгоритмів
виявлення сигналів, які використовуються в припущенні про гаусівський
закон розподілу завади, причому ефективність виявлення зростає при
збільшенні степеня стохастичних поліномів та врахуванні параметрів
негаусівських завад; розробити імітаційну модель процесу виявлення
сигналів, яка дає змогу провести аналіз якісних характеристик отриманих
результатів, що значно скорочує час і вартість дослідження при проектуванні
технічних систем; синтезувати структурні схеми поліноміальних РП
виявлення сигналів на фоні негаусівських завад, що дає можливість
розв’язувати задачі синтезу і проектування систем спостереження,
моніторингу, контролю та управління.
Створений на основі запропонованих моделей та методів програмний
комплекс дає змогу проводити комп’ютерне моделювання процесу виявлення
сигналів на фоні широкого класу негаусівських завад.
Основні результати, що отримано при виконанні дисертаційної роботи,
впроваджено: на державному підприємстві НВК «Фотоприлад» – при
проектуванні спеціалізованих оптико-електронних систем, зокрема при
розробці перспективних систем лазерних далекомірів, що працюють в
одиночному та частотному режимах; в учбовий процес Черкаського
державного технологічного університету при викладанні спецкурсів «Теорія
нелінійної статистичної радіотехніки», «Адаптивна обробка сигналів».
Особистий внесок здобувача. Наукові та практичні положення
дослідження, представлені в дисертаційній роботі, отримані особисто автором
або за його особистої участі та підтверджено 6-ма публікаціями у
співавторстві. У роботах [1–3, 7–12] подано метод синтезу нелінійних РП
виявлення радіосигналу, моментно-кумулянтні моделі взаємодії радіосигналу
з негаусівськими завадами, досліджено точнісні характеристики виявлення. У
роботах [4–6] обґрунтовано адаптований моментний критерій типу Неймана-
Пірсона і метод синтезу поліноміальних РП виявлення постійного сигналу,
досліджено їх ефективність, запропоновано моделі адитивної взаємодії

19. 19
сигналу з асиметричною, ексцесною та асиметрично-ексцесною
негаусівською завадою. У спільних публікаціях [17, 18] дисертанту належать
результати дослідження та розробка моментно-кумулянтних моделей
виявлення радіосигналів з флуктуацією амплітуди, що спостерігаються на
фоні негаусівських завад. Проведено розробку засобів комп’ютерного
моделювання поліноміального виявлення сигналів на фоні негаусівських
завад за моментним критерієм типу Неймана-Пірсона в середовищі Matlab
Simulink [13–16, 19–20].
Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної
роботи доповідалися й обговорювалися на 12 науково-технічних
міжнародних конференціях: VІ міжнародна науково-практична конференція
«Обробка сигналів і негаусівських процесів», присвячена пам’яті професора
Ю. П. Кунченка (Черкаси, 2017); Х міжнародна науково-технічна
конференція «Інтегровані інтелектуальні робототехнічні комплекси» (Київ,
2017); V міжнародна науково-практична конференція «Обробка сигналів і
негаусівських процесів», (Черкаси, 2015); 13-й міжнародний молодіжний
форум «Радіоелектроніка і молодь в ХХІ ст.» (Харків, 2009); VII
всеукраїнська науково-практична конференція «Інформаційні технології в
освіті, науці і техніці» (Черкаси, 2010); ІV міжнародна науково-практична
конференція «Сучасні проблеми і досягнення в галузі радіотехніки,
телекомунікацій та інформаційних технологій» (Запоріжжя, 2008); ІV
міжнародна науково-практична конференція «Методи та засоби кодування,
захисту й ущільнення інформації» (Вінниця, 2013); III міжнародна науково-
практична конференція «Обробка сигналів і негаусівських процесів»,
(Черкаси, 2011); V міжнародна науково-технічна конференція «Інтегровані
інтелектуальні робототехнічні комплекси» (Київ, 2012); II міжнародна
науково-практична конференція «Обробка сигналів і негаусівських процесів»
(Черкаси, 2009).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 20 наукових
роботах, у тому числі 5 статей у фахових виданнях України, 1 стаття у

20. 20
зарубіжному наукометричному виданні (Index Copernicus), 13 публікацій у
матеріалах конференцій, 1 публікація у колективній монографії.
Структура дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, 4
розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 121
найменування, та додатків. Загальний обсяг дисертаційної роботи становить
196 сторінок, у тому числі 150 сторінок основного тексту, ілюстрованого 45
рисунками на 39 сторінках, і 3 таблиці.

21. 21
РОЗДІЛ 1
АНАЛІЗ МОДЕЛЕЙ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ ТА МЕТОДІВ
ВИЯВЛЕННЯ СИГНАЛІВ
Вирішення завдань, пов'язаних з моделюванням і аналізом різних
стохастичних процесів є актуальним для багатьох технічних систем,
зокрема в радіолокації, геофізиці, супутниковому зв’язку, в системах
неруйнівного контролю та діагностичних системах, інформаційних системах,
телеметрії тощо, де використовуються складні стохастичні моделі фізичних
процесів [37-45].
Для розв’язання перерахованих задач необхідно застосовувати адекватні
стохастичні моделі фізичних процесів, що з достатньою мірою точно
описують характерні особливості реальних завад. В основі математичного
опису завад лежать методи теорії ймовірності та математичної статистики, які
дозволяють представляти завади у вигляді випадкових процесів та їх
статистичних властивостей.
В розділі розглядаються та аналізуються існуючі моделі випадкових
процесів. Проводиться аналіз існуючих методів виявлення сигналів, а також
можливість їх застосування у технічних системах.
1.1. Аналіз задач та проблем математичного моделювання обробки
негаусівських процесів
Сучасний стан розвитку науки і техніки характеризується широким
застосуванням математичного моделювання, що дозволяє експериментально
досліджувати широкий клас об’єктів і систем. Проведення модельного
експерименту дозволяє розв’язувати різноманітні задачі в технічних
системах зі зменшенням часу витраченого на дослідження і розробку нових
пристроїв.

22. 22
Системи виявлення сигналів є важливою частиною сучасних
інформаційних та вимірювальних систем, в телекомунікації, автоматиці,
техніки систем зв’язку, телеметрії тощо. Вдосконалення таких систем
пов’язане зі створенням нових методів обробки сигналів, створенням та
дослідженням нових математичних моделей, що дозволяють ефективно
вирішувати задачі синтезу та аналізу систем виявлення сигналів.
Наведемо приклади, які характеризують актуальність проведених
досліджень
Пристрій контролю радіоліній зв’язку.
Статистична обробка сигналів знаходить широке застосування в
пристроях, призначених для контролю радіоліній зв’язку (систем передачі
даних). При цьому, найчастіше в якості моделі імпульсного процесу
використовується прямокутний відео або радіоімпульс, який спостерігається
на фоні завад, що мають гаусівський закон розподілу. В якості реалізації
такого підходу використовують схеми пристроїв виявлення сигналів, що
організовані на основі непараметричних рангових алгоритмів. В роботі [46]
запропоновано модернізацію комплексу Р-749У «Асболит-П» на основі
рангового виявляча, що знаходить широке застосування в системах
радіолокаційного та радіотехнічного контролю. На рисунку 1.1 приведено
структурну схему рангового виявляча об’єктів радіоліній.
У режимі прийому повідомлення радіоліній в каналі виявлення
послідовно аналізуються спектральні характеристики сигналів, що
відповідають різним ділянкам секторів огляду у напрямку пеленга. Значення
рівня потужності (амплітуди) сигналу, що знімається з детектора (Д),
схемами порівняння (СП) порівнюється зі значеннями m амплітуд сигналів,
що надійшли з сусідніх ділянок огляду і потрапили на схеми порівняння з
виходів блоку пам'яті опорної вибірки (БПОВ). Схеми порівняння формують
«1», якщо випробовуваний сигнал більше j-го опорного, m,1j = , та «0» – в
іншому випадку. Лічильник імпульсів (ЛІ) підраховує сумарне число «1», яке
визначає ранг амплітуди досліджуваного сигналу iS в варіаційному ряду із

23. 23
m+1 порівнюваних значень рівнів (амплітуд). Ранг сигналу збігається з
номером його місця в ряду, складеному в порядку зростання порівнюваних
амплітуд. Сигнал з мінімальним рівнем потужності (амплітудою), відповідної
завади, отримує ранг, рівний 1, сигнал з максимальним рівнем потужності
(амплітудою) - ранг, рівний m+1.
Рисунок 1.1. Структурна схема пристрою виявлення радіоліній зв’язку
Обчислення значення рангу lS надходить в l+1-у комірку блоку пам'яті
бази даних (БД), в якій записані значення рангів досліджуваного сигналу,
знайдені в попередніх періодах зондування секторів огляду. У блоці
обчислення рангової статистики (ОРС) по всіх накопичених за L
спостережень значень рангів { }L,1l,Sl = обчислюється оцінка статистики:

24. 24
∑
=
=
L
1l
lS
L
1
S
)
.
Рішення про наявність чи відсутність корисного сигналу приймається в
результаті порівняння пороговим пристроєм (ПП) значення статистики S
)
з
деяким порогом 0S , розрахованого з урахуванням забезпечення заданої
ймовірності помилкової тривоги Fпт:
∫
∞
ΛΛ=
0S
0пт d)H/)S((fF ,
де )H/)S((f 0Λ - функція щільності розподілу ймовірностей відношення
правдоподібності для статистики спостережень при нульовій гіпотезі 0H –
наявність сигналу при відсутності об'єкта радіолінії.
Недоліком такого підходу є те, що запропоновані алгоритми
використовують у якості апріорної інформації відомості про щільність
розподілу завади і оптимальні для гаусівської моделі завад. На практиці ж
виникає необхідність виявлення сигналів в припущенні про негаусівський
або близький до гаусівського закону розподілу випадкових величин, на фоні
яких вони спостерігаються. В такому випадку застосування щільності
розподілу випадкової величини в якості апріорної інформації викликає ряд
труднощів, пов’язаних як зі знаходженням закону розподілу цієї випадкової
величини, так і з алгоритмічною реалізацією систем виявлення сигналів.
Тому постає необхідність розробки оптимальних методів виявлення сигналів,
що підлягають впливу зовнішньої завади, яка має негаусівський закон
розподілу.
Імпульсне лазерне вимірювання відстані
Імпульсне вимірювання відстані за допомогою лазерного
випромінювання засновується на процесі вимірювання часу розповсюдження
лазерного імпульсу до об’єкту і назад.

25. 25
Одною з основних проблем забезпечення високої точності вимірювачів
відстані є наявність суттєвих флуктуацій амплітуди та спотворення форми
сигналів, що приймаються в умовах динамічної зміни відбивних
характеристик об’єктів, що рухаються з локально неоднорідною поверхнею
[47-49]. Як зазначено в [50], при роботі імпульсних лазерних вимірювачів
відстані на великі дистанції, завади, на фоні яких спостерігаються сигнали в
таких пристроях, можуть за типом розподілу суттєво відрізнятися від
гаусівських. Тому, актуальною стає задача розробки нових ефективних
методів і алгоритмів зниження похибок вимірювань в таких умовах.
На рисунку 1.2 представлена приймальна частина імпульсного лазерного
вимірювача відстані. В цій структурній схемі блоки «Фіксація часу приходу»
та «Вимірювання часового інтервалу» виконують післядетекторну обробку, а
фактично функцію виявлення сигналу у вигляді прямокутного відеоімпульса
отриманого з фотодетектора.
Рисунок 1.2. Приймальна частина імпульсного лазерного вимірювача
відстані
Приведена вище схема була розроблена в припущенні гаусівського
розподілу завад на фоні якого спостерігаються сигнали лазерного
вимірювача відстані. Для забезпечення необхідної точності вимірювання
відстані необхідно враховувати негаусівські характеристики завади, що

26. 26
вимагає розробки і використання відповідних адекватних до типу завад
алгоритмів виявлення.
CFAR виявлячі сигналів на фоні морських завад
Постійність рівня хибної тривоги (CFAR - constant false alarm rate) в
умовах складної завадової ситуації є звичайною вимогою для всіх сучасних
радарів [51-52].
Радіолокаційні станції (РЛС), що працюють поблизу морської поверхні,
неминуче зіштовхуються з відбиттям радіолокаційних сигналів не лише від
об’єктів, які підлягають виявленню, а і від самої морської поверхні, а також
метеоутворень (дощ, хмари, туман). Відбиття сигналу від морської поверхні
та метеоутворень призводить до завад різної природи та, відповідно,
погіршенню характеристик виявлення [53]. Дослідження японських вчених
[54] встановили, що закон розподілу завад, що виникають поблизу морської
поверхні, відрізняються від гаусівських. В роботі [54] представлені варіанти
апроксимації експериментальних даних, отриманих шляхом слідкування за
морською поверхнею вимірювальною РЛС, за допомогою відомих розподілів
випадкових величин.
В джерелах [54, 56] розглядається декілька схем реалізації виявляча,
який працює при морських завадах, описаних різними відомими законами
розподілу: логонормальним, Вейбула, k-розподілом. Загальною особливістю
даних схем є використання логарифмічної функції на вході виявляча, а також
цифрове ковзне вікно з набором спеціальним арифметичних функцій, за
допомогою якої розраховується дисперсія завади σ. За допомогою
обчислення параметра σ виявляч набуває властивості параметричного, або
іншими словами стає адаптивним.
Функцію виявлення корисного сигналу на фоні морських завад виконує
відома схема, яка встановлюється безпосередньо після амплітудного
детектора виявляча log-CFAR [54-56], що працює по ймовірнісному критерію
Неймана-Пірсона (рис 1.3.).

27. 27
Рисунок 1.3. Структурна схема CFAR виявляча
Іншим підходом до розв’язання задачі виявлення сигналів на фоні завад
від морської поверхні може бути використання моментно-кумулянтного
підходу до опису випадкових величин, та застосування моментного критерію
якості типу Неймана-Пірсона, який забезпечить постійність рівня хибної
тривоги (CFAR). При застосування такого підходу структурна схема
наведена на рис 1.3. з одного боку може бути спрощена шляхом виключення
блоків, що виконують логарифмування та зворотну операцію, а з іншого
блоку доповнена блоками поліноміальної обробки сигналів. При такому
підході, відпадає необхідність у пошуку найбільш точної апроксимації виду
розподілу завади від морської поверхні, а самі завади будуть описуватися за
допомогою набору кумулянтів.
Таким чином, аналіз задач показав, що застосування моментно-
кумулянтного підходу до опису випадкових величин та поліноміальних РП

28. 28
дає змогу модернізувати CFAR виявлячі сигналів, що приймаються на фоні
завад від морської поверхні.
1.2. Способи опису випадкових величин та процесів
Процеси, які відповідають випадковим фізичним явищам неможливо
описати точними математичними співвідношеннями. Основою для опису
випадкових явищ різної фізичної природи, при вирішенні практичних задач є
математичний опис випадкових процесів та подій. Теорія випадкових
процесів знаходить широке застосування у сучасних прикладних
дослідженнях, тому нижче наведено основні підходи до опису випадкових
величин та процесів.
Найбільш повним описом скалярної випадкової величини ξ є функція
розподілу )x(Fξ [57], яка дорівнює ймовірності події, що випадкова величина
ξ прийме значення менше дійсного числа x, тобто:
( )xp)x(F <ξ=ξ , ( )d,cx∈ .
Випадкова величина має щільність розподілу, якщо існує така
інтегрована функція )x(pξ , що для всіх х виконується рівність
∫
∞−
ξξ =
х
du)u(p)x(F .
Функція )x(pξ називається щільністю розподілу випадкової величини
ξ . Так як функція )x(Fξ є безперервною функцією, то:
)х(p)x(F/
ξξ = .
Щільність розподілу, як і функція розподілу, є повним описом
випадкової величини ξ.

29. 29
Якщо випадкова величина є векторною, тобто { }n21 ...,,, ξξξ=ξ , то її
повним описом є багатовимірна функція розподілу:
)x,...,x,x(p)x,...,x,x(F)x(F nn2211n21 <ξ<ξ<ξ== ξξ ,
якій відповідає багатовимірна (спільна) щільність розподілу
)x,...,x,x(p)x(p n21i ξξ = .
У разі, коли складові iξ векторної випадкової величини ξ є
незалежними, але неоднаково розподіленими випадковими величинами, то,
згідно з визначенням, багатовимірна щільність розподілу дорівнює добутку
відповідних одновимірних щільностей розподілу, тобто:
∏
=
ξ =
n
1i
ii )x(p)x(p ,
а якщо вони однаково розподілені, то:
∏
=
ξξ ρ=
n
1i
i )x()x(p
Таким чином, якщо складові векторної випадкової величини є
незалежними і однаково розподіленими випадковими величинами, то їх
повним описом є щільність розподілу одновимірної випадкової величини ξ.
Зазвичай і щільність розподілу, і функція розподілу залежать від
параметра },...,,{ q21 ϑϑϑ=ϑ , який приймає значення в деякій області
.…1,2=q},ba,...,ba,ba{ qqq222111 <ϑ<<ϑ<<ϑ<=Θ Параметр ϑ
називається скалярним, якщо q=1, і векторним, якщо q≥2. Якщо параметр ϑ
векторний, то iϑ називається і-ою складовою векторного параметру.
Залежність щільності розподілу від параметра позначимо наступним
способом: )/x(p ϑξ , ( )d,cx∈ , Θ∈ϑ . границі інтервалу (c,d) можуть бути як
кінцевими, так і нескінченними.
Щільність розподілу задовольняє наступним двом умовам:

30. 30
1). 0)/x(p ≥ϑξ для ( )d,cx∈∀ и Θ∈ϑ∀
2). 1dx)/x(p =ϑ∫
∞
∞−
ξ для Θ∈ϑ∀ . (1.1)
В статистиці іноді виникають ситуації, коли сама випадкова величина ξ
не спостерігається, а спостерігається величина µ, яка є деякою дійсною
функцією )(⋅ϕ від випадкової величини ξ. Будемо вважати, що функція )(⋅ϕ є
кінцевою і однозначно визначеною для всіх дійсних ξ. Рівняння
( )ξϕ=µ (1.2)
визначає функціональну відповідність між випадковими величинами ξ та µ.
Величина µ визначена співвідношенням ( )ξϕ=µ , називається функцією
від випадкової величини ξ або функцією випадкового аргументу.
Так як ξ є випадковою величиною, то і µ також буде випадковою
величиною з щільністю розподілу )/у(p ϑµ , яка визначається розподілом
випадкової величини ξ. При цьому щільність розподілу )/у(p ϑµ випадкової
величини µ в загальному випадку відрізняється від щільності розподілу
випадкової величини ξ. Однак кожна з цих щільностей залежить від одного і
того ж параметра ϑ.
Поряд з функцією і щільністю розподілу повним описом випадкової
величини є характеристична функція [57,58], яка залежить від параметра ϑ:
∫
∞
∞−
−
ξξ ϑρ=ϑ dxe)/x()/u(f jux
,
Зворотне перетворення від )/u(f ϑξ має вигляд:
∫
∞
∞−
−
ξξ ϑ
π
=ϑ due)/x(f
2
1
)/u(p jux
. (1.3)
Інтеграл в правій частині (1.3) не завжди виражається через елементарні
функції. Наведені перетворення дозволяють говорити про характеристичні
функції як про тотожне подання щільності розподілу.

31. 31
Так як характеристична функція є повним описом випадкової величини,
то, знаючи її, можна знайти моменти довільного порядку:
( )
0u
r
r
r
r )/u(f
du
d
j
=
ξ
−






ϑ=ϑα , r = 1,2,…
В свою чергу, знаючи нескінченну послідовність моментів, можна
знайти характеристичну функцію:
k
1k
k
)ju(
!k
)(
1)/u(f ∑
∞
=
ξ
ϑα
+=ϑ .
Обчислення моментів за відомою характеристичною функцією широко
використовується. Однак, при відомій характеристичній функції можна легко
знайти і математичні сподівання від випадкових величин:
∫
∞
∞−
ξ ϑϕ
π
=ξϕ=ϑΨ du)/x(f)u(
2
1
)(E)(
*
iii ,
де )u(iϕ - перетворення Фур'є від функції )u(*
iϕ .
Таким чином, аналіз задач опису показав, що застосування
характеристичної функції та щільності розподілу випадкових величин є
повним їх описом, але в той же час, такий підхід зустрічає труднощі при
застосуванні його до негаусівських випадкових величин. Тому, актуальною є
проблема опису випадкових величин, для яких характеристична функція або
функція щільності розподілу не може бути знайдена.
1.3. Математичні моделі негаусівських процесів при використанні
моментно-кумулянтного опису випадкових величин
Добре відомо [57,58], що математичне сподівання випадкової величини
µ можна обчислити за допомогою щільності розподілу )/у(p ϑµ ,
використовуючи співвідношення:

32. 32
∫∫
∞
∞−
ξ
∞
∞−
µ ϑϕ=ϑ=µ=ϑΨ dx)/x(p)x(dy)/y(ypE)( .
Очевидно, математичне сподівання випадкової величини µ в загальному
випадку залежить від параметра ϑ.
Якщо є безліч випадкових величин iµ , і=1,2,…, які є деякими різними
дійсними функціями )(i ⋅ϕ від однієї і тієї ж випадкової величини ξ, тобто
)(ii ξϕ=µ , i=1,2,…, (1.4)
то існування щільності розподілу випадкової величини ξ дозволяє обчислити
математичне сподівання від випадкових величин виду (1.4)
∫
∞
∞−
ξ ϑρϕ=µ=ϑΨ dx)/x()x(E)( iii , i=1,2,…, (1.5)
У загальному випадку математичні сподівання )(i ϑΨ є функціями
параметра ϑ. Будемо вважати, що функції )(i ⋅ϕ такі, що математичні
сподівання від них існують, тобто інтеграли в правій частині (1.5) сходяться
для всіх функцій )(i ξϕ ).
Нехай функції )(i ξϕ є степеневими функціями, тобто вони мають
вигляд:
i
i )( ξ=ξϕ ,
тоді математичні сподівання цих функцій будуть мати вигляд:
dx)/x(xE)( ii
i ∫
∞
∞−
ξ ϑρ=ξ=ϑα .
Функції )(i ϑα , i=1,2,…, параметра ϑ називаються моментами
випадкової величини ξ порядку i.
Для деяких функцій )(i ξϕ нескінченна послідовність математичних
сподівань )(i ϑΨ може вичерпно представляти випадкову величину ξ і бути

33. 33
тотожним поданням її ймовірного розподілу. Однак, якщо при відомій
щільності розподілу )/x(p ϑξ математичні сподівання )(i ϑΨ визначаються
однозначно, то значення нескінченної послідовності функції )(i ϑΨ в
загальному випадку не дозволяє однозначно визначити невідому щільність
розподілу. Так, при моментному описі випадкової величини ξ можна навести
приклади різної щільності розподілу з однаковими моментами всіх
цілочисельних порядків (проблема моментів) [57]. За умови, що моменти
однозначно визначають щільність розподілу )/x( ϑρξ , нескінченна
послідовність моментів є повним описом випадкової величини ξ, тотожним
опису за допомогою щільності розподілу [58].
Підкреслимо, що не кожний розподіл має моменти довільного порядку,
але для будь-якого розподілу (навіть у якого не існують моменти) можна
вибрати такі функції )(i ξϕ , для яких будуть існувати математичні сподівання
(1.5), тобто інтеграли в (1.5) будуть сходитися.
Іноді випадкові величини простіше описувати за допомогою кумулянтів
або семіінваріантів )(i ϑχ порядку і, і=1, ∞ [1;2], які є коефіцієнтами розкладу
логарифма характеристичної функції в степеневий ряд:
r
1r
r
)ju(
!r
)(
)/u(fln ∑
∞
=
ξ
ϑχ
=ϑ .
Між кумулянтами і моментами існує взаємно однозначна відповідність.
Тому, якщо останній ряд сходиться, то нескінченна послідовність кумулянтів
також є повним описом випадкових величин [56-60].
Відзначимо, що кінцева послідовність моментів або кумулянтів є
частковим описом випадкової величини. Перевагою часткового опису є те,
що він описує не одну певну випадкову величину, а безліч випадкових
величин. У кожної випадкової величини цієї множини перші кумулянти
(моменти) до певного k-го порядку одні й ті ж, а кумулянти (моменти)
порядку вище k-го можуть бути різними.

34. 34
Наведемо вирази початкових моментів випадкової величини до шостого
порядку через кумулянти:
)()( 11 ϑχ=ϑα ; )()()( 2
122 ϑχ+ϑχ=ϑα ; )()()(3)()( 3
12133 ϑχ+ϑχϑχ+ϑχ=ϑα ;
)()()(6)()(4)(3)()( 4
12
2
131
2
244 ϑχ+ϑχϑχ+ϑχϑχ+ϑχ+ϑχ=ϑα ;
)()()(20)()(10
)()(15)()(5)()(10)()(
5
12
3
13
2
1
2
21413255
ϑχ+ϑχϑχ+ϑχϑχ+
+ϑχϑχ+ϑχϑχ+ϑχϑχ+ϑχ=ϑα
;
).()()(15)()(20)](3)()[(15)]()(10
)()[(6)(15)(10)()(15)()(
6
12
4
13
3
1
2
24
2
13
2
2
51
3
2
2
34266
ϑχ+ϑχϑχ+ϑχϑχ+ϑχ+ϑχϑχ+ϑχϑχ+
+ϑχϑχ+ϑχ+ϑχ+ϑχϑχ+ϑχ=ϑα
Кумулянти першого і другого порядків мають ясний зміст - це
математичне сподівання і дисперсія випадкової величини ξ. Кумулянт
третього порядку )(3 ϑχ називається асиметрією розподілу, а кумулянт )(4 ϑχ
- ексцесом. Відзначимо, що в загальному випадку кумулянти є функцією від
параметра розподілу ϑ.
Часто зручно вводити безрозмірні кумулянти, які називаються
кумулянтними коефіцієнтами )()()( 2r
2rr ϑχϑχ=ϑγ −
.
Для деяких розподілів кумулянтні коефіцієнти rγ дорівнюють певним
числам. Однак, в загальному випадку кумулянтні коефіцієнти залежать від
параметрів розподілу ϑ. Знаючи щільність розподілу, можна знайти
кумулянти і кумулянтні коефіцієнти як функції параметрів розподілу ϑ. На
практиці часто виникає ситуація, коли щільність розподілу невідома. В цьому
випадку в якості параметрів випадкової величини доцільно брати перші два
кумулянта 21,χχ і кумулянтні коефіцієнти вищих порядків 43,γγ , … , тобто в
цьому випадку вектор параметрів ϑ випадкової величини ξ буде
дорівнювати:
{ } ,...4,3r,,...,,,, r4321 =γγγχχ=ϑ

35. 35
Надалі, для стислості, кумулянт першого порядку будемо позначати
символом α , тобто α=χ1 .
Параметри { }r432 ,...,,,, γγγχα , від яких статистично залежить випадкова
величина ξ, в подальшому будемо називати моментними параметрами.
Підкреслимо, що моментні параметри не збігаються з параметрами
розподілу.
Зв'язок між початковими моментами і моментним параметром ϑ має
вигляд:
α=ϑα )(1 ; 2
22 )( α+χ=ϑα ; 3
23
5.1
23 3)( α+αχ+γχ=ϑα ;
4
2
2
3
5.1
23
5.1
24
2
24 664)3()( α+χα+αγχ+αγχ++γχ=ϑα ;
5
2
3
3
5.1
2
2
24
2
235
5.2
25 1515155)10()( α+χα+γαχ+αχ+αγχ+γ+γχ=ϑα ;
.1520)3(15
)10(6)151015()(
6
2
4
3
5.1
2
3
4
2
2
2
35
5.2
2246
3
26
α+χα+γχα++γχα+
+γ+γαχ++χ+γ+γχ=ϑα
(1.6)
З (1.6) видно, що в загальному випадку, якщо не накладати умов на клас
випадкових величин, параметр ϑ є параметром, що розширюється, тобто з
ростом порядку моменту збільшується розмірність вектора ϑ.
Відзначимо, що тільки для єдиної випадкової величини - гаусівської
випадкової величини - у векторі ϑ відмінними від нуля будуть тільки перші
два кумулята 1χ та 2χ . Всі інші кумулянтні коефіцієнти вищих порядків
дорівнюють нулю. Для всіх інших випадкових величин повним описом є
нескінченна послідовність кумулянтів. Для задання негаусівських
випадкових величин з відмінними від нуля кумулянтними коефіцієнтами
зручним є введення так званих перфорованих випадкових величин [60].
Визначення 1.1. Перфорованою випадковою величиною [60] будемо
називати величину, у якої при її кумулянтному описі частина кумулянтних
коефіцієнтів, починаючи з порядку 3, відмінна від нуля, частина – строго

36. 36
рівна нулю, а інші кумулянтні коефіцієнти вищих порядків можуть приймати
довільні значення.
В таблиці 1.1 приведена класифікація перфорованих випадкових
величин (відповідно до [60]) при використанні кумулянтних коефіцієнтів до
шостого порядку.
Таблиця 1.1
Класифікація перфорованих випадкових величин
Клас
випадкових
величин.
Тип
Вид
I II III IV
Асиметричні
1 0γ3 ≠ 0,γ3 ≠ 0γ5 ≠
2 0γ5 ≠
Ексцесні
1 0γ4 ≠
0,γ4 ≠
0γ6 ≠
2 0γ6 ≠
Асиметрично-
ексцесні
1 0,γ3 ≠ 0γ4 ≠
0,γ3 ≠
0,γ4 ≠
0γ5 ≠
0,γ3 ≠
0,γ4 ≠
0,γ5 ≠ 0γ6 ≠
2 0,γ3 ≠ 0γ6 ≠
0,γ3 ≠
0,γ4 ≠
0γ6 ≠
3
0,γ4 ≠
0γ5 ≠
0,γ3 ≠
0,γ5 ≠
0γ6 ≠
4 0,γ5 ≠ 0γ6 ≠
0,γ4 ≠
0,γ5 ≠
0γ6 ≠
Згідно з [60] перфоровані випадкові величини мають свої області
допустимих значень (ОДЗ) кумулянтів, які приймають різні значення в
залежності від степені стохастичного полінома. Поняття та суть степені
стохастичного полінома розкрито у ІІ розділі роботи [60]. В таблиці 1.2
наведені ОДЗ для використаних в роботі перфорованих випадкових величин.

37. 37
Таблиця 1.2.
ОДЗ кумулянтів перфорованих випадкових величин
Степінь
полінома
РП S
2 3 4 5 6
ОДЗ 3γ (-1,41; 1,41) (-0,65; 0,65) (-0,43; 0,43) (-0,33; 0,33) (-0,27; 0,27)
ОДЗ 4γ (-2; +∝) (-0,623; 9,623) (-0,327; 9,623) (-0,21; 3,368) (-0,151; 3,368)
ОДЗ
3γ
24
2
3 >γ+γ
(-3,2; 3,2) (-1,6; 1,6) (-1,2; 1,2) (-1,1; 1,1)
4γ (-0,8; 12) (-0,4; 9,5) (-0,25; 4) (-0,2; 3,3)
Данні приведені у таблиці 1.2. є частковими випадками ОДЗ
перфорованих випадкових величин. В повному обсязі ОДЗ перфорованих
випадкових величин описані у [60].
Введення в якості параметрів випадкової величини параметрів α , 2χ і
кумулянтних коефіцієнтів вищих порядків у багатьох відношеннях є набагато
зручнішим і конструктивним при описі випадкових величин. Перш за все це
пояснюється тим, що при розв’язку багатьох практично важливих задач
кумулянтні коефіцієнти вищих порядків приймають настільки малі значення,
що ними можна знехтувати. Тому можливо ввести деякі класи випадкових
величин, для яких у векторі ϑ буде мати кінцеве число кумулянтних
коефіцієнтів для моментів довільного порядку.
1.4. Аналіз ймовірнісних критеріїв оптимальності побудови
розв’язувальних правил
Розглянемо наступну ситуацію: отримано деяке число спостережених
значень x1,...,xn (вибірка розміру n) і відомо, що ці значення належать одному
із двох розподілів: pn(x1,...,xn|s0) або pn(x1,...,xn|s1), пов'язаних із
взаємовиключними станами s0 і s1 досліджуваного явища. Завдання полягає в

38. 38
тому, щоб указати оптимальний алгоритм обробки спостережуваних даних з
метою визначити, якому із зазначених розподілів належить отримана вибірка
[61].
Позначимо через H0 і H1 - гіпотези про те, що вибіркові значення
належать розподілам pn(x1,...,xn|s0) і pn(x1,...,xn|s1). Встановлення зазначеного
правила є еквівалентним поділу n-мірного простору вибірок на дві
непересічні області s0 і s1. Якщо дана конкретна вибірка попадає в область s0,
то гіпотеза H0 приймається, а якщо вона попадає в область s1, то вона
відкидається. Для розглянутих нерандомізованих процедур перевірки
завдання полягає у встановленні до спостережень правила, згідно з яким
кожній вибірці xn призначався б один з розв'язків 0γ або 1γ . Інакше кажучи, у
встановленні правила, по якому можна було б прийняти або відкинути
гіпотезу H0 на підставі даних, накопичених у процесі спостереження
досліджуваного явища.
Визначення 1.2. Розв’язувальним правилом (РП) будемо називати
алгоритм, що дозволяє за результатами обробки вибіркових значень
визначити до якого з класів відноситься досліджуване явище. Критерії та РП,
що засновуються на ймовірнісному описі випадкових величин, будемо
називати ймовірнісними критеріями та РП відповідно.
При використанні будь-якого заздалегідь установленого правила вибору
розв'язків поряд із правильними розв'язками неминучі (у силу випадкової
природи вибірки) і помилкові. Можливі помилки двох родів. Помилка
першого роду (α ) виникає, коли вибірка попадає в критичну область s1, а
досліджуване явище перебуває в стані s0. Тим самим буде відкинута гіпотеза
H0, хоча в дійсності вона вірна. Помилка другого роду (β ) виникає, коли
вибірка попадає в припустиму область s0, хоча досліджуване явище
перебуває в стані s1.
Геометрична інтерпретація помилок наведена на рисунку 1.4., де f(K|Hi)
- функція щільності ймовірності критерію згоди K за умови істинності
гіпотези Hi, αK - квантиль критерію K на рівні α .

39. 39
Рисунок. 1.4 Графічна інтерпретація помилок статистичного критерію
Розглянемо найбільш часто застовані ймовірнісні критерії якості
прийняття розв'язків.
Байєсівский підхід
Введемо функцію втрат, яка пропонує кожній із чотирьох комбінацій 0γ
і H0, 0γ і H1, 1γ і H0, 1γ і H1 відповідну плату Пjk, j =0,1, k = 0,1. Останні
величини зручно представити у вигляді матриці втрат:
11100001
1110
0100
ПП,ПП,
ПП
ПП
П >>





= ,
у якій рядки відповідають гіпотезам H0 і H1, а стовпці розв'язкам 0γ і 1γ . По
головній діагоналі розташовані плати за правильні розв'язки (виграші), а по
побічній - плати (втрати) за помилкові розв'язки. Середнє значення втрат,
зважене з ймовірностями їх появи, або середній ризик, рівне:
,grprR 10 += де
)1(ППr
П)1(Пr
11101
01000
β−+β=
α+α−=
(1.7)
- умовні ризики, відповідні до станів s0 і s1, p, g- апріорні ймовірності станів
S0 і S1.